Glossar mathematischer Fachbegriffe

Die Sprache der Mathematik verfügt über einen umfangreichen Wortschatz an Fachbegriffen. Sie enthält auch einen gewissen Jargon : gebräuchliche Ausdrücke, die eher zur Kultur der Mathematik als zum Fachgebiet selbst gehören. Jargon taucht häufig in Vorlesungen und mitunter auch in gedruckten Werken auf, als informelle Kurzform für stringente Argumente oder präzise Ideen. Vieles davon sind gebräuchliche englische Wörter, deren Bedeutung im mathematischen Kontext jedoch nicht sofort ersichtlich ist.

Einige Formulierungen, wie zum Beispiel „im Allgemeinen“, erscheinen unten in mehr als einem Abschnitt.

abstrakter Unsinn

Eine ironische Anspielung auf die Kategorientheorie , mit deren Hilfe man Argumente verwenden kann, die ein (möglicherweise konkretes) Ergebnis herleiten, ohne auf Einzelheiten des vorliegenden Problems einzugehen. Aus diesem Grund wird sie auch als allgemeiner abstrakter Unsinn oder verallgemeinerter abstrakter Unsinn bezeichnet .

[Die Arbeit von Eilenberg und Mac Lane  ( 1942 )] führte die sehr abstrakte Idee einer „ Kategorie “ ein – ein Thema, das damals als „allgemeiner abstrakter Unsinn“ bezeichnet wurde!

Grothendieck hob die algebraische Geometrie auf eine neue Abstraktionsebene… wenn sich manche Mathematiker eine Zeitlang mit der Hoffnung trösten konnten, dass all diese komplizierten Strukturen „abstrakter Unsinn“ seien… zeigten die späteren Arbeiten von Grothendieck und anderen , dass klassische Probleme… die sich den Bemühungen mehrerer Generationen talentierter Mathematiker widersetzt hatten, mithilfe von… komplizierten Konzepten gelöst werden konnten.

kanonisch

Eine Bezugnahme auf eine standardisierte oder wahlfreie Darstellung eines mathematischen Objekts (z. B. kanonische Abbildung, kanonische Form oder kanonische Ordnung). Derselbe Begriff kann auch informeller verwendet werden, um etwas „Standardmäßiges“ oder „Klassisches“ zu bezeichnen. Man könnte beispielsweise sagen, dass Euklids Beweis der „kanonische Beweis“ für die Unendlichkeit der Primzahlen ist .

Es gibt zwei kanonische Beweise, die immer verwendet werden, um Nicht-Mathematikern zu zeigen, wie ein mathematischer Beweis aussieht:

• —Der Beweis, dass es unendlich viele Primzahlen gibt .
• —Der Beweis für die Irrationalität der Quadratwurzel aus zwei .

tief

Ein Ergebnis wird als „tiefgründig“ bezeichnet, wenn sein Beweis Konzepte und Methoden erfordert, die über die zur Formulierung des Ergebnisses notwendigen Konzepte hinausgehen. Beispielsweise galt der Primzahlsatz – ursprünglich mithilfe von Methoden der komplexen Analysis bewiesen – einst als tiefgründiges Ergebnis, bis elementare Beweise gefunden wurden. ^{[ 1 ]} Andererseits gilt die Tatsache, dass π irrational ist, gemeinhin als tiefgründiges Ergebnis, da sie eine beträchtliche Weiterentwicklung der reellen Analysis erfordert , bevor der Beweis erbracht werden kann – obwohl die Aussage selbst mit einfachen Mitteln der Zahlentheorie und Geometrie formuliert werden kann .

elegant

Ein ästhetischer Begriff, der die Fähigkeit einer Idee beschreibt, mathematische Erkenntnisse zu vermitteln, sei es durch die Vereinigung unterschiedlicher Gebiete, die Einführung einer neuen Perspektive auf ein einzelnes Gebiet oder durch die Bereitstellung einer besonders einfachen Beweistechnik oder einer Technik, die die Intuition oder Vorstellungskraft für die Richtigkeit des bewiesenen Ergebnisses einfängt. In manchen Fällen kann auch der Begriff „schön“ in diesem Sinne verwendet werden, obwohl Gian-Carlo Rota zwischen der Eleganz der Darstellung und der Schönheit des Konzepts unterschied . Er sagte beispielsweise, dass manche Themen elegant dargestellt werden könnten, obwohl der mathematische Inhalt nicht schön sei, und dass manche Theoreme oder Beweise schön seien, aber unelegant formuliert werden könnten.

Die Schönheit einer mathematischen Theorie ist unabhängig von den ästhetischen Qualitäten ihrer strengen Darstellungen. Manche wunderschöne Theorien werden vielleicht nie eine Präsentation erfahren, die ihrer Schönheit gerecht wird. Es gibt auch Beispiele für mittelmäßige Theorien von fragwürdiger Schönheit, die brillant und spannend dargestellt werden. Die Kategorientheorie ist reich an schönen und aufschlussreichen Definitionen, aber arm an eleganten Beweisen. Die Theoreme bleiben umständlich und langweilig. Darstellungen der projektiven Geometrie wetteiferten um Eleganz in der Präsentation und um Raffinesse im Beweis. Im Nachhinein fragt man sich, was den ganzen Wirbel verursacht hat. Mathematiker bezeichnen ein Theorem mitunter als schön, meinen aber eigentlich, es sei erhellend. Wir erkennen die Schönheit eines Theorems, wenn wir sehen, wie es sich in den Kontext einfügt. Wir bezeichnen einen Beweis als schön, wenn er schließlich das Geheimnis des Theorems preisgibt.

