Homologie (Mathematik)

In der Mathematik hat der ursprünglich in der algebraischen Topologie eingeführte Begriff der Homologie drei eng miteinander verbundene Hauptbedeutungen. Erstens bezeichnet er die Homologie eines Kettenkomplexes , eine Folge abelscher Gruppen , sogenannter Homologiegruppen , die als fundamentale Invarianten des Kettenkomplexes gelten. Zweitens kann man, wenn man einem Kettenkomplex ein anderes mathematisches Objekt zuordnen kann, auch dessen Homologie zu diesem Objekt ordnen. Verschiedene Verfahren zur Zuordnung von Kettenkomplexen zu einem gegebenen Objekt werden in Homologietheorien zusammengefasst . Schließlich ist Homologie wichtig für die Untersuchung topologischer Räume . Unter bestimmten Bedingungen, bei denen verschiedene Homologietheorien für einen topologischen Raum dieselben Homologiegruppen erzeugen, kann man eine eindeutige Homologie eines topologischen Raumes definieren . Dieser letzte Homologiebegriff ist eng mit topologischen Konzepten verwandt, die häufig in der populären Mathematik diskutiert werden, wie beispielsweise Löcher in einer Fläche oder Zyklen in einem Graphen . Darüber hinaus gibt es den verwandten Begriff der Kohomologie eines Kokettenkomplexes , der Anlass für verschiedene Kohomologietheorien gibt, sowie den Begriff der Kohomologie eines topologischen Raumes .

Wir beginnen mit einem Kettenkomplex, der eine Folge von abelschen Gruppen (deren Elemente Ketten genannt werden ) und Gruppenhomomorphismen ( Randabbildungen genannt ) ist: ${\displaystyle (C_{\bullet },d_{\bullet })}$${\displaystyle C_{n}}$${\displaystyle d_{n}}$

${\displaystyle \cdots \longrightarrow C_{n+1}{\stackrel {d_{n+1}}{\longrightarrow }}C_{n}{\stackrel {d_{n}}{\longrightarrow }}C_{n-1}{\stackrel {d_{n-1}}{\longrightarrow }}\cdots }$,

so dass die Komposition zweier je aufeinanderfolgender Abbildungen null ist:

${\displaystyle d_{n}\circ d_{n+1}=0.}$

Die -te Gruppe von Zyklen , , wird durch die Kernuntergruppe gegeben . ${\displaystyle n}$${\displaystyle Z_{n}}$

${\displaystyle Z_{n}=\ker d_{n}=\{c\in C_{n}\,|\;d_{n}(c)=0\}}$,

und die -te Gruppe von Rändern , , wird durch die Bilduntergruppe gegeben${\displaystyle n}$${\displaystyle B_{n}}$

${\displaystyle B_{n}:=\mathrm {im} \,d_{n+1}=\{d_{n+1}(c)\,|\;c\in C_{n+1}\}}$Die

Die -te Homologiegruppe dieses Kettenkomplexes ist dann die Quotientengruppe der Zyklen modulo Grenzen. ${\displaystyle n}$${\displaystyle H_{n}}$${\displaystyle H_{n}=Z_{n}/B_{n}}$

Man kann Kettenkomplexen zusätzliche Strukturen verleihen: Wenn man zum Beispiel die Gruppen als Moduln über einem Koeffizientenring und die Randabbildungen als -Modulhomomorphismen wählt , erhält man Homologiegruppen, die auch Quotientenmoduln sind . ${\displaystyle C_{n}}$${\displaystyle R}$${\displaystyle d_{n}}$${\displaystyle R}$${\displaystyle H_{n}}$

Methoden der homologischen Algebra können verwendet werden, um Homologiegruppen verschiedener Kettenkomplexe in Beziehung zu setzen.

Um eine Homologietheorie auf andere mathematische Objekte anzuwenden, legt man zunächst fest, wie Kettenkomplexe diesem Objekt zugeordnet werden, und berechnet anschließend die Homologie eines solchen Kettenkomplexes. Damit die Homologietheorie gültig ist, müssen alle Kettenkomplexe, die demselben mathematischen Objekt zugeordnet sind, dieselbe Homologie aufweisen. Die resultierende Homologietheorie wird häufig nach dem Typ des verwendeten Kettenkomplexes benannt. Beispielsweise werden die singuläre Homologie , die Morse-Homologie , die Khovanov-Homologie und die Hochschild-Homologie aus singulären Kettenkomplexen, Morse-Komplexen, Khovanov-Komplexen bzw. Hochschild-Komplexen gewonnen. In anderen Fällen, wie etwa bei der Gruppenhomologie , existieren mehrere gängige Methoden zur Berechnung derselben Homologiegruppen.

In der Sprache der Kategorientheorie ist eine Homologietheorie ein Funktor von der Kategorie des untersuchten mathematischen Objekts in die Kategorie der abelschen Gruppen und Gruppenhomomorphismen oder allgemeiner in die Kategorie der zugehörigen Kettenkomplexe. Homologietheorien lassen sich auch als abgeleitete Funktoren auf geeigneten abelschen Kategorien formulieren , wobei das Nicht-Exaktsein eines geeigneten Funktors gemessen wird . Diese letztgenannte Konstruktion kann explizit mithilfe von Resolutionen oder abstrakter aus der Perspektive abgeleiteter Kategorien oder Modellkategorien beschrieben werden .

Unabhängig von ihrer Formulierung liefern Homologietheorien Informationen über die Struktur der mathematischen Objekte, mit denen sie in Verbindung stehen, und können manchmal auch dazu beitragen, verschiedene Objekte zu unterscheiden.

Die wohl bekannteste Verwendung des Begriffs Homologie bezieht sich auf die Homologie eines topologischen Raums . Für hinreichend geeignete topologische Räume und kompatible Koeffizientenringe liefert jede Homologietheorie, die die Eilenberg-Steenrod-Axiome erfüllt , dieselben Homologiegruppen wie die singuläre Homologie (siehe unten) dieses topologischen Raums. Daher spricht man oft einfach von der „Homologie“ dieses Raums, anstatt anzugeben, welche Homologietheorie zur Berechnung der betreffenden Homologiegruppen verwendet wurde.

Für eindimensionale topologische Räume ist die Graphhomologie wahrscheinlich die einfachste Homologietheorie . Sie kann als eindimensionaler Spezialfall der simplizialen Homologie betrachtet werden, welche den topologischen Raum in Simplizes zerlegt . (Simplizes sind eine Verallgemeinerung von Dreiecken auf beliebige Dimension; beispielsweise ist eine Kante in einem Graphen homöomorph zu einem eindimensionalen Simplex, und eine auf Dreiecken basierende Pyramide ist ein 3-Simplex.) Die simpliziale Homologie lässt sich wiederum zur singulären Homologie verallgemeinern , welche allgemeinere Abbildungen von Simplizes in den topologischen Raum ermöglicht. Ersetzt man Simplizes durch Kreisscheiben verschiedener Dimensionen, erhält man eine verwandte Konstruktion, die als zelluläre Homologie bezeichnet wird .

