Satz von Eberlein-Šmulian

Im mathematischen Gebiet der Funktionalanalysis ist der Satz von Eberlein-Šmulian (benannt nach William Frederick Eberlein und Witold Lwowitsch Schmulian ) ein Ergebnis, das drei verschiedene Arten schwacher Kompaktheit in einem Banachraum miteinander in Beziehung setzt .

Satz von Eberlein-Šmulian : ^{[ 1 ]} Wenn X ein Banachraum und A eine Teilmenge von X ist , dann sind die folgenden Aussagen äquivalent:

1. Jede Folge von Elementen aus A besitzt eine Teilfolge, die schwach in X konvergiert.
2. Jede Sequenz von Elementen aus A hat einen schwachen Clusterpunkt in X.
3. Der schwache Abschluss von A ist schwach kompakt.

Eine Menge A (in einem beliebigen topologischen Raum) kann auf drei verschiedene Arten kompakt sein:

• Sequenzielle Kompaktheit : Jede Folge aus A besitzt eine konvergente Teilfolge, deren Grenzwert in A liegt .
• Häufungspunktkompaktheit : Jede unendliche Teilmenge von A besitzt einen Häufungspunkt in A.
• Kompaktheit (oder Heine - Borel Kompaktheit): Jede offene Überdeckung von A besitzt eine endliche Teilüberdeckung.

Der Satz von Eberlein-Šmulian besagt, dass die drei Konzepte auf einer schwachen Topologie eines Banachraums äquivalent sind. Während diese Äquivalenz allgemein für metrische Räume gilt , ist die schwache Topologie in unendlichdimensionalen Vektorräumen nicht metrisierbar, weshalb der Satz von Eberlein-Šmulian benötigt wird.

Der Satz von Eberlein-Šmulian ist in der Theorie partieller Differentialgleichungen (PDEs) und insbesondere in Sobolev-Räumen von Bedeutung . Viele Sobolev-Räume sind reflexive Banachräume , und beschränkte Teilmengen sind daher nach dem Satz von Alaoglu schwach präkompakt . Der Satz impliziert somit, dass beschränkte Teilmengen schwach sequenziell präkompakt sind, und daher lässt sich aus jeder beschränkten Folge von Elementen dieses Raums eine schwach konvergierende Teilfolge extrahieren. Da viele PDEs nur schwache Lösungen besitzen, ist dieser Satz ein wichtiger Schritt bei der Entscheidung, welche Räume schwacher Lösungen zur Lösung einer PDE verwendet werden sollen.

• Satz von Banach-Alaoglu
• Satz von Bishop-Phelps
• Mazurs Lemma
• Satz von James
• Satz von Goldstine

• Conway, John B. (1990). Einführung in die Funktionalanalysis . Graduate Texts in Mathematics . Band 96 (2. Aufl.). New York: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-97245-9OCLC  21195908 .​
• Diestel, Joseph (1984), Folgen und Reihen in Banachräumen , Springer-Verlag, ISBN 0-387-90859-5Die
• Dunford, N.; Schwartz, JT (1958), Lineare Operatoren, Teil I , Wiley-InterscienceDie
• Whitley, RJ (1967), „Ein elementarer Beweis des Eberlein-Smulian-Theorems“, Mathematische Annalen , 172 (2): 116–118 , doi : 10.1007/BF01350091 , S2CID  123175660Die