Grundschule

Ein Beweis oder ein Ergebnis wird als „elementar“ bezeichnet, wenn er sich ausschließlich auf grundlegende Konzepte und Methoden des jeweiligen Fachgebiets stützt und sich von tiefergehenden Ergebnissen abgrenzt, die eine weiterführende Entwicklung innerhalb oder außerhalb des Fachgebiets erfordern. Der Begriff des „elementaren Beweises“ findet insbesondere in der Zahlentheorie Verwendung und bezeichnet dort üblicherweise einen Beweis, der keine Methoden der komplexen Analysis benötigt .

Folklore

Ein Ergebnis wird als „Volkskunde“ bezeichnet, wenn es nicht offensichtlich und unveröffentlicht ist, aber Fachleuten auf einem Gebiet allgemein bekannt ist. Oft ist unklar, wer das Ergebnis zuerst erzielt hat; ist es jedoch bedeutsam, findet es möglicherweise Eingang in Lehrbücher und verliert damit seinen Status als Volkskunde.

Viele der in diesem Artikel erwähnten Ergebnisse sollten als „Volksweisheiten“ betrachtet werden, da sie lediglich formal Ideen wiedergeben, die Forschern auf diesem Gebiet wohlbekannt sind, für Anfänger jedoch nicht offensichtlich sein dürften und meines Wissens nirgendwo sonst in gedruckter Form erscheinen.

natürlich

Ähnlich wie „kanonisch“, aber spezifischer, bezieht sich dieser Begriff (fast ausschließlich im Kontext von Transformationen ) auf eine Beschreibung, die unabhängig von jeglichen Entscheidungen gilt. Obwohl er lange informell verwendet wurde, hat er in der Kategorientheorie eine formale Definition gefunden.

pathologisch

Ein Objekt verhält sich pathologisch (oder, etwas allgemeiner, degeneriert ) , wenn es entweder nicht dem allgemeinen Verhalten solcher Objekte entspricht, bestimmte kontextabhängige Regularitätseigenschaften nicht erfüllt oder einfach der mathematischen Intuition widerspricht . Oftmals sind diese Anforderungen widersprüchlich, während der Begriff in anderen Fällen bewusst für ein künstlich konstruiertes Objekt verwendet wird, das als Gegenbeispiel zu diesen Eigenschaften dient. Ein einfaches Beispiel: Ausgehend von der Definition eines Dreiecks mit einer Winkelsumme von π Radiant entspricht eine gerade Linie dieser Definition pathologisch.

Seit einem halben Jahrhundert beobachten wir das Aufkommen einer Vielzahl bizarrer Funktionen , die den ehrlichen, einem Zweck dienenden Funktionen so wenig wie möglich ähneln… Ja, mehr noch, logisch betrachtet sind es gerade diese seltsamen Funktionen, die am weitesten verbreitet sind… Heute werden sie eigens erfunden, um die Argumentation unserer Vorfahren in Frage zu stellen…

Die Dirichlet-Funktion erlangte enorme Bedeutung, da sie Anreize für die Entwicklung neuer Funktionstypen bot, deren Eigenschaften völlig von dem abwichen, was intuitiv plausibel erschien. Ein bekanntes Beispiel für eine solche sogenannte „pathologische“ Funktion ist die von Weierstrass beschriebene . Diese Funktion ist stetig , aber nicht differenzierbar .

Zu dem letztgenannten Zitat ist anzumerken, dass die Anzahl der differenzierbaren Funktionen im Raum der stetigen Funktionen gering ist, wie Banach 1931 feststellte. Daher stellen differenzierbare Funktionen umgangssprachlich eine seltene Ausnahme unter den stetigen Funktionen dar. Aus diesem Grund lässt sich die Bezeichnung nicht-differenzierbarer stetiger Funktionen als pathologisch kaum noch rechtfertigen.

Strenge (Strenge)

Die Herleitung eines mathematischen Ergebnisses mithilfe unbestreitbarer Logik anstatt informeller beschreibender Argumente. Strenge ist ein Grundprinzip der Mathematik und kann wesentlich dazu beitragen, dass die Mathematik nicht in Fehlschlüsse abgleitet.

wohlerzogen

Ein Objekt verhält sich wohldefiniert (im Gegensatz zu pathologisch ), wenn es bestimmte vorherrschende Regelmäßigkeitseigenschaften erfüllt oder der mathematischen Intuition entspricht (auch wenn die Intuition oft gegenteiliges Verhalten nahelegt). In manchen Fällen (z. B. in der Analysis ) kann der Begriff „ glatt “ im gleichen Sinne verwendet werden.

