Von-Neumann-Algebra

In der Mathematik ist eine von-Neumann-Algebra oder W*-Algebra eine *-Algebra beschränkter Operatoren auf einem Hilbertraum , die in der schwachen Operatortopologie abgeschlossen ist und den Identitätsoperator enthält . Sie ist ein Spezialfall einer C*-Algebra .

Die von-Neumann-Algebren wurden ursprünglich von John von Neumann eingeführt , motiviert durch seine Studien zu einzelnen Operatoren , Gruppendarstellungen , Ergodentheorie und Quantenmechanik . Sein Doppelkommutantensatz zeigt, dass die analytische Definition äquivalent zu einer rein algebraischen Definition als Symmetriealgebra ist.

Zwei grundlegende Beispiele für von-Neumann-Algebren sind folgende:

• Der Ring der wesentlich beschränkten messbaren Funktionen auf der reellen Achse ist eine kommutative von-Neumann-Algebra, deren Elemente als Multiplikationsoperatoren durch punktweise Multiplikation auf dem Hilbertraum der quadratintegrierbaren Funktionen wirken .${\displaystyle L^{\infty }(\mathbb {R} )}$${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$
• Die Algebra aller beschränkten Operatoren auf einem Hilbertraum ist eine von-Neumann-Algebra, nicht kommutativ, wenn der Hilbertraum mindestens die Dimension hat .${\displaystyle {\mathcal {B}}({\mathcal {H}})}$${\displaystyle {\mathcal {H}}}$${\displaystyle 2}$

Von-Neumann-Algebren wurden erstmals 1929 von von Neumann (1930) untersucht ; er und Francis Murray entwickelten die grundlegende Theorie unter dem ursprünglichen Namen „ Ringe von Operatoren“ in einer Reihe von Arbeiten, die in den 1930er und 1940er Jahren verfasst wurden (FJ Murray & J. von Neumann  1936 , 1937 , 1943 ; J. von Neumann  1938 , 1940 , 1943 , 1949 ), die in den gesammelten Werken von von Neumann (1961) nachgedruckt wurden .

Einführungen in die von-Neumann-Algebren finden sich in den Online-Skripten von Jones (2003) und Wassermann (1991) sowie in den Büchern von Dixmier (1981) , Schwartz (1967) , Blackadar (2005) und Sakai (1971) . Das dreibändige Werk von Takesaki (1979) bietet eine enzyklopädische Darstellung der Theorie. Das Buch von Connes (1994) behandelt fortgeschrittenere Themen.

Es gibt drei gängige Methoden, von-Neumann-Algebren zu definieren.

Die erste und gebräuchlichste Definition besteht darin, sie als schwach abgeschlossene *-Algebren beschränkter Operatoren (auf einem Hilbertraum) zu definieren, die das Einselement enthalten. In dieser Definition kann die schwache (Operator-)Topologie durch viele andere gängige Topologien ersetzt werden, darunter die starke , ultrastarke oder ultraschwache Operatortopologie. Die *-Algebren beschränkter Operatoren, die in der Normtopologie abgeschlossen sind, heißen C*-Algebren ; insbesondere ist jede von-Neumann-Algebra eine C*-Algebra.

Die zweite Definition besagt, dass eine von-Neumann-Algebra eine Unteralgebra der beschränkten Operatoren ist, die unter der Involution (der *-Operation) abgeschlossen ist und gleich ihrem Doppelkommutanten ist , oder äquivalent dazu, gleich dem Kommutanten einer unter * abgeschlossenen Unteralgebra. Der von-Neumannsche Doppelkommutantensatz ( von Neumann 1930 ) besagt, dass die ersten beiden Definitionen äquivalent sind.

Die ersten beiden Definitionen beschreiben eine von-Neumann-Algebra konkret als eine Menge von Operatoren, die auf einem gegebenen Hilbertraum wirken. Sakai (1971) zeigte, dass von-Neumann-Algebren auch abstrakt als C*-Algebren mit einem Prädual definiert werden können ; anders ausgedrückt: Die von-Neumann-Algebra, betrachtet als Banachraum , ist der Dualraum eines anderen Banachraums, des sogenannten Präduals. Das Prädual einer von-Neumann-Algebra ist bis auf Isomorphie eindeutig. Manche Autoren verwenden den Begriff „von-Neumann-Algebra“ für die Algebren zusammen mit einer Hilbertraum-Operation und „W*-Algebra“ für das abstrakte Konzept. Demnach ist eine von-Neumann-Algebra eine W*-Algebra zusammen mit einem Hilbertraum und einer geeigneten treuen unitären Operation auf dem Hilbertraum. Die konkreten und abstrakten Definitionen einer von Neumann-Algebra ähneln den konkreten und abstrakten Definitionen einer C*-Algebra, die entweder als normabgeschlossene *-Algebren von Operatoren auf einem Hilbertraum oder als Banach-*-Algebren definiert werden können, sodass . ${\displaystyle ||aa^{*}||=||a||\ ||a^{*}||}$

Einige Begriffe der von-Neumann-Algebra-Theorie können verwirrend sein, und außerhalb dieses Fachgebiets haben sie oft unterschiedliche Bedeutungen.