Es gibt auch andere Möglichkeiten, diese Homologiegruppen zu berechnen, zum Beispiel über die Morse-Homologie oder indem man das Ergebnis des universellen Koeffizientensatzes verwendet, wenn dieser auf eine Kohomologietheorie wie die Čech-Kohomologie oder (im Falle reeller Koeffizienten) die De-Rham-Kohomologie angewendet wird .

Eine der Ideen, die zur Entwicklung der Homologie führten, war die Beobachtung, dass sich bestimmte niedrigdimensionale Formen topologisch durch die Untersuchung ihrer „Löcher“ unterscheiden lassen. Beispielsweise hat eine Acht mehr Löcher als ein Kreis , und ein 2-Torus (eine zweidimensionale Fläche in Form eines Fahrradschlauchs) hat andere Löcher als eine 2-Sphäre (eine zweidimensionale Fläche in Form eines Basketballs). ${\displaystyle S^{1}}$${\displaystyle T^{2}}$${\displaystyle S^{2}}$

Die Untersuchung solcher topologischer Merkmale führte zum Konzept der Zyklen , die Homologieklassen (die Elemente von Homologiegruppen) repräsentieren. Beispielsweise sind die beiden in einer Acht eingebetteten Kreise Beispiele für eindimensionale Zyklen oder 1-Zyklen, während der 2-Torus und die 2-Sphäre 2-Zyklen darstellen. Zyklen bilden eine Gruppe bezüglich der formalen Addition, die die symbolische Addition von Zyklen anstelle ihrer geometrischen Kombination beschreibt. Jede formale Summe von Zyklen wird wiederum als Zyklus bezeichnet. ${\displaystyle T^{2}}$${\displaystyle S^{2}}$

Explizite Konstruktionen von Homologiegruppen sind etwas technisch. Wie bereits erwähnt, wird eine explizite Realisierung der Homologiegruppen eines topologischen Raums durch die Zyklen und Ränder eines zugehörigen Kettenkomplexes definiert , wobei der Typ des Kettenkomplexes von der verwendeten Homologietheorie abhängt. Diese Zyklen und Ränder sind Elemente abelscher Gruppen und werden durch die Randhomomorphismen des Kettenkomplexes definiert, wobei jedes eine abelsche Gruppe ist und die Gruppenhomomorphismen sind , die für alle erfüllen . ${\displaystyle H_{n}(X)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle (C_{\bullet },d_{\bullet })}$${\displaystyle X}$${\displaystyle d_{n}:C_{n}\to C_{n-1}}$${\displaystyle C_{n}}$${\displaystyle d_{n}}$${\displaystyle d_{n-1}\circ d_{n}=0}$${\displaystyle n}$

Da solche Konstruktionen etwas technischer Natur sind, konzentrieren sich informelle Diskussionen über Homologie manchmal stattdessen auf topologische Begriffe, die Parallelen zu einigen gruppentheoretischen Aspekten von Zyklen und Grenzen aufweisen.

Beispielsweise ist im Kontext von Kettenkomplexen ein Rand jedes Element des Bildes des Randhomomorphismus , für ein . In der Topologie erhält man den Rand eines Raumes technisch gesehen durch die Subtraktion seines Inneren von seinem Abschluss ; dieser Begriff ist aber auch aus Beispielen bekannt, etwa ist der Rand der Einheitskreisscheibe der Einheitskreis, oder topologisch gesprochen ist der Rand von . ${\displaystyle B_{n}:=\mathrm {im} \,d_{n+1}:=\{d_{n+1}(c)\,|\;c\in C_{n+1}\}}$${\displaystyle d_{n}:C_{n}\to C_{n-1}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle D^{2}}$${\displaystyle S^{1}}$

Topologisch ist der Rand des abgeschlossenen Intervalls durch die disjunkte Vereinigung gegeben , und bezüglich geeigneter Orientierungskonventionen ist der orientierte Rand von durch die Vereinigung eines positiv orientierten mit einem negativ orientierten gegeben. Das simpliziale Kettenkomplex -Analogon dieser Aussage ist . (Da ein Homomorphismus ist, folgt daraus für jede ganze Zahl .) ${\displaystyle [0,1]}$${\displaystyle \{0\}\,\amalg \,\{1\}}$${\displaystyle [0,1]}$${\displaystyle \{1\}}$${\displaystyle \{0\}.}$${\displaystyle d_{1}([0,1])=\{1\}-\{0\}}$${\displaystyle d_{1}}$${\displaystyle d_{1}(k\cdot [0,1])=k\cdot \{1\}-k\cdot \{0\}}$${\displaystyle k}$

Im Kontext von Kettenkomplexen ist ein Zyklus jedes Element des Kerns , für ein . Anders ausgedrückt: ist genau dann ein Zyklus, wenn . Das nächstliegende topologische Analogon dazu wäre eine Form ohne Rand, deren Rand die leere Menge ist. Da beispielsweise , und keinen Rand haben, lassen sich jedem dieser Räume Zyklen zuordnen. Der Begriff der Zyklen in Kettenkomplexen (Elemente, deren Rand eine „Nullkette“ ist) ist jedoch allgemeiner als der topologische Begriff einer Form ohne Rand. ${\displaystyle Z_{n}:=\ker d_{n}:=\{c\in C_{n}\,|\;d_{n}(c)=0\}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle c\in C_{n}}$${\displaystyle d_{n}(c)=0}$${\displaystyle S^{1},S^{2}}$${\displaystyle T^{2}}$

Es ist dieses topologische Konzept der Randlosigkeit, das man gemeinhin im Sinn hat, wenn man behauptet, Zyklen könnten intuitiv als „Löcher“ verstanden werden. Die Idee ist, dass es bei randlosen Formen wie , und jeweils möglich ist, eine größere Form anzukleben, deren Rand die ursprüngliche Form bildet. Beispielsweise könnte man, ausgehend von einem Kreis , eine zweidimensionale Scheibe so ankleben , dass der Rand von Kreis ist . Analog dazu kann man bei einer zweidimensionalen Sphäre eine Kugel so ankleben , dass der Rand von Kugel ist . Dieses Phänomen wird manchmal so beschrieben, als hätte Kreis ein kreisförmiges „Loch“ oder als ließe es sich mit einer größeren Form „auffüllen“ . ${\displaystyle S^{1}}$${\displaystyle S^{2}}$${\displaystyle T^{2}}$${\displaystyle S^{1}}$${\displaystyle D^{2}}$${\displaystyle S^{1}}$${\displaystyle S^{1}}$${\displaystyle D^{2}}$${\displaystyle S^{2}}$${\displaystyle B^{3}}$${\displaystyle S^{2}}$${\displaystyle S^{2}}$${\displaystyle B^{3}}$${\displaystyle S^{2}}$${\displaystyle B^{3}}$${\displaystyle B^{3}}$