Obwohl letztlich jedes mathematische Argument einem hohen Präzisionsstandard genügen muss, verwenden Mathematiker beschreibende, aber informelle Aussagen, um wiederkehrende Themen oder Konzepte zu erörtern, die sich nicht in schwerfälligen formalen Formulierungen ausdrücken lassen. Viele dieser Begriffe sind im Kontext durchaus präzise.

fast alle

A shorthand term for "all except for a set of measure zero", when there is a measure to speak of, with the phrases almost surely and almost everywhere having related meanings. For example, "almost all real numbers are transcendental" because the algebraic real numbers form a countablesubset of the real numbers with measure zero. One can also speak of "almost all" integers having a property to mean "all except finitely many", despite the integers not admitting a measure for which this agrees with the previous usage, such as "almost all prime numbers are odd". There is a more complicated meaning for integers as well, discussed in the main article. Finally, this term is sometimes used synonymously with generic, below.

arbitrarily large

Notions which arise mostly in the context of limits, referring to the recurrence of a phenomenon as the limit is approached. A statement such as that predicate P is satisfied by arbitrarily large values, can be expressed in more formal notation by ∀x : ∃y ≥ x : P(y). See also frequently. The statement that quantity f(x) depending on x "can be made" arbitrarily large, corresponds to ∀y : ∃x : f(x) ≥ y.

arbitrary

A shorthand for the universal quantifier. An arbitrary choice is one which is made unrestrictedly, or alternatively, a statement holds of an arbitrary element of a set if it holds of any element of that set. Also much in general-language use among mathematicians: "Of course, this problem can be arbitrarily complicated".

eventually

In the context of limits, this is shorthand meaning for sufficiently large arguments; the relevant argument(s) are implicit in the context. As an example, the function log(log(x)) eventually becomes larger than 100"; in this context, "eventually" means "for sufficiently largex."

factor through

Ein Begriff aus der Kategorientheorie, der sich auf die Komposition von Morphismen bezieht . Wenn für drei Objekte A , B und C eine Abbildung als Komposition mit und geschrieben werden kann , dann sagt man, dass f durch jedes (und alle) von , und faktorisiert .${\displaystyle f\colon A\to C}$${\displaystyle f=h\circ g}$${\displaystyle g\colon A\to B}$${\displaystyle h\colon B\to C}$${\displaystyle B}$${\displaystyle g}$${\displaystyle h}$

endlich

Bezieht man sich auf den Wert einer Variablen, die Werte aus den nichtnegativen erweiterten reellen Zahlen annimmt , bedeutet dies üblicherweise „nicht unendlich“. Beispielsweise bedeutet die endliche Varianz einer Zufallsvariablen , dass es sich um eine nichtnegative reelle Zahl handelt, möglicherweise null. In manchen Kontexten, etwa bei „einer kleinen, aber endlichen Amplitude“, sind null und infinitesimale Zahlen jedoch ausgeschlossen. Bezieht man sich auf den Wert einer Variablen, die Werte aus den erweiterten natürlichen Zahlen annimmt, bedeutet dies schlichtweg „nicht unendlich“. Bezieht man sich auf eine Menge oder ein mathematisches Objekt , dessen Hauptbestandteil eine Menge ist, bedeutet dies, dass die Kardinalität der Menge kleiner als n ist .${\displaystyle \mathbb {R} _{\geq 0}\cup \{\infty \},}$${\displaystyle \mathbb {N} \cup \{\infty \},}$${\displaystyle \aleph _{0}}$

häufig

Im Kontext von Grenzwerten ist dies eine Kurzform für beliebig große Argumente und ähnliche Ausdrücke; wie bei „schließlich“ ist die gemeinte Variante implizit. Beispielsweise liegt die Folge häufig im Intervall (1/2, 3/2), da es beliebig große n gibt, für die der Wert der Folge in diesem Intervall liegt.${\displaystyle (-1)^{n}}$

formell, förmlich

Qualifiziert alles, was präzise genug ist, um sich direkt in ein formales System übersetzen zu lassen . Zum Beispiel ein formaler Beweis , eine formale Definition .

generisch

Dieser Begriff hat ähnliche Konnotationen wie fast alle anderen , wird aber insbesondere für Konzepte außerhalb der Maßtheorie verwendet . Eine Eigenschaft gilt „generisch“ auf einer Menge, wenn die Menge eine (kontextabhängige) Dichte erfüllt oder wenn ihr Komplement eine (kontextabhängige) Kleinheitsdefinition erfüllt. Beispielsweise gilt eine Eigenschaft, die auf einem dichten Gδ ( Schnittmenge abzählbar vieler offener Mengen ) gilt, als generisch. In _der algebraischen Geometrie sagt man, dass eine Eigenschaft von Punkten auf einer algebraischen Varietät , die auf einer dichten Zariski-offenen Menge gilt, generisch wahr ist; man sagt jedoch üblicherweise nicht, dass eine Eigenschaft, die lediglich auf einer dichten (nicht Zariski-offenen) Menge gilt, in diesem Zusammenhang generisch ist.

im Allgemeinen

In einem beschreibenden Kontext dient diese Formulierung der einfachen Charakterisierung einer breiten Objektklasse mit dem Ziel, ein vereinheitlichendes Prinzip zu identifizieren. Der Begriff stellt eine elegante Beschreibung dar, die für beliebige Objekte gilt. Ausnahmen von dieser Beschreibung können explizit als pathologische Fälle genannt werden.

