Platonischer Körper

In der Geometrie ist ein platonischer Körper ein konvexer , regelmäßiger Polyeder im dreidimensionalen euklidischen Raum . Ein Polyeder ist regelmäßig, wenn seine Flächen kongruente (identische) regelmäßige Polygone (alle Winkel und Kanten sind gleich lang) sind und an jeder Ecke die gleiche Anzahl an Flächen anliegt. Es gibt nur fünf solcher Polyeder: das regelmäßige Tetraeder (vier Dreiecksflächen), den Würfel (sechs Quadratflächen), das regelmäßige Oktaeder (acht Dreiecksflächen), das regelmäßige Dodekaeder (zwölf Fünfecksflächen) und das regelmäßige Ikosaeder (zwanzig Dreiecksflächen).

Geometer beschäftigen sich seit Jahrtausenden mit den platonischen Körpern. ^{[ 1 ]} Sie sind nach dem antiken griechischen Philosophen Platon benannt , der in einem seiner Dialoge, dem Timaios , die Hypothese aufstellte, dass die klassischen Elemente aus diesen regelmäßigen Körpern bestünden. ^{[ 2 ]}

Die platonischen Körper sind seit der Antike bekannt. Es wurde vermutet, dass bestimmte, von den spätneolithischen Völkern Schottlands gefertigte Steinkugeln diese Formen darstellen. Allerdings weisen diese Kugeln abgerundete Höcker auf und sind nicht polyedrisch. Die Anzahl der Höcker wich häufig von der Anzahl der Ecken der platonischen Körper ab. Keine Kugel hatte die gleiche Anzahl an Höckern wie das Dodekaeder mit seinen 20 Ecken, und die Anordnung der Höcker war nicht immer symmetrisch. ^{[ 3 ]}

Die alten Griechen beschäftigten sich eingehend mit den platonischen Körpern. Einige Quellen (wie etwa Proklos ) schreiben Pythagoras deren Entdeckung zu. Andere Hinweise deuten darauf hin, dass er möglicherweise nur mit Tetraeder, Würfel und Dodekaeder vertraut war und die Entdeckung von Oktaeder und Ikosaeder Theaitetos , einem Zeitgenossen Platons, zugeschrieben wird. In jedem Fall lieferte Theaitetos eine mathematische Beschreibung aller fünf Körper und könnte den ersten bekannten Beweis erbracht haben, dass keine weiteren konvexen regulären Polyeder existieren.

Zuordnung der Elemente in Keplers Harmonice Mundi . ^{[ 4 ]}

Die platonischen Körper spielen eine zentrale Rolle in der Philosophie Platons , ihres Namensgebers. Platon beschrieb sie im Dialog Timaios um 360 v. Chr., in dem er jedes der vier klassischen Elemente ( Erde , Luft , Wasser und Feuer ) mit einem regelmäßigen Körper in Verbindung brachte. Die Erde wurde mit dem Würfel, die Luft mit dem Oktaeder, das Wasser mit dem Ikosaeder und das Feuer mit dem Tetraeder assoziiert. Über den fünften platonischen Körper, das Dodekaeder, bemerkte Platon vage: „…der Gott benutzte [es] zur Anordnung der Sternbilder am gesamten Himmel.“ Aristoteles fügte ein fünftes Element hinzu, Äther (lateinisch: aether), und postulierte, dass der Himmel aus diesem Element bestünde. Er hatte jedoch kein Interesse daran, es mit Platons fünftem Körper in Verbindung zu bringen. ^{[ 5 ]}

Euklid beschrieb die platonischen Körper in den Elementen vollständig mathematisch . Das letzte Buch (Buch XIII) ist ihren Eigenschaften gewidmet. Die Sätze 13–17 in Buch XIII beschreiben die Konstruktion von Tetraeder, Oktaeder, Würfel, Ikosaeder und Dodekaeder in dieser Reihenfolge. Für jeden Körper bestimmt Euklid das Verhältnis des Durchmessers der Umkreiskugel zur Kantenlänge. In Satz 18 argumentiert er, dass es keine weiteren konvexen regulären Polyeder gibt. Andreas Speiser vertritt die Ansicht, dass die Konstruktion der fünf regulären Körper das Hauptziel des in den Elementen kanonisierten deduktiven Systems ist . ^{[ 6 ]} Viele Informationen in Buch XIII stammen wahrscheinlich aus dem Werk des Theaitetos.

Im 16. Jahrhundert versuchte der deutsche Astronom Johannes Kepler , die fünf damals bekannten Exoplaneten mit den fünf platonischen Körpern in Verbindung zu bringen. In seinem 1596 erschienenen Werk „Mysterium Cosmographicum“ schlug Kepler ein Modell des Sonnensystems vor , in dem die fünf Körper ineinander verschachtelt und durch eine Reihe von ein- und umschriebenen Kugeln voneinander getrennt waren. Kepler nahm an, dass die Entfernungsverhältnisse zwischen den sechs damals bekannten Planeten durch die fünf platonischen Körper erklärt werden könnten, die von einer Kugel umschlossen sind, welche die Umlaufbahn des Saturns darstellt . Jede der sechs Kugeln entsprach einem der Planeten ( Merkur , Venus , Erde , Mars , Jupiter und Saturn). Die Körper waren so angeordnet, dass das Oktaeder den innersten bildete, gefolgt vom Ikosaeder, Dodekaeder, Tetraeder und schließlich dem Würfel. Dadurch bestimmte die platonische Körper die Struktur des Sonnensystems und die Entfernungsverhältnisse zwischen den Planeten. Letztendlich musste Keplers ursprüngliche Idee verworfen werden, doch aus seinen Forschungen gingen seine drei Gesetze der Orbitaldynamik hervor . Das erste dieser Gesetze besagt, dass die Planetenbahnen Ellipsen und keine Kreise sind, was die Physik und Astronomie grundlegend veränderte. ^{[ 7 ]} Er entdeckte außerdem die Kepler-Körper , zwei nichtkonvexe, reguläre Polyeder.