• Ein Faktor ist eine von-Neumann-Algebra mit trivialem Zentrum, d. h. einem Zentrum, das nur aus Skalaroperatoren besteht.
• Eine endliche von-Neumann-Algebra ist eine Algebra, die das direkte Integral endlicher Faktoren ist (d. h., die von-Neumann-Algebra besitzt einen treuen Normalspurzustand ^{[ 1 ]} ). Analog dazu sind eigentlich unendliche von-Neumann-Algebren das direkte Integral eigentlich unendlicher Faktoren.${\displaystyle \tau :M\rightarrow \mathbb {C} }$
• Eine von-Neumann-Algebra, die auf einem separablen Hilbertraum operiert, heißt separabel . Man beachte, dass solche Algebren in der Normtopologie selten separabel sind.
• Die von einer Menge beschränkter Operatoren auf einem Hilbertraum erzeugte von-Neumann-Algebra ist die kleinste von-Neumann-Algebra, die alle diese Operatoren enthält.
• Das Tensorprodukt zweier von Neumann Algebren, die auf zwei Hilberträumen wirken, ist definiert als die von Neumann Algebra, die von ihrem algebraischen Tensorprodukt erzeugt wird, das als Operator auf dem Hilbertraum-Tensorprodukt der Hilberträume betrachtet wird.

Wenn wir die Topologie einer von-Neumann-Algebra außer Acht lassen , können wir sie als (unitäre) *-Algebra oder einfach als Ring betrachten. Von-Neumann-Algebren sind semihereditär : Jeder endlich erzeugte Untermodul eines projektiven Moduls ist selbst projektiv. Es gab mehrere Versuche, die zugrundeliegenden Ringe von von-Neumann-Algebren zu axiomatisieren, darunter Baer-*-Ringe und AW-*-Algebren . Die *-Algebra der zugehörigen Operatoren einer endlichen von-Neumann-Algebra ist ein regulärer von-Neumann-Ring . (Die von-Neumann-Algebra selbst ist im Allgemeinen nicht von-Neumann-regulär.)

Die Beziehung zwischen kommutativen von-Neumann-Algebren und Maßräumen ist analog zu der zwischen kommutativen C*-Algebren und lokal kompakten Hausdorff-Räumen . Jede kommutative von-Neumann-Algebra ist isomorph zu L ^{^∞} ( X ) bezüglich eines Maßraums ( X , μ), und umgekehrt ist für jeden σ-endlichen Maßraum X die *-Algebra L ^{^∞} ( X ) eine von-Neumann-Algebra.

Aufgrund dieser Analogie wird die Theorie der von-Neumann-Algebren als nichtkommutative Maßtheorie bezeichnet, während die Theorie der C*-Algebren manchmal als nichtkommutative Topologie bezeichnet wird ( Connes 1994 ).

Operatoren E in einer von-Neumann-Algebra, für die E = EE = E* gilt, werden Projektionen genannt ; sie sind genau die Operatoren, die eine orthogonale Projektion von H auf einen abgeschlossenen Unterraum definieren. Ein Unterraum des Hilbertraums H gehört zur von-Neumann-Algebra M, wenn er das Bild einer Projektion in M ​​ist . Dies stellt eine bijektive Korrespondenz zwischen Projektionen von M und zu M gehörenden Unterräumen her. Anschaulich gesprochen sind dies die abgeschlossenen Unterräume, die sich mit Elementen von M beschreiben lassen oder die M „kennt“.

Es lässt sich zeigen, dass der Abschluss des Bildes eines beliebigen Operators in M ​​und der Kern eines beliebigen Operators in M ​​zu M gehört . Ebenso gehört der Abschluss des Bildes eines beliebigen Unterraums von M unter einem Operator von M ebenfalls zu M. (Diese Ergebnisse sind eine Folge der Polardarstellung .)

Die grundlegende Theorie der Projektionen wurde von Murray und von Neumann (1936) entwickelt . Zwei Unterräume von M heißen ( Murray-von-Neumann ) -äquivalent , wenn es eine partielle Isometrie gibt, die den ersten isomorph auf den anderen abbildet und ein Element der von-Neumann-Algebra ist (informell: wenn M „weiß“, dass die Unterräume isomorph sind). Dies impliziert eine natürliche Äquivalenzrelation für Projektionen, indem E als äquivalent zu F definiert wird , wenn die entsprechenden Unterräume äquivalent sind, oder anders ausgedrückt: wenn es eine partielle Isometrie von H gibt, die das Bild von E isometrisch auf das Bild von F abbildet und ein Element der von-Neumann-Algebra ist. Eine andere Formulierung lautet: E ist äquivalent zu F , wenn E = uu* und F = u*u für eine partielle Isometrie u in M ​​gilt .

Die so definierte Äquivalenzrelation ~ ist additiv im folgenden Sinne: Angenommen, _E₁ ~ F₁ und E₂ _~ F₂ . _Wenn E₁ ⊥ E₂ _und F₁ ⊥ F₂ , dann _ist E₁ + _E₂ ~ F₁ ₊ F₂ . Additivität wäre im Allgemeinen nicht gegeben , wenn man unitäre Äquivalenz in der Definition von ~ fordern würde, d. h. wenn man sagen würde, dass _{E äquivalent zu} F _ist , wenn u _× Eu = F für ein unitäres u . Die Sätze von Schröder-Bernstein für Operatoralgebren liefern eine hinreichende Bedingung für die Murray-von-Neumann-Äquivalenz.