Allgemeiner lässt sich jede randlose Form mit einem Kegel „auffüllen“ , denn wenn ein gegebener Raum keinen Rand hat, ist der Rand des Kegels auf diesem Raum durch gegeben . Wenn man also den Kegel auf diesen Raum klebt , ist der Rand des Kegels . (Beispielsweise ist ein Kegel auf homöomorph zu einer Kreisscheibe, deren Rand ist .) Manchmal ist es jedoch wünschenswert, sich auf geeignetere Räume wie Mannigfaltigkeiten zu beschränken , und nicht jeder Kegel ist homöomorph zu einer Mannigfaltigkeit. Eingebettete Repräsentanten von 1-Zyklen, 3-Zyklen und orientierten 2-Zyklen besitzen alle Löcher in Form von Mannigfaltigkeiten, aber beispielsweise die reelle projektive Ebene und die komplexe projektive Ebene haben nichttriviale Kobordismusklassen und können daher nicht mit Mannigfaltigkeiten „aufgefüllt“ werden. ${\displaystyle Y}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle S^{1}}$${\displaystyle D^{2}}$${\displaystyle S^{1}}$${\displaystyle \mathbb {RP} ^{2}}$${\displaystyle \mathbb {CP} ^{2}}$

Andererseits unterscheiden sich die in der Homologie eines topologischen Raums diskutierten Grenzen von den Grenzen „aufgefüllter“ Löcher, da die Homologie eines topologischen Raums mit dem ursprünglichen Raum zusammenhängt und nicht mit neuen Formen, die durch Anfügen zusätzlicher Teile entstehen . Beispielsweise begrenzt jeder eingebettete Kreis in bereits eine eingebettete Kreisscheibe in , sodass dies eine Randklasse in der Homologie von induziert . Im Gegensatz dazu ergibt keine Einbettung von in einen der 2 Lappen der Achterform eine Grenze, obwohl es möglich ist, eine Kreisscheibe auf einen Lappen der Achterform anzufügen. ${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle C}$${\displaystyle S^{2}}$${\displaystyle D}$${\displaystyle S^{2}}$${\displaystyle C}$${\displaystyle S^{2}}$${\displaystyle S^{1}}$

Gegeben ein hinreichend schöner topologischer Raum , eine geeignete Homologietheorie und ein zugehöriger Kettenkomplex , der mit dieser Homologietheorie kompatibel ist, so ist die -te Homologiegruppe gegeben durch die Quotientengruppe der -Zyklen ( -dimensionale Zyklen) modulo -dimensionalen Rändern. Anders ausgedrückt: Die Elemente von , die sogenannten Homologieklassen , sind Äquivalenzklassen , deren Repräsentanten -Zyklen sind. Zwei Zyklen gelten genau dann als gleich in , wenn sie sich durch einen zusätzlichen Rand unterscheiden. Daraus folgt auch, dass das „Null“-Element von durch die Gruppe der -dimensionalen Ränder gegeben ist , welche auch formale Summen solcher Ränder umfasst. ${\displaystyle X}$${\displaystyle (C_{\bullet },d_{\bullet })}$${\displaystyle X}$${\displaystyle n}$${\displaystyle H_{n}(X)}$${\displaystyle H_{n}(X)=Z_{n}/B_{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle H_{n}(X)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle H_{n}(X)}$${\displaystyle H_{n}(X)}$${\displaystyle n}$

Die Homologie eines topologischen Raums X ist eine Menge topologischer Invarianten von X , die durch seine Homologiegruppen repräsentiert werden . Die Homologiegruppe beschreibt dabei informell die Anzahl der Löcher in X mit k- dimensionalem Rand. Ein Loch ^mit 0-dimensionalem Rand ist einfach eine Lücke zwischen zwei Komponenten . Folglich beschreibt die Homologiegruppe die wegzusammenhängenden Komponenten von X. [ ^{1 ]}$${\displaystyle H_{0}(X),H_{1}(X),H_{2}(X),\ldots }$$${\displaystyle k^{\rm {th}}}$${\displaystyle H_{k}(X)}$${\displaystyle H_{0}(X)}$

Der Kreis oder die 1-Sphäre${\displaystyle S^{1}}$

Die 2-Sphäre ist die äußere Hülle, nicht das Innere, einer Kugel${\displaystyle S^{2}}$

Eine eindimensionale Sphäre ist ein Kreis . Sie besitzt eine einzige Zusammenhangskomponente und ein eindimensionales Randloch, aber keine höherdimensionalen Löcher. Die zugehörigen Homologiegruppen sind gegeben durch , wobei die Gruppe der ganzen Zahlen und die triviale Gruppe ist . Die Gruppe stellt eine endlich erzeugte abelsche Gruppe dar , deren einziger Erzeuger das im Kreis enthaltene eindimensionale Loch repräsentiert. ^{[ 2 ]}${\displaystyle S^{1}}$$${\displaystyle H_{k}\left(S^{1}\right)={\begin{cases}\mathbb {Z} &k=0,1\\\{0\}&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \{0\}}$${\displaystyle H_{1}\left(S^{1}\right)=\mathbb {Z} }$

Eine zweidimensionale Kugel besitzt eine einzige Zusammenhangskomponente, keine eindimensionalen Randlöcher, ein zweidimensionales Randloch und keine höherdimensionalen Löcher. Die zugehörigen Homologiegruppen sind ^{[ 2 ].}${\displaystyle S^{2}}$$${\displaystyle H_{k}\left(S^{2}\right)={\begin{cases}\mathbb {Z} &k=0,2\\\{0\}&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$$

Im Allgemeinen sind für eine n- dimensionale Sphäre die Homologiegruppen ${\displaystyle S^{n},}$$${\displaystyle H_{k}\left(S^{n}\right)={\begin{cases}\mathbb {Z} &k=0,n\\\{0\}&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$$

Die Vollscheibe oder 2-Ball${\displaystyle B^{2}}$

Der Torus${\displaystyle T=S^{1}\times S^{1}}$

Eine zweidimensionale Kugel ist eine massive Scheibe. Sie besitzt eine einzige wegzusammenhängende Komponente, aber im Gegensatz zum Kreis keine höherdimensionalen Löcher. Die zugehörigen Homologiegruppen sind alle trivial, außer für . Im Allgemeinen gilt für eine n- dimensionale Kugel ^{[ 2 ].}${\displaystyle B^{2}}$${\displaystyle H_{0}\left(B^{2}\right)=\mathbb {Z} }$${\displaystyle B^{n},}$$${\displaystyle H_{k}\left(B^{n}\right)={\begin{cases}\mathbb {Z} &k=0\\\{0\}&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$$

Der Torus ist als Produkt zweier Kreise definiert . Er besitzt eine wegzusammenhängende Komponente, zwei unabhängige eindimensionale Löcher (rot und blau dargestellt) und ein zweidimensionales Loch im Inneren. Die zugehörigen Homologiegruppen sind ^{[ 3 ].}${\displaystyle T^{2}=S^{1}\times S^{1}}$$${\displaystyle H_{k}(T^{2})={\begin{cases}\mathbb {Z} &k=0,2\\\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} &k=1\\\{0\}&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$$

