Algebraic structure

In mathematics, an algebraic structure or algebraic system^[1] consists of a nonempty setA (called the underlying set, carrier set or domain), a collection of operations on A (typically binary operations such as addition and multiplication), and a finite set of identities (known as axioms) that these operations must satisfy.

An algebraic structure may be based on other algebraic structures with operations and axioms involving several structures. For instance, a vector space involves a second structure called a field, and an operation called scalar multiplication between elements of the field (called scalars), and elements of the vector space (called vectors).

Abstract algebra is the name that is commonly given to the study of algebraic structures. The general theory of algebraic structures has been formalized in universal algebra. Category theory is another formalization that includes other mathematical structures and functions between structures of the same type (homomorphisms).

In universal algebra, an algebraic structure is called an algebra;^[2] this term may be ambiguous, since, in other contexts, an algebra is an algebraic structure that is a vector space over a field or a module over a commutative ring.

The collection of all structures of a given type (same operations and same laws) is called a variety in universal algebra; this term is also used with a completely different meaning in algebraic geometry, as an abbreviation of algebraic variety. In category theory, the collection of all structures of a given type and homomorphisms between them form a concrete category.

Addition and multiplication are prototypical examples of operations that combine two elements of a set to produce a third element of the same set. These operations obey several algebraic laws. For example, a + (b + c) = (a + b) + c and a(bc) = (ab)c are associative laws, and a + b = b + a and ab = ba are commutative laws. Many systems studied by mathematicians have operations that obey some, but not necessarily all, of the laws of ordinary arithmetic. For example, the possible moves of an object in three-dimensional space can be combined by performing a first move of the object, and then a second move from its new position. Such moves, formally called rigid motions, obey the associative law, but fail to satisfy the commutative law.

Sets with one or more operations that obey specific laws are called algebraic structures. When a new problem involves the same laws as such an algebraic structure, all the results that have been proved using only the laws of the structure can be directly applied to the new problem.

In full generality, algebraic structures may involve an arbitrary collection of operations, including operations that combine more than two elements (higher arity operations) and operations that take only one argument (unary operations) or even zero arguments (nullary operations). The examples listed below are by no means a complete list, but include the most common structures taught in undergraduate courses.

Ein Axiom einer algebraischen Struktur hat oft die Form einer Identität , d. h. einer Gleichung , deren beide Seiten des Gleichheitszeichens Ausdrücke sind , die Operationen der algebraischen Struktur und Variablen enthalten . Ersetzt man die Variablen in der Identität durch beliebige Elemente der algebraischen Struktur, bleibt die Gleichung bestehen. Hier einige gängige Beispiele.

Kommutativität

Eine Operation heißt kommutativ, wenn für jedes x und y in der algebraischen Struktur gilt:${\displaystyle *}$$${\displaystyle x*y=y*x}$$

Assoziativität

Eine Operation heißt assoziativ , wenn für jedes x , y und z in der algebraischen Struktur gilt:${\displaystyle *}$$${\displaystyle (x*y)*z=x*(y*z)}$$

Linksdistributivität

Eine Operation ist linksdistributiv bezüglich einer anderen Operation, wenn für alle x , y und z in der algebraischen Struktur gilt (die zweite Operation wird hier mit bezeichnet , da die zweite Operation in vielen gängigen Beispielen die Addition ist).${\displaystyle *}$${\displaystyle +}$$${\displaystyle x*(y+z)=(x*y)+(x*z)}$$${\displaystyle +}$

Rechtmäßige Verteilung

Eine Operation heißt rechtsdistributiv bezüglich einer anderen Operation, wenn für jedes x , y und z in der algebraischen Struktur gilt:${\displaystyle *}$${\displaystyle +}$$${\displaystyle (y+z)*x=(y*x)+(z*x)}$$

Distributivität

Eine Operation heißt distributiv bezüglich einer anderen Operation , wenn sie sowohl links- als auch rechtsdistributiv ist. Ist die Operation kommutativ, so sind sowohl links- als auch rechtsdistributiv äquivalent zur Distributivität.${\displaystyle *}$${\displaystyle +}$${\displaystyle *}$

Manche gängige Axiome enthalten eine Existenzklausel . Im Allgemeinen lässt sich eine solche Klausel vermeiden, indem man weitere Operationen einführt und die Existenzklausel durch eine Identität ersetzt, die die neue Operation beinhaltet. Betrachten wir beispielsweise ein Axiom der Form „Für alle X gibt es ein y , sodass … “, wobei X ein k - Tupel von Variablen ist. Die Wahl eines bestimmten Wertes von y für jeden Wert von X definiert eine Funktion , die als Operation der Stelligkeit k interpretiert werden kann , und das Axiom wird zur Identität …${\displaystyle f(X,y)=g(X,y)}$${\displaystyle \varphi :X\mapsto y,}$${\displaystyle f(X,\varphi (X))=g(X,\varphi (X)).}$

