Leray-Spektralsequenz

In der Mathematik war die Leray-Spektralsequenz ein wegweisendes Beispiel in der homologischen Algebra , das 1946 von Jean Leray eingeführt wurde ^{[ 1 ] [ 2 ]} . Sie wird heutzutage üblicherweise als Spezialfall der Grothendieck-Spektralsequenz betrachtet .

Sei eine stetige Abbildung topologischer Räume, die insbesondere einen Funktor von Garben abelscher Gruppen auf in Garben abelscher Gruppen auf angibt . Die Komposition dieses Funktors mit dem Schnittfunktor auf ist nach Definition des direkten Bildfunktors gleichbedeutend mit Schnittbildung auf . ${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle f_{*}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle {\text{Sh}}_{\text{Ab}}(Y)}$${\displaystyle {\text{Sh}}_{\text{Ab}}(X)}$${\displaystyle f_{*}}$

${\displaystyle \mathrm {Sh_{Ab}} (X)\xrightarrow {f_{*}} \mathrm {Sh_{Ab}} (Y)\xrightarrow {\Gamma } \mathrm {Ab} .}$

Somit berechnen die abgeleiteten Funktoren die Garbenkohomologie für : ${\displaystyle \Gamma \circ f_{*}}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle R^{i}(\Gamma \cdot f_{*})({\mathcal {F}})=H^{i}(X,{\mathcal {F}}).}$

Aber weil und injektive Objekte in - azyklische Objekte in senden , gibt es eine Spektralsequenz ^{[ 3 ] S. 33,19} , deren zweite Seite ist ${\displaystyle f_{*}}$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle {\text{Sh}}_{\text{Ab}}(X)}$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle {\text{Sh}}_{\text{Ab}}(Y)}$

${\displaystyle E_{2}^{pq}=(R^{p}\Gamma \cdot R^{q}f_{*})({\mathcal {F}})=H^{p}(Y,R^{q}f_{*}({\mathcal {F}})),}$

und welche konvergiert zu

${\displaystyle E^{p+q}=R^{p+q}(\Gamma \circ f_{*})({\mathcal {F}})=H^{p+q}(X,{\mathcal {F}}).}$

Dies wird als Leray-Spektralsequenz bezeichnet .

Dieses Ergebnis lässt sich verallgemeinern, indem man stattdessen Garben von Moduln über einer lokal konstanten Garbe von Ringen für einen festen kommutativen Ring betrachtet . Dann sind die Garben Garben von -Moduln, wobei für eine offene Menge eine solche Garbe ein -Modul für ist . Anstelle von Garben könnten wir außerdem Komplexe von nach unten beschränkten Garben für die derivierte Kategorie von betrachten . Dann ersetzt man die Garbenkohomologie durch die Garbenhyperkohomologie . ${\displaystyle {\underline {A}}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle {\underline {A}}}$${\displaystyle U\subset X}$${\displaystyle {\mathcal {F}}\in {\text{Sh}}_{\underline {A}}(X)}$${\displaystyle {\underline {A}}(U)}$${\displaystyle {\mathcal {F}}(U)}$${\displaystyle {\mathcal {F}}^{\bullet }\in D_{\underline {A}}^{+}(X)}$${\displaystyle {\text{Sh}}_{\underline {A}}(X)}$

Die Existenz der Leray-Spektralsequenz ist eine direkte Anwendung der Grothendieck-Spektralsequenz ^{[ 3 ] S. 19.} Diese besagt, dass gegebene additive Funktoren

${\displaystyle {\mathcal {A}}\xrightarrow {G} {\mathcal {B}}\xrightarrow {F} {\mathcal {C}}}$

Wenn zwischen abelschen Kategorien mit genügend Injektiven , einem linksexakten Funktor und der Abbildung injektiver Objekte auf azyklische Objekte ein Isomorphismus von abgeleiteten Funktoren existiert , dann gibt es einen solchen Isomorphismus.${\displaystyle F}$${\displaystyle G}$${\displaystyle F}$

