Einheitliches k 21 Polytop

In der Geometrie ist ein uniformes k ₂₁ -Polytop ein Polytop in k + 4 Dimensionen, das aus der Coxeter-Gruppe E _n konstruiert wird und ausschließlich reguläre Polytop- Facetten besitzt. Die Familie wurde nach ihrem Coxeter-Symbol k _21 benannt, das auf ihrem bifurkierenden Coxeter-Dynkin-Diagramm mit einem einzelnen Ring am Ende der k -Knoten-Sequenz basiert.

Thorold Gosset entdeckte diese Familie im Rahmen seiner Aufzählung der regulären und halbregulären Polytope im Jahr 1900 , weshalb sie manchmal auch als Gossets halbreguläre Figuren bezeichnet werden . Gosset benannte sie nach ihrer Dimension von 5 bis 9, zum Beispiel die 5-ische halbreguläre Figur .

Familienmitglieder

Die von Gosset identifizierte Folge endet als unendliche Parkettierung (raumfüllende Wabenstruktur) im 8-dimensionalen Raum, genannt E8-Gitter . (Eine Endform wurde von Gosset nicht entdeckt und wird E9-Gitter genannt : 6 _21. Es handelt sich um eine Parkettierung des hyperbolischen 9-dimensionalen Raums, die aus ∞ 9- Simplex- und ∞ 9- Orthoplex- Facetten besteht, wobei alle Eckpunkte im Unendlichen liegen.)

Die Familie beginnt als einzige mit 6-Polytopen . Das Dreiecksprisma und die rektifizierte 5-Zelle werden der Vollständigkeit halber am Anfang aufgeführt. Der Demipenterakt existiert ebenfalls in der Familie der Demihyperwürfel .

Manchmal werden sie auch nach ihrer Symmetriegruppe benannt, wie zum Beispiel E6-Polytop , obwohl es innerhalb der E6 _- Symmetrie viele uniforme Polytope gibt .

Die vollständige Familie der Gosset-halbregulären Polytope lautet:

Dreiecksprisma : −1 ₂₁ (2 Dreiecke und 3 quadratische Flächen)
rektifiziertes 5-Zellen-System : 0 ₂₁ , Tetraktaedrisch (5 Tetraeder- und 5 Oktaederzellen )
Demipenterakt : 1 ₂₁ , 5-ic halbregelmäßige Figur (16 5-Zellen- und 10 16-Zellen- Facetten)
2 21 Polytop : 2 ₂₁ , 6-ic semireguläre Figur (72 5- Simplex- und 27 5- Orthoplex- Facetten)
3 21 Polytop : 3 ₂₁ , 7-ic semireguläre Figur (576 6- Simplex- und 126 6- Orthoplex- Facetten)
4 21 Polytop : 4 ₂₁ , 8-ic semireguläre Figur (17280 7- Simplex- und 2160 7- Orthoplex- Facetten)
5 21 Wabenstruktur : 5 ₂₁ , 9-ic semireguläre Prüftessellates Euklidischer 8-Raum (∞ 8- Simplex- und ∞ 8- Orthoplex- Facetten)
6 21 Wabenstruktur : 6 ₂₁ , tesselliert hyperbolischen 9-Raum (∞ 9- Simplex- und ∞ 9- Orthoplex- Facetten)

Jedes Polytop wird aus ( n − 1) -Simplex- und ( n − 1) -Orthoplex- Facetten konstruiert.

Die Orthoplexflächen werden aus der Coxeter-Gruppe D _{n- 1} konstruiert und besitzen das Schläfli-Symbol {3 ^{1, n -1, 1} n } anstelle des üblichen {3 ^{n -2} , 4n}. Diese Konstruktion impliziert zwei „Facettentypen“. Die Hälfte der Facetten um jeden Orthoplexgrat ist mit einem anderen Orthoplex verbunden, die andere Hälfte mit einem Simplex. Im Gegensatz dazu ist jeder Simplexgrat mit einem Orthoplex verbunden.

