Gabriels Horn

Das Gabrielhorn (auch Torricelli-Trompete genannt ) ist eine geometrische Figur mit unendlicher Oberfläche , aber endlichem Volumen . Der Name bezieht sich auf die christliche Vorstellung, dass der Erzengel Gabriel eines Tages sein Horn blasen wird, um den Jüngsten Tag anzukündigen . Die Eigenschaften dieser Figur wurden erstmals im 17. Jahrhundert von dem italienischen Physiker und Mathematiker Evangelista Torricelli untersucht.

Die Bezeichnungen „Gabrielhorn“ und „Torricellis Trompete“ wurden von Torricelli nicht veröffentlicht. ^{[ 1 ]} Seine Bezeichnung für die Figur findet sich im lateinischen Titel seiner 1643 verfassten Abhandlung „De solido hyperbolico acuto“ , die einen abgeschnittenen spitzwinkligen hyperbolischen Körper beschreibt, der von einer Ebene geschnitten wird. ^{[ 2 ]} Band 1, Teil 1 seiner im folgenden Jahr erschienenen „Opera geometrica“ enthielt diese Abhandlung sowie einen zweiten, für die damalige Zeit orthodoxeren archimedischen Beweis des Satzes über das Volumen eines abgeschnittenen spitzwinkligen hyperbolischen Körpers. ^{[ 2 ] [ 3 ]} Diese Bezeichnung wurde in mathematischen Wörterbüchern des 18. Jahrhunderts verwendet, darunter „Hyperbolicum Acutum“ in Harris’ Wörterbuch von 1704 und in Stones Wörterbuch von 1726 sowie die französische Übersetzung „Solide Hyperbolique Aigu“ in d’Alemberts Wörterbuch von 1751. ^{[ 1 ]}

Obwohl Torricelli von seinen Zeitgenossen als Pionier auf diesem Gebiet galt, war er nicht der Erste, der eine unendlich lange Form mit endlichem Volumen oder endlicher Fläche beschrieb. ^{[ 4 ]} Die Arbeiten von Nicole Oresme aus dem 14. Jahrhundert waren ihnen entweder in Vergessenheit geraten oder unbekannt. ^{[ 4 ]} Oresme hatte beispielsweise eine unendlich lange Form postuliert, die durch die Unterteilung zweier Quadrate mit endlicher Gesamtfläche 2 mithilfe einer geometrischen Reihe und die anschließende Anordnung der Teile zu einer in einer Dimension unendlich langen Figur aus einer Reihe von Rechtecken konstruiert wird. ^{[ 5 ]}

Gabriels Horn entsteht durch Rotation des Graphen von mit dem Definitionsbereich um die x -  Achse. Die Entdeckung erfolgte mithilfe des Cavalieri-Prinzips vor der Erfindung der Infinitesimalrechnung . Heute kann die Infinitesimalrechnung jedoch zur Berechnung von Volumen und Oberfläche des Horns zwischen x = 1 und x = a verwendet werden , wobei a > 1. [ ^{6 ] Durch} Integration lassen sich Volumen V und Oberfläche A bestimmen . $${\displaystyle y={\frac {1}{x}},}$$${\displaystyle x\geq 1}$$${\displaystyle {\begin{aligned}V&=\pi \int _{1}^{a}\left({\frac {1}{x}}\right)^{2}\,\mathrm {d} x=\pi \left(1-{\frac {1}{a}}\right)\\A&=2\pi \int _{1}^{a}{\frac {1}{x}}{\sqrt {1+\left(-{\frac {1}{x^{2}}}\right)^{2}}}\,\mathrm {d} x\\&=2\pi \int _{1}^{a}{\frac {1}{x}}{\sqrt {1+{\frac {1}{x^{4}}}}}\,\mathrm {d} x\\&>2\pi \int _{1}^{a}{\frac {1}{x}}\mathrm {d} x=2\pi \cdot \left[\ln x\right]_{1}^{a}=2\pi \ln a\\\end{aligned}}}$$

Der Wert a kann beliebig groß sein, aber aus der Gleichung geht hervor, dass das Volumen des Hornabschnitts zwischen x = 1 und x = a niemals π überschreitet , sich aber mit zunehmendem a allmählich π annähert . Mathematisch ausgedrückt: Das Volumen nähert sich π, wenn a gegen unendlich strebt . Unter Verwendung der Grenzwertnotation der Differentialrechnung ^{[ 7 ]}$${\displaystyle \lim _{a\to \infty }V=\lim _{a\to \infty }\pi \left(1-{\frac {1}{a}}\right)=\pi \cdot \lim _{a\to \infty }\left(1-{\frac {1}{a}}\right)=\pi .}$$

