Resolution (Algebra)

In der Mathematik , insbesondere in der homologischen Algebra , ist eine Resolution (oder linke Resolution ; dual eine Koresolution oder rechte Resolution ^{[ 1 ]} ) eine exakte Sequenz von Moduln (oder allgemeiner von Objekten einer abelschen Kategorie ), die zur Definition von Invarianten dient, welche die Struktur eines bestimmten Moduls oder Objekts dieser Kategorie charakterisieren. Wenn, wie üblich, Pfeile nach rechts gerichtet sind, wird angenommen, dass die Sequenz links unendlich ist (für linke Resolutionen) und rechts unendlich ist (für rechte Resolutionen). Eine endliche Resolution hingegen ist eine solche, in der nur endlich viele Objekte der Sequenz von Null verschieden sind ; sie wird üblicherweise durch eine endliche exakte Sequenz dargestellt, in der das linke Objekt (für Resolutionen) bzw. das rechte Objekt (für Koresolutionen) das Nullobjekt ist . ^{[ 2 ]}

Im Allgemeinen sind die Objekte in der Sequenz so eingeschränkt, dass sie eine bestimmte Eigenschaft P besitzen (beispielsweise frei zu sein). Man spricht daher von einer P-Auflösung . Insbesondere besitzt jeder Modul freie Auflösungen , projektive Auflösungen und flache Auflösungen , die linke Auflösungen sind und jeweils aus freien Moduln , projektiven Moduln bzw. flachen Moduln bestehen . Analog besitzt jeder Modul injektive Auflösungen , die rechte Auflösungen sind und aus injektiven Moduln bestehen .

Gegeben ein Modul über einem Ring , ist eine Linksauflösung (oder einfach Auflösung ) von eine exakte (möglicherweise unendliche) Sequenz von -Moduln. ${\displaystyle M}$${\displaystyle R}$${\displaystyle M}$${\displaystyle R}$

${\displaystyle \cdots {\overset {d_{n+1}}{\longrightarrow }}E_{n}{\overset {d_{n}}{\longrightarrow }}\cdots {\overset {d_{3}}{\longrightarrow }}E_{2}{\overset {d_{2}}{\longrightarrow }}E_{1}{\overset {d_{1}}{\longrightarrow }}E_{0}{\overset {\varepsilon }{\longrightarrow }}M\longrightarrow 0.}$

Die Homomorphismen werden Randabbildungen genannt. Die Abbildung heißt Erweiterungsabbildung . Zur Vereinfachung lässt sich die obige Auflösung wie folgt schreiben: ${\displaystyle d_{i}}$${\displaystyle \varepsilon }$

${\displaystyle E_{\bullet }{\overset {\varepsilon }{\longrightarrow }}M\longrightarrow 0.}$

Der duale Begriff ist der einer Rechtsauflösung (oder Koresolution , oder einfach Auflösung ). Genauer gesagt, ist eine Rechtsauflösung gegeben einen Modul über einem Ring eine möglicherweise unendliche exakte Sequenz von -Moduln. ${\displaystyle M}$${\displaystyle R}$${\displaystyle R}$

${\displaystyle 0\longrightarrow M{\overset {\varepsilon }{\longrightarrow }}C^{0}{\overset {d^{0}}{\longrightarrow }}C^{1}{\overset {d^{1}}{\longrightarrow }}C^{2}{\overset {d^{2}}{\longrightarrow }}\cdots {\overset {d^{n-1}}{\longrightarrow }}C^{n}{\overset {d^{n}}{\longrightarrow }}\cdots ,}$

wobei jedes ein -Modul ist (es ist üblich, hochgestellte Indizes an den Objekten in der Auflösung und den Abbildungen zwischen ihnen zu verwenden, um die Dualität einer solchen Auflösung zu kennzeichnen). Zur Vereinfachung kann die obige Auflösung wie folgt geschrieben werden: ${\displaystyle C^{i}}$${\displaystyle R}$

${\displaystyle 0\longrightarrow M{\overset {\varepsilon }{\longrightarrow }}C^{\bullet }.}$

