Anleihenbewertung

Die Bewertung von Anleihen ist der Prozess der Schätzung des fairen Werts einer Anleihe . Beim Barwertverfahren entspricht der Wert der Summe der erwarteten Zahlungsströme, diskontiert mit angemessenen Zinssätzen. ^{[ 1 ] [ 2 ]}

In der Praxis wird der Diskontsatz häufig anhand ähnlicher, liquiderer Instrumente ermittelt. Für einen gegebenen Preis lassen sich dann verschiedene Renditekennzahlen berechnen (siehe Rendite- und Preisbeziehungen ). Liegt der Marktpreis einer Anleihe unter dem Nennwert , wird sie mit einem Abschlag gehandelt ; liegt er darüber, mit einem Aufschlag . Zu den auf dieser Seite verwendeten Methoden gehören die relative Preisbildung und die arbitragefreie Preisbildung .

Enthält eine Anleihe eingebettete Optionen , kombiniert die Bewertung die Optionspreisberechnung mit einer Abzinsung. Je nach Optionstyp wird der Optionswert zum Wert der optionsfreien Anleihe addiert oder von diesem subtrahiert, um den Gesamtpreis zu ermitteln. ^{[ 3 ]} Siehe eingebettete Optionen .

Der faire Preis einer „einfachen“ Anleihe (ohne eingebettete Optionen – siehe Anleihemerkmale ) entspricht dem Barwert ihrer erwarteten Zahlungsströme, diskontiert mit angemessenen Zinssätzen. In der Praxis werden Preise häufig relativ zu liquideren Instrumenten ermittelt. Zwei Ansätze sind üblich: die relative Preisbildung und die arbitragefreie Preisbildung . Wenn die Bewertung Unsicherheiten hinsichtlich zukünftiger Zinssätze berücksichtigen muss, beispielsweise bei der Bewertung einer Anleiheoption , verwenden Analysten Zinsmodelle. ^{[ 4 ]}

Eine einfache Berechnung diskontiert jeden Cashflow mit einem einheitlichen Marktzinssatz für alle Perioden. Eine realistischere Variante diskontiert jeden Cashflow mit seinem individuellen Zinssatz entlang der Zinskurve. ^{[ 2 ] : 294} Die folgende Formel setzt voraus, dass ein Kupon gerade gezahlt wurde. Siehe „Netto- und verrechneter Preis“ für andere Zeitpunkte. wobei: $${\displaystyle P\;=\;\sum _{n=1}^{N}{\frac {C}{(1+i)^{n}}}\;+\;{\frac {M}{(1+i)^{N}}}\;=\;C\,{\frac {1-(1+i)^{-N}}{i}}\;+\;M\,(1+i)^{-N}.}$$

• ${\displaystyle F}$ist der Nennwert
• ${\displaystyle i_{c}}$ist der Kuponzinssatz pro Periode
• ${\displaystyle C=F\,i_{c}}$ist die Gutscheinzahlung pro Periode
• ${\displaystyle N}$ist die Anzahl der verbleibenden Zahlungen
• ${\displaystyle i}$ist der Marktdiskontsatz pro Periode (oft in Verbindung mit der Rendite bis zur Fälligkeit ).
• ${\displaystyle M}$ist der Rückzahlungsbetrag bei Fälligkeit (in der Regel gleich )${\displaystyle F}$
• ${\displaystyle P}$ist der Anleihepreis

Bei diesem Ansatz wird der Anleihepreis relativ zu einem Referenzwert, üblicherweise der Zinsstrukturkurve von Staatsanleihen, festgelegt. Die Rendite bis zur Fälligkeit der Anleihe wird als die Rendite des Referenzwerts zuzüglich eines dem Kreditrating und der Laufzeit bzw. Duration entsprechenden Kreditaufschlags bestimmt . Diese erforderliche Rendite wird in der obigen Barwertformel verwendet, indem der Platzhalter durch die Rendite bis zur Fälligkeit der Anleihe ersetzt wird. ^{[ 5 ]}${\displaystyle i}$

Bei diesem Ansatz wird jeder zugesagte Zahlungsstrom mit seinem eigenen Diskontsatz bewertet. Die Anleihe wird als ein Paket von Zahlungsströmen betrachtet, und jeder einzelne wird mit dem Zinssatz diskontiert, der sich aus einer entsprechenden Nullkuponanleihe mit gleicher Laufzeit und Bonität ergibt. ^{[ 6 ]}

Sei der Cashflow zum Zeitpunkt und der Diskontierungsfaktor für diesen Zeitpunkt. Dann ${\displaystyle CF_{n}}$${\displaystyle t_{n}}$${\displaystyle Z(0,t_{n})}$$${\displaystyle P\;=\;\sum _{n=1}^{N}CF_{n}\,Z(0,t_{n}).}$$

Dies ist der arbitragefreie Preis. Weicht der Marktpreis von diesem Wert ab, können Händler Vermögenswerte mit identischen Cashflows konstruieren und einen Gewinn sichern, bis sich die Preise anpassen. Die allgemeine Argumentation finden Sie unter „Rationale Preisbildung § Vermögenswerte mit identischen Cashflows“ .