Die obige Formel zur Berechnung der Oberfläche liefert eine untere Grenze für die Fläche von 2π mal dem natürlichen Logarithmus von a . Für den natürlichen Logarithmus von a gibt es keine obere Grenze , wenn a gegen unendlich strebt. Das bedeutet in diesem Fall, dass das Horn eine unendliche Oberfläche besitzt. Das heißt, ^{[ 7 ]}$${\displaystyle \lim _{a\to \infty }A\geq \lim _{a\to \infty }2\pi \ln a=\infty .}$$

Torricellis ursprünglicher Beweis ohne Differentialrechnung verwendete ein Objekt, das sich geringfügig vom oben genannten unterschied. Es entstand durch das Abschneiden eines spitzwinkligen hyperbolischen Körpers mit einer Ebene senkrecht zur x-  Achse und dessen Verlängerung von der gegenüberliegenden Seite dieser Ebene mit einem Zylinder gleicher Grundfläche. ^{[ 8 ]} Während die Methode der Differentialrechnung die Abschneideebene auf x = 0 setzt und entlang der x-  Achse integriert, berechnete Torricelli das Volumen dieses zusammengesetzten Körpers (mit dem hinzugefügten Zylinder) durch die Summe der Oberflächen konzentrischer gerader Zylinder entlang der y-  Achse und zeigte, dass dies äquivalent zur Summe der Oberflächen eines anderen Körpers mit bekanntem (endlichem) Volumen ist. ^{[ 9 ]}${\displaystyle x=1}$

In der modernen Terminologie wurde dieser Körper durch die Konstruktion einer Rotationsfläche der Funktion (für streng positive b ) erzeugt ^{[ 9 ].}

$${\displaystyle \quad {}y={\begin{cases}{\dfrac {1}{b}},&{\text{wobei }}0\leq x\leq b,\\{\dfrac {1}{x}},&{\text{wobei }}b\leq x.\end{cases}}}$$

und der Satz von Torricelli besagt, dass sein Volumen gleich dem Volumen des geraden Zylinders mit Höhe und Radius ist : ^{[ 9 ] [ 8 ]}${\displaystyle 1/b}$${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

Satz. Ein spitzwinkliger hyperbolischer Körper von unendlicher Länge, der von einer Ebene [senkrecht] zur Achse geschnitten wird, ist zusammen mit dem Zylinder mit derselben Grundfläche gleich dem geraden Zylinder, dessen Grundfläche die Achse der Hyperbel ist und dessen Höhe gleich dem Radius der Grundfläche dieses spitzwinkligen Körpers ist.

Torricelli zeigte, dass sich das Volumen des Körpers aus den Oberflächen einer Reihe konzentrischer gerader Zylinder mit Radien und Höhen ableiten lässt . ^{[ 9 ]} Setzt man dies in die Formel für die Oberflächen (nur der Seitenflächen) dieser Zylinder ein, erhält man eine konstante Oberfläche für alle Zylinder mit Radius . ^{[ 9 ]} Dies ist auch die Fläche eines Kreises mit Radius , und die ineinander verschachtelten Oberflächen der Zylinder (die das Volumen des Körpers ausfüllen) entsprechen somit den gestapelten Flächen der Kreise mit Radius , gestapelt von 0 bis , und daher dem Volumen des oben genannten geraden Zylinders, das bekanntermaßen beträgt : ^{[ 9 ]}${\displaystyle 1/b\geq r\geq 0}$${\displaystyle h=1/r}$${\displaystyle 2\pi rh=2\pi r\times 1/r=2\pi }$${\displaystyle {\sqrt {2}},}$${\displaystyle {\sqrt {2}}}$${\displaystyle 1/b}$${\displaystyle V=\pi r^{2}h=\pi ({\sqrt {2}})^{2}\times 1/b=2\pi /b}$

Propterea omnes simul superficies cylindricae, es ist ipsum solidum acutum , una cum cylindro base , aequale erit omnibus circulis simul, es ist cylindro . Quod Erat usw.${\displaystyle ebd}$${\displaystyle fedc}$${\displaystyle acgh}$

