Youngsches Gitter

In der Mathematik ist der Youngsche Verband ein Verband , der aus allen ganzzahligen Partitionen gebildet wird . Er ist nach Alfred Young benannt , der in einer Reihe von Arbeiten zur quantitativen Substitutionsanalyse die Darstellungstheorie der symmetrischen Gruppe entwickelte . In Youngs Theorie spielten die heute als Young-Diagramme bezeichneten Objekte und die darauf befindliche partielle Ordnung eine zentrale, ja sogar entscheidende Rolle. Der Youngsche Verband ist von großer Bedeutung in der algebraischen Kombinatorik und stellt das einfachste Beispiel einer differentiellen partiell geordneten Menge im Sinne von Stanley (1988) dar . Er ist außerdem eng mit den Kristallbasen affiner Lie-Algebren verbunden .

Der Youngsche Verband ist ein Verband (und damit auch eine partiell geordnete Menge ) Y, der aus allen ganzzahligen Partitionen besteht, die durch die Einbeziehung ihrer Young-Diagramme (oder Ferrers-Diagramme ) geordnet sind.

Die traditionelle Anwendung des Youngschen Verbandes besteht in der Beschreibung der irreduziblen Darstellungen symmetrischer Gruppen S_{_n} für alle n sowie ihrer Verzweigungseigenschaften in Charakteristik Null. Die Äquivalenzklassen irreduzibler Darstellungen lassen sich durch Partitionen oder Youngsche Diagramme parametrisieren, die Einschränkung von S_{_{n +1}} auf S _n ist multiplizitätsfrei, und die Darstellung von S _{_n} mit Partition p ist genau dann in der Darstellung von S _{_{n +1}} mit Partition q enthalten , wenn q p im Youngschen Verband überdeckt . Durch Iteration dieses Verfahrens gelangt man zur Youngschen semikanonischen Basis in der irreduziblen Darstellung von S _{_n} mit Partition p , die durch die Standard-Young-Tableaux der Form p indiziert wird  .

• Die partiell geordnete Menge Y ist graduiert : Das kleinste Element ist ∅, die eindeutige Partition von Null, und die Partitionen von n haben Rang n . Das bedeutet, dass bei zwei vergleichbaren Partitionen im Verband die Ränge in der gleichen Weise geordnet sind wie die Partitionen selbst, und es gibt mindestens eine Zwischenpartition jedes Zwischenrangs.
• Die partiell geordnete Menge Y ist ein Verband. Schnitt und Vereinigung zweier Partitionen ergeben sich aus dem Durchschnitt und der Vereinigung der zugehörigen Young-Diagramme. Da es sich um einen Verband handelt, in dem Schnitt- und Vereinigungsoperationen durch Durchschnitte und Vereinigungen dargestellt werden, ist er ein distributiver Verband .
• Wenn eine Partition p k Elemente des Youngschen Verbandes für ein bestimmtes k überdeckt , dann wird sie von k  + 1 Elementen überdeckt. Alle von p überdeckten Partitionen lassen sich finden, indem man eine der „Ecken“ ihres Youngschen Diagramms entfernt (Kästchen am Ende sowohl ihrer Zeile als auch ihrer Spalte). Alle Partitionen, die p überdecken , lassen sich finden, indem man eine der „Doppelecken“ zu ihrem Youngschen Diagramm hinzufügt (Kästchen außerhalb des Diagramms, die jeweils das erste Kästchen in ihrer Zeile und ihrer Spalte sind). Es gibt immer eine Doppelecke in der ersten Zeile, und für jede weitere Doppelecke gibt es eine Ecke in der vorherigen Zeile, woraus die genannte Eigenschaft folgt.
• Wenn zwei verschiedene Partitionen p und q jeweils k Elemente von Y abdecken, dann ist k gleich 0 oder 1, und p und q werden von jeweils k Elementen abgedeckt. Vereinfacht ausgedrückt: Zwei Partitionen können höchstens eine (dritte) Partition haben, die von beiden abgedeckt wird (ihre jeweiligen Diagramme enthalten dann jeweils ein Kästchen, das nicht zur anderen gehört). In diesem Fall gibt es auch eine (vierte) Partition, die beide abdeckt (deren Diagramm die Vereinigung ihrer Diagramme ist).
• Gesättigte Ketten zwischen ∅ und p stehen in natürlicher Bijektion zu den Standard -Young-Tableaus der Form p : Die Diagramme in der Kette addieren die Kästchen des Diagramms des Standard-Young-Tableaus in der Reihenfolge ihrer Nummerierung. Allgemeiner stehen gesättigte Ketten zwischen q und p in natürlicher Bijektion zu den schiefen Standard-Tableaus der schiefen Form p / q .
• Die Möbiusfunktion des Youngschen Gitters nimmt die Werte 0, ±1 an. Sie ist durch die Formel gegeben.