Wenn n Produkte eines topologischen Raumes X als geschrieben werden , dann gilt im Allgemeinen für einen n- dimensionalen Torus , (siehe Torus § n-dimensionaler Torus und Betti-Zahl § Weitere Beispiele für weitere Details). ${\displaystyle X^{n}}$${\displaystyle T^{n}=(S^{1})^{n}}$$${\displaystyle H_{k}(T^{n})={\begin{cases}\mathbb {Z} ^{\binom {n}{k}}&0\leq k\leq n\\\{0\}&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$$

Die beiden unabhängigen eindimensionalen Löcher bilden unabhängige Erzeuger in einer endlich erzeugten abelschen Gruppe, die als Produktgruppe ausgedrückt wird.${\displaystyle \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} .}$

Für die projektive Ebene P zeigt eine einfache Rechnung (wobei die zyklische Gruppe zweiter Ordnung ist): entspricht, wie in den vorherigen Beispielen, der Tatsache, dass es eine einzige Zusammenhangskomponente gibt. ist ein neues Phänomen: Intuitiv entspricht es der Tatsache, dass es eine einzige nicht-kontrahierbare „Schleife“ gibt, die jedoch durch zweimaliges Kontrahieren zu Null kontrahierbar wird. Dieses Phänomen wird Torsion genannt . ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$$${\displaystyle H_{k}(P)={\begin{cases}\mathbb {Z} &k=0\\\mathbb {Z} _{2}&k=1\\\{0\}&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$$${\displaystyle H_{0}(P)=\mathbb {Z} }$${\displaystyle H_{1}(P)=\mathbb {Z} _{2}}$

Der folgende Text beschreibt einen allgemeinen Algorithmus zur Konstruktion von Homologiegruppen. Für den Leser mag es einfacher sein, sich zunächst einige einfache Beispiele anzusehen: Graphhomologie und simpliziale Homologie .

Die allgemeine Konstruktion beginnt mit einem Objekt wie einem topologischen Raum X , auf dem man zunächst einen Kettenkomplex C ( X ) definiert, der Informationen über X kodiert . Ein Kettenkomplex ist eine Folge abelscher Gruppen oder Moduln , die durch Homomorphismen, sogenannte Randoperatoren , verbunden sind . ^{[ 3 ]} Das heißt, ${\displaystyle C_{0},C_{1},C_{2},\ldots }$${\displaystyle \partial _{n}:C_{n}\to C_{n-1},}$

${\displaystyle \dotsb {\overset {\partial _{n+1}}{\longrightarrow \,}}C_{n}{\overset {\partial _{n}}{\longrightarrow \,}}C_{n-1}{\overset {\partial _{n-1}}{\longrightarrow \,}}\dotsb {\overset {\partial _{2}}{\longrightarrow \,}}C_{1}{\overset {\partial _{1}}{\longrightarrow \,}}C_{0}{\overset {\partial _{0}}{\longrightarrow \,}}0}$

wobei 0 die triviale Gruppe bezeichnet und für i < 0 gilt. Es wird außerdem gefordert, dass die Komposition zweier aufeinanderfolgender Randoperatoren trivial ist. Das heißt, für alle n gilt : ${\displaystyle C_{i}\equiv 0}$

${\displaystyle \partial _{n}\circ \partial _{n+1}=0_{n+1,n-1},}$

d.h. die konstante Abbildung, die jedes Element von auf die Gruppenidentität in abbildet${\displaystyle C_{n+1}}$${\displaystyle C_{n-1}.}$

Die Aussage, dass der Rand eines Randes trivial ist, ist äquivalent zu der Aussage, dass , wobei das Bild des Randoperators und seines Kerns bezeichnet . Elemente von heißen Ränder und Elemente von heißen Zyklen . ${\displaystyle \operatorname {im} (\partial _{n+1})\subseteq \ker(\partial _{n})}$${\displaystyle \operatorname {im} (\partial _{n+1})}$${\displaystyle \ker(\partial _{n})}$${\displaystyle B_{n}(X)=\mathrm {im} (\partial _{n+1})}$${\displaystyle Z_{n}(X)=\ker(\partial _{n})}$

Da jede Kettengruppe C_{_n} abelsch ist, sind alle ihre Untergruppen normal. Da eine Untergruppe von C_{_n} ist , ist abelsch, und da somit ein Normalteiler von ist , kann man die Quotientengruppe konstruieren.${\displaystyle \ker(\partial _{n})}$${\displaystyle \ker(\partial _{n})}$${\displaystyle \operatorname {im} (\partial _{n+1})\subseteq \ker(\partial _{n})}$${\displaystyle \operatorname {im} (\partial _{n+1})}$${\displaystyle \ker(\partial _{n})}$

${\displaystyle H_{n}(X):=\ker(\partial _{n})/\operatorname {im} (\partial _{n+1})=Z_{n}(X)/B_{n}(X),}$

Die n -te Homologiegruppe von X wird als H_n(X) bezeichnet . Die Elemente von H _{_n} ( X ) heißen Homologieklassen . Jede Homologieklasse ist eine Äquivalenzklasse über Zyklen, und zwei Zyklen in derselben Homologieklasse heißen homolog . ^{[ 4 ]}

Ein Kettenkomplex heißt exakt , wenn das Bild der ( n +1)-ten Abbildung stets gleich dem Kern der n- ten Abbildung ist. Die Homologiegruppen von X messen daher, wie weit der zu X gehörige Kettenkomplex von der Exaktheit entfernt ist. ^{[ 5 ]}

Die reduzierten Homologiegruppen eines Kettenkomplexes C ( X ) werden als Homologien des erweiterten Kettenkomplexes definiert ^{[ 6 ].}

${\displaystyle \dotsb {\overset {\partial _{n+1}}{\longrightarrow \,}}C_{n}{\overset {\partial _{n}}{\longrightarrow \,}}C_{n-1}{\overset {\partial _{n-1}}{\longrightarrow \,}}\dotsb {\overset {\partial _{2}}{\longrightarrow \,}}C_{1}{\overset {\partial _{1}}{\longrightarrow \,}}C_{0}{\overset {\varepsilon }{\longrightarrow \,}}\mathbb {Z} {\longrightarrow \,}0}$

wobei der Randoperator${\displaystyle \varepsilon }$

${\displaystyle \varepsilon \left(\sum _{i}n_{i}\sigma _{i}\right)=\sum _{i}n_{i}}$

für eine Kombination von Punkten , die die festen Erzeuger von C ₀ sind . Die reduzierten Homologiegruppen stimmen mit überein. Das Extra im Kettenkomplex stellt die eindeutige Abbildung vom leeren Simplex nach X dar . ${\displaystyle \sum n_{i}\sigma _{i},}$${\displaystyle \sigma _{i},}$${\displaystyle {\tilde {H}}_{i}(X)}$${\displaystyle H_{i}(X)}$${\displaystyle i\neq 0.}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle [\emptyset ]\longrightarrow X}$

Die Berechnung der Zyklus- und Randgruppen ist in der Regel recht schwierig, da sie eine sehr große Anzahl von Erzeugern besitzen. Es gibt jedoch Werkzeuge, die diese Aufgabe erleichtern. ${\displaystyle Z_{n}(X)}$${\displaystyle B_{n}(X)}$

Die simplizialen Homologiegruppen H _{_n} ( X ) eines simplizialen Komplexes X werden mithilfe des simplizialen Kettenkomplexes C ( X ) definiert, wobei C _{_n} ( X ) die von den n -Simplizes von X erzeugte freie abelsche Gruppe ist . Siehe simpliziale Homologie für Details.