(Daher ist die Summe aller Oberflächen der Zylinder, also der spitze Körper selbst, gleich dem Zylinder mit der Grundfläche , der wiederum gleich der Summe aller seiner Kreise, also dem Zylinder , ist .)${\displaystyle EBD}$${\displaystyle FEDC}$${\displaystyle ACGH}$

(Das Volumen des hinzugefügten Zylinders ist natürlich und somit ist das Volumen des abgeschnittenen spitzwinkligen hyperbolischen Körpers allein . Wenn , wie in der modernen Differentialrechnung, dann .) ${\displaystyle V_{c}=\pi r^{2}\times h=\pi (1/b)^{2}\times b=\pi /b}$${\displaystyle V_{s}=V-V_{c}=2\pi /b-\pi /b=\pi /b}$${\displaystyle b=1}$${\displaystyle V_{s}=\pi }$

In der Opera geometrica ist dies einer von zwei Beweisen für das Volumen des (abgeschnittenen) spitzwinkligen hyperbolischen Körpers. ^{[ 3 ]} Die Verwendung von Cavalieris Indivisibles in diesem Beweis war damals umstritten und das Ergebnis schockierend (Torricelli berichtete später, dass Gilles de Roberval versucht hatte, ihn zu widerlegen). Als die Opera geometrica ein Jahr nach De solido hyperbolico acuto veröffentlicht wurde , lieferte Torricelli daher auch einen zweiten Beweis, der auf orthodoxen archimedischen Prinzipien beruhte und zeigte, dass der gerade Zylinder (Höhe √r ) sowohl die obere als auch die untere Grenze für das Volumen darstellte. ^{[ 3 ]} Ironischerweise erinnerte dies an Archimedes' eigene Vorsicht, in seiner Quadratur der Parabel an Dositheus zwei Beweise – einen mechanischen und einen geometrischen – anzuführen . ^{[ 11 ]}${\displaystyle 1/b}$${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

Als die Eigenschaften des Gabrielhorns entdeckt wurden,  galt die Tatsache, dass die Rotation eines unendlich großen Abschnitts der xy-  Ebene um die x- Achse einen Körper mit endlichem Volumen erzeugt, als Paradoxon . Während der in der xy-  Ebene liegende Abschnitt eine unendliche Fläche besitzt, hat jeder andere dazu parallele Abschnitt eine endliche Fläche. Somit ist das Volumen, berechnet aus der „gewichteten Summe“ der Abschnitte, endlich.

Ein anderer Ansatz besteht darin, den Körper als Stapel von Scheiben mit abnehmenden Radien zu betrachten . Die Summe der Radien ergibt eine harmonische Reihe ^, die gegen unendlich strebt. Die korrekte Berechnung ist jedoch die Summe ihrer Quadrate. Jede Scheibe hat einen Radius r = 1/ x und eine Fläche πr² oder π/ x² . Die Reihe Σ( ¹ / x) divergiert , die Reihe Σ(1/ x²) ^hingegen konvergiert . Allgemein konvergiert für jedes reelle ε > 0 die Reihe Σ(1/ x) = ^{1 + ε} .

Das scheinbare Paradoxon war Teil einer Auseinandersetzung über das Wesen der Unendlichkeit, an der viele der wichtigsten Denker der damaligen Zeit beteiligt waren, darunter Thomas Hobbes , John Wallis und Galileo Galilei . ^{[ 12 ]}

Ein ähnliches Phänomen lässt sich auf Längen und Flächen in der Ebene anwenden. Die Fläche zwischen den Kurven 1/ x² und −1/ x² von 1 bis ^unendlich ist endlich, die Längen der beiden Kurven hingegen sind offensichtlich unendlich ^.

