In der Finanzmathematik bezeichnet der Begriff „Mehrkurvenmodell “ [ 1 ] die Verwendung mehrerer Zinskurven zur Preisbestimmung verschiedener festverzinslicher Wertpapiere und Derivate auf der Grundlage ihrer Merkmale, insbesondere der Laufzeit , aber auch der Währung.

Kontext

Historisch gesehen wurden Zinsswaps (IRS) anhand von Diskontierungsfaktoren bewertet, die aus derselben Kurve abgeleitet wurden, die auch zur Prognose der LIBOR - Zinssätze ( bzw. -IBOR ) für die Zahlungsabwicklung verwendet wurde (die ehemaligen Referenzzinssätze ; siehe unten zu MRRs). Dies wurde als „Selbstdiskontierung“ bezeichnet. Nach der Finanzkrise von 2008 [ 2 ] wurde jedoch deutlich, dass dieser Ansatz ungeeignet war und eine Angleichung an Diskontierungsfaktoren erforderlich war, die mit physischen Sicherheiten der IRS verbunden sind. [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ]

Der heute übliche Preisansatz ist daher das „Mehrkurvenmodell“, bei dem separate Diskontkurven und Prognosekurven erstellt werden; hier jeweils:

Kurvenkonstruktion

Obwohl der Mehrkurvenansatz den Gesamtansatz modifiziert, bleibt das ökonomische Preisprinzip unverändert: Die Werte der Swap-Beine sind bei Vertragsbeginn weiterhin identisch (siehe Rationale Preisbildung § Swaps ). Der Unterschied besteht darin, dass – wie bereits erwähnt – separate Kurven für Zahlungen und Diskontierung erstellt werden.

Hinsichtlich des Kurvenaufbaus ergibt sich Folgendes: [ 7 ] [ 8 ] [ 9 ] [ 2 ] Im alten Rahmen wurde für jede Laufzeit eine einzelne selbstdiskontierte Kurve „gebootstrappt“, d. h. so berechnet, dass sie exakt die beobachteten Preise ausgewählter Instrumente – IRSs mit FRAs im kurzen Bereich – lieferte. Der Aufbau erfolgte sequenziell, datumsbasiert, über diese Instrumente. Im neuen Rahmen werden die verschiedenen Kurven als „Kurvensatz“ optimal an die beobachteten Marktpreise angepasst: eine Kurve für die Diskontierung und je eine „Prognosekurve“ für jede IBOR-Laufzeit. Der Aufbau basiert dann auf Kursen für IRSs und OISs, wobei FRAs wie zuvor einbezogen werden. Da hier der beobachtete durchschnittliche Tagesgeldsatz zuzüglich eines Spreads gegen den -IBOR -Satz für denselben Zeitraum (die liquideste Laufzeit in diesem Markt) getauscht wird [ 10 ] und die -IBOR -IRSs wiederum auf der OIS-Kurve diskontiert werden, handelt es sich um ein nichtlineares System , in dem alle Kurvenpunkte gleichzeitig gelöst werden und üblicherweise spezielle iterative Verfahren zum Einsatz kommen (siehe unten). Die Prognosekurven für andere Laufzeiten können in einem zweiten Schritt im Bootstrap-Verfahren durch Diskontierung auf der nun gelösten OIS-Kurve berechnet werden.

Ein CSA ermöglicht die Hinterlegung von Sicherheiten und damit Zinszahlungen auf diese Sicherheiten in jeder beliebigen Währung. [ 11 ] Um dies zu ermöglichen, integrieren Banken in ihr Kurvenset eine USD -Diskontkurve, die zur Diskontierung von lokalen IBOR- Geschäften mit USD-Sicherheiten verwendet wird; diese Kurve wird mitunter als (Dollar-) Basiskurve bezeichnet . Sie wird durch die Berechnung der beobachteten (Mark-to-Market-) Wechselkurse für Währungsswaps ermittelt , wobei der lokale IBOR gegen USD-LIBOR mit USD-Sicherheiten als Basis getauscht wird. Die aktuellste, vorab berechnete USD-LIBOR-Kurve ist somit ein (externes) Element des Kurvensets, und die Basiskurve wird dann im „dritten Schritt“ berechnet. Das Kurvenset jeder Währung umfasst daher eine Diskontkurve der jeweiligen Landeswährung und die zugehörige USD-Diskontierungsbasiskurve. Wie erforderlich, kann dann eine Drittwährungs-Diskontkurve – d. h. für lokale Geschäfte, die in einer anderen Währung als der Landeswährung oder dem US-Dollar (oder einer beliebigen anderen Kombination) besichert sind – aus der Basiskurve der Landeswährung und der Basiskurve der Drittwährung konstruiert werden, die über eine Arbitragebeziehung, die hier als „FX Forward Invariance“ bezeichnet wird, kombiniert werden. [ 12 ]