Eine (Ko-)Resolution heißt endlich , wenn nur endlich viele der beteiligten Moduln ungleich null sind. Die Länge einer endlichen Resolution ist der größte Index, der einen von null verschiedenen Modul in der endlichen Resolution kennzeichnet. ${\displaystyle n}$

In vielen Fällen werden Bedingungen an die Moduln gestellt, die den gegebenen Modul auflösen . Beispielsweise ist eine freie Auflösung eines Moduls eine Linksauflösung, in der alle Moduln freie -Moduln sind . Ebenso sind projektive und flache Auflösungen Linksauflösungen, bei denen alle Moduln projektive bzw. flache -Moduln sind . Injektive Auflösungen sind Rechtsauflösungen, deren Moduln alle injektive Moduln sind . ${\displaystyle E_{i}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle E_{i}}$${\displaystyle R}$${\displaystyle E_{i}}$${\displaystyle R}$${\displaystyle C^{i}}$

Jeder -Modul besitzt eine freie Linksauflösung. ^{[ 3 ]} A fortiori besitzt jeder Modul auch projektive und flache Auflösungen. Die Beweisidee besteht darin, den von den Elementen von erzeugten freien -Modul zu definieren und dann den vom Kern der natürlichen Abbildung → usw. erzeugten freien -Modul. Dual besitzt jeder -Modul eine injektive Auflösung. Projektive Auflösungen (und allgemeiner flache Auflösungen) können zur Berechnung von Tor-Funktoren verwendet werden . ${\displaystyle R}$${\displaystyle E_{0}}$${\displaystyle R}$${\displaystyle M}$${\displaystyle E_{1}}$${\displaystyle R}$${\displaystyle E_{0}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle R}$

Die projektive Auflösung eines Moduls ist bis auf eine Kettenhomotopie eindeutig , d.h., zu zwei gegebenen projektiven Auflösungen existiert eine Kettenhomotopie zwischen ihnen .${\displaystyle M}$${\displaystyle P_{0}\to M}$${\displaystyle P_{1}\to M}$${\displaystyle M}$

Auflösungen dienen zur Definition homologischer Dimensionen . Die minimale Länge einer endlichen projektiven Auflösung eines Moduls wird als seine projektive Dimension bezeichnet und mit d notiert . Beispielsweise hat ein Modul genau dann die projektive Dimension Null, wenn er ein projektiver Modul ist. Besitzt d keine endliche projektive Auflösung, so ist seine projektive Dimension unendlich. Für einen kommutativen lokalen Ring ℝ ist die projektive Dimension beispielsweise genau dann endlich, wenn ℝ regulär ist ; in diesem Fall stimmt sie mit der Krull-Dimension von ℝ überein . Analog werden auch für Moduln die injektive Dimension und die flache Dimension definiert. ${\displaystyle M}$${\displaystyle {\text{P-}}\dim(M)}$${\displaystyle M}$${\displaystyle R}$${\displaystyle R}$${\displaystyle R}$${\displaystyle {\text{I-}}\dim(M)}$${\displaystyle {\text{F-}}\dim(M)}$

Die injektive und die projektive Dimension werden auf der Kategorie der Rechtsmoduln verwendet, um eine homologische Dimension zu definieren, die als rechte globale Dimension von bezeichnet wird . Analog dazu wird die flache Dimension verwendet, um die schwache globale Dimension zu definieren . Das Verhalten dieser Dimensionen spiegelt Eigenschaften des Rings wider. Beispielsweise hat ein Ring genau dann die rechte globale Dimension 0, wenn er ein halbeinfacher Ring ist , und ein Ring hat genau dann die schwache globale Dimension 0, wenn er ein von-Neumann-regulärer Ring ist . ${\displaystyle R}$${\displaystyle R}$${\displaystyle R}$

Sei M ein graduierter Modul über einer graduierten Algebra , der über einem Körper von seinen Elementen positiven Grades erzeugt wird . Dann besitzt M eine freie Auflösung, in der die freien Moduln E _{_i} so graduiert werden können, dass d _{_i} und ε graduierte lineare Abbildungen sind . Unter diesen graduierten freien Auflösungen sind die minimalen freien Auflösungen diejenigen, für die die Anzahl der Basiselemente jedes E _{_i} minimal ist. Die Anzahl der Basiselemente jedes E _{_i} und ihre Grade sind für alle minimalen freien Auflösungen eines graduierten Moduls gleich.