In seiner 16. Vorlesung der „Lectiones“ von 1666 argumentierte Isaac Barrow , dass Torricellis Theorem Aristoteles ’ allgemeinen Ausspruch (aus „De Caelo“ , Buch 1, Teil 6) – „Es gibt keine Proportion zwischen dem Endlichen und dem Unendlichen“ – eingeschränkt habe. ^{[ 13 ] [ 14 ]} Aristoteles selbst hatte, streng genommen, die Unmöglichkeit der physikalischen Existenz eines unendlichen Körpers dargelegt, nicht etwa dessen Unmöglichkeit als geometrische Abstraktion. ^{[ 13 ]} Barrow übernahm die im 17. Jahrhundert verbreitete Ansicht, dass Aristoteles’ Ausspruch und andere geometrische Axiome (wie er in Vorlesung 7 erklärt hatte) einer „höheren und universellen Wissenschaft“ entstammten, die sowohl Mathematik als auch Physik untermauerte. ^{[ 15 ]} Torricellis Beweis eines Objekts mit einer Beziehung zwischen einem Endlichen (Volumen) und einem Unendlichen (Fläche) widersprach diesem Ausspruch somit zumindest teilweise. ^{[ 15 ]} Barrows Erklärung lautete, dass Aristoteles’ Diktum weiterhin Gültigkeit habe, jedoch nur in eingeschränkter Form, wenn man Dinge derselben Art vergleiche, also Länge mit Länge, Fläche mit Fläche, Volumen mit Volumen usw. ^{[ 15 ]} Es gelte nicht, wenn man Dinge zweier verschiedener Gattungen vergleiche (zum Beispiel Fläche mit Volumen), und somit könne eine unendliche Fläche mit einem endlichen Volumen verbunden werden. ^{[ 15 ]}

Andere nutzten Torricellis Theorem, um ihre eigenen philosophischen Behauptungen zu untermauern, die aus moderner Sicht keinen Bezug zur Mathematik hatten. ^{[ 16 ]} Ignace-Gaston Pardies argumentierte 1671 mithilfe des akuten hyperbolischen Körpers, dass endliche Menschen das Unendliche begreifen könnten, und führte dies als Beweis für die Existenz Gottes und immaterieller Seelen an. ^{[ 16 ] [ 17 ]} Da endliche Materie das Unendliche nicht begreifen könne, argumentierte Pardies, zeige die Tatsache, dass Menschen diesen Beweis verstehen könnten, dass der Mensch mehr als Materie sein und immaterielle Seelen besitzen müsse. ^{[ 17 ]} Im Gegensatz dazu argumentierte Antoine Arnauld , dass das menschliche Denken aufgrund des hier erkannten Paradoxons in seinem Verständnis begrenzt sei und daher nicht in der Lage sei, göttliche oder religiöse Wahrheiten zu widerlegen. ^{[ 16 ]}

Der Streit zwischen Hobbes und Wallis fand im Bereich der Mathematik statt: Wallis begrüßte die neuen Konzepte der Unendlichkeit und des Unteilbaren mit Begeisterung und zog daraus weitere Schlüsse, die auf Torricellis Arbeit basierten und diese mithilfe arithmetischer anstelle von Torricellis geometrischen Argumenten erweiterten. Hobbes hingegen argumentierte, da die Mathematik von der Wahrnehmung endlicher Dinge in der realen Welt abgeleitet sei, könne „unendlich“ in der Mathematik nur „unbestimmt“ bedeuten. ^{[ 18 ]} Dies führte zu scharf formulierten Briefen beider an die Royal Society und in den Philosophical Transactions , wobei Hobbes Wallis zwischenzeitlich sogar als „verrückt“ bezeichnete. ^{[ 19 ]} 1672 versuchte Hobbes, Torricellis Theorem so umzuformulieren, dass es einen endlichen Körper beschreibe, der sich unendlich ausdehne , um an seiner Behauptung festzuhalten, dass „natürliches Licht“ (d. h. der gesunde Menschenverstand) lehre, dass ein unendlich langes Objekt auch ein unendliches Volumen haben müsse. ^{[ 19 ]} Dies stimmte mit Hobbes’ anderen Behauptungen überein, dass die Verwendung des Konzepts einer Linie mit der Breite Null in der Geometrie fehlerhaft sei und Cavalieris Idee der Unteilbaren unbegründet. ^{[ 20 ]} Wallis argumentierte, basierend auf Torricelli, dass geometrische Formen mit endlicher Fläche/endlichem Volumen, aber ohne Schwerpunkt existierten, und erklärte, dass das Verständnis dessen ein tieferes Verständnis von Geometrie und Logik erfordere, „als M. Hobbes [ sic ] beherrscht“. ^{[ 21 ]} Er strukturierte die Argumente auch in arithmetischen Begriffen um, als Summen arithmetischer Folgen , also Folgen arithmetischer Infinitesimale anstelle von Folgen geometrischer Unteilbarer. ^{[ 22 ]}