Die zu M gehörenden Unterräume sind durch Inklusion partiell geordnet, was eine partielle Ordnung ≤ der Projektionen induziert. Ebenso existiert eine natürliche partielle Ordnung auf der Menge der Äquivalenzklassen von Projektionen, die durch die partielle Ordnung ≤ der Projektionen induziert wird. Ist M ein Faktor, so ist ≤ eine totale Ordnung auf Äquivalenzklassen von Projektionen, die im Abschnitt über Spuren weiter unten beschrieben wird.

Eine Projektion (oder ein zu M gehörender Unterraum ) E heißt endliche Projektion , wenn es keine Projektion F < E (d. h. F ≤ E und F ≠ E ) gibt, die äquivalent zu E ist . Beispielsweise sind alle endlichdimensionalen Projektionen (oder Unterräume) endlich (da Isometrien zwischen Hilberträumen die Dimension unverändert lassen), aber der Identitätsoperator auf einem unendlichdimensionalen Hilbertraum ist nicht endlich in der von-Neumann-Algebra aller beschränkten Operatoren auf diesem Raum, da er isometrisch isomorph zu einer echten Teilmenge von sich selbst ist. Es ist jedoch möglich, dass unendlichdimensionale Unterräume endlich sind.

Orthogonale Projektionen sind nichtkommutative Analoga von Indikatorfunktionen in L ∞ ( R ). L ∞ ( R ) ist der ||·|| ∞ -Abschluss des von den Indikatorfunktionen erzeugten Unterraums. Analog dazu wird eine von-Neumann-Algebra von ihren Projektionen erzeugt; dies ist eine Folge des Spektralsatzes für selbstadjungierte Operatoren .

Die Projektionen eines endlichen Faktors bilden eine stetige Geometrie .

Eine von-Neumann-Algebra N, deren Zentrum nur aus Vielfachen des Identitätsoperators besteht, wird als Faktor bezeichnet . Wie von Neumann (1949) zeigte, ist jede von-Neumann-Algebra über einem separablen Hilbertraum isomorph zu einem direkten Integral von Faktoren. Diese Zerlegung ist im Wesentlichen eindeutig. Daher lässt sich das Problem der Klassifizierung von Isomorphieklassen von von-Neumann-Algebren über separablen Hilberträumen auf die Klassifizierung von Isomorphieklassen von Faktoren reduzieren.

Murray und von Neumann (1936) zeigten, dass jeder Faktor einen von drei Typen besitzt, wie unten beschrieben. Diese Typenklassifizierung lässt sich auf von-Neumann-Algebren erweitern, die keine Faktoren sind. Eine von-Neumann-Algebra ist vom Typ X, wenn sie sich als direktes Integral von Faktoren vom Typ X darstellen lässt; beispielsweise hat jede kommutative von-Neumann-Algebra den Typ I_₁. Jede von-Neumann-Algebra lässt sich eindeutig als Summe von von-Neumann-Algebren der Typen I, II und III schreiben.

Es gibt noch einige andere Möglichkeiten, Faktoren in Klassen einzuteilen, die gelegentlich verwendet werden:

• Ein Faktor wird als diskret (oder gelegentlich zahm ) bezeichnet, wenn er vom Typ I ist, und als stetig (oder gelegentlich wild ), wenn er vom Typ II oder III ist.
• Ein Faktor heißt semifinit, wenn er vom Typ I oder II ist, und rein unendlich, wenn er vom Typ III ist.
• Ein Faktor heißt endlich, wenn seine Projektion 1 endlich ist, und andernfalls echt unendlich . Faktoren vom Typ I und II können entweder endlich oder echt unendlich sein, Faktoren vom Typ III sind jedoch immer echt unendlich.

Ein Faktor heißt vom Typ I , wenn es eine minimale Projektion E ≠ 0 gibt , d. h. eine Projektion E , sodass keine andere Projektion F mit 0 < F < E existiert . Jeder Faktor vom Typ I ist isomorph zur von-Neumann-Algebra aller beschränkten Operatoren auf einem Hilbertraum; da es zu jeder Kardinalzahl genau einen Hilbertraum gibt , entsprechen die Isomorphieklassen von Faktoren vom Typ I exakt den Kardinalzahlen. Da viele Autoren von-Neumann-Algebren nur auf separablen Hilberträumen betrachten, ist es üblich, die beschränkten Operatoren auf einem Hilbertraum endlicher Dimension n als Faktor vom Typ I_{_n} und die beschränkten Operatoren auf einem separablen unendlichdimensionalen Hilbertraum als Faktor vom Typ I_{_∞} zu bezeichnen .

