*-Algebra

In der Mathematik , insbesondere in der abstrakten Algebra , ist eine *-Algebra (oder involutive Algebra ; gesprochen „Stern-Algebra“) eine mathematische Struktur, die aus zwei involutiven Ringen R und A besteht , wobei R kommutativ ist und A die Struktur einer assoziativen Algebra über R besitzt . Involutive Algebren verallgemeinern die Idee eines mit Konjugation ausgestatteten Zahlensystems, beispielsweise die komplexen Zahlen und die komplexe Konjugation , Matrizen über den komplexen Zahlen und die konjugiert Transponierte sowie lineare Operatoren über einem Hilbertraum und hermitesche Adjungierte . Es kann jedoch vorkommen, dass eine Algebra keine Involution zulässt . ^{[ a ]}

In mathematics, a *-ring is a ringA with a map * : A → A that is an antiautomorphism and an involution.

More precisely, * is required to satisfy the following properties:^[1]

• (x + y)* = x* + y*
• (x y)* = y* x*
• 1* = 1
• (x*)* = x

for all x, y in A.

This is also called an involutive ring, involutory ring, and ring with involution. The third axiom is implied by the second and fourth axioms, making it redundant.

Elements such that x* = x are called self-adjoint.^[2]

Archetypical examples of a *-ring are fields of complex numbers and algebraic numbers with complex conjugation as the involution. One can define a sesquilinear form over any *-ring.

Also, one can define *-versions of algebraic objects, such as ideal and subring, with the requirement to be *-invariant: x ∈ I ⇒ x* ∈ I and so on.

*-rings are unrelated to star semirings in the theory of computation.

Eine *-Algebra A ist ein *-Ring, ^{[ b ]} mit Involution * , die eine assoziative Algebra über einem kommutativen *-Ring R mit Involution ′ ist , sodass ( r x )* = r ′ x * ∀ r ∈ R , x ∈ A . ^{[ 3 ]}

Der Basis-*-Ring R ist oft die komplexe Zahl (wobei ′ als komplexe Konjugation fungiert).

Aus den Axiomen folgt, dass * auf A konjugiert-linear in R ist , was bedeutet

( λ x + μ y )* = λ ′ x * + μ ′ y *

für λ , μ ∈ R , x , y ∈ A .

Ein *-Homomorphismus f  : A → B ist ein Algebrahomomorphismus , der mit den Involutionen von A und B kompatibel ist , d.h.

• f ( a *) = f ( a )* für alle a in A . ^{[ 2 ]}

Die *-Operation auf einem *-Ring ist analog zur komplexen Konjugation der komplexen Zahlen. Die *-Operation auf einer *-Algebra ist analog zur Bildung der Adjungierten in komplexen Matrixalgebren .

Die * Involution ist eine unäre Operation , die mit einem nachgestellten Sternglyphen geschrieben wird, der oberhalb oder nahe der Mittellinie zentriert ist :

x ↦ x * , oder

x ↦ x ^∗ ( TeX :x^*),

aber nicht als " x ∗ "; siehe den Artikel mit dem Sternchen für weitere Details.