Zur Lösung von Kurven sind verschiedene Ansätze möglich. Moderne Methoden verwenden in der Regel globale Optimierer mit vollständiger Flexibilität hinsichtlich der zu lösenden Parameter in Bezug auf die zur Kalibrierung verwendeten Instrumente. Diese Optimierer minimieren eine Zielfunktion – hier die den beobachteten Instrumentenwerten entsprechenden Werte – und setzen voraus, dass ein Interpolationsmodus [ 13 ] [ 14 ] [ 15 ] für die Kurven konfiguriert wurde; der letztendlich verwendete Ansatz kann eine Modifikation des Newton-Verfahrens sein . Die den Eingangsinstrumenten entsprechenden Laufzeiten werden als „Säulenpunkte“ bezeichnet; diese werden oft direkt berechnet, während andere Spotraten interpoliert werden. (Nach der Berechnung müssen dann nur noch die Säulenpunktraten und die Interpolationsregel gespeichert werden .)

Übergang

Ab 2021 wird der LIBOR schrittweise abgeschafft und durch andere Marktreferenzzinssätze (MRRs) wie SOFR und TONAR ersetzt . (Diese MRRs basieren auf besicherten Übernachtfinanzierungsgeschäften .) Durch das Nebeneinander von „alten“ und „neuen“ Zinssätzen am Markt ist ein Management der Multi-Curve- und OIS-Kurven erforderlich. Hierfür müssen Änderungen vorgenommen werden, um neue Diskontierungs- und Zinseszinskonventionen zu integrieren, während die zugrundeliegende Logik unverändert bleibt; siehe [ 16 ] [ 17 ] [ 18 ].

Andere Kurven

Der Begriff „Multikurven“ kann mitunter auch die verschiedenen Kurven zur Beurteilung der Kreditwürdigkeit umfassen . So bewerten Investmentbanken nach der Krise ihre Anleihen mithilfe von CSA-basierten Diskontkurven und passen die erwarteten Cashflows – Kupons und Nennwert – mithilfe einer Emittenten -Kreditkurve an das Ausfallrisiko an . Allgemeiner [ 19 ] werden im Rahmen von XVA – einer wichtigen Entwicklung nach der Krise – CSA-Diskontkurven mit der Überlebenskurve des Kontrahenten sowie mit den relevanten Finanzierungskurven kombiniert, um die verschiedenen Bewertungsanpassungen abzubilden. Weist das zugrunde liegende Instrument Optionen auf – wie Caps und Floors , Swaptions oder eingebettete Derivate –, ist zusätzlich ein Volatilitätswürfel erforderlich.

Risikomanagement

Die Trennung von Diskontierungs- und Terminkurven, die explizite Modellierung des Basisrisikos und die Berücksichtigung von Kredit- und Volatilitätsaspekten erhöhen die Komplexität im Vergleich zum einfacheren Selbstdiskontierungsmodell erheblich. Daher erfordert das Finanzrisikomanagement in einem Umfeld mit mehreren Kurven einen differenzierteren Ansatz für Hedging , ökonomisches Kapital / Risikokapital und Stresstests . [ 3 ] [ 4 ] [ 10 ] Da (individuelle) Positionen (potenziell) von zahlreichen, nicht offensichtlich miteinander verbundenen Instrumenten beeinflusst werden, besteht eine „echte Herausforderung“ [ 10 ] darin, Portfolios abzusichern und Risiken kohärent zu beschreiben; die Bilanzierung von Sicherungsgeschäften ist ähnlich komplex. [ 20 ]

Für Stresstests muss die Bank die Auswirkungen des jeweiligen (makroökonomischen) Szenarios auf die verschiedenen (wichtigen) Risikofaktoren modellieren und deren Wechselwirkungen so weit wie möglich berücksichtigen. Bei mehreren Kurven erfordert dies (möglicherweise) eine Anpassung des bestehenden Modells. [ 21 ] Um eine Schätzung des Value at Risk (VaR) zu erhalten, muss die Bank nun Änderungen der OIS-Kurve, der Forward-Kurven, der Basis-Spreads sowie der Kreditspreads simulieren und gleichzeitig sicherstellen, dass die Korrelationen zwischen diesen Risikofaktoren korrekt modelliert werden. Die Allokation des resultierenden ökonomischen Kapitals – das beispielsweise für RAROC- Berechnungen auf Ebene des operativen Handels benötigt wird – ist aufgrund der Vielzahl der beteiligten Risikofaktoren (und gegebenenfalls partieller Sensitivitäten [ 22 ] ) ähnlich komplex.