Ein Faktor heißt vom Typ II , wenn es keine minimalen Projektionen, aber von Null verschiedene endliche Projektionen gibt . Dies bedeutet, dass jede Projektion E in dem Sinne „halbiert“ werden kann, dass es zwei Murray-von-Neumann-äquivalente Projektionen F und G gibt , die E = F + G erfüllen . Ist der Identitätsoperator in einem Faktor vom Typ II endlich, so heißt der Faktor vom Typ II_₁ ; andernfalls vom Typ II_{_∞} . Die am besten verstandenen Faktoren vom Typ II sind der hyperfinite Faktor vom Typ II_₁ und der hyperfinite Faktor vom Typ II _{_∞} , die von Murray und von Neumann (1936) gefunden wurden . Dies sind die einzigen hyperfiniten Faktoren vom Typ II_₁ und II_{_∞} ; es gibt unzählige weitere Faktoren dieser Typen, die Gegenstand intensiver Forschung sind. Murray & von Neumann (1937) bewiesen das fundamentale Ergebnis, dass ein Faktor vom Typ II ₁ einen eindeutigen endlichen Spurenzustand besitzt und die Menge der Spuren von Projektionen [0,1] ist.

Ein Faktor vom Typ II _∞ besitzt eine semifinite Spur, die bis auf Reskalierung eindeutig ist, und die Menge der Spuren von Projektionen ist [0,∞]. Die Menge der reellen Zahlen λ, für die es einen Automorphismus gibt, der die Spur um einen Faktor von λ reskaliert, heißt Fundamentalgruppe des Faktors vom Typ II _{∞ .}

Das Tensorprodukt eines Faktors vom Typ II 1 und eines unendlichen Faktors vom Typ I hat den Typ II ∞ , und umgekehrt lässt sich jeder Faktor vom Typ II ∞  auf diese Weise konstruieren. Die Fundamentalgruppe eines Faktors vom Typ II 1  ist definiert als die Fundamentalgruppe seines Tensorprodukts mit dem unendlichen (separablen) Faktor vom Typ I. Lange Zeit war es ein ungelöstes Problem, einen Faktor vom Typ II zu finden, dessen Fundamentalgruppe nicht die Gruppe der positiven reellen Zahlen ist . Connes zeigte jedoch, dass die von-Neumann-Gruppenalgebra einer abzählbaren diskreten Gruppe mit Kazhdans Eigenschaft (T) (die triviale Darstellung ist im Dualraum isoliert), wie beispielsweise SL(3, Z ), eine abzählbare Fundamentalgruppe besitzt. Später zeigte Sorin Popa , dass die Fundamentalgruppe für bestimmte Gruppen trivial sein kann, darunter das semidirekte Produkt von Z 2 mit SL(2, Z ).

Ein Beispiel für einen Typ-II _-1- Faktor ist die Gruppen-von-Neumann-Algebra einer abzählbar unendlichen diskreten Gruppe, sodass jede nichttriviale Konjugationsklasse unendlich ist. McDuff (1969) fand eine überabzählbare Familie solcher Gruppen mit nicht-isomorphen Gruppen-von-Neumann-Algebren und zeigte damit die Existenz überabzählbar vieler verschiedener separabler Typ-II- _1- Faktoren.

Schließlich gibt es noch Faktoren vom Typ III , die keine endlichen Projektionen ungleich null enthalten. Murray und von Neumann (1936) konnten in ihrer ersten Arbeit nicht entscheiden, ob solche Faktoren existieren; die ersten Beispiele wurden später von von Neumann (1940) gefunden . Da der Identitätsoperator in diesen Faktoren stets unendlich ist, wurden sie früher auch als Typ III ∞ bezeichnet. Diese Notation wurde jedoch inzwischen durch die Notation III λ  ersetzt , wobei λ eine reelle Zahl im Intervall [0,1] ist. Genauer gesagt: Ist das Connes-Spektrum (seiner Modulgruppe) gleich 1, so ist der Faktor vom Typ III 0 ; besteht das Connes-Spektrum aus allen ganzzahligen Potenzen von λ für 0 < λ < 1, so ist der Typ III λ ; und besteht das Connes-Spektrum aus allen positiven reellen Zahlen, so ist der Typ III 1  . (Das Connes-Spektrum ist eine abgeschlossene Untergruppe der positiven reellen Zahlen, daher sind dies die einzigen Möglichkeiten.) Die einzige Spur von Faktoren vom Typ III nimmt auf allen von Null verschiedenen positiven Elementen den Wert ∞ an, und je zwei von Null verschiedene Projektionen sind äquivalent. Früher galten Faktoren vom Typ III als unlösbare Objekte, doch die Tomita-Takesaki-Theorie hat zu einer guten Strukturtheorie geführt. Insbesondere lässt sich jeder Faktor vom Typ III kanonisch als Kreuzprodukt eines Faktors vom Typ II ∞ mit den reellen Zahlen darstellen.

Jede von-Neumann-Algebra M besitzt ein Prädual M _* , den Banachraum aller ultraschwach stetigen linearen Funktionale auf M. Wie der Name schon sagt, ist M (als Banachraum) der Dualraum seines Präduals. Das Prädual ist insofern eindeutig, als jeder andere Banachraum, dessen Dualraum M ist , kanonisch isomorph zu M _* ist . Sakai (1971) zeigte, dass die Existenz eines Präduals von-Neumann-Algebren unter den C*-Algebren charakterisiert.