Für platonische Körper mit Mittelpunkt im Ursprung sind unten einfache kartesische Koordinaten der Eckpunkte angegeben. Der griechische Buchstabe α wird verwendet, um den Goldenen Schnitt darzustellen . ${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\approx 1.6180}$

Die Koordinaten für das Tetraeder, Dodekaeder und Ikosaeder werden in zwei Positionen angegeben, sodass sich jede aus der anderen ableiten lässt: im Fall des Tetraeders durch Vorzeichenwechsel aller Koordinaten ( zentrale Symmetrie ) oder in den anderen Fällen durch Vertauschen zweier Koordinaten ( Spiegelung an einer der drei Diagonalebenen).

Diese Koordinaten offenbaren bestimmte Beziehungen zwischen den platonischen Körpern: Die Eckpunkte des Tetraeders entsprechen der Hälfte der Eckpunkte des Würfels, wie beispielsweise {4,3} oder {4,3}., eine von zwei Mengen von 4 Eckpunkten in dualen Positionen, wie h{4,3} oderBeide tetraedrischen Positionen ergeben ein zusammengesetztes sternförmiges Oktaeder .

Die Koordinaten des Ikosaeders stehen in Beziehung zu zwei alternierenden Koordinatensätzen eines ungleichmäßigen abgestumpften Oktaeders , t{3,4} oder, auch als abgestumpftes Oktaeder bezeichnet , wie s{3,4} oderund ist im Verbund zweier Ikosaeder zu sehen .

Acht der Eckpunkte des Dodekaeders sind mit denen des Würfels identisch. Durch Vervollständigung aller Orientierungen erhält man den Verbund aus fünf Würfeln .

Ein konvexer Polyeder ist genau dann ein platonischer Körper, wenn alle drei der folgenden Bedingungen erfüllt sind.

• Alle seine Flächen sind kongruente, konvexe, regelmäßige Polygone .
• Keine ihrer Flächen überschneidet sich außer an ihren Rändern.
• An jedem seiner Eckpunkte treffen sich die gleiche Anzahl an Flächen .

Jedem platonischen Körper kann daher ein Paar { p ,  q } von ganzen Zahlen zugeordnet werden, wobei p die Anzahl der Kanten (oder äquivalent dazu, Ecken) jeder Fläche und q die Anzahl der Flächen (oder äquivalent dazu, Kanten) ist, die sich an jeder Ecke treffen. Dieses Paar { p ,  q }, das sogenannte Schläfli-Symbol , liefert eine kombinatorische Beschreibung des Polyeders. Die Schläfli-Symbole der fünf platonischen Körper sind in der folgenden Tabelle aufgeführt.

Eigenschaften platonischer Körper

Polyeder		Eckpunkte	Kanten	Gesichter	Schläfli-Symbol	Vertex-Konfiguration
Regelmäßiges Tetraeder		4	6	4	{3, 3}	3.3.3
Würfel		8	12	6	{4, 3}	4.4.4
Regelmäßiges Oktaeder		6	12	8	{3, 4}	3.3.3.3
Regelmäßiges Dodekaeder		20	30	12	{5, 3}	5.5.5
Regelmäßiges Ikosaeder		12	30	20	{3, 5}	3.3.3.3.3

Alle weiteren kombinatorischen Informationen über diese Körper, wie die Gesamtzahl der Ecken ( V ), Kanten ( E ) und Flächen ( F ), können aus p und q bestimmt werden . Da jede Kante zwei Ecken verbindet und zwei angrenzende Flächen besitzt, muss gelten:

$${\displaystyle pF=2E=qV.\,}$$

Die andere Beziehung zwischen diesen Werten wird durch die Eulersche Formel beschrieben :

$${\displaystyle V-E+F=2.\,}$$

Dies lässt sich auf vielfältige Weise beweisen. Zusammen bestimmen diese drei Beziehungen vollständig V , E und F :

$${\displaystyle V={\frac {4p}{4-(p-2)(q-2)}},\quad E={\frac {2pq}{4-(p-2)(q-2)}},\quad F={\frac {4q}{4-(p-2)(q-2)}}.}$$

Durch Vertauschen von p und q werden F und V vertauscht , während E unverändert bleibt. Eine geometrische Interpretation dieser Eigenschaft findet sich im Abschnitt Duale Polyeder .

