Stabiler Verteiler

In der Mathematik , insbesondere in der Theorie dynamischer Systeme , liefern die Konzepte stabiler und instabiler Mengen bzw. stabiler und instabiler Mannigfaltigkeiten eine formale mathematische Definition der allgemeinen Begriffe, die dem Attraktor bzw. Repellor zugrunde liegen . Im Fall der hyperbolischen Dynamik entspricht dem Konzept der hyperbolischen Menge das entsprechende Konzept .

Die auf die Saturnringe wirkenden Gezeitenkräfte liefern ein anschauliches physikalisches Beispiel. Sie drücken den Ring in die Äquatorebene, während sie ihn radial ausdehnen. Stellt man sich die Ringe als Sand- oder Kiespartikel („Staub“) vor, die Saturn umkreisen, so bewirken die Gezeitenkräfte, dass jede Störung, die Partikel über oder unter die Äquatorebene drückt, eine rücktreibende Kraft auslöst, die sie zurück in die Ebene drückt. Die Partikel schwingen quasi in einem harmonischen Potentialtopf, gedämpft durch Kollisionen. Die stabile Richtung verläuft senkrecht zum Ring. Die instabile Richtung verläuft entlang eines beliebigen Radius, wo Kräfte die Partikel dehnen und auseinanderziehen. Zwei Partikel, die sich im Phasenraum sehr nahe beieinander befinden , erfahren radiale Kräfte, die sie radial auseinandertreiben. Diese Kräfte haben einen positiven Lyapunov-Exponenten ; die Trajektorien liegen auf einer hyperbolischen Mannigfaltigkeit, und die Bewegung der Partikel ist im Wesentlichen chaotisch ; sie wandern durch die Ringe. Die zentrale Mannigfaltigkeit verläuft tangential zu den Ringen, sodass die Partikel weder Kompression noch Dehnung erfahren. Dadurch dominieren Gravitationskräfte zweiter Ordnung, und Partikel können von Monden oder Mondchen in den Ringen mitgerissen werden und sich an diese koppeln . Die Gravitationskräfte der Monde erzeugen bei jedem Umlauf einen regelmäßig wiederkehrenden kleinen Impuls, ähnlich einem angestoßenen Rotor in einer Phasenregelschleife .

Die diskrete Bewegung der Teilchen im Ring lässt sich durch die Poincaré-Abbildung approximieren . Diese Abbildung liefert die Transfermatrix des Systems. Der zum größten Eigenwert der Matrix gehörige Eigenvektor ist der Frobenius-Perron-Eigenvektor , der zugleich das invariante Maß darstellt , d. h. die tatsächliche Teilchendichte im Ring. Alle anderen Eigenvektoren der Transfermatrix besitzen kleinere Eigenwerte und entsprechen abklingenden Moden.

Im Folgenden wird der Fall eines Systems definiert, das entweder eine iterierte Funktion ist oder eine diskrete Zeitdynamik aufweist. Ähnliche Konzepte gelten für Systeme, deren zeitliche Entwicklung durch einen Fluss gegeben ist .

Sei ein topologischer Raum und ein Homöomorphismus . Wenn ein Fixpunkt von ist , dann ist die stabile Menge von definiert durch ${\displaystyle X}$${\displaystyle f\colon X\to X}$${\displaystyle p}$${\displaystyle f}$${\displaystyle p}$

${\displaystyle W^{s}(f,p)=\{q\in X:f^{n}(q)\to p{\mbox{ as }}n\to \infty \}}$

und die instabile Menge von${\displaystyle p}$ wird definiert durch

${\displaystyle W^{u}(f,p)=\{q\in X:f^{-n}(q)\to p{\mbox{ as }}n\to \infty \}.}$

Hier bezeichnet die Umkehrfunktion , d. h. , wobei die Identitätsabbildung auf ist . ${\displaystyle f^{-1}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f\circ f^{-1}=f^{-1}\circ f=id_{X}}$${\displaystyle id_{X}}$${\displaystyle X}$