Die oben angegebene Definition des Präduals scheint von der Wahl des Hilbertraums abzuhängen, auf dem M operiert, da diese die ultraschwache Topologie bestimmt. Das Prädual kann jedoch auch ohne Verwendung des Hilbertraums, auf dem M operiert, definiert werden, indem man es als den Raum definiert, der von allen positiven normalen linearen Funktionalen auf M erzeugt wird . (Hier bedeutet „normal“, dass es die Suprema erhält, wenn es auf wachsende Netze selbstadjungierter Operatoren angewendet wird; oder äquivalent dazu auf wachsende Folgen von Projektionen.)

Der Prädualraum M _* ist ein abgeschlossener Unterraum des Dualraums M* (der aus allen normstetigen linearen Funktionalen auf M besteht ), ist aber im Allgemeinen kleiner. Der Beweis, dass M _{* (üblicherweise) nicht mit} M* identisch ist , ist nicht konstruktiv und verwendet das Auswahlaxiom in wesentlicher Weise; es ist sehr schwierig, explizite Elemente von M* anzugeben , die nicht in M _* enthalten sind . Beispielsweise sind exotische positive Linearformen auf der von-Neumann-Algebra l^{^∞} ( Z ) durch freie Ultrafilter gegeben ; sie entsprechen exotischen *-Homomorphismen in C und beschreiben die Stone-Čech- Kompaktifizierung von Z.

Beispiele:

1. Der Prädualraum der von-Neumann-Algebra L ∞ ( R ) der wesentlich beschränkten Funktionen auf R ist der Banachraum L 1 ( R ) der integrierbaren Funktionen. Der Dualraum von L ∞  ( R ) ist strikt größer als L 1  ( R ). Beispielsweise kann ein Funktional auf L ∞ ( R ), das das Dirac-Maß δ 0 auf dem abgeschlossenen Unterraum der beschränkten stetigen Funktionen C 0b  ( R ) fortsetzt, nicht als Funktion in L 1 ( R ) dargestellt werden .
2. Das Prädual der von-Neumann-Algebra B ( H ) der beschränkten Operatoren auf einem Hilbertraum H ist der Banachraum aller Spurklassenoperatoren mit der Spurnorm || A || = Tr(| A |). Der Banachraum der Spurklassenoperatoren ist selbst der Dualraum der C*-Algebra der kompakten Operatoren (die keine von-Neumann-Algebra ist).
3. Das Prädual der zur links regulären Darstellung einer lokal kompakten Gruppe G assoziierten Gruppen-von-Neumann-Algebra VN ( G ) ist die Fourier-Algebra A ( G ).

Gewichte und ihre Spezialfälle, Zustände und Spuren, werden ausführlich in ( Takesaki 1979 ) diskutiert.

• Ein Gewicht ω auf einer von-Neumann-Algebra ist eine lineare Abbildung von der Menge der positiven Elemente (derjenigen der Form a*a ) nach [0,∞].
• Ein positives lineares Funktional ist ein Gewicht mit endlichem ω(1) (oder genauer gesagt die Erweiterung von ω auf die gesamte Algebra durch Linearität).
• Ein Zustand ist ein Gewicht mit ω(1) = 1.
• Eine Spur ist ein Gewicht mit ω( aa* ) = ω( a*a ) für alle a .
• Ein Spurzustand ist eine Spur mit ω(1) = 1.

Jeder Faktor besitzt eine Spur, sodass die Spur einer von Null verschiedenen Projektion genau dann von Null verschieden und unendlich ist, wenn die Projektion unendlich ist. Eine solche Spur ist bis auf eine Reskalierung eindeutig. Für separable oder endliche Faktoren sind zwei Projektionen genau dann äquivalent, wenn sie dieselbe Spur besitzen. Der Faktortyp lässt sich aus den möglichen Werten dieser Spur über den Projektionen des Faktors wie folgt ablesen:

• Typ I _n : 0, x , 2 x , ...., nx für ein positives x (üblicherweise normiert auf 1/ n oder 1).
• Typ I _∞ : 0, x , 2 x , ....,∞ für ein positives x (üblicherweise auf 1 normiert).
• Typ II ₁ : [0, x ] für ein positives x (üblicherweise auf 1 normiert).
• Typ II _∞ : [0,∞].
• Typ III: {0,∞}.

Wirkt eine von-Neumann-Algebra auf einen Hilbertraum, der einen Vektor v mit Norm 1 enthält , so ist das Funktional a → ( av , v ) ein Normalzustand. Diese Konstruktion lässt sich umkehren, um eine Wirkung eines Normalzustands auf einen Hilbertraum zu erhalten: Dies ist die GNS-Konstruktion für Normalzustände.

Gegeben ein abstrakter separabler Faktor, kann man nach einer Klassifizierung seiner Moduln fragen, d. h. der separablen Hilberträume, auf denen er operiert. Die Antwort lautet wie folgt: Jedem solchen Modul H kann eine M- dimensionale Dimension dim _M ( H ) zugeordnet werden (nicht seine Dimension als komplexer Vektorraum), sodass Moduln genau dann isomorph sind, wenn sie dieselbe M- Dimension besitzen. Die M -Dimension ist additiv, und ein Modul ist genau dann isomorph zu einem Unterraum eines anderen Moduls, wenn dessen M- Dimension kleiner oder gleich ist .