Norbert A’Campo von der Universität Basel fragte Grothendieck einmal nach etwas, das mit den platonischen Körpern zusammenhing . Grothendieck riet zur Vorsicht. Die platonischen Körper seien so schön und so außergewöhnlich, sagte er, dass man nicht annehmen könne, dass eine solche außergewöhnliche Schönheit auch in allgemeineren Situationen gelte.

linke Seite, rechte Seite (LHS, RHS)

Meistens beziehen sich diese Begriffe einfach auf die linke oder rechte Seite einer Gleichung ; beispielsweise steht auf der linken Seite und auf der rechten Seite. Gelegentlich werden sie im Sinne von L-Wert und R-Wert verwendet: Die rechte Seite ist eine Stammfunktion, die linke Seite eine Ableitung.${\displaystyle x=y+1}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y+1}$

schön

Ein mathematisches Objekt wird umgangssprachlich als „gut“ oder „hinreichend gut“ bezeichnet , wenn es Hypothesen oder Eigenschaften erfüllt, die – manchmal unspezifisch oder sogar unbekannt – in einem bestimmten Kontext besonders wünschenswert sind. Es ist ein informelles Antonym zu „pathologisch“ . Man könnte beispielsweise vermuten, dass ein Differentialoperator eine bestimmte Beschränktheitsbedingung „für gute Testfunktionen“ erfüllen sollte, oder man könnte behaupten, dass eine interessante topologische Invariante „für gute Räume X “ berechenbar sein sollte .

Objekt

Alles, was einer Variablen zugewiesen werden kann und dessen Gleichheit mit einem anderen Objekt betrachtet werden kann. Der Begriff entstand, als man begann, Variablen für Mengen und mathematische Strukturen zu verwenden .

auf

Eine Funktion (die in der Mathematik allgemein als Abbildung der Elemente einer Menge A auf Elemente einer anderen Menge B definiert ist ) wird nur dann als „ A sur B “ (und nicht als „ A nach B “ oder „ A in B “) bezeichnet, wenn sie surjektiv ist ; man kann sogar sagen, dass „ f surjektiv“ ist. Nicht ohne Umschreibungen in andere Sprachen als Englisch übersetzbar.

richtig

Wenn Objekte gemäß einer bestimmten Substrukturdefinition Substrukturen ihrer selbst sind (d. h. die Beziehung reflexiv ist ), dann erfordert die eigentliche Qualifizierung , dass die Objekte verschieden sind. Beispielsweise ist eine echte Teilmenge einer Menge S eine Teilmenge von S , die von S verschieden ist , und ein echter Teiler einer Zahl n ist ein Teiler von n , der von n verschieden ist . Dieser überladene Begriff ist auch eine verständliche Bezeichnung für einen echten Morphismus .

Eigentum

Eine Eigenschaft, die ein mathematisches Objekt haben kann oder nicht; zum Beispiel „positiv sein“. Eigenschaften werden oft durch Formeln ausgedrückt und dienen zur Spezifizierung von Mengen und Teilmengen, typischerweise mit der Mengenschreibweise .

regulär

Eine Funktion heißt regulär , wenn sie bestimmte Stetigkeits- und Differenzierbarkeitseigenschaften erfüllt, die oft kontextabhängig sind. Zu diesen Eigenschaften kann beispielsweise gehören, dass sie eine bestimmte Anzahl von Ableitungen besitzt , wobei die Funktion und ihre Ableitungen bestimmte Eigenschaften aufweisen ( siehe oben ), wie etwa Hölder-Stetigkeit . Umgangssprachlich wird der Begriff „regulär“ manchmal synonym mit „glatt“ verwendet (siehe unten). Diese ungenauen Verwendungen des Wortes „regulär“ sind nicht mit dem Begriff des regulären topologischen Raums zu verwechseln , der streng definiert ist.

resp.

Eine Konvention zur Verkürzung paralleler Darstellungen. „ A (bzw. B ) [steht in einer Beziehung zu] X (bzw. Y )“ bedeutet, dass A [in einer Beziehung zu] X steht und dass B [die gleiche Beziehung zu] Y steht . Zum Beispiel haben Quadrate (bzw. Dreiecke) 4 Seiten (bzw. 3 Seiten); oder kompakte (bzw. Lindelöf- )Räume sind solche, in denen jede offene Überdeckung eine endliche (bzw. abzählbare) offene Teilüberdeckung besitzt.