Eine Entwicklung in diesem Zusammenhang ist, dass Investmentbanken nach der Krise ihre Anleihen mithilfe von CSA -basierten Diskontkurven bewerten werden , während sie die erwarteten Cashflows mithilfe einer Emittenten -Kreditkurve an das Ausfallrisiko anpassen . Siehe Multi-Kurven-Framework § Kontext .

Bei der Preisbildung einer Anleiheoption oder eines anderen Zinsderivats sind zukünftige Kurzfristzinssätze zufällig, weshalb ein einzelner fester Diskontsatz nicht ausreicht. In diesem Fall verwendet man ein Ein-Faktor- Kurzfristzinsmodell und eine risikoneutrale Bewertung.

In einem solchen Modell erfüllt der Preis einer Nullkuponanleihe mit Fälligkeit zum Zeitpunkt t die risikoneutrale Anleihen-PDE, wobei δ die risikoneutrale Drift des Kurzfristzinssatzes und γ seine Volatilität ist. ^{[ 7 ] [ 8 ]}${\displaystyle P(t,r;T)}$${\displaystyle T}$$${\displaystyle {\frac {\partial P}{\partial t}}\;+\;a_{\mathbb {Q} }(r,t)\,{\frac {\partial P}{\partial r}}\;+\;{\tfrac {1}{2}}\,\sigma (r,t)^{2}\,{\frac {\partial ^{2}P}{\partial r^{2}}}\;-\;r\,P\;=\;0,}$$${\displaystyle a_{\mathbb {Q} }(r,t)}$${\displaystyle \sigma (r,t)}$

Äquivalent dazu gilt unter dem risikoneutralen Maß : ${\displaystyle \mathbb {Q} }$$${\displaystyle P(t,T,r_{t})\;=\;\mathbb {E} ^{\mathbb {Q} }\!{\bigl [}\exp \!{\bigl (}-\textstyle \int _{t}^{T}r_{s}\,\mathrm {d} s{\bigr )}\,{\big |}\,r_{t}{\bigr ]}.}$$

Um in der Praxis einen konkreten Wert zu erhalten, muss ein spezifisches Kurzfristzinsmodell gewählt werden. Gängige Modelle sind das CIR-Modell , das Black-Derman-Toy-Modell , das Hull-White-Modell , das HJM-Modell und das Chen-Modell . Einige Modelle liefern geschlossene Lösungen. Andernfalls kann ein Gittermodell oder eine Simulation verwendet werden .

Wird eine Anleihe zwischen zwei Kuponterminen bewertet, beinhaltet der Preis die seit dem vorherigen Kupontermin aufgelaufenen Zinsen . Dieser Preis inklusive aufgelaufener Zinsen wird als „ Dirty Price“ (auch „Full Price“, „All-in Price“ oder „Cash Price“ genannt) bezeichnet. Der „Clean Price“ ( ohne aufgelaufene Zinsen) hingegen schließt die aufgelaufenen Zinsen aus.

Die Preise für bereinigte Zinsen sind im Zeitverlauf stabiler als die Preise für verdorbene Zinsen. Der Preis für verdorbene Zinsen steigt zwischen den Kuponzahlungen deterministisch mit dem Zinsaufkommen und sinkt dann um etwa den Kuponbetrag, wenn der Kupon ausgezahlt wird. Hierbei handelt es sich um die aufgelaufenen Zinsen für die aktuelle Kuponperiode. Gemäß der Konvention der Markttagezählung berechnet man üblicherweise wie folgt: Dabei ist der Kupon für die Periode und der Zinsaufschlagsanteil vom letzten Kupon bis zum Bewertungsstichtag. $${\displaystyle P_{\text{schmutzig}}\;=\;P_{\text{sauber}}\;+\;{\text{AI}}.}$$${\displaystyle {\text{KI}}}$$${\displaystyle {\text{AI}}\;=\;C\times \alpha ,}$$${\displaystyle C}$${\displaystyle \alpha }$