Die Elemente eines Polyeders lassen sich in einer Konfigurationsmatrix darstellen . Die Zeilen und Spalten entsprechen den Ecken, Kanten und Flächen. Die Diagonalzahlen geben an, wie oft jedes Element im gesamten Polyeder vorkommt. Die Nichtdiagonalzahlen geben an, wie oft das Element der jeweiligen Spalte im Element der jeweiligen Zeile vorkommt. Duale Polyederpaare haben um 180 Grad zueinander gedrehte Konfigurationsmatrizen. ^{[ 8 ]}

Das klassische Ergebnis besagt, dass nur fünf konvexe reguläre Polyeder existieren. Zwei gängige Argumente zeigen weiter unten, dass höchstens fünf platonische Körper existieren können; der positive Existenznachweis eines beliebigen Körpers ist jedoch eine separate Frage – eine, die eine explizite Konstruktion erfordert.

Polygonnetze um einen Knoten

{3,3} Defekt 180°	{3,4} Defekt 120°	{3,5} Defekt 60°	{3,6} Defekt 0°
{4,3} Defekt 90°	{4,4} Defekt 0°	{5,3} Defekt 36°	{6,3} Defekt 0°
Ein Eckpunkt benötigt mindestens drei Flächen und einen Winkeldefekt . Ein Winkeldefekt von 0° füllt die euklidische Ebene mit einer regelmäßigen Parkettierung. Nach dem Satz von Descartes beträgt die Anzahl der Eckpunkte 720°/ Defekt .

Das folgende geometrische Argument ist dem von Euklid in den Elementen gegebenen sehr ähnlich :

Ein rein topologischer Beweis lässt sich allein mit kombinatorischen Informationen über die Körper führen. Entscheidend ist Eulers Beobachtung , dass V  −  E  +  F  = 2, und die Tatsache, dass pF  = 2E =  qV  gilt , wobei p die Anzahl der Kanten jeder Fläche und q die Anzahl der Kanten bezeichnet, die sich an jedem Eckpunkt treffen. Durch Kombination dieser Gleichungen erhält man die Gleichung

$${\displaystyle {\frac {2E}{q}}-E+{\frac {2E}{p}}=2.}$$

Durch einfache algebraische Umformung erhält man dann

$${\displaystyle {1 \over q}+{1 \over p}={1 \over 2}+{1 \over E}.}$$

Da E strikt positiv ist, muss gelten:

$${\displaystyle {\frac {1}{q}}+{\frac {1}{p}}>{\frac {1}{2}}.}$$

Aus der Tatsache, dass p und q beide mindestens 3 sein müssen, lässt sich leicht erkennen, dass es nur fünf Möglichkeiten für { p ,  q } gibt:

Jedem platonischen Körper sind mehrere Winkel zugeordnet. Der Diederwinkel ist der Innenwinkel zwischen zwei beliebigen Flächen. Der Diederwinkel θ des Körpers { p , q } wird durch die Formel gegeben.

$${\displaystyle \sin(\theta /2)={\frac {\cos(\pi /q)}{\sin(\pi /p)}}.}$$

Dies lässt sich manchmal bequemer mithilfe der Tangente ausdrücken .

$${\displaystyle \tan(\theta /2)={\frac {\cos(\pi /q)}{\sin(\pi /h)}}.}$$

Die Größe h (die sogenannte Coxeter-Zahl ) beträgt 4, 6, 6, 10 bzw. 10 für das Tetraeder, den Würfel, das Oktaeder, das Dodekaeder bzw. das Ikosaeder.

Der Winkeldefekt an einer Ecke eines Polyeders ist die Differenz zwischen der Summe der Flächenwinkel an dieser Ecke und 2π . Der Defekt δ an einer beliebigen Ecke der platonischen Körper { p , q } ist

$${\displaystyle \delta =2\pi -q\pi \left(1-{2 \over p}\right).}$$

Nach einem Satz von Descartes ist dies gleich 4 π geteilt durch die Anzahl der Knoten (d. h. der gesamte Defekt an allen Knoten beträgt 4 π ).

Das dreidimensionale Analogon eines ebenen Winkels ist ein Raumwinkel . Der Raumwinkel Ω an der Spitze eines platonischen Körpers wird durch den Diederwinkel ausgedrückt durch

$${\displaystyle \Omega =q\theta -(q-2)\pi .\,}$$

Dies ergibt sich aus der sphärischen Exzessformel für ein sphärisches Polygon und der Tatsache, dass die Eckfigur des Polyeders { p , q } ein reguläres q -Eck ist.

Der Raumwinkel einer Fläche, die vom Mittelpunkt eines platonischen Körpers aus aufgespannt wird, entspricht dem Raumwinkel einer vollen Kugel (4π Steradiant ), geteilt durch die Anzahl der Flächen. Dies entspricht dem Winkeldefizit seines Dualkörpers.

Die verschiedenen Winkel der platonischen Körper sind in der folgenden Tabelle aufgeführt. Die numerischen Werte der Raumwinkel sind in Steradiant angegeben . Die Konstante φ = ⁠1 + √ 5/2ist der Goldene Schnitt .