scharf

Oftmals legt ein mathematischer Lehrsatz Einschränkungen für das Verhalten eines Objekts fest ; beispielsweise wird gezeigt, dass eine Funktion eine obere oder untere Schranke besitzt . Die Einschränkung ist scharf (manchmal optimal ), wenn sie nicht restriktiver formuliert werden kann, ohne in bestimmten Fällen zu versagen. Beispielsweise liefert die Exponentialfunktion e ^{^x} , wobei e = 2,7182818..., für beliebige nichtnegative reelle Zahlen x  eine obere Schranke für die Werte der quadratischen Funktion x ^² . Diese ist nicht scharf; die Differenz zwischen den Funktionen ist überall mindestens 1. Unter den Exponentialfunktionen der Form α ^{^x} führt die Wahl von α =  e^{²/ e}  = 2,0870652... zu einer scharfen oberen Schranke; die etwas kleinere Wahl α = 2 liefert keine obere Schranke, da dann α ^³ = 8 < ^3/2 gilt. In angewandten Bereichen wird der Begriff „scharf“ oft in derselben Bedeutung verwendet. ^{[ 2 ]}

glatt

Glattheit ist ein Begriff, dem die Mathematik viele Bedeutungen verliehen hat, von einfacher Differenzierbarkeit über unendliche Differenzierbarkeit bis hin zu Analytizität und noch weiteren, komplexeren Bedeutungen. Jede dieser Verwendungen versucht, den physikalisch intuitiven Begriff der Glattheit zu vermitteln.

stark, stärker

Ein Theorem gilt als stark , wenn es aus allgemeinen Voraussetzungen einschränkende Ergebnisse ableitet. Ein bekanntes Beispiel ist der Satz von Donaldson , der eine ansonsten große Klasse von Mannigfaltigkeiten stark einschränkt. Diese (informelle) Verwendung spiegelt die Auffassung der mathematischen Gemeinschaft wider: Ein solches Theorem sollte nicht nur im deskriptiven Sinne (siehe unten) stark, sondern auch in seinem Anwendungsgebiet definitiv sein. Ein Theorem, Ergebnis oder eine Bedingung wird ferner als stärker als ein anderes bezeichnet, wenn sich der Beweis des zweiten leicht aus dem ersten ableiten lässt, aber nicht umgekehrt. Ein Beispiel hierfür ist die Theoremfolge: Fermats kleiner Satz , Eulerscher Satz und Lagrangescher Satz , von denen jeder stärker ist als der vorherige; ein weiteres Beispiel ist, dass eine scharfe obere Schranke (siehe oben ) ein stärkeres Ergebnis ist als eine nicht scharfe. Schließlich kann das Adjektiv „ stark“ oder das Adverb „ stark“ einem mathematischen Begriff hinzugefügt werden, um einen verwandten, stärkeren Begriff zu bezeichnen. Eine starke Antikette ist beispielsweise eine Antikette , die bestimmte zusätzliche Bedingungen erfüllt, und analog dazu ist ein stark regulärer Graph ein regulärer Graph , der stärkere Bedingungen erfüllt. In diesem Kontext ist der stärkere Begriff (wie etwa „starke Antikette“) ein Fachbegriff mit präzise definierter Bedeutung; die Art der zusätzlichen Bedingungen lässt sich nicht aus der Definition des schwächeren Begriffs (wie etwa „Antikette“) ableiten.

ausreichend groß , angemessen klein, ausreichend nah

Im Kontext von Grenzwerten bezeichnen diese Begriffe einen (unspezifizierten, sogar unbekannten) Punkt, an dem ein Phänomen bei Annäherung an den Grenzwert vorherrscht. Eine Aussage wie „das Prädikat P gilt für hinreichend große Werte“ lässt sich formaler durch ∃ x  : ∀ y ≥ x  : P ( y ) ausdrücken. Siehe auch schließlich .

oben, unten

Ein beschreibender Begriff für eine Notation, bei der zwei Objekte übereinander geschrieben werden; das obere Objekt befindet sich oben , das untere unten . Beispielsweise wird bei einem Faserbündel der Gesamtraum oft als oben und der Grundraum als unten bezeichnet . Bei einem Bruch wird gelegentlich der Zähler als oben und der Nenner als unten bezeichnet , wie beim Ausdruck „einen Term nach oben bringen“.

bis zu , modulo, mod out by

Eine Erweiterung des Begriffs der modularen Arithmetik auf den mathematischen Diskurs . Eine Aussage ist bis auf eine Bedingung wahr, wenn die Erfüllung dieser Bedingung das einzige Hindernis für die Wahrheit der Aussage darstellt. Sie wird auch bei der Arbeit mit Elementen von Äquivalenzklassen verwendet , insbesondere in der Kategorientheorie , wo die Äquivalenzrelation ein (kategorialer) Isomorphismus ist; zum Beispiel: „Das Tensorprodukt in einer schwach monoidalen Kategorie ist bis auf einen natürlichen Isomorphismus assoziativ und unital .“

verschwinden

Den Wert 0 annehmen. Zum Beispiel: „Die Funktion sin( x ) verschwindet für diejenigen Werte von x , die ganzzahlige Vielfache von π sind .“ Dies kann auch für Grenzwerte gelten: siehe Verschwinden im Unendlichen .

schwach, schwächer

Das Gegenteil von stark .

wohldefiniert

Genau und präzise beschrieben oder spezifiziert. Beispielsweise beruht eine Definition manchmal auf der Wahl eines bestimmten Objekts ; das Ergebnis der Definition muss dann unabhängig von dieser Wahl sein.