${\displaystyle R^{+}(F\circ G)\simeq R^{+}F\circ R^{+}G}$

für die abgeleiteten Kategorien . Im obigen Beispiel haben wir die Komposition abgeleiteter Funktoren. ${\displaystyle D^{+}({\mathcal {A}}),D^{+}({\mathcal {B}}),D^{+}({\mathcal {C}})}$

${\displaystyle D^{+}({\text{Sh}}_{\text{Ab}}(X))\xrightarrow {Rf_{*}} D^{+}({\text{Sh}}_{\text{Ab}}(Y))\xrightarrow {\Gamma } D^{+}({\text{Ab}}).}$

Sei eine stetige Abbildung glatter Mannigfaltigkeiten . Wenn eine offene Überdeckung von ist , bilden wir den Čech-Komplex einer Garbe bezüglich der Überdeckung von :${\displaystyle f\colon X\to Y}$${\displaystyle {\mathcal {U}}=\{U_{i}\}_{i\in I}}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle {\mathcal {F}}\in {\text{Sh}}(X)}$${\displaystyle f^{-1}(U)}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle {\text{C}}^{p}(f^{-1}{\mathcal {U}},{\mathcal {F}})}$

Die Randabbildungen und Garbenabbildungen ergeben zusammen eine Randabbildung auf dem Doppelkomplex${\displaystyle d^{p}\colon C^{p}\to C^{p+1}}$${\displaystyle \delta ^{q}\colon \Omega _{X}^{q}\to \Omega _{X}^{q+1}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\text{C}}^{p}(f^{-1}{\mathcal {U}},\Omega _{X}^{q})}$

${\displaystyle D=d+\delta \colon C^{\bullet }(f^{-1}{\mathcal {U}},\Omega _{X}^{\bullet })\longrightarrow C^{\bullet }(f^{-1}{\mathcal {U}},\Omega _{X}^{\bullet }).}$

Dieser Doppelkomplex ist auch ein einfacher Komplex, graduiert durch , bezüglich dessen eine Randabbildung ist. Wenn jeder endliche Schnitt der diffeomorph zu ist , kann man zeigen, dass die Kohomologie ${\displaystyle n=p+q}$${\displaystyle D}$${\displaystyle U_{i}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle H_{D}^{n}(C^{\bullet }(f^{-1}{\mathcal {U}},\Omega _{X}^{\bullet }))=H_{\text{dR}}^{n}(X,\mathbb {R} )}$

Die de Rham-Kohomologie dieses Komplexes ist . ^{[ 4 ] : 96} Darüber hinaus ^{[ 4 ] : 179 [ 5 ]} besitzt jeder Doppelkomplex eine Spektralsequenz E mit ${\displaystyle X}$

${\displaystyle E_{\infty }^{n-p,p}={\text{the }}p{\text{th graded part of }}H_{dR}^{n}(C^{\bullet }(f^{-1}{\mathcal {U}},\Omega _{X}^{\bullet }))}$

(sodass die Summe dieser Werte ) beträgt, und ${\displaystyle H_{dR}^{n}}$

${\displaystyle E_{2}^{p,q}=H^{p}(f^{-1}{\mathcal {U}},{\mathcal {H}}^{q}),}$

Wo befindet sich die Vorgarbe auf Y , die sendet ? In diesem Kontext wird dies als Leray-Spektralsequenz bezeichnet. ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{q}}$${\displaystyle U\mapsto H^{q}(f^{-1}(U),F)}$

Die moderne Definition schließt dies mit ein, da der höhere direkte Bildfunktor die Garbenbildung der Prägarbe ist .${\displaystyle R^{p}f_{*}(F)}$${\displaystyle U\mapsto H^{q}(f^{-1}(U),F)}$

• Seien glatte Mannigfaltigkeiten und einfach zusammenhängend , sodass . Wir berechnen die Leray-Spektralsequenz der Projektion . Wenn die Überdeckung gut ist (endliche Schnittmengen sind ) , dann${\displaystyle X,F}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \pi _{1}(X)=0}$${\displaystyle f\colon X\times F\to X}$${\displaystyle {\mathcal {U}}=\{U_{i}\}_{i\in I}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle {\mathcal {H}}^{p}(f^{-1}U_{i})\simeq H^{q}(F)}$