Polyeder	Diederwinkel ( θ ) ​	braun ​θ/2⁠	Defekt ( δ )	Scheitelpunkt- Raumwinkel ( Ω )	Flächenwinkel​​
Tetraeder	70,53°	${\displaystyle 1 \over {\sqrt {2}}}$	${\displaystyle \pi }$	${\displaystyle \arccos \left({\frac {23}{27}}\right)\quad \approx 0.551286}$	${\displaystyle \pi }$
Würfel	90°	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle \pi \over 2}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}\quad \approx 1.57080}$	${\displaystyle 2\pi \over 3}$
Oktaeder	109,47°	${\displaystyle {\sqrt {2}}}$	${\displaystyle {2\pi } \over 3}$	${\displaystyle 4\arcsin \left({1 \over 3}\right)\quad \approx 1.35935}$	${\displaystyle \pi \over 2}$
Dodekaeder	116,57°	${\displaystyle \varphi }$	${\displaystyle \pi \over 5}$	${\displaystyle \pi -\arctan \left({\frac {2}{11}}\right)\quad \approx 2.96174}$	${\displaystyle \pi \over 3}$
Ikosaeder	138,19°	${\displaystyle \varphi ^{2}}$	${\displaystyle \pi \over 3}$	${\displaystyle 2\pi -5\arcsin \left({2 \over 3}\right)\quad \approx 2.63455}$	${\displaystyle \pi \over 5}$

Eine weitere Eigenschaft der Regelmäßigkeit ist, dass alle platonischen Körper drei konzentrische Kugeln besitzen:

• die umschriebene Kugel , die durch alle Eckpunkte verläuft,
• die Mittelkugel , die jede Kante in deren Mittelpunkt tangiert, und
• die einbeschriebene Kugel , die jede Fläche im Mittelpunkt der Fläche tangiert.

Die Radien dieser Kugeln heißen Umkreisradius , Mittelradius und Inradius . Sie entsprechen den Abständen vom Mittelpunkt des Polyeders zu den Eckpunkten, Kantenmittelpunkten bzw. Flächenmittelpunkten. Der Umkreisradius R und der Inradius r des Körpers { p ,  q } mit Kantenlänge a sind gegeben durch

$${\displaystyle {\begin{aligned}R&={\frac {a}{2}}\tan \left({\frac {\pi }{q}}\right)\tan \left({\frac {\theta }{2}}\right)\\[3pt]r&={\frac {a}{2}}\cot \left({\frac {\pi }{p}}\right)\tan \left({\frac {\theta }{2}}\right)\end{aligned}}}$$

wobei θ der Diederwinkel ist. Der Mittelradius ρ ist gegeben durch

$${\displaystyle \rho ={\frac {a}{2}}\cos \left({\frac {\pi }{p}}\right)\,{\csc }{\biggl (}{\frac {\pi }{h}}{\biggr )}}$$

wobei h die oben in der Definition des Diederwinkels verwendete Größe ist ( h = 4, 6, 6, 10 oder 10). Das Verhältnis von Umkreisradius zu Inradius ist symmetrisch in p und q .

$${\displaystyle {\frac {R}{r}}=\tan \left({\frac {\pi }{p}}\right)\tan \left({\frac {\pi }{q}}\right)={\frac {\sqrt {{\csc ^{2}}{\Bigl (}{\frac {\theta }{2}}{\Bigr )}-{\cos ^{2}}{\Bigl (}{\frac {\alpha }{2}}{\Bigr )}}}{\sin {\Bigl (}{\frac {\alpha }{2}}{\Bigr )}}}.}$$

Die Oberfläche A eines platonischen Körpers { p ,  q } lässt sich leicht als Fläche eines regelmäßigen p -Ecks multipliziert mit der Anzahl der Flächen F berechnen . Das heißt:

$${\displaystyle A={\biggl (}{\frac {a}{2}}{\biggr )}^{2}Fp\cot \left({\frac {\pi }{p}}\right).}$$

Das Volumen berechnet sich als F mal das Volumen der Pyramide , deren Grundfläche ein regelmäßiges p -Eck und deren Höhe der Inradius r ist . Das heißt,

$${\displaystyle V={\frac {1}{3}}rA.}$$

Die folgende Tabelle listet die verschiedenen Radien der platonischen Körper zusammen mit ihrer Oberfläche und ihrem Volumen auf. Die Gesamtgröße ist festgelegt, indem die Kantenlänge a gleich 2 gesetzt wird .

Polyeder, a  = 2	Radius			Oberfläche, A	Volumen
	In-, r	Mittel-, ρ	Circum-, R		V	Kanten der Einheit
Tetraeder	${\displaystyle 1 \over {\sqrt {6}}}$	${\displaystyle 1 \over {\sqrt {2}}}$	${\displaystyle {\sqrt {3 \over 2}}}$	${\displaystyle 4{\sqrt {3}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {8}}{3}}\approx 0.942809}$	${\displaystyle \approx 0.117851}$
Würfel	${\displaystyle 1\,}$	${\displaystyle {\sqrt {2}}}$	${\displaystyle {\sqrt {3}}}$	${\displaystyle 24\,}$	${\displaystyle 8\,}$	${\displaystyle 1\,}$
Oktaeder	${\displaystyle {\sqrt {2 \over 3}}}$	${\displaystyle 1\,}$	${\displaystyle {\sqrt {2}}}$	${\displaystyle 8{\sqrt {3}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {128}}{3}}\approx 3.771236}$	${\displaystyle \approx 0.471404}$
Dodekaeder	${\displaystyle {\frac {\varphi ^{2}}{\xi }}}$	${\displaystyle \varphi ^{2}}$	${\displaystyle {\sqrt {3}}\,\varphi }$	${\displaystyle 12{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}}$	${\displaystyle {\frac {20\varphi ^{3}}{\xi ^{2}}}\approx 61.304952}$	${\displaystyle \approx 7.663119}$
Ikosaeder	${\displaystyle {\frac {\varphi ^{2}}{\sqrt {3}}}}$	${\displaystyle \varphi }$	${\displaystyle \xi \varphi }$	${\displaystyle 20{\sqrt {3}}}$	${\displaystyle {\frac {20\varphi ^{2}}{3}}\approx 17.453560}$	${\displaystyle \approx 2.181695}$