Jede Form hat eine Eckpunktfigur, die der vorherigen Form entspricht. Beispielsweise hat die rektifizierte 5-Zelle eine Eckpunktfigur in Form eines dreiseitigen Prismas .

Elemente

Gosset-Halbregelmäßige Figuren
n -ic	k ₂₁	Graph	Name Coxeter -Diagramm	Facetten		Elemente
n -ic	k ₂₁	Graph	Name Coxeter -Diagramm	( n − 1)- Simplex {3 ^{n −2} }	( n − 1)- Orthoplex {3 ^{n −4,1,1} }	Eckpunkte	Kanten	Gesichter	Zellen	4 Gesichter	5 Gesichter	6 Gesichter	7 Gesichter
3-ic	−1 ₂₁		Dreieckiges Prisma	2 Dreiecke	3 Quadrate	6	9	5
4-ic	0 ₂₁		Gleichgerichtete 5-Zellen-Batterie	5 Tetraeder	5 Oktaeder	10	30	30	10
5-ic	1 ₂₁		Demipenterakt	16 5-Zellen	10 16-Zellen	16	80	160	120	26
6-ic	2 ₂₁		2 ₂₁ Polytop	72 5-Simplexe	27 5-Orthoplexe	27	216	720	1080	648	99
7-ic	3 ₂₁		3 ₂₁ Polytop	576 6-Simplexe	126 6-Orthoplexe	56	756	4032	10080	12096	6048	702
8-ic	4 ₂₁		4 ₂₁ Polytop	17280 7-Simplexe	2160 7-Orthoplexe	240	6720	60480	241920	483840	483840	207360	19440
9-ic	5 ₂₁		5 ₂₁ Waben	∞ 8-Simplexe	∞ 8-Orthoplexe	∞
10-ic	6 ₂₁		6 ₂₁ Waben	∞ 9-Simplexe	∞ 9-Orthoplexe	∞

Siehe auch

Einheitliche 2 _k ₁ Polytopfamilie
Einheitliche 1 _k ₂ Polytopfamilie

Referenzen

T. Gosset : Über reguläre und halbreguläre Figuren im n-dimensionalen Raum , Messenger of Mathematics, Macmillan, 1900
A. Boole Stott (1910). „Geometrischer Abzug semiregulärer aus regulären Polytopen und Raumfüllungen“ (PDF) . Verhandelingen der Koninklijke Akademie van Wetenschappen te Amsterdam . XI (1). Amsterdam: Johannes Müller. Archiviert vom Original (PDF) am 29. April 2025.
PH Schoute (1911). „Analytische Behandlung der regelmäßig von den regulären Polytopen abgeleiteten Polytope“ (PDF) . Verhandelingen der Koninklijke Akademie van Wetenschappen te Amsterdam . Abschnitt I. XI (3). Amsterdam: Johannes Müller. Archiviert vom Original (PDF) am 22. Januar 2025.
PH Schoute (1913). „Analytische Behandlung der regelmäßig von den regulären Polytopen abgeleiteten Polytope“ (PDF) . Verhandelingen der Koninklijke Akademie van Wetenschappen te Amsterdam . Abschnitte II, III, IV. XI (5). Amsterdam: Johannes Müller. Archiviert vom Original (PDF) am 22. Februar 2025.
HSM Coxeter : Regular and Semi-Regular Polytopes, Teil I, Mathematische Zeitschrift, Springer, Berlin, 1940
NW Johnson : Die Theorie der uniformen Polytope und Honigwaben , Dissertation, Universität Toronto, 1966
HSM Coxeter: Regular and Semi-Regular Polytopes, Teil II, Mathematische Zeitschrift, Springer, Berlin, 1985
HSM Coxeter: Regular and Semi-Regular Polytopes, Teil III, Mathematische Zeitschrift, Springer, Berlin, 1988
G.Blind und R.Blind, „The semi-regular polyhedra“, Commentari Mathematici Helvetici 66 (1991) 150–154
John H. Conway , Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss, Die Symmetrien der Dinge 2008, ISBN 978-1-56881-220-5(Kapitel 26, S. 411–413: Die Gosset-Reihe: Nr. ₂₁ )