${\displaystyle \mu (q,p)={\begin{cases}(-1)^{|p|-|q|}&{\text{falls das Schiefdiagramm }}p/q{\text{ eine unzusammenhängende Vereinigung von Quadraten ist}}\\&{\text{(keine gemeinsamen Kanten);}}\\[10pt]0&{\text{sonst}}.\end{cases}}}$

Der Teil des Youngschen Gitters, der unterhalb von 1 + 1 + 1 + 1, 2 + 2 + 2, 3 + 3 und 4 liegt

Konventionelles Diagramm mit Partitionen gleichen Ranges auf gleicher Höhe

Diagramm zur Veranschaulichung der Diedersymmetrie

Üblicherweise wird der Youngsche Verband in einem Hasse-Diagramm dargestellt , wobei alle Elemente gleichen Ranges die gleiche Höhe über dem unteren Rand aufweisen. Suter (2002) hat gezeigt, dass eine alternative Darstellungsweise für einige Teilmengen des Youngschen Verbandes unerwartete Symmetrien offenbart.

Die Trennwand

${\displaystyle n+\cdots +3+2+1}$

Die n -te Dreieckszahl besitzt ein Ferrers-Diagramm , das einer Treppe ähnelt. Die größten Elemente, deren Ferrers-Diagramme rechteckig sind und die unterhalb dieser Treppe liegen, sind folgende:

${\displaystyle {\begin{array}{c}\underbrace {1+\cdots \cdots \cdots +1} _{n{\text{ Terme}}}\\\underbrace {2+\cdots \cdots +2} _{n-1{\text{ Terme}}}\\\underbrace {3+\cdots +3} _{n-2{\text{ Terme}}}\\\vdots \\\underbrace {{}\quad n\quad {}} _{1{\text{ Term}}}\end{array}}}$

Partitionen dieser Form sind die einzigen, die im Youngschen Verband genau ein Element direkt darunter haben. Suter zeigte, dass die Menge aller Elemente kleiner oder gleich diesen Partitionen nicht nur die für den Youngschen Verband typische bilaterale Symmetrie, sondern auch Rotationssymmetrie aufweist: Die Rotationsgruppe der Ordnung  n  + 1 operiert auf dieser partiell geordneten Menge. Da diese Menge sowohl bilaterale als auch Rotationssymmetrie besitzt, muss sie auch Diedersymmetrie aufweisen: Die ( n  + 1)-te Diedergruppe operiert treu auf dieser Menge. Die Größe dieser Menge ist ²ⁿ .

Wenn beispielsweise n  = 4 ist, dann sind die maximalen Elemente unter der „Treppe“, die rechteckige Ferrers-Diagramme aufweisen,

1 + 1 + 1 + 1

2 + 2 + 2

3 + 3

4

_{Die unterhalb dieser Partitionen liegende Teilmenge des Youngschen Gitters besitzt sowohl bilaterale Symmetrie als auch} fünfzählige Rotationssymmetrie. Daher wirkt die Diedergruppe  D₅ genau auf diese Teilmenge des Youngschen Gitters.

• Young-Fibonacci-Gitter
• Bratteli-Diagramm

• Misra, Kailash C.; Miwa, Tetsuji (1990). „Kristallbasis für die Basisdarstellung von “. Communications in Mathematical Physics . 134 (1): 79–88 . Bibcode : 1990CMaPh.134...79M . doi : 10.1007/BF02102090 . S2CID 120298905 .${\displaystyle U_{q}({\widehat {\mathfrak {sl}}}(n))}$ 
• Sagan, Bruce (2000). Die symmetrische Gruppe . Berlin: Springer. ISBN 0-387-95067-2Die
• Stanley, Richard P. (1988). „Differential posets“ . Journal of the American Mathematical Society . 1 (4): 919–961 . doi : 10.2307/1990995 . JSTOR  1990995 .
• Suter, Ruedi (2002). „Youngsche Gitter- und Diedersymmetrien“ . European Journal of Combinatorics . 23 (2): 233–238 . doi : 10.1006/eujc.2001.0541 .