Die Konstanten φ und ξ in der obigen Gleichung sind gegeben durch

$${\displaystyle \varphi =2\cos {\pi \over 5}={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}},\qquad \xi =2\sin {\pi \over 5}={\sqrt {\frac {5-{\sqrt {5}}}{2}}}={\sqrt {3-\varphi }}.}$$

Unter den platonischen Körpern können entweder das Dodekaeder oder das Ikosaeder als beste Annäherung an die Kugel angesehen werden. Das Ikosaeder besitzt die meisten Flächen und den größten Diederwinkel, umschließt die ihm einbeschriebene Kugel am engsten und weist ein Oberflächen-Volumen-Verhältnis auf, das dem einer gleich großen Kugel (entweder gleicher Oberfläche oder gleichem Volumen) am nächsten kommt. Das Dodekaeder hingegen hat den kleinsten Winkeldefekt, den größten Raumwinkel an den Ecken und füllt die ihm einbeschriebene Kugel am besten aus.

Für einen beliebigen Punkt im Raum eines platonischen Körpers mit Umkreisradius R , dessen Abstände zum Schwerpunkt des platonischen Körpers und zu seinen n Eckpunkten L bzw. d _{_i} sind,

$${\displaystyle S_{[n]}^{(2m)}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}d_{i}^{2m}}$$,

Wir haben ^{[ 9 ]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}S_{[4]}^{(2)}=S_{[6]}^{(2)}=S_{[8]}^{(2)}=S_{[12]}^{(2)}=S_{[20]}^{(2)}&=R^{2}+L^{2},\\[4px]S_{[4]}^{(4)}=S_{[6]}^{(4)}=S_{[8]}^{(4)}=S_{[12]}^{(4)}=S_{[20]}^{(4)}&=\left(R^{2}+L^{2}\right)^{2}+{\frac {4}{3}}R^{2}L^{2},\\[4px]S_{[6]}^{(6)}=S_{[8]}^{(6)}=S_{[12]}^{(6)}=S_{[20]}^{(6)}&=\left(R^{2}+L^{2}\right)^{3}+4R^{2}L^{2}\left(R^{2}+L^{2}\right),\\[4px]S_{[12]}^{(8)}=S_{[20]}^{(8)}&=\left(R^{2}+L^{2}\right)^{4}+8R^{2}L^{2}\left(R^{2}+L^{2}\right)^{2}+{\frac {16}{5}}R^{4}L^{4},\\[4px]S_{[12]}^{(10)}=S_{[20]}^{(10)}&=\left(R^{2}+L^{2}\right)^{5}+{\frac {40}{3}}R^{2}L^{2}\left(R^{2}+L^{2}\right)^{3}+16R^{4}L^{4}\left(R^{2}+L^{2}\right).\end{aligned}}}$$ Für alle fünf platonischen Körper gilt ^{[ 9 ]}

$${\displaystyle S_{[n]}^{(4)}+{\frac {16}{9}}R^{4}=\left(S_{[n]}^{(2)}+{\frac {2}{3}}R^{2}\right)^{2}.}$$

Sind d _i die Abstände von den n Eckpunkten des platonischen Körpers zu einem beliebigen Punkt auf seiner Umkreissphäre, dann ^{[ 9 ]}

$${\displaystyle 4\left(\sum _{i=1}^{n}d_{i}^{2}\right)^{2}=3n\sum _{i=1}^{n}d_{i}^{4}.}$$

Ein Polyeder P besitzt die Rupert-Eigenschaft , wenn ein Polyeder gleicher oder größerer Größe und gleicher Form wie P durch ein Loch in P passt . ^{[ 10 ]} Alle fünf platonischen Körper besitzen diese Eigenschaft. ^{[ 10 ] [ 11 ] [ 12 ]}

Dual-Compounds

Jedes Polyeder besitzt ein duales (oder „polares“) Polyeder, bei dem Flächen und Ecken vertauscht sind . Das Dual jedes platonischen Körpers ist wieder ein platonischer Körper, sodass wir die fünf Körper in duale Paare anordnen können.

• Das Tetraeder ist selbstdual (d. h. sein Dual ist ein anderes Tetraeder).
• Der Würfel und das Oktaeder bilden ein duales Paar.
• Das Dodekaeder und das Ikosaeder bilden ein duales Paar.

Besitzt ein Polyeder das Schläfli-Symbol { p ,  q }, so besitzt sein Dual das Symbol { q ,  p }. Tatsächlich lässt sich jede kombinatorische Eigenschaft eines platonischen Körpers als eine weitere kombinatorische Eigenschaft des Duals interpretieren.

