In der geometrischen Wahrscheinlichkeitstheorie gibt der nach James G. Wendel benannte Satz von Wendel die Wahrscheinlichkeit an , dass N Punkte, die gleichverteilt zufällig auf einer n -dimensionalen Hypersphäre verteilt sind, alle auf derselben Hälfte der Hypersphäre liegen. Anders ausgedrückt: Man sucht die Wahrscheinlichkeit, dass es einen Halbraum mit dem Ursprung auf seinem Rand gibt, der alle N Punkte enthält. Der Satz von Wendel besagt, dass diese Wahrscheinlichkeit [ 1 ] beträgt.
Die Aussage entspricht der Wahrscheinlichkeit, dass der Ursprung nicht in der konvexen Hülle der N Punkte enthalten ist, und gilt für jede Wahrscheinlichkeitsverteilung auf ℝⁿ , die symmetrisch um den Ursprung ist. Dies schließt insbesondere alle Verteilungen ein, die rotationsinvariant um den Ursprung sind.
Dies ist im Wesentlichen eine probabilistische Umformulierung des Satzes von Schläfli , dass Hyperebenen in allgemeiner Lage den Raum in Gebiete unterteilen . [ 2 ]
Referenzen
- ^ Wendel, James G. (1962), „Ein Problem der geometrischen Wahrscheinlichkeit“ , Math. Scand. , 11 : 109–111 , doi : 10.7146/math.scand.a-10655
- ^ Cover, Thomas M.; Efron, Bradley (Februar 1967). „Geometrische Wahrscheinlichkeit und Zufallspunkte auf einer Hypersphäre“ . The Annals of Mathematical Statistics . 38 (1): 213–220 . doi : 10.1214/aoms/1177699073 . ISSN 0003-4851 .