Ein Modul heißt Standardmodul , wenn er einen zyklischen Trennvektor besitzt. Jeder Faktor hat eine Standarddarstellung, die bis auf Isomorphie eindeutig ist. Die Standarddarstellung besitzt eine antilineare Involution J mit JMJ = M ′ . Für endliche Faktoren ist der Standardmodul gegeben durch die GNS-Konstruktion, angewendet auf den eindeutigen Normalspurzustand, und die M -Dimension wird so normiert, dass der Standardmodul die M -Dimension 1 hat. Für unendliche Faktoren ist der Standardmodul der Modul mit der M -Dimension ∞.

Die möglichen M -Dimensionen der Module sind wie folgt gegeben:

• Typ I _n ( n endlich): Die M -Dimension kann eine beliebige der folgenden sein: 0/ n , 1/ n , 2/ n , 3/ n , ..., ∞. Das Standardmodul hat die M -Dimension 1 (und die komplexe Dimension n ² ).
• Typ I _∞ Die M -Dimension kann jeden der Werte 0, 1, 2, 3, ..., ∞ annehmen. Die Standarddarstellung von B ( H ) ist H ⊗ H ; ihre M -Dimension ist ∞.
• Typ II ₁ : Die M -Dimension kann jeden Wert im Intervall [0, ∞] annehmen. Sie ist so normiert, dass das Standardmodul die M -Dimension 1 besitzt. Die M -Dimension wird auch als Kopplungskonstante des Moduls H bezeichnet .
• Typ II _∞ : Die M -Dimension kann jeden Wert im Intervall [0, ∞] annehmen. Im Allgemeinen gibt es keine kanonische Methode, sie zu normieren; der Faktor kann äußere Automorphismen besitzen, die die M -Dimension mit Konstanten multiplizieren. Die Standarddarstellung ist diejenige mit der M -Dimension ∞.
• Typ III: Die M -Dimension kann 0 oder ∞ sein. Je zwei von Null verschiedene Moduln sind isomorph, und alle von Null verschiedenen Moduln sind Standard.

Connes (1976) und andere bewiesen, dass die folgenden Bedingungen an eine von-Neumann-Algebra M auf einem separablen Hilbertraum H alle äquivalent sind :

• M ist hyperfinit oder AFD oder annähernd endlichdimensional oder annähernd endlich : Dies bedeutet, dass die Algebra eine aufsteigende Folge endlichdimensionaler Unteralgebren mit dichter Vereinigung enthält. (Achtung: Einige Autoren verwenden „hyperfinit“ synonym mit „AFD und endlich“.)
• M ist amenabel : Dies bedeutet, dass die Derivationen von M mit Werten in einem normalen dualen Banach-Bimodul alle inner sind. ^{[ 2 ]}
• M hat die Schwartz- Eigenschaft P : für jeden beschränkten Operator T auf H enthält die schwache Operator-abgeschlossene konvexe Hülle der Elemente uTu* ein Element, das mit M kommutiert .
• M ist semidiskret : Dies bedeutet, dass die Identitätsabbildung von M nach M ein schwacher punktweiser Grenzwert von vollständig positiven Abbildungen von endlichem Rang ist.
• M hat die Eigenschaft E oder die Hakeda-Tomiyama-Erweiterungseigenschaft : Dies bedeutet, dass es eine Projektion der Norm 1 von beschränkten Operatoren auf H auf M ' gibt .
• M ist injektiv : jede vollständig positive lineare Abbildung von einem beliebigen selbstadjungierten abgeschlossenen Unterraum, der 1 enthält, einer beliebigen unitären C*-Algebra A nach M kann zu einer vollständig positiven Abbildung von A nach M fortgesetzt werden .

Für die oben genannte Klasse von Algebren gibt es keinen allgemein anerkannten Begriff; Connes hat vorgeschlagen, dass amenable der Standardbegriff sein sollte.

Die beeinflussbaren Faktoren wurden klassifiziert: Es gibt jeweils einen eindeutigen Faktor der Typen I _{_n} , I _{_∞} , II _₁ , II _{_∞} und III _{_λ} für 0 < λ ≤ 1, wobei die Faktoren vom Typ III _₀ bestimmten ergodischen Flüssen entsprechen. (Die Bezeichnung „Klassifizierung“ für Typ III _₀ ist etwas irreführend, da die zugehörigen ergodischen Flüsse bekanntermaßen nicht einfach klassifiziert werden können.) Die Faktoren vom Typ I und II_₁ wurden von Murray & von Neumann (1943) klassifiziert, die übrigen von Connes (1976) , mit Ausnahme des Typs III _₁, dessen Klassifizierung von Haagerup vervollständigt wurde.