Man kann das duale Polyeder konstruieren, indem man die Eckpunkte des dualen Polyeders als Mittelpunkte der Flächen des ursprünglichen Polyeders wählt. Verbindet man die Mittelpunkte benachbarter Flächen des ursprünglichen Polyeders, so entstehen die Kanten des dualen Polyeders. Dadurch vertauscht man die Anzahl der Flächen und Eckpunkte, während die Anzahl der Kanten erhalten bleibt.

Allgemeiner lässt sich ein platonischer Körper bezüglich einer konzentrischen Kugel mit Radius d dualisieren . Die Radien ( R ,  ρ ,  r ) eines Körpers und die seines Duals ( R *,  ρ *,  r *) sind wie folgt verknüpft:

$${\displaystyle d^{2}=R^{\ast }r=r^{\ast }R=\rho ^{\ast }\rho .}$$

Die Dualisierung bezüglich der Mittelkugel ( d  =  ρ ) ist oft zweckmäßig ^, da die Mittelkugel zu beiden Polyedern die gleiche Beziehung aufweist. Setzt man d²  =  Rr , so erhält man einen dualen Körper mit gleichem Umkreisradius und Inradius (d. h. R * =  R und r * =  r ).

In der Mathematik wird der Begriff der Symmetrie mithilfe mathematischer Gruppen untersucht . Jedem Polyeder ist eine Symmetriegruppe zugeordnet , die die Menge aller Transformationen ( euklidische Isometrien ) ist, welche das Polyeder invariant lassen. Die Ordnung der Symmetriegruppe entspricht der Anzahl der Symmetrien des Polyeders. Man unterscheidet häufig zwischen der vollen Symmetriegruppe , die Spiegelungen umfasst , und der eigentlichen Symmetriegruppe , die nur Drehungen enthält .

Die Symmetriegruppen der platonischen Körper bilden eine spezielle Klasse dreidimensionaler Punktgruppen, die als Polyedergruppen bekannt sind . Der hohe Symmetriegrad der platonischen Körper lässt sich auf verschiedene Weisen interpretieren. Besonders wichtig ist, dass die Ecken jedes Körpers unter der Wirkung der Symmetriegruppe äquivalent sind, ebenso wie die Kanten und Flächen. Man sagt, die Wirkung der Symmetriegruppe sei transitiv auf Ecken, Kanten und Flächen. Tatsächlich ist dies eine andere Möglichkeit, die Regularität eines Polyeders zu definieren: Ein Polyeder ist genau dann regulär , wenn es ecken- , kanten- und flächenuniform ist .

Den platonischen Körpern sind nur drei statt fünf Symmetriegruppen zugeordnet, da die Symmetriegruppe eines jeden Polyeders mit der seines Duals übereinstimmt. Dies lässt sich leicht durch die Konstruktion des dualen Polyeders erkennen. Jede Symmetrie des ursprünglichen Polyeders ist auch eine Symmetrie des dualen Polyeders und umgekehrt. Die drei Polyedergruppen sind:

• die tetraedrische Gruppe T ,
• die Oktaedergruppe O (die auch die Symmetriegruppe des Würfels ist), und
• die ikosaedrische Gruppe I (die auch die Symmetriegruppe des Dodekaeders ist).

Die Ordnungen der eigentlichen (Rotations-)Gruppen sind 12, 24 bzw. 60 – genau das Doppelte der Kantenzahl der jeweiligen Polyeder. Die Ordnungen der vollen Symmetriegruppen sind nochmals doppelt so hoch (24, 48 und 120). Eine Herleitung dieser Tatsachen findet sich bei Coxeter (1973). Alle platonischen Körper außer dem Tetraeder sind zentralsymmetrisch, d. h., sie bleiben bei Spiegelung am Ursprung erhalten .

Die folgende Tabelle listet die verschiedenen Symmetrieeigenschaften der platonischen Körper auf. Die aufgeführten Symmetriegruppen sind die vollständigen Gruppen, wobei die Rotationsuntergruppen in Klammern angegeben sind (ebenso die Anzahl der Symmetrien). Die Wythoffsche Kaleidoskop-Konstruktion ist eine Methode, um Polyeder direkt aus ihren Symmetriegruppen zu konstruieren. Zur Veranschaulichung ist das Wythoffsche Symbol für jeden platonischen Körper angegeben.

Polyeder	Schläfli -Symbol	Wythoff -Symbol	Doppelpolyeder​	Symmetriegruppe (Spiegelung, Drehung)
				Polyedrisch	Schön.	Cox.	Orb.	Befehl
Tetraeder	{3, 3}	3 | 2 3	Tetraeder	Tetraedrisch	T d T	[3,3] [3,3] +	*332 332	24 12
Würfel	{4, 3}	3 | 2 4	Oktaeder	Oktaedrisch	Oh O​	[4,3] [4,3] +	*432 432	48 24
Oktaeder	{3, 4}	4 | 2 3	Würfel
Dodekaeder	{5, 3}	3 | 2 5	Ikosaeder	Ikosaedrisch	Ich h I	[5,3] [5,3] +	*532 532	120 60
Ikosaeder	{3, 5}	5 | 2 3	Dodekaeder