Oresme hatte bereits gezeigt, dass ein unendlich langer Körper eine endliche Fläche besitzen kann, wobei mit zunehmender Größe einer Dimension die andere gegen unendlich klein strebt. ^{[ 23 ]} In Barrows eigenen Worten: „Die unendliche Verkleinerung der einen Dimension kompensiert die unendliche Zunahme der anderen“ ^{[ 23 ]} im Fall des spitzwinkligen hyperbolischen Körpers gemäß der Gleichung der Apollonischen Hyperbel . ^{[ 24 ]}${\textstyle xy=1}$

Da das Horn ein endliches Volumen, aber eine unendliche Oberfläche besitzt, erscheint es paradox, dass es zwar mit einer endlichen Menge Farbe gefüllt werden könnte, diese Menge aber dennoch nicht ausreichen würde, seine Oberfläche vollständig zu bedecken. ^{[ 25 ]} Dieses Paradoxon ist jedoch wiederum nur ein scheinbarer Widerspruch, der auf einer unvollständigen Definition von „Farbe“ oder auf der Verwendung widersprüchlicher Definitionen von Farbe für die Vorgänge des Füllens und Bemalens beruht. ^{[ 26 ]}

Man könnte eine „mathematische“ Farbe annehmen, die unendlich teilbar ist (oder unendlich verdünnt werden kann oder einfach die Breite Null hat, wie die geometrischen Linien der Breite Null, die Hobbes kritisierte) und sich mit unendlicher Geschwindigkeit ausbreiten kann, oder eine „physikalische“ Farbe mit den Eigenschaften von Farbe in der realen Welt. ^{[ 26 ]} Mit beiden Ansätzen verschwindet das scheinbare Paradoxon: ^{[ 26 ]}

Bei „mathematischer“ Farbe folgt nicht zwangsläufig, dass eine unendliche Oberfläche ein unendliches Farbvolumen erfordert, da das Produkt aus unendlicher Oberfläche und Farbe mit der Dicke Null unbestimmt ist . ^{[ 26 ]}

Bei physikalischer Farbe wäre zum Bemalen der Außenseite eines Festkörpers eine unendliche Menge Farbe erforderlich, da physikalische Farbe eine Dicke ungleich null aufweist. Das Theorem von Torricelli spricht nicht von einer Schicht endlicher Breite auf der Außenseite des Festkörpers, die tatsächlich ein unendliches Volumen hätte. Daher besteht kein Widerspruch zwischen einem unendlichen Farbvolumen und einer unendlichen zu bemalenden Oberfläche. ^{[ 26 ]} Es ist auch unmöglich, das Innere des Festkörpers, das endliche Volumen des Theorems von Torricelli, mit physikalischer Farbe zu bemalen, weshalb hier kein Widerspruch besteht. ^{[ 26 ]} Dies liegt daran, dass physikalische Farbe nur eine Annäherung an das Volumen des Festkörpers ausfüllen kann. ^{[ 27 ] [ 28 ]} Die Moleküle füllen den dreidimensionalen Raum nicht vollständig aus und lassen Lücken. Es gibt einen Punkt, an dem die „Halsöffnung“ des Festkörpers zu eng wird, als dass Farbmoleküle hindurchfließen könnten. ^{[ 26 ] [ 27 ]}

Physikalische Farbe bewegt sich mit begrenzter Geschwindigkeit und bräuchte unendlich lange, um abzufließen. ^{[ 29 ]} Dies gilt auch für „mathematische“ Farbe mit der Dicke Null, sofern man nicht zusätzlich annimmt, dass sie mit unendlicher Geschwindigkeit fließt. ^{[ 29 ]}

Andere Postulate „mathematischer“ Farbe, wie etwa unendlich schnell fließende Farbe, die bei ausreichend hoher Geschwindigkeit dünner wird, lösen das Paradoxon ebenfalls auf. Bei einem Farbvolumen, das gegen unendlich strebt, strebt die Dicke der Farbe gegen null, wenn die zu bemalende Fläche A gegen unendlich geht. ^{[ 30 ]} Wie beim Festkörper selbst wird die unendliche Zunahme der zu bemalenden Fläche in einer Dimension durch die unendliche Abnahme in einer anderen Dimension, der Dicke der Farbe, kompensiert. ${\displaystyle \pi }$${\displaystyle \pi /A}$