Alle amenablen Faktoren lassen sich mithilfe der Gruppenmaßraumkonstruktion von Murray und von Neumann für eine einzelne ergodische Transformation konstruieren . Tatsächlich handelt es sich dabei genau um die Faktoren, die als Kreuzprodukte freier ergodischer Operationen von Z oder Z/nZ auf abelschen von-Neumann-Algebren L ^{^∞} ( X ) entstehen. Faktoren vom Typ I treten auf, wenn der Maßraum X atomar und die Operation transitiv ist . Ist X diffus oder nicht-atomar , entspricht er als Maßraum dem Raum [0,1] . Faktoren vom Typ II treten auf, wenn X ein äquivalentes endliches (II_₁ ) oder unendliches (II_{_∞} ) Maß besitzt, das unter einer Operation von Z invariant ist . Faktoren vom Typ III treten in den übrigen Fällen auf, in denen kein invariantes Maß, sondern nur eine invariante Maßklasse existiert : Diese Faktoren werden Krieger-Faktoren genannt .

Das Hilbertraum-Tensorprodukt zweier Hilberträume ist die Vervollständigung ihres algebraischen Tensorprodukts. Man kann ein Tensorprodukt von von-Neumann-Algebren definieren (eine Vervollständigung des algebraischen Tensorprodukts der als Ringe betrachteten Algebren), welches wiederum eine von-Neumann-Algebra ist, und dieses auf das Tensorprodukt der entsprechenden Hilberträume anwenden. Das Tensorprodukt zweier endlicher Algebren ist endlich, und das Tensorprodukt einer unendlichen und einer von Null verschiedenen Algebra ist unendlich. Der Typ des Tensorprodukts zweier von-Neumann-Algebren (I, II oder III) ist der größte ihrer Typen. Der Kommutationssatz für Tensorprodukte besagt, dass

${\displaystyle (M\otimes N)^{\prime }=M^{\prime }\otimes N^{\prime },}$

wobei M ′ den Kommutanten von M bezeichnet .

Das Tensorprodukt unendlich vieler von-Neumann-Algebren führt, wenn es naiv berechnet wird, üblicherweise zu einer absurd großen, nicht separierbaren Algebra. Von Neumann (1938) zeigte stattdessen, dass man für jede der von-Neumann-Algebren einen Zustand wählt und diesen zur Definition eines Zustands des algebraischen Tensorprodukts verwendet. Mit diesem Zustand lassen sich ein Hilbertraum und eine (vergleichsweise kleine) von-Neumann-Algebra erzeugen. Araki und Woods (1968) untersuchten den Fall, dass alle Faktoren endliche Matrixalgebren sind; diese Faktoren werden Araki-Woods -Faktoren oder ITPFI-Faktoren genannt (ITPFI steht für „infinite tensor product of finite type I factors“). Der Typ des unendlichen Tensorprodukts kann sich mit der Wahl der Zustände stark verändern; beispielsweise kann das unendliche Tensorprodukt unendlich vieler Faktoren vom Typ I₂ _je nach Zustandswahl jeden beliebigen Typ annehmen. Insbesondere fand Powers (1967) eine überabzählbare Familie nicht-isomorpher hyperfiniter _λ- Faktoren vom Typ III für 0 < λ < 1, die er Powers-Faktoren nannte , indem er ein unendliches Tensorprodukt von _2- Faktoren vom Typ I bildete, von denen jeder den Zustand hat, der durch Folgendes gegeben ist:

${\displaystyle x\mapsto {\rm {Tr}}{\begin{pmatrix}{1 \over \lambda +1}&0\\0&{\lambda \over \lambda +1}\\\end{pmatrix}}x.}$

Alle hyperfiniten von Neumann-Algebren, die nicht vom Typ III ₀ sind, sind isomorph zu Araki-Woods-Faktoren, aber es gibt überabzählbar viele vom Typ III ₀ , die es nicht sind.

Ein Bimodul (oder eine Korrespondenz) ist ein Hilbertraum H mit Modulwirkungen zweier kommutierender von-Neumann-Algebren. Bimoduln besitzen eine wesentlich komplexere Struktur als Moduln. Jeder Bimodul über zwei Faktoren liefert stets einen Subfaktor , da einer der Faktoren immer im Kommutanten des anderen enthalten ist. Darüber hinaus existiert eine subtile relative Tensorproduktoperation, die auf Connes für Bimoduln zurückgeht. Die von Vaughan Jones begründete Subfaktortheorie vereint diese beiden scheinbar gegensätzlichen Sichtweisen.

Bimoduln sind auch für die von-Neumann-Gruppenalgebra M einer diskreten Gruppe Γ von Bedeutung. Ist V eine beliebige ^unitäre Darstellung von Γ, so ist die entsprechende induzierte Darstellung auf l² (Γ, V ) – betrachtet man Γ als diagonale Untergruppe von Γ × Γ – auf natürliche Weise ein Bimodul für zwei kommutierende Kopien von M. Wichtige darstellungstheoretische Eigenschaften von Γ lassen sich vollständig mithilfe von Bimoduln formulieren und sind daher auch für die von-Neumann-Algebra selbst relevant. So definierten beispielsweise Connes und Jones auf diese Weise ein Analogon der Kazhdan-Eigenschaft (T) für von-Neumann-Algebren.

