Pentagonales Polytop

In der Geometrie ist ein pentagonales Polytop ein reguläres Polytop in n Dimensionen, das aus der Coxeter-Gruppe H _{_n} konstruiert wird . Die Familie wurde von H. S. M. Coxeter benannt , da das zweidimensionale pentagonale Polytop ein Fünfeck ist . Es kann mit seinem Schläfli-Symbol als {5, ^{3n − 2} } (Dodekaeder) oder {3n ^{− 2} , 5} (Ikosaeder) bezeichnet werden.

Die Familie beginnt als 1-Polytope und endet mit n = 5 als unendliche Parkettierungen des 4-dimensionalen hyperbolischen Raums.

Es gibt zwei Arten von pentagonalen Polytopen; man kann sie aufgrund ihrer dreidimensionalen Elemente als Dodekaeder- und Ikosaedertyp bezeichnen . Die beiden Typen sind zueinander dual.

Die vollständige Familie der dodekaedrischen pentagonalen Polytope lautet:

1. Liniensegment , { }
2. Pentagon , {5}
3. Dodekaeder , {5, 3} (12 fünfeckige Flächen)
4. 120-Zellen , {5, 3, 3} (120 Dodekaederzellen )
5. Honigwabenstruktur 3. Ordnung mit 120 Zellen , {5, 3, 3, 3} (parkt den hyperbolischen 4-Raum ab (∞ 120-Zellen- Facetten))

Die Facetten jedes dodekaedrischen Fünfeckpolytops sind die dodekaedrischen Fünfeckpolytope einer Dimension weniger. Ihre Eckfiguren sind die Simplizes einer Dimension weniger.

Dodekaedrische pentagonale Polytope

N	Coxeter-Gruppe	Petrie- Polygonprojektion	Name Coxeter-Diagramm Schläfli-Symbol	Facetten	Elemente
					Eckpunkte	Kanten	Gesichter	Zellen	4 Gesichter
1	${\displaystyle H_{1}}$[ ] (Ordnung 2)		Liniensegment{ }	2 Eckpunkte	2
2	${\displaystyle H_{2}}$[5] (Ordnung 10)		Pentagon{5}	5 Kanten	5	5
3	${\displaystyle H_{3}}$[5,3] (Ordnung 120)		Dodekaeder{5, 3}	12 Fünfecke	20	30	12
4	${\displaystyle H_{4}}$[5,3,3] (Ordnung 14400)		120-Zellen{5, 3, 3}	120 Dodekaeder	600	1200	720	120
5	${\displaystyle {\bar {H}}_{4}}$[5,3,3,3] (Ordnung ∞)		120-Zellen-Wabe{5, 3, 3, 3}	∞ 120-Zellen	∞	∞	∞	∞	∞

Die vollständige Familie der ikosaedrischen pentagonalen Polytope lautet:

1. Liniensegment , { }
2. Pentagon , {5}
3. Ikosaeder , {3, 5} (20 dreieckige Flächen)
4. 600-Zelle , {3, 3, 5} (600 Tetraederzellen )
5. Honigwabenmuster der Ordnung 5 mit 5 Zellen , {3, 3, 3, 5} (parkettiert hyperbolischen 4-Raum (∞ 5-Zellen- Facetten))

Die Facetten jedes ikosaedrischen Fünfeckpolytops sind Simplizes einer Dimension weniger. Ihre Eckfiguren sind ikosaedrische Fünfeckpolytope einer Dimension weniger.

Ikosaedrische pentagonale Polytope

N	Coxeter-Gruppe	Petrie- Polygonprojektion	Name Coxeter-Diagramm Schläfli-Symbol	Facetten	Elemente
					Eckpunkte	Kanten	Gesichter	Zellen	4 Gesichter
1	${\displaystyle H_{1}}$[ ] (Ordnung 2)		Liniensegment{ }	2 Eckpunkte	2
2	${\displaystyle H_{2}}$[5] (Ordnung 10)		Pentagon{5}	5 Kanten	5	5
3	${\displaystyle H_{3}}$[5,3] (Ordnung 120)		Ikosaeder{3, 5}	20 gleichseitige Dreiecke	12	30	20
4	${\displaystyle H_{4}}$[5,3,3] (Ordnung 14400)		600-Zellen{3, 3, 5}	600 Tetraeder	120	720	1200	600
5	${\displaystyle {\bar {H}}_{4}}$[5,3,3,3] (Ordnung ∞)		Ordnung-5 5-Zellen-Wabenstruktur{3, 3, 3, 5}	∞ 5-Zellen	∞	∞	∞	∞	∞

Die pentagonalen Polytope können sternförmig angeordnet werden , um neue sternförmige reguläre Polytope zu bilden :

• In zwei Dimensionen erhalten wir das Pentagramm {5/2}.
• Im dreidimensionalen Raum bilden sich daraus die vier Kepler-Poinsot-Polyeder { 3,5/2 }, { 5/2,3 }, { 5,5/2 } und { 5/2,5 }.
• In vier Dimensionen bilden sich daraus die zehn Schläfli-Hess-Polychoren : { 3,5,5/2 }, { 5/2,5,3 }, { 5,5/2,5 }, { 5,3,5/2 }, { 5/2,3,5 }, { 5/2,5,5/2 }, { 5,5/2,3 }, { 3,5/2,5 }, { 3,3,5/2 } und { 5/2,3,3 }.
• Im vierdimensionalen hyperbolischen Raum gibt es vier reguläre Stern-Waben : {5/2,5,3,3} , {3,3,5,5/2} , {3,5,5/2,5} , und {5,5/2,5,3} .

In einigen Fällen werden die Sternpentagon-Polytope selbst zu den Pentagon-Polytopen gezählt. ^{[ 1 ]}

Wie andere Polytope können auch reguläre Sterne mit ihren Dualen zu Verbindungen kombiniert werden;

• In zwei Dimensionen bildet sich eine dekagrammische Sternfigur {10/2}.
• Im dreidimensionalen Raum erhalten wir die Verbindung aus Dodekaeder und Ikosaeder ,
• In vier Dimensionen erhalten wir die Verbindung aus 120-Zellen und 600-Zellen .

Sternpolytope können auch kombiniert werden.

• Kaleidoskope: Ausgewählte Schriften von H. S. M. Coxeter , herausgegeben von F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson und Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6[1] Archiviert am 11.07.2016 im Internet Archive (Wayback Machine) .
  • (Aufsatz 10) HSM Coxeter, Star Polytopes and the Schlafli Function f(α,β,γ) [Elemente der Mathematik 44 (2) (1989) 25–36]
• Coxeter , Regular Polytopes , 3. Aufl., Dover Publications, 1973. ISBN 0-486-61480-8(Tabelle I(ii): 16 reguläre Polytope {p, q, r} in vier Dimensionen, S. 292–293)