Ist I ein homogenes Ideal in einem Polynomring über einem Körper, so ist die Castelnuovo-Mumford-Regularität der durch I definierten projektiven algebraischen Menge die kleinste ganze Zahl r , sodass die Grade der Basiselemente von E _i in einer minimalen freien Auflösung von I alle kleiner als ri sind .

Ein klassisches Beispiel für eine freie Auflösung ist der Koszul-Komplex einer regulären Folge in einem lokalen Ring oder einer homogenen regulären Folge in einer endlich über einem Körper erzeugten graduierten Algebra .

Sei X ein asphärischer Raum , d. h. seine universelle Überlagerung E ist zusammenziehbar . Dann ist jeder singuläre (oder simpliziale ) Kettenkomplex von E eine freie Auflösung des Moduls Z nicht nur über dem Ring Z , sondern auch über dem Gruppenring Z [ π ₁ ( X )].

Die Definition der Auflösungen eines Objekts M in einer abelschen Kategorie A ist dieselbe wie oben, aber die E _i und C ⁱ sind Objekte in A , und alle beteiligten Abbildungen sind Morphismen in A.

Die analogen Begriffe projektiver und injektiver Moduln sind projektive und injektive Objekte und dementsprechend projektive und injektive Auflösungen. Solche Auflösungen müssen jedoch nicht in einer allgemeinen abelschen Kategorie A existieren . Besitzt jedes Objekt von A eine projektive (bzw. injektive) Auflösung, so besitzt A genügend projektive (bzw. genügend injektive ) Objekte. Selbst wenn sie existieren, sind solche Auflösungen oft schwierig zu handhaben. Beispielsweise besitzt, wie oben erwähnt, jeder R -Modul eine injektive Auflösung, aber diese Auflösung ist nicht funktoriell , d. h., zu einem Homomorphismus M → M' zusammen mit injektiven Auflösungen …

${\displaystyle 0\rightarrow M\rightarrow I_{*},\ \ 0\rightarrow M'\rightarrow I'_{*},}$

Im Allgemeinen gibt es keine funktoriale Möglichkeit, eine Abbildung zwischen und zu erhalten . ${\displaystyle I_{*}}$${\displaystyle I'_{*}}$

Eine Klasse von Beispielen abelscher Kategorien ohne projektive Auflösungen sind die Kategorien kohärenter Garben auf einem Schema . Ist beispielsweise ein projektiver Raum, so besitzt jede kohärente Garbe auf eine Präsentation, die durch eine exakte Sequenz gegeben ist. ${\displaystyle {\text{Coh}}(X)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X=\mathbb {P} _{S}^{n}}$${\displaystyle {\mathcal {M}}}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle \bigoplus _{i,j=0}{\mathcal {O}}_{X}(s_{i,j})\to \bigoplus _{i=0}{\mathcal {O}}_{X}(s_{i})\to {\mathcal {M}}\to 0.}$

Die ersten beiden Terme sind im Allgemeinen nicht projektiv, da für . Beide Terme sind jedoch lokal frei und lokal flach. Beide Garbenklassen können für bestimmte Berechnungen anstelle von projektiven Auflösungen zur Berechnung einiger abgeleiteter Funktoren verwendet werden. ${\displaystyle H^{n}(\mathbb {P} _{S}^{n},{\mathcal {O}}_{X}(s))\neq 0}$${\displaystyle s>0}$

In vielen Fällen interessiert man sich nicht wirklich für die Objekte, die in einer Resolution auftreten, sondern für das Verhalten der Resolution bezüglich eines gegebenen Funktors . Daher wird in vielen Situationen der Begriff der azyklischen Resolutionen verwendet: Gegeben ein links exakter Funktor F : A → B zwischen zwei abelschen Kategorien, ist eine Resolution

${\displaystyle 0\rightarrow M\rightarrow E_{0}\rightarrow E_{1}\rightarrow E_{2}\rightarrow \cdots }$

Eine Auflösung eines Objekts M von A heißt F -azyklisch, wenn die abgeleiteten Funktoren R _i F ( E _n ) für alle i  > 0 und n  ≥ 0 verschwinden. Dual dazu ist eine Linksauflösung azyklisch bezüglich eines exakten Rechtsfunktors, wenn ihre abgeleiteten Funktoren auf den Objekten der Auflösung verschwinden.