„Gabriels Hochzeitstorte“ ist eine diskrete Version von Gabriels Horn, bei der die kontinuierliche Hornform durch eine unendliche Reihe von Zylindern angenähert wird, aber dieselben allgemeinen Eigenschaften wie die kontinuierliche Version aufweist; der Name leitet sich von der Ähnlichkeit mit einer mehrstöckigen Hochzeitstorte ab . Es wurde als Lehrmittel für Studierende verwendet, die noch nicht mit der Analysis vertraut sind. ^{[ 31 ] [ 32 ]}

Das Gegenstück zu Torricellis spitz hyperbolischem Körper wäre eine Rotationsfläche mit endlicher Oberfläche, aber unendlichem Volumen.

Als Reaktion auf Torricellis Theorem schrieben Christiaan Huygens und René-François de Sluse, nachdem sie von Marin Mersenne davon erfahren hatten , Briefe einander über die Erweiterung des Theorems auf andere unendlich lange Rotationskörper; dies wurde fälschlicherweise als Entdeckung einer solchen Umkehrung interpretiert. ^{[ 33 ]}

Jan A. van Maanen, Professor für Mathematik an der Universität Utrecht , berichtete in den 1990er Jahren, dass er einmal auf einer Konferenz in Kristiansand fälschlicherweise behauptet habe , de Sluse habe 1658 an Huygens geschrieben, er habe eine solche Form gefunden: ^{[ 34 ]}

Levi Opera Dedicator bedeutet Vasculi, denke nicht groß, was vorläufig helluo nullus ebibat

(Ich gebe die Maße eines Trinkglases (oder einer Vase) an, das ein geringes Gewicht hat, aber selbst der trinkfesteste Mensch nicht leeren kann.)

Daraufhin wurde (von Tony Gardiner und Man-Keung Siu von der Universität Hongkong ) erklärt, dass jede Rotationsfläche mit endlicher Oberfläche notwendigerweise auch ein endliches Volumen haben müsse. ^{[ 34 ]}

Professor van Maanen erkannte, dass dies eine Fehlinterpretation des Briefes von de Sluse war und dass de Sluse tatsächlich berichtete, dass die durch Rotation der Zissoide des Diokles und ihrer Asymptote um die y- Achse entstehende massive „Kelch“-Form  ein endliches Volumen (und somit ein „geringes Gewicht“) besaß und einen Hohlraum von unendlichem Volumen umschloss. ^{[ 35 ]}

Huygens zeigte als Erster, dass die Fläche des rotierten zweidimensionalen Körpers (zwischen der Zissoid und ihrer Asymptote) endlich ist. Er berechnete ihre Fläche als das Dreifache der Fläche des erzeugenden Kreises der Zissoid. De Sluse wandte daraufhin den Schwerpunktsatz von Pappus an , um zu zeigen, dass der Rotationskörper somit ein endliches Volumen besitzt, das sich aus dieser endlichen Fläche und der endlichen Rotationsbahn ergibt. ^{[ 35 ]} Die rotierte Fläche ist endlich; de Sluse äußerte sich nicht explizit zur Oberfläche des resultierenden Rotationsvolumens. ^{[ 35 ]}

Eine solche Umkehrung ist im Grunde unmöglich:

Sei D eine zusammenhängende Teilmenge von . Sei f eine stetig differenzierbare reellwertige Funktion über D. Wenn der Rotationskörper, der durch Rotation von y = f ( x ) um die x -Achse entsteht, eine endliche Oberfläche S besitzt , dann hat er auch ein endliches Volumen.${\displaystyle \mathbb {R} }$

• Koch-Schneeflocke  – Fraktale Kurve
• Picardhorn  – Hyperbolische 3-Mannigfaltigkeit, vorgeschlagen als Modell für die Form des Universums
• Pseudosphäre  – Geometrische Oberfläche
• Form des Universums  – Lokale und globale Geometrie des Universums
• Zenons Paradoxien  – Eine Reihe philosophischer Probleme

• Torricellis Trompete bei PlanetMath
• Weisstein, Eric W. „Gabriels Horn“ . MathWorld .
• „Gabriel's Horn“ von John Snyder, Wolfram Demonstrations Project , 2007.
• Gabriels Horn: Ein Verständnis eines Körpers mit endlichem Volumen und unendlicher Oberfläche von Jean S. Joseph.