Die formale Sprache des Beweises greift immer wieder auf einen kleinen Ideenpool zurück, von denen viele in der Praxis durch verschiedene lexikalische Kurzformen aufgerufen werden.

aliter

Ein veralteter Begriff, der dazu dient, dem Leser eine alternative Methode oder einen Beweis für ein Ergebnis aufzuzeigen. In einem Beweis kennzeichnet er daher einen Gedankengang, der aus logischer Sicht überflüssig ist, aber aus anderen Gründen von Interesse ist.

im Wege des Widerspruchs (BWOC) oder „denn wenn nicht, ...“

Die rhetorische Einleitung zu einem Widerspruchsbeweis , die der Negation der zu beweisenden Aussage vorausgeht.

genau dann, wenn (gdw.)

Eine Abkürzung für logische Äquivalenz von Aussagen.

im Allgemeinen

Im Kontext von Beweisen findet man diese Formulierung häufig in Induktionsargumenten beim Übergang vom Induktionsanfang zum Induktionsschritt, und in ähnlicher Weise in der Definition von Folgen, deren erste Glieder als Beispiele für die Formel dienen, die jedes Glied der Folge angibt.

notwendig und hinreichend

Eine leichte Abwandlung von „genau dann, wenn“: „ A ist notwendig ( und hinreichend ) für B “ bedeutet „ A genau dann, wenn B “. Zum Beispiel bedeutet „Damit ein Körper K algebraisch abgeschlossen ist, ist es notwendig und hinreichend, dass er keine endlichen Körpererweiterungen besitzt “: „ K ist genau dann algebraisch abgeschlossen, wenn er keine endlichen Körpererweiterungen besitzt“. Häufig wird diese Formulierung in Aufzählungen verwendet, wie in „Die folgenden Bedingungen sind notwendig und hinreichend dafür, dass ein Körper algebraisch abgeschlossen ist …“.

müssen nachweisen (NTS), erforderlich nachzuweisen (RTP), möchten nachweisen, möchten nachweisen (WTS)

Manchmal erfolgen Beweise durch Aufzählung mehrerer Bedingungen, deren Erfüllung zusammen den gewünschten Satz impliziert; daher muss man nur diese Aussagen zeigen.

ein und nur einer

Eine Aussage über die Existenz und Einzigartigkeit eines Objekts ; das Objekt existiert, und darüber hinaus existiert kein anderes solches Objekt.

QED

( Quod erat demonstrandum ): Eine lateinische Abkürzung, die „was zu beweisen war“ bedeutet und historisch am Ende von Beweisen stand, heutzutage aber weniger gebräuchlich ist, da sie durch das Halmos-Beweisendezeichen , ein Quadratzeichen ∎, ersetzt wurde.

ausreichend nett

Eine Bedingung an Objekte im Rahmen der Diskussion, die später spezifiziert wird und die sicherstellt, dass eine bestimmte Eigenschaft für sie gilt. Bei der Herleitung eines Theorems deutet die Verwendung dieses Ausdrucks in der Theoremformulierung darauf hin, dass die relevanten Bedingungen dem Sprecher möglicherweise noch nicht bekannt sind und dass die Absicht darin besteht, die Bedingungen zu sammeln, die sich für den Beweis des Theorems als notwendig erweisen werden.

Folgende Ausdrücke sind gleichwertig (TFAE)

Oft sind mehrere Äquivalenzbedingungen (insbesondere für eine Definition, wie z. B. Normalteiler ) in der Praxis gleichermaßen nützlich; man führt einen Satz ein, der die Äquivalenz von mehr als zwei Aussagen mit TFAE feststellt.

Transport der Struktur

Oftmals lassen sich zwei Objekte als in gewisser Weise äquivalent nachweisen, und eines von ihnen besitzt eine zusätzliche Struktur. Mithilfe dieser Äquivalenz können wir eine solche Struktur auch auf dem zweiten Objekt definieren, indem wir die Struktur übertragen . Beispielsweise sind je zwei Vektorräume gleicher Dimension isomorph ; wenn einem von ihnen ein Skalarprodukt gegeben ist und wir einen bestimmten Isomorphismus festlegen, können wir ein Skalarprodukt auf dem anderen Raum definieren, indem wir über den Isomorphismus faktorisieren .

Sei V ein endlichdimensionaler Vektorraum über k . … Sei ( e i  )  1≤i≤n  eine Basis von V. … Es existiert ein Isomorphismus der Polynomalgebra k [ T ij ] 1≤i , j≤n  auf die Algebra Sym k ( V  ⊗  V * ). … Dieser lässt sich zu einem Isomorphismus von k [ GL n ] auf die lokalisierte Algebra Sym k ( V  ⊗  V * ) D fortsetzen , wobei D  = det( e i   ⊗  e  j  * ). … Wir bezeichnen diese letzte Algebra mit k [ GL ( V )]. Durch Strukturtransport erhalten wir eine lineare algebraische Gruppe GL ( V ), die isomorph zu GL n ist .