• Jeder kommutative Ring wird mit der trivialen ( identischen ) Involution zu einem *-Ring .
• Das bekannteste Beispiel für einen *-Ring und eine *-Algebra über den reellen Zahlen ist der Körper der komplexen Zahlen C, wobei * einfach die komplexe Konjugation ist .
• Allgemeiner ist eine Körpererweiterung durch Adjunktion einer Quadratwurzel (wie etwa der imaginären Einheit √ −1 ) eine *-Algebra über dem ursprünglichen Körper, der als trivial-*-Ring betrachtet wird. Das * kehrt das Vorzeichen der Quadratwurzel um.
• Ein quadratischer ganzzahliger Ring (für ein D ) ist ein kommutativer *-Ring, wobei das * auf ähnliche Weise definiert ist; quadratische Körper sind *-Algebren über geeigneten quadratischen ganzzahligen Ringen.
• Quaternionen , Split-Komplexe Zahlen , Dualzahlen und möglicherweise andere hyperkomplexe Zahlensysteme bilden *-Ringe (mit ihrer eingebauten Konjugationsoperation) und *-Algebren über den reellen Zahlen (wobei * trivial ist). Keine dieser drei ist eine komplexe Algebra.
• Hurwitz-Quaternionen bilden mit der Quaternionenkonjugation einen nichtkommutativen *-Ring.
• Die Matrixalgebra der n × n Matrizen über R mit * ist durch die Transposition gegeben .
• Die Matrixalgebra der n × n Matrizen über C , wobei * durch die konjugiert Transponierte gegeben ist .
• Die Verallgemeinerung, die hermitesche Adjungierte in der Algebra der beschränkten linearen Operatoren auf einem Hilbertraum , definiert ebenfalls eine *-Algebra.
• Der Polynomring R [ x ] über einem kommutativen trivial-*-Ring R ist eine *-Algebra über R mit P *( x ) = P (− x ) .
• Wenn ( A , +, ×, *) gleichzeitig ein *-Ring, eine Algebra über einem Ring R (kommutativ) ist und ( r x )* = r ( x *) ∀ r ∈ R , x ∈ A , dann ist A eine *-Algebra über R (wobei * trivial ist).
  • Als Teilfall ist jeder *-Ring eine *-Algebra über den ganzen Zahlen .
• Jeder kommutative *-Ring ist eine *-Algebra über sich selbst und allgemeiner über jedem seiner *-Unterringe .
• Für einen kommutativen *-Ring R ist sein Quotient nach einem seiner *-Ideale eine *-Algebra über R.
  • Beispielsweise ist jeder kommutative trivial-*-Ring eine *-Algebra über seinem dualen Zahlenring , einem *-Ring mit nicht-trivialen *, weil der Quotient nach ε = 0 den ursprünglichen Ring ergibt.
  • Gleiches gilt für einen kommutativen Ring K und seinen Polynomring K [ x ] : Der Quotient nach x = 0 stellt K wieder her .
• In der Hecke-Algebra ist eine Involution wichtig für das Kazhdan-Lusztig-Polynom .
• Der Endomorphismenring einer elliptischen Kurve wird zu einer *-Algebra über den ganzen Zahlen, wobei die Involution durch die duale Isogenie gegeben ist . Eine ähnliche Konstruktion funktioniert für abelsche Varietäten mit einer Polarisation , in diesem Fall wird sie Rosati-Involution genannt (siehe Milnes Vorlesungsskript über abelsche Varietäten).

Involutive Hopf-Algebren sind wichtige Beispiele für *-Algebren (mit der zusätzlichen Struktur einer kompatiblen Komultiplikation ); das bekannteste Beispiel ist:

• Die Hopf-Algebra : ein Gruppenring mit der Involution g ↦ g ⁻¹ .

Nicht jede Algebra erlaubt eine Involution:

Betrachten wir die 2×2- Matrizen über den komplexen Zahlen. Wir betrachten die folgende Unteralgebra: $${\displaystyle {\mathcal {A}}:=\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\0&0\end{pmatrix}}:a,b\in \mathbb {C} \right\}}$$

Jeder nichttriviale Antiautomorphismus hat notwendigerweise die Form: ^{[ 4 ]} für jede komplexe Zahl . $${\displaystyle \varphi _{z}\left[{\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}\right]={\begin{pmatrix}1&z\\0&0\end{pmatrix}}\quad \varphi _{z}\left[{\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}\right]={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}}}$$${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$

Daraus folgt, dass jeder nichttriviale Antiautomorphismus nicht involutiv ist: $${\displaystyle \varphi _{z}^{2}\left[{\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}\right]={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}}\neq {\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}}$$

Daraus folgt, dass die Unteralgebra keine Involution zulässt.

Viele Eigenschaften der Transponierten gelten auch für allgemeine *-Algebren:

• Die hermiteschen Elemente bilden eine Jordan-Algebra ;
• Die schiefhermiteschen Elemente bilden eine Lie-Algebra ;
• Wenn 2 im *-Ring invertierbar ist, dann sind die Operatoren ⁠1/2( 1 + *) und1/2( 1 − *) sind orthogonale Idempotente ^{[ 2 ]} , die als symmetrisierend und antisymmetrisierend bezeichnet werden. Daher zerfällt die Algebra als direkte Summe von Moduln ( Vektorräumen , falls der *-Ring ein Körper ist) symmetrischer und antisymmetrischer (hermitescher und schiefhermitescher) Elemente. Diese Räume bilden im Allgemeinen keine assoziativen Algebren, da die Idempotente Operatoren und keine Elemente der Algebra sind.

Given a *-ring, there is also the map −* : x ↦ −x*. It does not define a *-ring structure (unless the characteristic is 2, in which case −* is identical to the original *), as 1 ↦ −1, neither is it antimultiplicative, but it satisfies the other axioms (linear, involution) and hence is quite similar to *-algebra where x ↦ x*.

Elements fixed by this map (i.e., such that a = −a*) are called skew Hermitian.

For the complex numbers with complex conjugation, the real numbers are the Hermitian elements, and the imaginary numbers are the skew Hermitian.

• Semigroup with involution
• B*-algebra
• C*-algebra
• Dagger category
• von Neumann algebra
• Baer ring
• Operator algebra
• Conjugate (algebra)
• Cayley–Dickson construction
• Composition algebra