Die Einführung einer solchen Hilfsoperation verkompliziert zwar die Formulierung eines Axioms geringfügig, bietet aber auch Vorteile. Bei einer gegebenen algebraischen Struktur besteht der Beweis der Gültigkeit eines Existenzaxioms im Allgemeinen aus der Definition der Hilfsfunktion und den dazugehörigen einfachen Verifikationen. Auch bei Berechnungen in einer algebraischen Struktur werden die Hilfsoperationen üblicherweise explizit verwendet. Beispielsweise liefert die unäre Minusoperation im Fall von Zahlen das additive Inverse .${\displaystyle x\mapsto -x.}$

In der universellen Algebra ist eine Varietät eine Klasse algebraischer Strukturen, die dieselben Operationen und Axiome gemeinsam haben, wobei alle Axiome Identitäten sind. Wie vorhergesagt, werden Existenzaxiome der obigen Form in der Definition einer Varietät akzeptiert.

Hier sind einige der gebräuchlichsten Existenzaxiome.

Identitätselement

Eine binäre Operation besitzt ein neutrales Element, wenn es ein Element e gibt , sodass für alle x in der Struktur gilt: . Hierbei ist die Hilfsoperation die Operation mit der Stelligkeit Null, die e als Ergebnis liefert.${\displaystyle *}$$${\displaystyle x*e=x\quad {\text{und}}\quad e*x=x}$$

Inverses Element

Bei einer binären Operation mit einem neutralen Element e ist ein Element x invertierbar , wenn es ein inverses Element besitzt, d. h. wenn es ein Element gibt, sodass e = e. Eine Gruppe ist beispielsweise eine algebraische Struktur mit einer binären Operation, die assoziativ ist, ein neutrales Element besitzt und deren Elemente alle invertierbar sind.${\displaystyle *}$${\displaystyle \operatorname {inv} (x)}$$${\displaystyle \operatorname {inv} (x)*x=e\quad {\text{und}}\quad x*\operatorname {inv} (x)=e.}$$

Die Axiome einer algebraischen Struktur können beliebige Formeln erster Stufe sein , d. h. Formeln, die logische Verknüpfungen (wie „und“ , „oder“ und „nicht“ ) und logische Quantoren ( ) enthalten, die auf Elemente (nicht auf Teilmengen) der Struktur angewendet werden. ${\displaystyle \forall ,\exists }$

Ein solches typisches Axiom ist die Inversion in Körpern . Dieses Axiom lässt sich nicht auf Axiome vorhergehender Typen reduzieren. (Daraus folgt, dass Körper keine Varietät im Sinne der universellen Algebra bilden .) Es lässt sich formulieren: „Jedes von Null verschiedene Element eines Körpers ist invertierbar .“ Oder äquivalent dazu: Die Struktur besitzt eine unäre Operation inv, sodass

${\displaystyle \forall x,\quad x=0\quad {\text{or}}\quad x\cdot \operatorname {inv} (x)=1.}$

Die Operation inv kann entweder als partielle Operation betrachtet werden, die für x = 0 nicht definiert ist , oder als gewöhnliche Funktion, deren Wert bei 0 beliebig ist und nicht verwendet werden darf.

Einfache Strukturen : keine Binäroperation :

• Menge : eine entartete algebraische Struktur S ohne Operationen.

Gruppenartige Strukturen : eine binäre Operation. Die binäre Operation kann durch ein beliebiges Symbol oder ohne Symbol (Nebeneinanderstellung) dargestellt werden, wie es bei der gewöhnlichen Multiplikation reeller Zahlen üblich ist.

• Gruppe : ein Monoid mit einer unären Operation (Inversen), die zu inversen Elementen führt .
• Abelsche Gruppe : eine Gruppe, deren binäre Operation kommutativ ist .

Ringartige Strukturen oder Ringoide : zwei binäre Operationen, oft Addition und Multiplikation genannt , wobei die Multiplikation über die Addition distributiv ist .

• Ring : ein Halbring, dessen additives Monoid eine abelsche Gruppe ist.
• Divisionsring : ein nichttrivialer Ring, in dem die Division durch von Null verschiedene Elemente definiert ist.
• Kommutativer Ring : ein Ring, in dem die Multiplikation kommutativ ist.
• Körper : ein kommutativer Schiefkörper (d. h. ein kommutativer Ring, der für jedes von Null verschiedene Element ein multiplikatives Inverses enthält).