Ohne Beschränkung der Allgemeinheit (WLOG, WOLOG, WALOG) können wir annehmen (WMA)

Manchmal lässt sich ein Satz leichter beweisen, wenn zusätzliche Annahmen über die betreffenden Objekte getroffen werden. Folgt der ursprüngliche Satz aus diesem modifizierten Satz mit einer einfachen und minimalen Erklärung (beispielsweise, wenn die übrigen Spezialfälle bis auf die Notation identisch sind), so werden die modifizierten Annahmen mit dieser Formulierung eingeführt und der geänderte Satz bewiesen.

Mathematiker verwenden verschiedene Ausdrücke, um Beweise oder Beweistechniken zu beschreiben. Diese dienen oft als Hilfestellung, um mühsame Details auszufüllen.

Winkeljagd

Wird verwendet, um einen geometrischen Beweis zu beschreiben, bei dem es darum geht, Beziehungen zwischen den verschiedenen Winkeln in einer Abbildung zu finden. ^{[ 3 ]}

Überschlagsrechnung

Eine informelle Berechnung, die auf viel Strenge verzichtet, ohne dabei die Korrektheit einzubüßen. Oft dient diese Berechnung als „ Machbarkeitsnachweis “ und behandelt nur einen zugänglichen Spezialfall.

rohe Gewalt

Anstatt zugrundeliegende Prinzipien oder Muster zu finden, handelt es sich hierbei um eine Methode, bei der so viele Fälle wie nötig ausgewertet werden, um die Richtigkeit der fraglichen Aussage hinreichend zu beweisen oder überzeugende Beweise dafür zu liefern. Manchmal beinhaltet dies die Prüfung jedes möglichen Falls (was auch als Beweis durch Erschöpfung bekannt ist ).

durch Beispiel

Ein Beweis durch Beispiel ist eine Argumentation, bei der eine Aussage nicht bewiesen, sondern anhand eines Beispiels veranschaulicht wird. Bei guter Ausführung lässt sich das konkrete Beispiel leicht zu einem allgemeinen Beweis verallgemeinern.

durch Inspektion

Eine rhetorische Abkürzung, die Autoren nutzen, um den Leser einzuladen, die Richtigkeit einer vorgeschlagenen Aussage oder Schlussfolgerung auf einen Blick zu überprüfen. Lässt sich eine Aussage durch einfache Anwendung unkomplizierter Techniken und ohne aufwendige Berechnungen oder allgemeine Theorien zurückgreifen, so kann sie durch Inspektion beurteilt werden . Dies findet auch Anwendung beim Lösen von Gleichungen; beispielsweise bedeutet das Finden der Nullstellen einer quadratischen Gleichung durch Inspektion, sie zu „erkennen“ oder gedanklich zu überprüfen. „Durch Inspektion“ kann eine Art Gestaltfunktion erfüllen : Die Antwort oder Lösung fügt sich einfach ein.

durch Einschüchterung

Eine Beweisführungsmethode, bei der Behauptungen, die der Autor für leicht überprüfbar hält, als „offensichtlich“ oder „trivial“ bezeichnet werden, was oft zu Verwirrung beim Leser führt.

klar, lässt sich leicht zeigen

Ein Ausdruck, der Berechnungen umgeht, die der Mathematiker als mühsam oder routinemäßig empfindet, und der für jeden Zuhörer mit den erforderlichen Fachkenntnissen verständlich ist; Laplace verwendete „obvident“ ( französisch : évident ).

vollständige Intuition

im Allgemeinen für Witze reserviert (Wortspiele über vollständige Induktion ).

Diagrammjagd

^{[ 4 ]} Gegeben einkommutatives Diagrammvon Objekten und Morphismen zwischen ihnen, kann man, um eine Eigenschaft der Morphismen (wie z. B.Injektivität) zu beweisen, die sich mithilfe vonElementenverfolgtalsodie Elemente im Diagramm, oder manverfolgt ein Diagramm.

Handbewegung

Eine Beweistechnik, die vorwiegend in Vorlesungen Anwendung findet, wo formale Argumentation nicht zwingend erforderlich ist. Sie beruht auf dem Weglassen von Details oder sogar wichtigen Bestandteilen und ist lediglich ein Plausibilitätsargument.

im Allgemeinen

In einem Kontext, der keine strenge Beweisführung erfordert, dient diese Formulierung oft als Zeitersparnis, wenn die technischen Details eines vollständigen Arguments den konzeptionellen Nutzen überwiegen würden. Der Autor liefert einen Beweis in einem ausreichend einfachen Fall, der die Plausibilität der Berechnungen belegt, und deutet dann an, dass der Beweis „im Allgemeinen“ ähnlich verläuft.