Da einfach verbunden ist, ist jede lokal konstante Vorgarbe konstant, also ist dies die konstante Vorgarbe . Die zweite Seite der Leray-Spektralsequenz lautet also: ${\displaystyle X}$${\displaystyle H^{q}(F)={\underline {\mathbb {R} }}^{n_{q}}}$

${\displaystyle E_{2}^{p,q}=H^{p}(f^{-1}{\mathcal {U}},H^{q}(F))=H^{p}(f^{-1}{\mathcal {U}},\mathbb {R} )\otimes H^{q}(F)}$

Da auch das Cover gut ist, ... ${\displaystyle \{f^{-1}(U_{i})\}_{i\in I}}$${\displaystyle X\times F}$${\displaystyle H^{p}(f^{-1}(U_{i});\mathbb {R} )\cong H^{p}(f;\mathbb {R} )}$

${\displaystyle E_{2}^{p,q}=H^{p}(X)\otimes H^{q}(F)\ \Longrightarrow \ H^{p+q}(X\times F,\mathbb {R} )}$

Hier verwenden wir zum ersten Mal eine Projektion und nicht nur ein Faserbündel: Jedes Element von ist eine tatsächliche geschlossene Differentialform auf ganz , daher ergibt die Anwendung von d und auf diese Elemente Null. Somit gilt . Dies beweist den Satz von Künneth für einfach zusammenhängende Fälle: ${\displaystyle f}$${\displaystyle E_{2}}$${\displaystyle X\times F}$${\displaystyle \delta }$${\displaystyle E_{\infty }=E_{2}}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle H^{\bullet }(X\times Y,\mathbb {R} )\simeq H^{\bullet }(X)\otimes H^{\bullet }(Y)}$

• Wenn es sich um ein allgemeines Faserbündel mit Faser handelt , gilt das Obige, mit der Ausnahme, dass es sich nur um eine lokal konstante Vorgarbe handelt, nicht um eine konstante Vorgarbe.${\displaystyle f\colon X\to Y}$${\displaystyle F}$${\displaystyle V^{p}\to H^{p}(f^{-1}V,H^{q})}$

• Alle Beispielrechnungen mit der Serre-Spektralsequenz sind die Leray-Sequenz für die konstante Garbe.

In der Kategorie der quasi-projektiven Varietäten über gibt es einen von Pierre Deligne und Blanchard für die Leray-Spektralsequenz bewiesenen Degenerationssatz , der besagt, dass ein glatter projektiver Morphismus von Varietäten uns die -Seite der Spektralsequenz für Degenerierte liefert, daher ${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle f\colon X\to Y}$${\displaystyle E_{2}}$${\displaystyle {\underline {\mathbb {Q} }}_{X}}$

${\displaystyle H^{k}(X;\mathbb {Q} )\cong \bigoplus _{p+q=k}H^{p}(Y;\mathbf {R} ^{q}f_{*}({\underline {\mathbb {Q} }}_{X})).}$

Einfache Beispiele lassen sich berechnen, wenn Y einfach zusammenhängend ist; beispielsweise ein vollständiger Schnitt der Dimension (dies beruht auf dem Hurewicz-Homomorphismus und dem Lefschetzschen Hyperebenensatz ). In diesem Fall besitzen die lokalen Systeme triviale Monodromie, daher gilt . Betrachten wir beispielsweise eine glatte Familie von Kurven vom Geschlecht 3 über einer glatten K3-Fläche . Dann gilt: ${\displaystyle \geq 2}$${\displaystyle \mathbf {R} ^{q}f_{*}({\underline {\mathbb {Q} }}_{X})}$${\displaystyle \mathbf {R} ^{q}f_{*}({\underline {\mathbb {Q} }}_{X})\cong {\underline {\mathbb {Q} }}_{Y}^{\oplus l_{q}}}$${\displaystyle f\colon X\to Y}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {R} ^{0}f_{*}({\underline {\mathbb {Q} }}_{X})&\cong {\underline {\mathbb {Q} }}_{Y}\\\mathbf {R} ^{1}f_{*}({\underline {\mathbb {Q} }}_{X})&\cong {\underline {\mathbb {Q} }}_{Y}^{\oplus 6}\\\mathbf {R} ^{2}f_{*}({\underline {\mathbb {Q} }}_{X})&\cong {\underline {\mathbb {Q} }}_{Y}\end{aligned}}}$