Tetraeder, Würfel und Oktaeder kommen in der Natur in Kristallstrukturen vor . Dies ist jedoch bei Weitem nicht die einzige Möglichkeit, Kristallformen zu bilden. Weder das reguläre Ikosaeder noch das reguläre Dodekaeder gehören dazu. Eine dieser Formen, das Pyritoeder (benannt nach der Mineralgruppe, für die es typisch ist), besitzt zwölf fünfeckige Flächen, die im gleichen Muster wie die Flächen des regulären Dodekaeders angeordnet sind. Da die Flächen des Pyritoeders jedoch nicht regelmäßig sind, ist auch das Pyritoeder selbst nicht regelmäßig. Allotrope des Bors und viele Borverbindungen , wie beispielsweise Borcarbid , enthalten diskrete B_₁₂-Ikosaeder in ihren Kristallstrukturen. Auch Carboransäuren weisen Molekülstrukturen auf, die regulären Ikosaedern ähneln.

Anfang des 20. Jahrhunderts beschrieb Ernst Haeckel eine Reihe von Radiolarienarten , deren Skelette teilweise die Form verschiedener regelmäßiger Polyeder aufweisen. Beispiele hierfür sind Circoporus octahedrus , Circogonia icosahedra , Lithocubus geometricus und Circorrhegma dodecahedra . Die Formen dieser Lebewesen lassen sich bereits aus ihren Namen erahnen. ^{[ 13 ]}

Viele Viren , wie beispielsweise das Herpesvirus ^{[ 14 ]} , besitzen die Form eines regelmäßigen Ikosaeders. Virusstrukturen bestehen aus sich wiederholenden, identischen Proteinuntereinheiten , und das Ikosaeder ist die am einfachsten aus diesen Untereinheiten zusammenzusetzende Form. Ein regelmäßiges Polyeder wird verwendet, da es aus einer einzigen, immer wieder verwendeten Grundeinheit aufgebaut werden kann; dies spart Platz im viralen Genom .

In Meteorologie und Klimatologie gewinnen globale numerische Modelle der atmosphärischen Strömung zunehmend an Bedeutung. Diese verwenden geodätische Gitter , die auf einem Ikosaeder (verfeinert durch Triangulation ) basieren, anstelle des üblicherweise verwendeten Längen- / Breitengitters . Dies bietet den Vorteil einer gleichmäßigen räumlichen Auflösung ohne Singularitäten (z. B. an den Polen), geht jedoch mit einem etwas höheren numerischen Aufwand einher.

Die Geometrie von Raumfachwerken basiert häufig auf platonischen Körpern. Im MERO-System werden platonische Körper zur Benennung verschiedener Raumfachwerkkonfigurationen verwendet. Zum Beispiel :1/2O +T bezeichnet eine Konfiguration, die aus einer Hälfte eines Oktaeders und einem Tetraeder besteht.

Es wurden mehrere platonische Kohlenwasserstoffe synthetisiert, darunter Cuban und Dodekaedran .

• 
  Tetrahedran
• 
  Cubane
• 
  Dodekaeder

Für die Zwischenphase des Materials , die als Flüssigkristalle bezeichnet wird , wurde die Existenz solcher Symmetrien erstmals 1981 von H. Kleinert und K. Maki vorgeschlagen. ^{[ 15 ] [ 16 ]} In Aluminium wurde die ikosaedrische Struktur drei Jahre später von Dan Shechtman entdeckt, wofür er 2011 den Nobelpreis für Chemie erhielt.

Platonische Körper werden oft zur Herstellung von Würfeln verwendet , da Würfel dieser Form fair gefertigt werden können . Sechsseitige Würfel sind sehr verbreitet, aber auch Würfel mit anderen Seitenzahlen werden häufig in Rollenspielen verwendet. Solche Würfel werden üblicherweise als d _n bezeichnet, wobei n die Anzahl der Seiten angibt (z. B. W8, W20 usw.); siehe Würfelnotation für weitere Details.

Diese Formen tauchen häufig in anderen Spielen oder Puzzles auf. Puzzles, die dem Zauberwürfel ähneln, gibt es in allen fünf Formen – siehe magische Polyeder .

Magische Polyeder

Architekten gefiel die Idee von Platons zeitlosen Formen , die die Seele in den Objekten der materiellen Welt erkennen kann, doch sie wandelten diese Formen in für den Bau geeignetere Formen um: Kugel , Zylinder , Kegel und quadratische Pyramide . ^{[ 17 ]} Insbesondere Étienne-Louis Boullée , einer der führenden Vertreter des Neoklassizismus , beschäftigte sich intensiv mit der architektonischen Interpretation der „platonischen Körper“. ^{[ 18 ]}

• 
  Ikosaeder als Teil des Spinoza -Denkmals in Amsterdam
• 
  Solarwürfel im Discovery Cube Orange County
• 
  Oktaeder im Bau in Österreich
• 
  Tetraeder in Bottrop
• 
  Dodekaeder in Budapest

Es existieren vier reguläre Polyeder, die nicht konvex sind und Kepler-Poinsot-Polyeder genannt werden . Diese besitzen alle ikosaedrische Symmetrie und können als Sternbildungen des Dodekaeders und des Ikosaeders gewonnen werden .