Die singulären Homologiegruppen H _n ( X ) sind für jeden topologischen Raum X definiert und stimmen mit den simplizialen Homologiegruppen für einen simplizialen Komplex überein.

Kohomologiegruppen sind formal ähnlich zu Homologiegruppen: Man beginnt mit einem Kokettenkomplex , der mit einem Kettenkomplex identisch ist, dessen Pfeile jedoch in Richtung zunehmenden statt abnehmenden n zeigen ; dann folgen die Gruppen der Kozyklen und der Kogrenzen analog. Die n -te Kohomologiegruppe von X ist dann die Quotientengruppe ${\displaystyle d_{n},}$${\displaystyle \ker \left(d^{n}\right)=Z^{n}(X)}$${\displaystyle \operatorname {im} \left(d^{n-1}\right)=B^{n}(X)}$

${\displaystyle H^{n}(X)=Z^{n}(X)/B^{n}(X),}$

in Analogie zur n- ten Homologiegruppe.

Die n-te Homotopiegruppe eines topologischen Raums ist die Gruppe der Homotopieklassen von Basispunkt-erhaltenden Abbildungen von der -Sphäre nach , bezüglich der Gruppenoperation der Verkettung. Die fundamentalste Homotopiegruppe ist die Fundamentalgruppe . Für zusammenhängende Räume beschreibt der Satz von Hurewicz einen Homomorphismus , den sogenannten Hurewicz-Homomorphismus. Für kann dieser Homomorphismus kompliziert sein, aber für stimmt der Hurewicz-Homomorphismus mit der Abelianisierung überein . Das heißt, ist surjektiv und sein Kern ist die Kommutatoruntergruppe von , mit der Folge, dass isomorph zur Abelianisierung von ist . Höhere Homotopiegruppen sind mitunter schwer zu berechnen. Beispielsweise sind die Homotopiegruppen von Sphären wenig erforscht und im Allgemeinen unbekannt, im Gegensatz zur oben gegebenen einfachen Beschreibung der Homologiegruppen. ${\displaystyle \pi _{n}(X)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle n}$${\displaystyle S^{n}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \pi _{1}(X)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle h_{*}:\pi _{n}(X)\to H_{n}(X)}$${\displaystyle n>1}$${\displaystyle n=1}$${\displaystyle h_{*}:\pi _{1}(X)\to H_{1}(X)}$${\displaystyle \pi _{1}(X)}$${\displaystyle H_{1}(X)}$${\displaystyle \pi _{1}(X)}$

Nehmen wir beispielsweise die Figur Acht . Wie üblich ist ihre erste Homotopiegruppe, oder Fundamentalgruppe , die Gruppe der Homotopieklassen gerichteter Schleifen, die in einem vorgegebenen Punkt (z. B. ihrem Mittelpunkt) beginnen und enden. Sie ist isomorph zur freien Gruppe vom Rang 2, , welche nicht kommutativ ist: Eine Schleife um den linken und dann um den rechten Zyklus ist etwas anderes als eine Schleife um den rechten und dann um den linken Zyklus. Im Gegensatz dazu ist die erste Homologiegruppe der Figur Acht abelsch. Um dies explizit mithilfe von Homologieklassen von Zyklen auszudrücken, kann man die Homologieklasse des linken und die Homologieklasse des rechten Zyklus als Basiselemente von wählen , wodurch sich ergibt : . ${\displaystyle n=1}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \pi _{1}(X)}$${\displaystyle \pi _{1}(X)\cong \mathbb {Z} *\mathbb {Z} }$${\displaystyle H_{1}(X)\cong \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} }$${\displaystyle l}$${\displaystyle r}$${\displaystyle H_{1}(X)}$${\displaystyle H_{1}(X)=\{a_{l}l+a_{r}r\,|\;a_{l},a_{r}\in \mathbb {Z} \}}$

The different types of homology theory arise from functors mapping from various categories of mathematical objects to the category of chain complexes. In each case the composition of the functor from objects to chain complexes and the functor from chain complexes to homology groups defines the overall homology functor for the theory.^[7]

The motivating example comes from algebraic topology: the simplicial homology of a simplicial complexX. Here the chain group C_n is the free abelian group or free module whose generators are the n-dimensional oriented simplexes of X. The orientation is captured by ordering the complex's vertices and expressing an oriented simplex ${\displaystyle \sigma }$ as an n-tuple ${\displaystyle (\sigma [0],\sigma [1],\dots ,\sigma [n])}$ of its vertices listed in increasing order (i.e. ${\displaystyle \sigma [0]<\sigma [1]<\cdots <\sigma [n]}$ in the complex's vertex ordering, where ${\displaystyle \sigma [i]}$ is the ${\displaystyle i}$th vertex appearing in the tuple). The mapping ${\displaystyle \partial _{n}}$ from C_n to C_n−1 is called the boundary mapping and sends the simplex

${\displaystyle \sigma =(\sigma [0],\sigma [1],\dots ,\sigma [n])}$

to the formal sum

${\displaystyle \partial _{n}(\sigma )=\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}\left(\sigma [0],\dots ,\sigma [i-1],\sigma [i+1],\dots ,\sigma [n]\right),}$\

which is evaluated as 0 if ${\displaystyle n=0.}$ This behavior on the generators induces a homomorphism on all of C_n as follows. Given an element ${\displaystyle c\in C_{n}}$, write it as the sum of generators ${\textstyle c=\sum _{\sigma _{i}\in X_{n}}m_{i}\sigma _{i},}$ where ${\displaystyle X_{n}}$ is the set of n-simplexes in X and the m_i are coefficients from the ring C_n is defined over (usually integers, unless otherwise specified). Then define

${\displaystyle \partial _{n}(c)=\sum _{\sigma _{i}\in X_{n}}m_{i}\partial _{n}(\sigma _{i}).}$

The dimension of the n-th homology of X turns out to be the number of "holes" in X at dimension n. It may be computed by putting matrix representations of these boundary mappings in Smith normal form.

Using simplicial homology example as a model, one can define a singular homology for any topological spaceX. A chain complex for X is defined by taking C_n to be the free abelian group (or free module) whose generators are all continuous maps from n-dimensional simplices into X. The homomorphisms ∂_n arise from the boundary maps of simplices.