uns die Seite ${\displaystyle E_{2}}$

${\displaystyle E_{2}=E_{\infty }={\begin{bmatrix}H^{0}(Y;{\underline {\mathbb {Q} }}_{Y})&0&H^{2}(Y;{\underline {\mathbb {Q} }}_{Y})&0&H^{4}(Y;{\underline {\mathbb {Q} }}_{Y})\\H^{0}(Y;{\underline {\mathbb {Q} }}_{Y}^{\oplus 6})&0&H^{2}(Y;{\underline {\mathbb {Q} }}_{Y}^{\oplus 6})&0&H^{4}(Y;{\underline {\mathbb {Q} }}_{Y}^{\oplus 6})\\H^{0}(Y;{\underline {\mathbb {Q} }}_{Y})&0&H^{2}(Y;{\underline {\mathbb {Q} }}_{Y})&0&H^{4}(Y;{\underline {\mathbb {Q} }}_{Y})\end{bmatrix}}}$

Ein weiteres wichtiges Beispiel für eine glatte projektive Familie ist die Familie der elliptischen Kurven.

${\displaystyle y^{2}=x(x-1)(x-t)}$

vorbei . Hier die Monodromie um${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}\setminus \{0,1,\infty \}}$0 und1 kann mithilfe der Picard-Lefschetz-Theorie berechnet werden , wobei die Monodromie um durch Komposition lokaler Monodromien angegeben wird. ${\displaystyle \infty }$

Zum Zeitpunkt von Lerays Arbeit waren die beiden zugrunde liegenden Konzepte (Spektralsequenz, Garbenkohomologie) noch nicht endgültig geklärt. Daher wird Lerays Ergebnis selten in seiner ursprünglichen Form zitiert. Nach umfangreichen Arbeiten, insbesondere im Seminar von Henri Cartan , wurde die heutige Formulierung hergeleitet, allerdings nicht die allgemeine Grothendieck-Spektralsequenz.

Früher (1948/49) wurden die Implikationen für Faserbündel in einer formal identischen Form wie die Serre-Spektralsequenz hergeleitet , die keine Garben verwendet. Diese Herleitung bezog sich jedoch auf die Alexander-Spanier-Kohomologie mit kompakten Trägern , wie sie auf eigentliche Abbildungen lokal kompakter Hausdorff-Räume angewendet wurde. Die Herleitung der Spektralsequenz erforderte nämlich eine feine Garbe reeller differenziell graduierter Algebren auf dem Gesamtraum, die durch Zurückziehen des de-Rham-Komplexes entlang einer Einbettung in eine Sphäre gewonnen wurde. Jean-Pierre Serre , der eine Spektralsequenz in der Homologie benötigte , die auf Faserungen von Pfadräumen anwendbar war , deren Gesamträume fast nie lokal kompakt sind, konnte daher die ursprüngliche Leray-Spektralsequenz nicht verwenden und leitete stattdessen eine verwandte Spektralsequenz ab, deren kohomologische Variante für ein kompaktes Faserbündel auf einem wohldefinierten Raum mit der obigen Sequenz übereinstimmt.

In the formulation achieved by Alexander Grothendieck by about 1957, the Leray spectral sequence is the Grothendieck spectral sequence for the composition of two derived functors.

• Serre spectral sequence - for more examples
• Grothendieck spectral sequence - for abstract theory subsuming the construction for the Leray spectral sequence
• Mixed Hodge module

• Leray spectral sequence Article in the Encyclopedia of Mathematics
• Leray spectral sequence for ringed spaces Article in The Stacks project