Siehe auch

Referenzen

  1. ^ Mitarbeiter (2023). „Multi-curve Framework“ , rebellionresearch.com
  2. ^ a b Ametrano, Ferdinando M. und Bianchetti, Marco. (2013). „Alles, was Sie schon immer über Bootstrapping mit mehreren Zinskurven wissen wollten, sich aber nicht zu fragen trauten“.
  3. ^ a b Henrard M. (2007). Die Ironie der Derivate-Diskontierung , Wilmott Magazine, S. 92–98, Juli 2007. SSRN-Preprint.
  4. ^ a b Henrard M. (2010). Die Ironie der Derivate-Diskontierung Teil II: Die Krise , Wilmott Journal, Vol. 2, S. 301–316, 2010. SSRN-Preprint.
  5. ^ Bianchetti M. (2010). Zwei Kurven, ein Preis: Preisbildung und Absicherung von Zinsderivaten durch Entkopplung von Forwarding- und Discounting-Zinskurven , Risk Magazine, August 2010. SSRN-Preprint.
  6. ^ Multi-Curve Valuation Approaches and their Application to Hedge Accounting according to IAS 39 , Dr. Dirk Schubert, KPMG
  7. ^ M. Henrard (2014). Zinsmodellierung im Multi-Kurven-Modell: Grundlagen, Entwicklung und Implementierung. Palgrave Macmillan ISBN 978-1137374653
  8. ^ Siehe Abschnitt 3 von Marco Bianchetti und Mattia Carlicchi (2012). Zinssätze nach der Kreditkrise: Variantderivate mit mehreren Kurven und SABR
  9. ^ Pricing and Trading Interest Rate Derivatives: A Practical Guide to Swaps , JHM Darbyshire, 2017, ISBN 978-0995455528
  10. ^ a b c CQF Institute . „Mehrkurven- und Sicherheitenrahmen“
  11. ^ Fujii, Masaaki Fujii; Yasufumi Shimada; Akihiko Takahashi (26. Januar 2010). „Eine Anmerkung zur Konstruktion von Mehrfach-Swap-Kurven mit und ohne Sicherheiten“. CARF Working Paper Series Nr. CARF-F-154 . SSRN 1440633 . 
  12. ^ Burgess, Nicholas (2017). FX Forward Invariance & Discounting with CSA Collateral
  13. ^ P. Hagan und G. West (2006). Interpolationsmethoden zur Kurvenkonstruktion . Applied Mathematical Finance , 13 (2):89–129, 2006.
  14. ^ P. Hagan und G. West (2008). Methoden zur Konstruktion einer Zinsstrukturkurve . Wilmott Magazine , Mai, 70-81.
  15. ^ P. du Preez und E. Maré (2013). Interpolation von Zinsstrukturkurvendaten zur Sicherstellung positiver und stetiger Forward-Kurven . SAJEMS 16 (2013) Nr. 4:395-406
  16. ^ Fabio Mercurio (2018). SOFR So Far: Modellierung des LIBOR-Ersatzes
  17. ^ FINCAD (2020). Zukunftssichere Kurvenbildung für das Ende des Libor
  18. ^ Finastra (2020). Übergang vom LIBOR zu alternativen Referenzzinssätzen
  19. ^ Lorenzo Silotto, Marco Scaringi und Marco Bianchetti (2023). „Alles, was Sie schon immer über das Risiko von XVA-Modellen wissen wollten, sich aber nie zu fragen trauten“ . arxiv.org
  20. ^ Dr. Dirk Schubert (2012). „Multi-Curve Valuation Approaches and their Application to Hedge Accounting according to IAS 39“ (PDF) . KPMG .
  21. ^ Emmanouil Karimalis, Ioannis Kosmidis und Gareth W Peters (2017). Multi yield curve stress-testing framework incorporating temporal and cross tenor structural dependencies , Bank of England Working Paper No. 655.
  22. ^ Dóra Balog (2011). „Kapitalallokation in Finanzinstitutionen: die Euler-Methode“ (PDF) .IEHAS-Diskussionspapiere, Nr. MT-DP - 2011/26

Weiterführende Literatur