In der abstrakten Algebra verwendet man Homologie, um abgeleitete Funktoren zu definieren , beispielsweise die Tor-Funktoren . Man beginnt mit einem kovarianten additiven Funktor F und einem Modul X. Der Kettenkomplex von X wird wie folgt definiert: Zuerst findet man einen freien Modul und einen surjektiven Homomorphismus. Dann findet man einen weiteren freien Modul und einen surjektiven Homomorphismus. Auf diese Weise lässt sich eine Folge von freien Moduln und Homomorphismen definieren . Wendet man den Funktor F auf diese Folge an, erhält man einen Kettenkomplex; die Homologie dieses Komplexes hängt nur von F und X ab und ist definitionsgemäß der n -te abgeleitete Funktor von F , angewendet auf X.${\displaystyle F_{1}}$${\displaystyle p_{1}:F_{1}\to X.}$${\displaystyle F_{2}}$${\displaystyle p_{2}:F_{2}\to \ker \left(p_{1}\right).}$${\displaystyle F_{n}}$${\displaystyle p_{n}}$${\displaystyle H_{n}}$

Eine gängige Anwendung der Gruppen(ko)homologie besteht darin, die möglichen Erweiterungsgruppen E zu klassifizieren , die einen gegebenen G -Modul M als normalen Untergruppe enthalten und eine gegebene Quotientengruppe G besitzen , sodass${\displaystyle H^{2}(G,M)}$${\displaystyle G=E/M.}$

Kettenkomplexe bilden eine Kategorie : Ein Morphismus vom Kettenkomplex ( ) zum Kettenkomplex ( ) ist eine Folge von Homomorphismen, sodass für alle n gilt . Die n -te Homologie H _n kann als kovarianter Funktor von der Kategorie der Kettenkomplexe in die Kategorie der abelschen Gruppen (oder Moduln) betrachtet werden. ${\displaystyle d_{n}:A_{n}\to A_{n-1}}$${\displaystyle e_{n}:B_{n}\to B_{n-1}}$${\displaystyle f_{n}:A_{n}\to B_{n}}$${\displaystyle f_{n-1}\circ d_{n}=e_{n}\circ f_{n}}$

Wenn der Kettenkomplex in kovarianter Weise vom Objekt X abhängt (d. h., dass jeder Morphismus einen Morphismus vom Kettenkomplex von X zum Kettenkomplex von Y induziert ), dann sind die H _n kovariante Funktoren von der Kategorie, zu der X gehört, in die Kategorie der abelschen Gruppen (oder Moduln). ${\displaystyle X\to Y}$

Der einzige Unterschied zwischen Homologie und Kohomologie besteht darin, dass bei der Kohomologie die Kettenkomplexe kontravariant von X abhängen und dass daher die Homologiegruppen (die in diesem Kontext Kohomologiegruppen genannt und mit H ⁿ bezeichnet werden ) kontravariante Funktoren von der Kategorie, zu der X gehört, in die Kategorie der abelschen Gruppen oder Moduln bilden.

Wenn ( ) ein Kettenkomplex ist, sodass alle bis auf endlich viele A _n gleich null sind und die übrigen endlich erzeugte abelsche Gruppen (oder endlichdimensionale Vektorräume) sind, dann können wir die Euler-Charakteristik definieren.${\displaystyle d_{n}:A_{n}\to A_{n-1}}$

${\displaystyle \chi =\sum (-1)^{n}\,\mathrm {rank} (A_{n})}$

(unter Verwendung des Rangs im Fall abelscher Gruppen und der Hamel-Dimension im Fall von Vektorräumen). Es stellt sich heraus, dass die Euler-Charakteristik auch auf der Ebene der Homologie berechnet werden kann:

${\displaystyle \chi =\sum (-1)^{n}\,\mathrm {rank} (H_{n})}$

Und insbesondere in der algebraischen Topologie bietet dies zwei Möglichkeiten, die wichtige Invariante für das Objekt X zu berechnen , aus dem der Kettenkomplex hervorgegangen ist. ${\displaystyle \chi }$

Jede kurze exakte Sequenz

${\displaystyle 0\rightarrow A\rightarrow B\rightarrow C\rightarrow 0}$

von Kettenkomplexen führt zu einer langen exakten Sequenz von Homologiegruppen

${\displaystyle \cdots \to H_{n}(A)\to H_{n}(B)\to H_{n}(C)\to H_{n-1}(A)\to H_{n-1}(B)\to H_{n-1}(C)\to H_{n-2}(A)\to \cdots }$

Alle Abbildungen in dieser langen exakten Sequenz werden durch die Abbildungen zwischen den Kettenkomplexen induziert, mit Ausnahme der Abbildungen. Letztere werden als verbindende Homomorphismen bezeichnet und durch das Zickzack-Lemma gegeben . Dieses Lemma lässt sich auf vielfältige Weise auf die Homologie anwenden und hilft bei der Berechnung von Homologiegruppen, beispielsweise in Theorien der relativen Homologie und Mayer-Vietoris-Sequenzen . ${\displaystyle H_{n}(C)\to H_{n-1}(A)}$

Zu den bemerkenswerten Theoremen, die mithilfe der Homologie bewiesen wurden, gehören die folgenden:

• Der Brouwersche Fixpunktsatz : Wenn f eine beliebige stetige Abbildung von der Kugel B ^ⁿ in sich selbst ist, dann gibt es einen Fixpunkt mit${\displaystyle a\in B^{n}}$${\displaystyle f(a)=a.}$
• Invarianz des Definitionsbereichs : Wenn U eine offene Teilmenge von V ist und f eine injektive stetige Abbildung ist , dann ist V offen und f ist ein Homöomorphismus zwischen U und V.${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle f:U\to \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle V=f(U)}$
• Der Satz von der haarigen Kugel : Jedes stetige Vektorfeld auf der 2-Sphäre (oder allgemeiner auf der 2 k -Sphäre für jedes ) verschwindet an einem Punkt.${\displaystyle k\geq 1}$
• Der Satz von Borsuk-Ulam : Jede stetige Funktion von einer n- Sphäre in den euklidischen n- Raum bildet zwei antipodale Punkte auf denselben Punkt ab. (Zwei Punkte auf einer Sphäre heißen antipodal, wenn sie in genau entgegengesetzten Richtungen vom Mittelpunkt der Sphäre liegen.)
• Dimensionsinvarianz: Wenn nichtleere offene Teilmengen und homöomorph sind, dann ^{[ 8 ]}${\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} ^{m}}$${\displaystyle V\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle m=n.}$

In der topologischen Datenanalyse werden Datensätze als Punktwolkenabtastung einer Mannigfaltigkeit oder algebraischen Varietät im euklidischen Raum betrachtet . Durch die Verknüpfung benachbarter Punkte in der Punktwolke zu einer Triangulierung wird eine simpliziale Approximation der Mannigfaltigkeit erzeugt, deren simpliziale Homologie berechnet werden kann. Die Entwicklung robuster Verfahren zur Berechnung der Homologie mithilfe verschiedener Triangulierungsstrategien über mehrere Längenskalen hinweg ist Gegenstand der persistenten Homologie . ^{[ 9 ]}

In Sensornetzwerken können Sensoren Informationen über ein Ad-hoc-Netzwerk austauschen, das sich dynamisch mit der Zeit verändert. Um den globalen Kontext dieser lokalen Messungen und Kommunikationspfade zu verstehen, ist es hilfreich, die Homologie der Netzwerktopologie zu berechnen , um beispielsweise Abdeckungslücken zu ermitteln. ^{[ 10 ]}