Von-Neumann-Algebren vom Typ I sind stets amenabel, während es für die anderen Typen eine überabzählbare Anzahl verschiedener nicht-amenabler Faktoren gibt, die sich nur schwer klassifizieren oder gar voneinander unterscheiden lassen. Voiculescu zeigte jedoch, dass die Klasse der nicht-amenablen Faktoren, die aus der Konstruktion von Gruppenmaßräumen hervorgeht, disjunkt ist von der Klasse der Gruppen-von-Neumann-Algebren freier Gruppen. Später bewies Narutaka Ozawa , dass Gruppen-von-Neumann-Algebren hyperbolischer Gruppen Primfaktoren vom Typ II^₁ liefern , d. h. solche, die nicht als Tensorprodukte von Faktoren vom Typ II ^₁ faktorisiert werden können – ein Ergebnis, das Leeming Ge zuerst für Faktoren freier Gruppen mithilfe von Voiculescus freier Entropie bewiesen hatte . Popas Arbeit über Fundamentalgruppen nicht-amenabler Faktoren stellt einen weiteren bedeutenden Fortschritt dar. Die Theorie der Faktoren „jenseits des Hyperfiniten“ expandiert derzeit rasant und liefert viele neue und überraschende Ergebnisse; sie ist eng mit Rigiditätsphänomenen in der geometrischen Gruppentheorie und der Ergodentheorie verknüpft .

• Die im Wesentlichen beschränkten Funktionen auf einem σ-endlichen Maßraum bilden eine kommutative (Typ I ₁ ) von-Neumann-Algebra, die auf den L²-Funktionen operiert ^. Für ^bestimmte nicht-σ-endliche Maßräume, die üblicherweise als pathologisch betrachtet werden , ist L∞ ( X ) keine von-Neumann-Algebra; beispielsweise könnte die σ-Algebra messbarer Mengen die abzählbar-koabzählbare Algebra auf einer überabzählbaren Menge sein. Ein fundamentaler Approximationssatz lässt sich durch den Kaplansky-Dichtesatz darstellen .
• Die beschränkten Operatoren auf einem beliebigen Hilbertraum bilden eine von Neumann-Algebra, genauer gesagt einen Faktor vom Typ I.
• Ist eine unitäre Darstellung einer Gruppe G auf einem Hilbertraum H gegeben, so bilden die mit G kommutierenden beschränkten Operatoren eine von-Neumann-Algebra G ′ , deren Projektionen genau den unter G invarianten abgeschlossenen Unterräumen von H entsprechen . Äquivalente Unterdarstellungen entsprechen äquivalenten Projektionen in G ′ . Der Doppelkommutant G ′ ′ von G ist ebenfalls eine von-Neumann-Algebra.
• Die von-Neumann-Gruppenalgebra einer diskreten Gruppe G ist die Algebra aller beschränkten Operatoren auf H = l² ( G ), die mit der Wirkung von G auf H durch Rechtsmultiplikation kommutieren ^. Man kann zeigen , dass dies die von den Operatoren erzeugte von-Neumann-Algebra ist, die der Linksmultiplikation mit einem Element g ∈ G entspricht . Sie ist ein Faktor (vom Typ II¹ ₎ , wenn jede nichttriviale Konjugationsklasse von G unendlich ist (z. B. eine nichtabelsche freie Gruppe), und ein hyperfiniter Faktor vom Typ II¹, _wenn G zusätzlich eine Vereinigung endlicher Untergruppen ist (z. B. die Gruppe aller Permutationen der ganzen Zahlen, die alle Elemente bis auf endlich viele fixieren).
• Das Tensorprodukt zweier von-Neumann-Algebren oder einer abzählbaren Zahl mit Zuständen ist eine von-Neumann-Algebra, wie im obigen Abschnitt beschrieben.
• Das Kreuzprodukt einer von-Neumann-Algebra mit einer diskreten (oder allgemeiner lokal kompakten) Gruppe lässt sich definieren und ist wieder eine von-Neumann-Algebra. Spezialfälle sind die Gruppenmaßraumkonstruktion von Murray sowie von-Neumann- und Krieger-Faktoren .
• Es lassen sich die von-Neumann-Algebren einer messbaren Äquivalenzrelation und eines messbaren Gruppoids definieren. Diese Beispiele verallgemeinern von-Neumann-Gruppenalgebren und die Konstruktion von Gruppenmaßräumen.

Von-Neumann-Algebren finden Anwendung in verschiedenen Bereichen der Mathematik, wie etwa der Knotentheorie , der statistischen Mechanik , der Quantenfeldtheorie , der lokalen Quantenphysik , der freien Wahrscheinlichkeitstheorie , der nichtkommutativen Geometrie , der Darstellungstheorie , der Differentialgeometrie und der Theorie dynamischer Systeme .

Die C*-Algebra bietet beispielsweise eine alternative Axiomatisierung der Wahrscheinlichkeitstheorie. In diesem Fall wird die Methode als Gelfand-Naimark-Segal-Konstruktion bezeichnet . Sie ist analog zu den beiden Ansätzen für Maß und Integration, bei denen man entweder zuerst Mengenmaße konstruiert und später Integrale definiert oder umgekehrt.

• AW*-Algebra
• Zentrales Transportunternehmen
• Tomita-Takesaki-Theorie  – Mathematische Methode in der Funktionalanalysis

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