Gitterstrukturen : zwei oder mehr binäre Operationen, einschließlich der Operationen „ Treffen“ und „Verbinden“ , die durch das Absorptionsgesetz miteinander verbunden sind . ^{[ 3 ]}

• Vollständiger Verband : ein Verband, in dem beliebige Schnitte und Verbindungen existieren.
• Beschränkter Verband : ein Verband mit einem größten und einem kleinsten Element.
• Distributiver Verband : Ein Verband, in dem jede Schnittmenge und jede Vereinigung die andere distributiv verteilt . Eine Potenzmenge bildet unter Vereinigung und Schnittmenge einen distributiven Verband.
• Boolesche Algebra : ein komplementierter distributiver Verband. Sowohl „meet“ als auch „join“ lassen sich durch die jeweils andere und durch Komplementierung definieren.

• Modul : Eine abelsche Gruppe M und ein Ring R, die als Operatoren auf M wirken . Die Elemente von R werden auch Skalare genannt , und die binäre Operation der Skalarmultiplikation ist eine Funktion R  ×  M → M , die mehrere Axiome erfüllt. Zählt man die Ringoperationen, so besitzen diese Systeme mindestens drei Operationen.
• Vektorraum : ein Modul, in dem der Ring R ein Körper oder, in bestimmten Kontexten, ein Schiefkörper ist .

• Algebra über einem Körper : ein Modul über einem Körper, der auch eine Multiplikationsoperation enthält, die mit der Modulstruktur kompatibel ist. Dies beinhaltet Distributivität bezüglich der Addition und Linearität bezüglich der Multiplikation.
• Innenproduktraum : ein Körper F und ein Vektorraum V mit einer bestimmten Bilinearform V × V → F.

Algebraische Strukturen können auch mit zusätzlichen Strukturen nicht-algebraischer Natur, wie etwa partiellen Ordnungen oder Topologien , koexistieren . Die zusätzlichen Strukturen müssen in gewisser Hinsicht mit den algebraischen Strukturen kompatibel sein.

• Topologische Gruppe : eine Gruppe mit einer Topologie, die mit der Gruppenoperation kompatibel ist.
• Lie-Gruppe : eine topologische Gruppe mit einer kompatiblen glatten Mannigfaltigkeitsstruktur .
• Geordnete Gruppen , geordnete Ringe und geordnete Körper : jeweils eine Struktur mit einer kompatiblen partiellen Ordnung .
• Archimedische Gruppe : eine linear geordnete Gruppe, für die die archimedische Eigenschaft gilt.
• Topologischer Vektorraum : ein Vektorraum, dessen M eine kompatible Topologie besitzt.
• Normierter Vektorraum : ein Vektorraum mit einer kompatiblen Norm . Ist ein solcher Raum vollständig (wie ein metrischer Raum), so wird er Banachraum genannt .
• Hilbertraum : ein innerer Produktraum über den reellen oder komplexen Zahlen, dessen inneres Produkt eine Banachraumstruktur erzeugt.
• Vertexoperatoralgebra
• Von-Neumann-Algebra : eine *-Algebra von Operatoren auf einem Hilbertraum, ausgestattet mit der schwachen Operatortopologie .

Algebraische Strukturen werden durch verschiedene Axiomenkonfigurationen definiert . Die universelle Algebra untersucht solche Objekte abstrakt. Eine wichtige Dichotomie besteht zwischen Strukturen, die vollständig durch Identitäten axiomatisiert sind , und solchen, die dies nicht sind. Sind alle Axiome, die eine Klasse von Algebren definieren, Identitäten, so ist diese Klasse eine Varietät (nicht zu verwechseln mit algebraischen Varietäten der algebraischen Geometrie ).

Identitäten sind Gleichungen, die ausschließlich mit den durch die Struktur erlaubten Operationen und stillschweigend über dem relevanten Universum quantifizierten Variablen formuliert werden . Identitäten enthalten keine Konnektive , existentiell quantifizierten Variablen oder Relationen jeglicher Art außer den erlaubten Operationen. Die Untersuchung von Varietäten ist ein wichtiger Bestandteil der universellen Algebra . Eine algebraische Struktur in einer Varietät kann als Quotientenalgebra der Termalgebra (auch „absolut freie Algebra “ genannt) dividiert durch die von einer Menge von Identitäten erzeugten Äquivalenzrelationen verstanden werden. So erzeugt eine Menge von Funktionen mit gegebenen Signaturen eine freie Algebra, die Termalgebra T. Gegeben eine Menge von Gleichungsidentitäten (den Axiomen), kann man deren symmetrischen, transitiven Abschluss E betrachten . Die Quotientenalgebra T / E ist dann die algebraische Struktur oder Varietät. Gruppen besitzen beispielsweise eine Signatur mit zwei Operatoren: dem Multiplikationsoperator m mit zwei Argumenten und dem inversen Operator i mit einem Argument sowie dem neutralen Element e , einer Konstanten, die als Operator ohne Argumente betrachtet werden kann. Gegeben eine (abzählbare) Menge von Variablen x , y , z usw., ist die Termalgebra die Menge aller möglichen Terme, die m , i , e und die Variablen enthalten ; so wäre beispielsweise m ( i ( x ), m ( x , m ( y , e ))) ein Element der Termalgebra. Eines der Axiome, die eine Gruppe definieren, ist das neutrale Element m ( x , i ( x )) = e ; ein weiteres ist m ( x , e ) = x . Die Axiome lassen sich als Bäume darstellen . Diese Gleichungen induzieren Äquivalenzklassen auf der freien Algebra; die Quotientenalgebra besitzt dann die algebraische Struktur einer Gruppe.