Indexkampf

Für Beweise mit Objekten, die mehrere Indizes besitzen und durch schrittweises Durchgehen der Beweiskette gelöst werden können (falls jemand die Mühe auf sich nehmen möchte). Ähnlich wie beim Diagramm-Chasing.

moralisch wahr

Diese Formulierung drückt aus, dass der Sprecher aufgrund seiner mathematischen Erfahrung von der Richtigkeit einer Aussage überzeugt ist , auch wenn noch kein Beweis erbracht wurde. Alternativ kann die Aussage auch falsch sein, aber dennoch als Slogan oder Beispiel für ein korrektes Prinzip dienen. Hasses lokal -globales Prinzip ist ein besonders einflussreiches Beispiel hierfür.

offensichtlich

Sieh klar .

Der Beweis wird dem Leser als Übung überlassen.

Wird üblicherweise auf eine Behauptung innerhalb eines größeren Beweises angewendet, wenn der Beweis dieser Behauptung von jedem Mitglied des Publikums mit den erforderlichen Fachkenntnissen routinemäßig erbracht werden kann, aber nicht so einfach ist, dass er offensichtlich wäre .

trivial

Ähnlich wie „klar“ . Ein Begriff ist trivial, wenn er per Definition gilt, eine unmittelbare Folgerung aus einer bekannten Aussage ist oder ein einfacher Spezialfall eines allgemeineren Begriffs ist.

Dieser Abschnitt enthält Begriffe, die in verschiedenen Bereichen der Mathematik verwendet werden oder die üblicherweise nicht in spezialisierten Glossaren zu finden sind. Begriffe, die nur in bestimmten Bereichen der Mathematik verwendet werden, finden Sie in den Glossaren der Kategorie:Mathematische Glossare .

binär

Eine binäre Relation ist eine Menge geordneter Paare; ein Element x steht genau dann in Beziehung zu einem anderen Element y, wenn ( x , y ) in der Menge enthalten sind.

Korrespondenz

Eine Korrespondenz von einer Menge A zu einer Menge B ist eine Teilmenge eines kartesischen Produkts A × B ; mit anderen Worten, es handelt sich um eine binäre Relation, jedoch mit der in der Definition verwendeten Spezifikation der umgebenden Mengen A , B .

Diagramm

Eine visuelle Darstellung der Beziehung(en) zwischen den Variablen.

Funktion

Eine Funktion f: A → B ist ein geordnetes Tripel ( A, B, f ), bestehend aus den Mengen A, B und einer Teilmenge f des kartesischen Produkts A × B , wobei ( a, b ), ( a, b ′) ∈ f die Bedingung b = b ′ impliziert . Anders ausgedrückt: Es handelt sich um eine spezielle Zuordnung , bei der jedem Element a aus A genau ein Element b aus B zugeordnet ist.

grundlegend

Der Begriff fundamental wird verwendet, um einen Satz zu beschreiben, der in einem bestimmten Bereich der Mathematik als der wichtigste Satz dieses Bereichs angesehen wird (z. B. Fundamentalsatz der Arithmetik für die Arithmetik ).

Invariante

Eine Invariante eines Objekts oder eines Raumes ist eine Eigenschaft oder Zahl des Objekts oder des Raumes, die unter bestimmten Transformationen unverändert bleibt.

Karte

Ein Synonym für eine Funktion zwischen Mengen oder einen Morphismus in einer Kategorie. Je nach Autor kann der Begriff „Abbildungen“ oder der Begriff „Funktionen“ bestimmten Arten von Funktionen oder Morphismen vorbehalten sein (z. B. Funktion als analytischer Begriff und Abbildung als allgemeiner Begriff).

Mathematik

Siehe Mathematik .

mehrwertig

Eine „ mehrwertige Funktion “ von einer Menge A in eine Menge B ist eine Funktion von A in die Teilmengen von B. Sie hat typischerweise die Eigenschaft, dass es für fast alle Punkte x von B eine Umgebung von x gibt, so dass die Einschränkung der Funktion auf die Umgebung als eine Menge von Funktionen von der Umgebung nach B betrachtet werden kann .

Vorsprung

Eine Projektion ist, vereinfacht gesagt, eine Abbildung von einem Raum oder Objekt auf einen anderen, die bestimmte Informationen über das Objekt oder den Raum auslässt. Beispielsweise ist eine Projektion, und ihre Einschränkung auf den Graphen einer Funktion, etwa f(x) = 0, ist ebenfalls eine Projektion. Die Begriffe „ idempotenter Operator “ und „ vergessliche Abbildung “ sind Synonyme für eine Projektion.${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ,(x,y)\mapsto x}$

Struktur

Eine mathematische Struktur eines Objekts ist eine zusätzliche Menge von Objekten oder Daten, die dem Objekt zugeordnet sind (z. B. Relation, Operation, Metrik, Topologie).

• Glossar der Bereiche der Mathematik
• Liste mathematischer Konstanten
• Liste mathematischer Symbole
• Kategorie: Mathematische Terminologie

• Eilenberg, Samuel ; Mac Lane, Saunders (1942), „Natürliche Isomorphismen in der Gruppentheorie“, Proc. Natl. Acad. Sci. USA , 28 (12): 537–543 , Bibcode : 1942PNAS...28..537E , doi : 10.1073/pnas.28.12.537 , PMC  1078535 , PMID  16588584Die
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• Enzyklopädie der Mathematik