Beispielsweise zahlt eine Anleihe jährlich am 1. April und 1. Oktober Zinsen. Der jährliche Kuponzins beträgt 6 % auf den Nennwert von 100, sodass jeder Halbjahreskupon 100 beträgt. Angenommen, die Fälligkeit ist am 1. Juli 2025. Bei einer 30/360-Tage-Zählung beträgt der anteilige Zinsbetrag vom 1. April bis zum 1. Juli 100. Die aufgelaufenen Zinsen betragen 100. Wenn der notierte Kurs ohne Zinsen 98,20 beträgt, dann beträgt der Kurs ohne Zinsen 100. $${\displaystyle C=0.06\times {\frac {100}{2}}=3.}$$$${\displaystyle \alpha ={\frac {90}{180}}=0,50.}$$$${\displaystyle {\text{AI}}=C\times \alpha =3.00\times 0.50=1.50.}$$$${\displaystyle P_{\text{schmutzig}}=P_{\text{sauber}}+{\text{AI}}=98.20+1.50=99.70.}$$

In vielen Märkten basieren die Kurse auf dem Nettopreis. Bei der Abrechnung werden die aufgelaufenen Zinsen zum notierten Nettopreis hinzugerechnet, um den zu zahlenden Betrag zu ermitteln.

Sobald der Preis bekannt ist, können verschiedene Renditen berechnet werden, die den Preis mit den Cashflows der Anleihe in Beziehung setzen.

Die Rendite bis zur Fälligkeit (YTM) ist der Diskontsatz, der den Barwert aller zugesagten Zahlungsströme dem beobachteten Marktpreis einer Anleihe ohne Optionen gleichsetzt. Sie entspricht dem internen Zinsfuß der Zahlungsströme, wenn diese planmäßig eingehen und zum YTM-Wert reinvestiert werden. Da die YTM zur Preisfindung herangezogen werden kann, werden Anleihen häufig mit ihrer YTM notiert.

Um eine Rendite in Höhe der angegebenen Rendite bis zur Fälligkeit (YTM) zu erzielen, müsste der Anleger Folgendes tun:

• Kaufen Sie die Anleihe zum angegebenen Preis ,${\displaystyle P}$
• Sie erhalten alle Gutscheine und den Kapitalbetrag planmäßig und ohne Zahlungsverzug, und
• Jeder Coupon wird bis zur Fälligkeit zum Renditeertrag reinvestiert.

Der Kuponzinssatz ist der angegebene jährliche Kupon als Prozentsatz des Nennwerts . Werden die Kupons mehrmals jährlich gezahlt und beträgt der Kupon pro Periode , so ist der jährliche Kupon . Der Kuponzinssatz wird auch als Nominalkupon bezeichnet. ${\displaystyle F}$${\displaystyle m}$${\displaystyle C}$${\displaystyle mC}$$${\displaystyle {\text{Couponrate}}\;=\;{\frac {mC}{F}}.}$$

Die aktuelle Rendite ergibt sich aus dem jährlichen Kupon dividiert durch den (bereinigten) Preis am Bewertungsstichtag: ${\displaystyle P}$$${\displaystyle {\text{Aktuelle Ausbeute}}\;=\;{\frac {mC}{P}}.}$$

Das Konzept der laufenden Rendite steht in engem Zusammenhang mit anderen Anleihekonzepten, darunter die Rendite bis zur Endfälligkeit und die Kuponrendite. Der Zusammenhang zwischen der Rendite bis zur Endfälligkeit und dem Kuponzinssatz ist wie folgt:

Wenn der Preis unter den Nennwert fällt, steigt die Rendite bis zur Fälligkeit, und zwar stärker als die laufende Rendite, da sie auch den bei der Rückzahlung realisierten Kapitalgewinn widerspiegelt.

Die Preissensitivität einer Anleihe gegenüber Renditeänderungen wird anhand der Duration für den Effekt erster Ordnung und anhand der Konvexität für den Effekt zweiter Ordnung gemessen.

Die Duration (genauer: die modifizierte Duration) ist ein Maß erster Ordnung für die Preissensitivität. Bei einer kleinen parallelen Renditeänderung entspricht die prozentuale Preisänderung annähernd dem Produkt aus Duration und dem Betrag 1/2. Hat eine Anleihe beispielsweise eine Duration von 7, so führt ein Renditeanstieg um einen Prozentpunkt zu einer Preisänderung von etwa 1/2 % ( Konvexität außer Acht gelassen). ${\displaystyle \Delta y}$${\displaystyle \Delta y}$${\displaystyle -7\%}$

$${\displaystyle {\frac {\Delta P}{P}}\;\approx \;-\,D\,\Delta y\;+\;{\tfrac {1}{2}}\,C\,(\Delta y)^{2}.}$$

Die Konvexität misst die Krümmung der Preis-Rendite-Beziehung. Der Preis verhält sich nicht linear zur Rendite, sondern konvex. Formal ist die Duration die erste Ableitung des Preises nach der Rendite, die Konvexität die zweite. Die Verwendung beider Größen verbessert die Schätzung in der obigen Formel.