In der Theorie dynamischer Systeme der Physik war Poincaré einer der Ersten, der das Zusammenspiel zwischen der invarianten Mannigfaltigkeit eines dynamischen Systems und seinen topologischen Invarianten untersuchte. Die Morse-Theorie verknüpft die Dynamik eines Gradientenflusses auf einer Mannigfaltigkeit beispielsweise mit ihrer Homologie. Die Floer-Homologie erweiterte dies auf unendlichdimensionale Mannigfaltigkeiten. Der Satz von KAM zeigte, dass periodische Orbits komplexen Trajektorien folgen können; insbesondere können sie Zöpfe bilden , die mithilfe der Floer-Homologie untersucht werden können. ^{[ 11 ]}

In einer Klasse von Finite-Elemente-Methoden müssen Randwertprobleme für Differentialgleichungen mit dem Hodge-Laplace-Operator auf topologisch nichttrivialen Gebieten gelöst werden, beispielsweise in elektromagnetischen Simulationen . In diesen Simulationen wird die Lösung erleichtert, indem die Kohomologieklasse der Lösung anhand der gewählten Randbedingungen und der Homologie des Gebiets festgelegt wird. FEM-Gebiete können trianguliert werden, woraus sich die simpliziale Homologie berechnen lässt. ^{[ 12 ] [ 13 ]}

Zur Berechnung von Homologiegruppen endlicher Zellkomplexe wurden verschiedene Softwarepakete entwickelt. Linbox ist eine C++- Bibliothek für schnelle Matrixoperationen, einschließlich der Smith-Normalform ; sie ist mit Gap und Maple kompatibel . Chomp , CAPD::Redhom ( archiviert am 15.07.2013 im Internet Archive) und Perseus sind ebenfalls in C++ geschrieben. Alle drei implementieren Vorverarbeitungsalgorithmen basierend auf einfacher Homotopieäquivalenz und diskreter Morse-Theorie , um homologieerhaltende Reduktionen der Eingabezellkomplexe durchzuführen, bevor Matrixalgebra angewendet wird. Kenzo ist in Lisp geschrieben und kann neben der Homologie auch zur Generierung von Darstellungen von Homotopiegruppen endlicher simplizialer Komplexe verwendet werden. Gmsh enthält einen Homologielöser für Finite-Elemente-Netze, der direkt von Finite-Elemente-Software verwendbare Kohomologiebasen generieren kann. ^{[ 12 ]}

Die Homologietheorie beginnt mit der Euler-Polyederformel bzw. der Euler-Charakteristik . ^{[ 14 ]} Darauf folgten Riemanns Definition von Geschlecht und numerischen Invarianten des n -fachen Zusammenhangs im Jahr 1857 und Bettis Beweis der Unabhängigkeit der „Homologiezahlen“ von der Wahl der Basis im Jahr 1871. ^{[ 15 ]}

Zyklen auf einer 2-Sphäre${\displaystyle S^{2}}$

Zyklen auf einem Torus${\displaystyle T^{2}}$

Radfahren auf einer Klein- Flasche${\displaystyle K^{2}}$

Zyklen auf einer halbkugelförmigen projektiven Ebene${\displaystyle P^{2}}$

Auf der gewöhnlichen Sphäre lässt sich die Kurve b im Diagramm zum Pol zusammenziehen, und selbst der äquatoriale Großkreis a kann auf dieselbe Weise zusammengezogen werden. Der Jordansche Kurvensatz zeigt, dass jede geschlossene Kurve wie c analog zu einem Punkt zusammengezogen werden kann. Daraus folgt, dass die Kurve eine triviale Fundamentalgruppe besitzt und somit auch eine triviale erste Homologiegruppe. ${\displaystyle S^{2}}$${\displaystyle S^{2}}$

Der Torus besitzt geschlossene Kurven, die nicht stetig ineinander überführt werden können; beispielsweise lässt sich im Diagramm keiner der Zyklen a , b oder c ineinander überführen. Insbesondere lassen sich die Zyklen a und b nicht auf einen Punkt zusammenziehen, Zyklus c hingegen schon. ${\displaystyle T^{2}}$

Wenn die Oberfläche des Torus entlang der Achsen a und b geschnitten wird , kann sie aufgeklappt und zu einem Rechteck oder, einfacher, zu einem Quadrat abgeflacht werden. Ein gegenüberliegendes Seitenpaar entspricht dem Schnitt entlang der Achse a , das andere dem Schnitt entlang der Achse b .

Die Kanten des Quadrats können dann auf verschiedene Weisen wieder zusammengeklebt werden. Das Quadrat kann so gedreht werden, dass die Kanten in entgegengesetzter Richtung aufeinandertreffen, wie die Pfeile in der Abbildung zeigen. Die verschiedenen Arten des Zusammenklebens der Seiten ergeben genau vier topologisch unterschiedliche Flächen:

${\displaystyle K^{2}}$Die Kleinsche Flasche ist ein Torus mit einer Drehung (im quadratischen Diagramm entspricht diese Drehung der Umkehrung des unteren Pfeils). Es gilt der Satz, dass sich die wiederverklebte Fläche selbst schneiden muss (wenn sie in den dreidimensionalen euklidischen Raum eingebettet ist ). Wie beim Torus können die Zyklen a und b nicht verkleinert werden, während c verkleinert werden kann. Anders als beim Torus kehrt sich jedoch beim Vorwärts-Rechts- und Rückwärtsverlauf von b die Richtung um, da b die Drehung einer der Verbindungen kreuzt. Führt man einen äquidistanten Schnitt auf einer Seite von b durch, kehrt dieser auf der anderen Seite zurück und umrundet die Fläche ein zweites Mal, bevor er zu seinem Ausgangspunkt zurückkehrt. Dadurch entsteht ein verdrehtes Möbiusband . Da sich die lokale Links-Rechts-Orientierung auf diese Weise beliebig ändern lässt, wird die Fläche als Ganzes als nicht orientierbar bezeichnet.

Die projektive Ebene weist an beiden Enden Verdrehungen auf. Die ungeschnittene Form, allgemein als Boy-Fläche dargestellt , ist visuell komplex, daher zeigt die Abbildung eine halbkugelförmige Einbettung, in der antipodale Punkte am Rand, wie A und A′, als derselbe Punkt identifiziert werden. Auch hier ist a nicht schrumpfbar , c hingegen schon. Würde b nur einmal gewickelt, wäre es ebenfalls nicht schrumpfbar und die Links-Rechts-Position wäre vertauscht. Wird es jedoch ein zweites Mal gewickelt, wodurch die Links-Rechts-Position wieder vertauscht wird, kann es zu einem Punkt geschrumpft werden und ist homolog zu c . ${\displaystyle P^{2}}$

Zyklen können verbunden oder addiert werden, so wie die Punkte a und b auf dem Torus nach dem Aufschneiden und Abflachen. Im Kleinschen Flaschendiagramm verläuft a in die eine Richtung und −a in die entgegengesetzte. Betrachtet man a als Schnitt, so kann −a als Klebevorgang interpretiert werden. Das Schneiden und anschließende Verkleben verändert die Oberfläche nicht, daher gilt a + (−a ) = 0.