Gegeben sei beispielsweise ein R -Modul M. Das Tensorprodukt    ist ein exakter Rechtsfunktor Mod ( R ) → Mod ( R ). Jede flache Auflösung ist bezüglich dieses Funktors azyklisch. Eine flache Auflösung ist bezüglich des Tensorprodukts mit jedem M azyklisch . Analog dazu sind Auflösungen, die bezüglich aller Funktoren Hom (⋅, M ) azyklisch sind, projektive Auflösungen, und solche, die bezüglich der Funktoren Hom ( M , ⋅) azyklisch sind, injektive Auflösungen. ${\displaystyle \otimes _{R}M}$

Jede injektive (projektive) Resolution ist F -azyklisch für jeden links exakten (bzw. rechts exakten) Funktor.

Die Bedeutung azyklischer Resolutionen liegt darin, dass die abgeleiteten Funktoren R _i F (eines links exakten Funktors und analog L _i F eines rechts exakten Funktors) als Homologie von F -azyklischen Resolutionen erhalten werden können: Gegeben eine azyklische Resolution eines Objekts M , so gilt :${\displaystyle E_{*}}$

${\displaystyle R_{i}F(M)=H_{i}F(E_{*}),}$

wobei die rechte Seite das i -te Homologieobjekt des Komplexes ist${\displaystyle F(E_{*}).}$

Diese Situation trifft in vielen Fällen zu. Beispielsweise kann die konstante Garbe R auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit M durch die Garben glatter Differentialformen zerlegt werden : ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{*}(M)}$

${\displaystyle 0\rightarrow R\subset {\mathcal {C}}^{0}(M){\stackrel {d}{\rightarrow }}{\mathcal {C}}^{1}(M){\stackrel {d}{\rightarrow }}\cdots {\stackrel {d}{\rightarrow }}{\mathcal {C}}^{\dim M}(M)\rightarrow 0.}$

Die Garben sind feine Garben , die bekanntermaßen azyklisch bezüglich des globalen Schnittfunktors sind . Daher berechnet sich die Garbenkohomologie , die der abgeleitete Funktor des globalen Schnittfunktors Γ ist, wie folgt: ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{*}(M)}$${\displaystyle \Gamma :{\mathcal {F}}\mapsto {\mathcal {F}}(M)}$${\displaystyle \mathrm {H} ^{i}(M,\mathbf {R} )=\mathrm {H} ^{i}({\mathcal {C}}^{*}(M)).}$

In ähnlicher Weise sind Godement-Resolutionen azyklisch bezüglich des globalen Schnittfunktors.

• Standardauflösung
• Satz von Hilbert-Burch
• Hilberts Syzygiensatz
• Kostenlose Präsentation
• Matrixfaktorisierungen (Algebra)

• Iain T. Adamson (1972), Elementare Ringe und Moduln , University Mathematical Texts, Oliver and Boyd, ISBN 0-05-002192-3
• Eisenbud, David (1995), Kommutative Algebra. Mit Blick auf die algebraische Geometrie , Graduate Texts in Mathematics , Band 150, Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 3-540-94268-8, MR  1322960 , Zbl  0819.13001
• Jacobson, Nathan (2009) [1985], Grundlegende Algebra II (Zweite Auflage), Dover Publications, ISBN 978-0-486-47187-7
• Lang, Serge (1993), Algebra (3. Aufl.), Reading, Mass.: Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-55540-0, Zbl  0848.13001
• Weibel, Charles A. (1994), Einführung in die homologische Algebra , Cambridge Studies in Advanced Mathematics, Band 38, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-55987-4, MR  1269324 , OCLC  36131259