Kuboktaeder

Ikosidodekaeder

Die nächsthäufigsten konvexen Polyeder nach den platonischen Körpern sind das Kuboktaeder , eine Rektifizierung des Würfels und des Oktaeders, und das Ikosidodekaeder , eine Rektifizierung des Dodekaeders und des Ikosaeders (die Rektifizierung des selbstdualen Tetraeders ist ein reguläres Oktaeder). Beide sind quasi-regulär , d. h. sie sind kanten- und eckenuniform und haben reguläre Flächen, die jedoch nicht alle kongruent sind (sie gehören zwei verschiedenen Klassen an). Sie bilden zwei der dreizehn archimedischen Körper , die konvexen uniformen Polyeder mit Polyedersymmetrie. Ihre Duale, das rhombische Dodekaeder und das rhombische Triakontaeder , sind kanten- und flächentransitiv, aber ihre Flächen sind nicht regulär und ihre Ecken treten jeweils in zwei Typen auf. Sie sind zwei der dreizehn katalanischen Feststoffe .

Die uniformen Polyeder bilden eine wesentlich größere Klasse von Polyedern. Diese Figuren sind eckenuniform und besitzen eine oder mehrere Arten von regelmäßigen Polygonen oder Sternpolygonen als Flächen. Dazu gehören alle oben genannten Polyeder sowie eine unendliche Menge von Prismen , eine unendliche Menge von Antiprismen und 53 weitere nicht-konvexe Formen.

Die Johnson-Körper sind konvexe Polyeder mit regelmäßigen, aber nicht uniformen Flächen. Fünf der acht konvexen Deltaeder gehören zu ihnen . Diese besitzen identische, regelmäßige Flächen (allesamt gleichseitige Dreiecke), sind aber nicht uniform. (Die anderen drei konvexen Deltaeder sind das platonische Tetraeder, Oktaeder und Ikosaeder.)

Regelmäßige sphärische Parkettierungen

platonisch
{3,3}	{4,3}	{3,4}	{5,3}	{3,5}
Regelmäßiger Dieder
{2,2}	{3,2}	{4,2}	{5,2}	{6,2}...
Regelmäßige Hosoeder
{2,2}	{2,3}	{2,4}	{2,5}	{2,6}...

Die drei regulären Parkettierungen der Ebene stehen in engem Zusammenhang mit den platonischen Körpern. Man kann die platonischen Körper tatsächlich als reguläre Parkettierungen der Kugel betrachten . Dies geschieht durch die Projektion jedes Körpers auf eine konzentrische Kugel. Die Projektionsflächen ergeben reguläre Kugelpolygone , die die Kugel vollständig überdecken. Kugelparkettierungen liefern zwei unendlich viele weitere Mengen regulärer Parkettierungen: die Hosoeder {2, n } mit zwei Eckpunkten an den Polen und Mondflächen sowie die dualen Dieder { n , 2} mit zwei halbkugelförmigen Flächen und regelmäßig angeordneten Eckpunkten auf dem Äquator. Solche Parkettierungen wären im dreidimensionalen Raum als Polyeder entartet.

Jede regelmäßige Parkettierung der Kugel wird durch ein Paar ganzer Zahlen { p ,  q } charakterisiert mit ⁠1/P+ ​ ​1/Q> ​ ​1/2. Ebenso ist eine regelmäßige Parkettierung der Ebene durch die Bedingung gekennzeichnet .1/P+ ​ ​1/Q⁠  =  ⁠1/2Es gibt drei Möglichkeiten:

Die drei regulären Parkettierungen der euklidischen Ebene

{4, 4}	{3, 6}	{6, 3}

In ähnlicher Weise lassen sich regelmäßige Parkettierungen der hyperbolischen Ebene betrachten . Diese sind durch die Bedingung ⁠ charakterisiert.1/P+ ​ ​1/Q⁠  <  ⁠1/2Es gibt eine unendliche Familie solcher Parkettierungen.

Beispiele für regelmäßige Parkettierungen der hyperbolischen Ebene

{5, 4}	{4, 5}	{7, 3}	{3, 7}

In mehr als drei Dimensionen lassen sich Polyeder zu Polytopen verallgemeinern , wobei höherdimensionale konvexe reguläre Polytope die Äquivalente der dreidimensionalen platonischen Körper sind.

Mitte des 19. Jahrhunderts entdeckte der Schweizer Mathematiker Ludwig Schläfli die vierdimensionalen Analoga der platonischen Körper, die sogenannten konvexen regulären 4-Polytope . Es gibt genau sechs dieser Figuren; fünf davon sind analog zu den platonischen Körpern: der 5-Zellen -Polytop {3,3,3}, der 16-Zellen -Polytop {3,3,4}, der 600-Zellen -Polytop {3,3,5}, der Tesserakt {4,3,3} und der 120-Zellen -Polytop {5,3,3}. Die sechste Figur ist der selbstduale 24-Zellen -Polytop {3,4,3}.

In allen Dimensionen höher als vier existieren nur drei konvexe reguläre Polytope: das Simplex {3,3,...,3}, der Hyperwürfel {4,3,...,3} und das Kreuzpolytop {3,3,...,4}. ^{[ 19 ]} In drei Dimensionen stimmen diese mit dem Tetraeder {3,3}, dem Würfel {4,3} und dem Oktaeder {3,4} überein.

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