Betrachten wir nun zwei a- Zyklen. Da die Kleinsche Flasche nicht orientierbar ist, kann man einen der Zyklen vollständig um die Flasche herumführen (entlang des b- Zyklus), und er kehrt als −a zurück . Dies liegt daran, dass die Kleinsche Flasche aus einem Zylinder besteht, dessen a- Zyklusenden mit entgegengesetzten Orientierungen verklebt sind. Daher gilt 2a = a + a = a + (−a ) = 0. Dieses Phänomen wird Torsion genannt. Analog dazu erzeugt das zweimalige Umrunden des nicht schrumpfbaren Zyklus b in der projektiven Ebene bemerkenswerterweise einen trivialen Zyklus, der zu einem Punkt geschrumpft werden kann ; das heißt, b + b = 0. Da b zweimal durchlaufen werden muss, um einen Nullzyklus zu erhalten, hat die Fläche einen Torsionskoeffizienten von 2. Das zweimalige Umrunden eines b -Zyklus in der Kleinschen Flasche ergibt jedoch einfach b + b = 2b , da dieser Zyklus in einer torsionsfreien Homologieklasse liegt. Dies entspricht der Tatsache, dass im Fundamentalpolygon der Kleinschen Flasche nur ein Seitenpaar verdreht ist, während in der projektiven Ebene beide Seiten verdreht sind.

Ein Quadrat ist ein zusammenziehbarer topologischer Raum , was bedeutet, dass es triviale Homologie besitzt. Folglich zerlegen weitere Schnitte es. Das Quadrat ist nicht die einzige Form in der Ebene, die zu einer Fläche verklebt werden kann. Verklebt man beispielsweise gegenüberliegende Seiten eines Achtecks, erhält man eine Fläche mit zwei Löchern. Tatsächlich lassen sich alle geschlossenen Flächen durch Verkleben der Seiten eines Polygons erzeugen, und alle Polygone mit geraden Seiten (2 ⁿ-Ecke) können zu verschiedenen Mannigfaltigkeiten verklebt werden. Umgekehrt kann eine geschlossene Fläche mit n von Null verschiedenen Klassen in ein 2 ⁿ-Eck zerschnitten werden. Variationen sind ebenfalls möglich; so kann beispielsweise auch ein Sechseck zu einem Torus verklebt werden. ^{[ 16 ]}

Die erste erkennbare Theorie der Homologie wurde von Henri Poincaré in seiner bahnbrechenden Arbeit „ Analysis situs “, J. Ecole polytech. (2) 1 , 1–121 (1895), veröffentlicht. In dieser Arbeit wurden Homologieklassen und -relationen eingeführt. Die möglichen Konfigurationen orientierbarer Zyklen werden durch die Betti-Zahlen der Mannigfaltigkeit klassifiziert (Betti-Zahlen sind eine Verfeinerung der Euler-Charakteristik). Die Klassifizierung nicht-orientierbarer Zyklen erfordert zusätzliche Informationen über Torsionskoeffizienten. ^{[ 17 ]}

Die vollständige Klassifizierung der 1- und 2-Mannigfaltigkeiten ist in der Tabelle angegeben.

Topologische Eigenschaften geschlossener 1- und 2-Mannigfaltigkeiten ^{[ 18 ]}

Verteiler		Euler-Nr. , χ	Orientierbarkeit	Betti-Zahlen			Torsionskoeffizient (1-dimensional)
Symbol [ 16 ]	Name			b 0	b 1	b 2
${\displaystyle S^{1}}$	Kreis (1-Mannigfaltigkeit)	0	Orientierbar	1	1	—N / A	—N / A
${\displaystyle S^{2}}$	Kugel	2	Orientierbar	1	0	1	Keiner
${\displaystyle T^{2}}$	Torus	0	Orientierbar	1	2	1	Keiner
${\displaystyle P^{2}}$	Projektive Ebene	1	Nicht orientierbar	1	0	0	2
${\displaystyle K^{2}}$	Klein-Flasche	0	Nicht orientierbar	1	1	0	2
	2-Loch-Torus	−2	Orientierbar	1	4	1	Keiner
	g -Loch-Torus ( g ist die Gattung )	2 − 2 g	Orientierbar	1	2 g	1	Keiner
	Kugel mit c Kreuzkappen	2 − c	Nicht orientierbar	1	c − 1	0	2
	2-Mannigfaltigkeit mit g  Löchern und c  Kreuzkappen ( c  >  0)	2  −  (2 g  + c )	Nicht orientierbar	1	(2 g  + c ) − 1	0	2

Anmerkungen

1. Bei einer nicht orientierbaren Fläche entspricht ein Loch zwei Kreuzkappen.
2. Jede geschlossene 2-Mannigfaltigkeit lässt sich als zusammenhängende Summe von g Tori und c projektiven Ebenen realisieren , wobei die 2-Sphäre als leere zusammenhängende Summe betrachtet wird. Die Homologie bleibt durch die Operation der zusammenhängenden Summe erhalten.${\displaystyle S^{2}}$

Auf der Suche nach größerer Strenge entwickelte Poincaré die simpliziale Homologie einer triangulierten Mannigfaltigkeit und schuf das, was heute als simplizialer Kettenkomplex bezeichnet wird . ^{[ 19 ] [ 20 ]} Kettenkomplexe (inzwischen stark verallgemeinert) bilden die Grundlage für die meisten modernen Darstellungen der Homologie.

Emmy Noether und unabhängig davon Leopold Vietoris und Walther Mayer entwickelten die Theorie der algebraischen Homologiegruppen in den Jahren 1925–28 weiter. ^{[ 21 ] [ 22 ] [ 23 ]} Die neue kombinatorische Topologie behandelte topologische Klassen formal als abelsche Gruppen . Homologiegruppen sind endlich erzeugte abelsche Gruppen, und Homologieklassen sind Elemente dieser Gruppen. Die Betti-Zahlen der Mannigfaltigkeit entsprechen dem Rang des freien Teils der Homologiegruppe, und im Spezialfall von Flächen tritt der Torsionsteil der Homologiegruppe nur für nicht-orientierbare Zyklen auf.

Die darauffolgende Verbreitung von Homologiegruppen führte zu einem Wandel in Terminologie und Sichtweise von „kombinatorischer Topologie“ zu „ algebraischer Topologie “. ^{[ 24 ]} Die algebraische Homologie ist nach wie vor die primäre Methode zur Klassifizierung von Mannigfaltigkeiten. ^{[ 25 ]}

• Betti-Nummer
• Zyklusraum
• De-Rham-Kohomologie
• Eilenberg-Steenrod-Axiome
• Außergewöhnliche Homologietheorie
• Homologische Algebra
• Homologische Vermutungen in der kommutativen Algebra
• Homologische Konnektivität
• Homologische Dimension
• Homotopiegruppe
• Satz von Künneth
• Liste der Kohomologietheorien – enthält auch eine Liste der Homologietheorien
• Poincaré-Dualität

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• Homologiegruppe in der Enzyklopädie der Mathematik
• [1] Algebraische Topologie Allen Hatcher – Kapitel 2 über Homologie