Externe Links

v T e Fundamentale konvexe reguläre und uniforme Polytope in den Dimensionen 2–10
Familie	$Ein $	$B n$	$I 2 (p)$ / $D n$	$E 6$ / $E 7$ / $E 8$ / $F 4$ / $G 2$	$H n$
Regelmäßiges Polygon	Dreieck	Quadrat	p-gon	Hexagon	Pentagon
Einheitliches Polyeder	Tetraeder	Oktaeder • Würfel	Halbkugel		Dodekaeder • Ikosaeder
Einheitliches Polychoron	Pentachoron	16-Zellen - Tesserakt	Demitesserakt	24-Zellen	120-Zellen • 600-Zellen
Einheitliches 5-Polytop	5-Simplex	5-Orthoplex • 5-Würfel	5-Halbwürfel
Einheitliches 6-Polytop	6-Simplex	6-Orthoplex • 6-Würfel	6-Halbwürfel	1 ₂₂ • 2 ₂₁
Einheitliches 7-Polytop	7-Simplex	7-Orthoplex • 7-Würfel	7-Halbwürfel	1 ₃₂ • 2 ₃₁ • 3 ₂₁
Einheitliches 8-Polytop	8-Simplex	8-Orthoplex • 8-Würfel	8-Halbwürfel	1 ₄₂ • 2 ₄₁ • 4 ₂₁
Einheitliches 9-Polytop	9-Simplex	9-Orthoplex • 9-Würfel	9-Halbwürfel
Einheitliches 10-Polytop	10-Simplex	10-Orthoplex • 10-Würfel	10-Demicube
Einheitliches n - Polytop	n - Simplex	n - Orthoplex • n - Würfel	n - Halbwürfel	1 _k2 • 2 _k1 • k ₂₁	n - pentagonales Polytop
Themen: Polytopfamilien • Reguläre Polytope • Liste regulärer Polytope und Verbindungen • Polytopoperationen

v T e Fundamentale konvexe reguläre und uniforme Wabenstrukturen in den Dimensionen 2–9
Raum	Familie	${\tilde {A}}_{n-1}$	${\tilde {C}}_{n-1}$	${\tilde {B}}_{n-1}$	${\tilde {D}}_{n-1}$	${\tilde {G}}_{2}$ / / ${\tilde {F}}_{4}$ ${\tilde {E}}_{n-1}$
E ²	Gleichmäßige Fliesenverlegung	0 _[3]	δ ₃	hδ ₃	qδ ₃	Sechseckig
E ³	Gleichmäßige konvexe Wabenstruktur	0 _[4]	δ ₄	hδ ₄	qδ ₄
E ⁴	Einheitliche 4-Wabenstruktur	0 _[5]	δ ₅	hδ ₅	qδ ₅	24-zellige Wabenstruktur
E ⁵	Einheitliche 5-Wabenstruktur	0 _[6]	δ ₆	hδ ₆	qδ ₆
E ⁶	Einheitliche 6-Wabenstruktur	0 _[7]	δ ₇	hδ ₇	qδ ₇	2 ₂₂
E ⁷	Einheitliche 7-Wabenstruktur	0 _[8]	δ ₈	hδ ₈	qδ ₈	1 ₃₃ • 3 ₃₁
E ⁸	Einheitliche 8-Wabenstruktur	0 _[9]	δ ₉	hδ ₉	qδ ₉	1 ₅₂ • 2 ₅₁ • 5 ₂₁
E ⁹	Einheitliche 9-Wabenstruktur	0 _[10]	δ ₁₀	hδ ₁₀	qδ ₁₀
E ¹⁰	Einheitliche 10-Wabenstruktur	0 _[11]	δ ₁₁	hδ ₁₁	qδ ₁₁
E ^{n −1}	Gleichförmige ( n −1) -Wabenstruktur	0 _{[ n ]}	δ _n	hδ _n	qδ _n	1 _{k 2} • 2 _{k 1} • k ₂₁