Manche Strukturen bilden keine Varietäten, weil entweder:

1. Es ist notwendig, dass 0 ≠ 1, wobei 0 das neutrale Element der Addition und 1 das neutrale Element der Multiplikation ist, aber dies ist eine Nicht-Identität;
2. Strukturen wie Körper haben einige Axiome, die nur für von Null verschiedene Elemente von S gelten . Damit eine algebraische Struktur eine Varietät ist, müssen ihre Operationen für alle Elemente von S definiert sein ; es darf keine partiellen Operationen geben.

Strukturen, deren Axiome zwangsläufig Nicht-Identitäten enthalten, gehören zu den wichtigsten in der Mathematik, z. B. Körper und Schiefkörper . Strukturen mit Nicht-Identitäten stellen Herausforderungen dar, die bei Varietäten nicht auftreten. Beispielsweise ist das direkte Produkt zweier Körper kein Körper, da , aber Körper keine Nullteiler besitzen . ${\displaystyle (1,0)\cdot (0,1)=(0,0)}$

Die Kategorientheorie ist ein weiteres Werkzeug zur Untersuchung algebraischer Strukturen (siehe z. B. Mac Lane 1998). Eine Kategorie ist eine Menge von Objekten mit zugehörigen Morphismen. Jede algebraische Struktur besitzt einen eigenen Begriff von Homomorphismus , d. h. jede Funktion, die mit den die Struktur definierenden Operationen kompatibel ist. Auf diese Weise erzeugt jede algebraische Struktur eine Kategorie . Beispielsweise enthält die Kategorie der Gruppen alle Gruppen als Objekte und alle Gruppenhomomorphismen als Morphismen. Diese konkrete Kategorie kann als eine Kategorie von Mengen mit zusätzlicher kategorientheoretischer Struktur betrachtet werden . Ebenso ist die Kategorie der topologischen Gruppen (deren Morphismen die stetigen Gruppenhomomorphismen sind) eine Kategorie topologischer Räume mit zusätzlicher Struktur. Ein Vergissfunktor zwischen Kategorien algebraischer Strukturen „vergisst“ einen Teil einer Struktur.

Es gibt verschiedene Konzepte in der Kategorientheorie, die versuchen, den algebraischen Charakter eines Kontextes zu erfassen, zum Beispiel

• algebraische Kategorie
• im Wesentlichen algebraische Kategorie
• vorzeigbare Kategorie
• lokal präsentable Kategorie
• monadische Funktoren und Kategorien
• universelle Eigenschaft .

In einer etwas ungenauen Notation kann der Begriff „Struktur“ auch nur die Operationen auf einer Struktur bezeichnen, anstatt die zugrundeliegende Menge selbst. Beispielsweise bedeutet der Satz „Wir haben eine Ringstruktur auf der Menge definiert“, dass wir Ringoperationen auf der Menge definiert haben . Ein weiteres Beispiel : Die Gruppe kann als eine Menge betrachtet werden, die mit einer algebraischen Struktur, nämlich der Operation , ausgestattet ist . ${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle (\mathbb {Z} ,+)}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle +}$

• Freies Objekt
• Mathematische Struktur
• Signatur (Logik)
• Struktur (mathematische Logik)

• Mac Lane, Saunders ; Birkhoff, Garrett (1999), Algebra (2. Aufl.), AMS Chelsea, ISBN 978-0-8218-1646-2
• Michel, Anthony N.; Herget, Charles J. (1993), Angewandte Algebra und Funktionalanalysis , New York: Dover Publications , ISBN 978-0-486-67598-5
• Burris, Stanley N.; Sankappanavar, HP (1981), A Course in Universal Algebra , Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-90578-3

Kategorientheorie

• Mac Lane, Saunders (1998), Kategorien für den arbeitenden Mathematiker (2. Aufl.), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-98403-2
• Taylor, Paul (1999), Praktische Grundlagen der Mathematik , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-63107-5

• Jipsens Algebrastrukturen. Beinhaltet viele hier nicht erwähnte Strukturen.
• Mathworld -Seite über abstrakte Algebra.
• Stanford Encyclopedia of Philosophy : Algebra von Vaughan Pratt .