Bei Anleihen mit eingebetteten Optionen siehe effektive Duration und effektive Konvexität . Für den Portfoliokontext siehe Unternehmensanleihen#Risikoanalyse .

Bei der Bilanzierung langfristiger Verbindlichkeiten werden etwaige Disagio- oder Agio-Beträge über die Laufzeit der Anleihe abgeschrieben. Standardmäßig wird hierfür die Effektivzinsmethode angewendet. Nach IFRS ist diese Methode vorgeschrieben, wenn Instrumente zu fortgeführten Anschaffungskosten bewertet werden. Nach US-GAAP ist sie ebenfalls vorgeschrieben, wobei die lineare Abschreibungsmethode nur dann zulässig ist, wenn das Ergebnis nicht wesentlich von der Effektivzinsmethode abweicht. ^{[ 9 ] [ 10 ]}

Seien der Buchwert zum Ausgabetag, der Nennwert, der periodische Kupon und der effektive periodische Zinssatz (die Marktrendite bei Emission). Für Perioden : ${\displaystyle P_{0}}$${\displaystyle F}$${\displaystyle C}$${\displaystyle r}$${\displaystyle n=1,\dots ,N}$

$${\displaystyle I_{n}\;=\;r\,P_{n-1}.}$$$${\displaystyle A_{n}\;=\;I_{n}-C.}$$$${\displaystyle P_{n}\;=\;P_{n-1}+A_{n}\;=\;P_{n-1}(1+r)-C.}$$

Bei einem Abschlag erhöht sich der Buchwert . Bei einem Aufschlag verringert sich der Buchwert . Bei Fälligkeit , sofern keine Emissionskosten anfallen. ${\displaystyle A_{n}>0}$${\displaystyle F}$${\displaystyle A_{n}<0}$${\displaystyle F}$${\displaystyle P_{N}=F}$

• Liste der Anleihenbewertungsthemen
• Asset-Swap-Spread
• Konvexität der Bindung
• Anleihelaufzeit
• Anleiheoption
• Sauberer Preis
• Nennertrag
• Aktueller Ertrag
• Schmutziger Preis
• I-Spread
• Optionsbereinigter Spread
• Rendite bis zur Fälligkeit
• Z-Spreizung

• Guillermo L. Dumrauf (2012). "Chapter 1: Pricing and Return". Bonds, a Step by Step Analysis with Excel. Kindle Edition.
• Frank Fabozzi (1998). Valuation of fixed income securities and derivatives (3rd ed.). John Wiley. ISBN 978-1-883249-25-0.
• Frank J. Fabozzi (2005). Fixed Income Mathematics: Analytical & Statistical Techniques (4th ed.). John Wiley. ISBN 978-0071460736.
• R. Stafford Johnson (2010). Bond Evaluation, Selection, and Management (2nd ed.). John Wiley. ISBN 978-0470478356.
• Mayle, Jan (1993), Standard Securities Calculation Methods: Fixed Income Securities Formulas for Price, Yield and Accrued Interest, vol. 1щВлП (3rd ed.), Securities Industry and Financial Markets Association, ISBN 1-882936-01-9
• Donald J. Smith (2011). Bond Math: The Theory Behind the Formulas. John Wiley. ISBN 978-1576603062.
• Bruce Tuckman (2011). Fixed Income Securities: Tools for Today's Markets (3rd ed.). John Wiley. ISBN 978-0470891698.
• Pietro Veronesi (2010). Fixed Income Securities: Valuation, Risk, and Risk Management. John Wiley. ISBN 978-0470109106.
• Burton Malkiel (1962). "Expectations, Bond Prices, and the Term Structure of Interest Rates". The Quarterly Journal of Economics.
• Mark Mobius (2012). Bonds: An Introduction to the Core Concepts. John Wiley. ISBN 978-0470821473.

• Bond Calculator, Comprehensive Bond Calculator
• Anleihenbewertung , Prof. Campbell R. Harvey, Duke University
• Eine Einführung in den Zeitwert des Geldes , Prof. Aswath Damodaran , Stern School of Business
• Anleihepreisvolatilität – Investmentanalystenvereinigung Südafrikas
• Dauer und Konvexität – Investment Analysts Society of South Africa