Ist ein periodischer Punkt der kleinsten Periode , so ist er ein Fixpunkt von , und die stabilen und instabilen Mengen von werden definiert durch ${\displaystyle p}$${\displaystyle k}$${\displaystyle f^{k}}$${\displaystyle p}$

${\displaystyle W^{s}(f,p)=W^{s}(f^{k},p)}$

Und

${\displaystyle W^{u}(f,p)=W^{u}(f^{k},p).}$

Gegeben eine Umgebung von , werden die lokalen stabilen und instabilen Mengen von definiert durch ${\displaystyle U}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$

${\displaystyle W_{\mathrm {loc} }^{s}(f,p,U)=\{q\in U:f^{n}(q)\in U{\mbox{ für jedes }}n\geq 0\}}$

Und

${\displaystyle W_{\mathrm {loc} }^{u}(f,p,U)=W_{\mathrm {loc} }^{s}(f^{-1},p,U).}$

Wenn metrisierbar ist , können wir die stabilen und instabilen Mengen für jeden Punkt definieren durch ${\displaystyle X}$

${\displaystyle W^{s}(f,p)=\{q\in X:d(f^{n}(q),f^{n}(p))\to 0{\mbox{ für }}n\to \infty \}}$

Und

${\displaystyle W^{u}(f,p)=W^{s}(f^{-1},p),}$

wobei eine Metrik für ist . Diese Definition stimmt offensichtlich mit der vorherigen überein, wenn ein periodischer Punkt ist. ${\displaystyle d}$${\displaystyle X}$${\displaystyle p}$

Sei nun eine kompakte, glatte Mannigfaltigkeit und ein Diffeomorphismus . Ist ein hyperbolischer periodischer Punkt, so besagt der Satz über stabile Mannigfaltigkeiten , dass für eine Umgebung von die lokalen stabilen und instabilen Mengen eingebettete Kreisscheiben sind, deren Tangentialräume in bzw. ( die stabilen bzw. instabilen Räume von ) sind. Darüber hinaus variieren sie (in einem gewissen Sinne) stetig in einer Umgebung von in der Topologie von (dem Raum aller Diffeomorphismen von nach sich selbst). Schließlich sind die stabilen und instabilen Mengen injektiv immersiv eingebettete Kreisscheiben. Daher werden sie üblicherweise als stabile und instabile Mannigfaltigkeiten bezeichnet . Dieses Ergebnis gilt auch für nichtperiodische Punkte, sofern diese in einer hyperbolischen Menge liegen (Satz über stabile Mannigfaltigkeiten für hyperbolische Mengen). ${\displaystyle X}$${\displaystyle f}$${\displaystyle {\mathcal {C}}^{k}}$${\displaystyle k\geq 1}$${\displaystyle p}$${\displaystyle U}$${\displaystyle p}$${\displaystyle {\mathcal {C}}^{k}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle E^{s}}$${\displaystyle E^{u}}$${\displaystyle Df(p)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle {\mathcal {C}}^{k}}$${\displaystyle \mathrm {Diff} ^{k}(X)}$${\displaystyle {\mathcal {C}}^{k}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {C}}^{k}}$

Ist ein (endlichdimensionaler) Vektorraum und ein Isomorphismus , so werden seine stabilen und instabilen Mengen als stabiler Raum bzw. instabiler Raum bezeichnet. ${\displaystyle X}$${\displaystyle f}$

• Invariante Mannigfaltigkeit
• Zentralverteiler
• Limit festgelegt
• Julia setzt
• Langsamer Krümmer
• Trägheitsmannigfaltigkeit
• Normal hyperbolische invariante Mannigfaltigkeit
• Lagrangesche kohärente Struktur

• Abraham, Ralph; Marsden, Jerrold E. (1978). Grundlagen der Mechanik . Reading, Mass.: Benjamin/Cummings. ISBN 0-8053-0102-XDie
• Irwin, Michael C. (2001). „Stabile Mannigfaltigkeiten“ . Glatte dynamische Systeme . World Scientific. S.  143–160 . ISBN 981-02-4599-8Die
• Sritharan, SS (1990). Invariante Mannigfaltigkeitstheorie für hydrodynamische Übergänge . New York: John Wiley & Sons. ISBN 0-582-06781-2Die

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