Infrabarreled space

In der Funktionalanalysis , einem Teilgebiet der Mathematik, wird ein lokal konvexer topologischer Vektorraum (TVS) als infrabarreliert (auch infrabarreliert geschrieben ) bezeichnet , wenn jedes beschränkte Fass eine Umgebung des Ursprungs ist. ^{[ 1 ]}

Analog dazu sind Quasi-Fassräume topologische Vektorräume (TVS), in denen jede bornivore Menge eine Umgebung des Ursprungs ist. Quasi-Fassräume werden untersucht, da sie eine Abschwächung der definierenden Bedingung für Fassräume darstellen , für die eine Form des Satzes von Banach-Steinhaus gilt.

Eine Teilmenge eines topologischen Vektorraums (TVS) heißt bornivorisch, wenn sie alle beschränkten Teilmengen von absorbiert ; das heißt, wenn es für jede beschränkte Teilmenge von einen Skalar gibt, sodass . Eine Barrel-Menge oder ein Barrel in einem TVS ist eine Menge , die konvex , balanciert , absorbierend und abgeschlossen ist . Ein Quasi-Barrel-Raum ist ein TVS, in dem jede bornivorische Barrel-Menge eine Umgebung des Ursprungs ist. ^{[ 2 ] [ 3 ]}${\displaystyle B}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle S}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle r}$${\displaystyle S\subseteq rB.}$

Ist ein lokal konvexer Hausdorff-Raum, so ist die kanonische Injektion von in seinen Bidual genau dann eine topologische Einbettung, wenn infrabarreliert ist. ^{[ 4 ]}${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

Ein topologischer Vektorraum nach Hausdorff heißt quasifassed genau dann, wenn jeder beschränkte, abgeschlossene lineare Operator von in einen vollständigen metrisierbaren Vektorraum stetig ist. ^{[ 5 ]} Per Definition heißt ein linearer Operator abgeschlossen , wenn sein Graph eine abgeschlossene Teilmenge von ist.${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle F:X\to Y}$${\displaystyle X\times Y.}$

Für einen lokal konvexen Raum mit stetigem Dualraum sind die folgenden Ausdrücke äquivalent: ${\displaystyle X}$${\displaystyle X^{\prime }}$

1. ${\displaystyle X}$ist quasifassförmig.
2. Jede beschränkte unterhalbstetige Halbnorm auf ist stetig.${\displaystyle X}$
3. Jede -beschränkte Teilmenge des stetigen Dualraums ist gleichstetig.${\displaystyle \beta (X',X)}$${\displaystyle X^{\prime }}$

Wenn es sich um einen metrisierbaren, lokal konvexen TVS handelt, dann sind die folgenden Ausdrücke äquivalent: ${\displaystyle X}$

1. Der starke Dual von ist quasifassed.${\displaystyle X}$
2. The strong dual of ${\displaystyle X}$ is barrelled.
3. The strong dual of ${\displaystyle X}$ is bornological.

Every quasi-complete infrabarrelled space is barrelled.^[1]

A locally convex Hausdorff quasibarrelled space that is sequentially complete is barrelled.^[6]

A locally convex Hausdorff quasibarrelled space is a Mackey space, quasi-M-barrelled, and countably quasibarrelled.^[7]

A locally convex quasibarrelled space that is also a σ-barrelled space is necessarily a barrelled space.^[3]

A locally convex space is reflexive if and only if it is semireflexive and quasibarrelled.^[3]

Every barrelled space is infrabarrelled.^[1] A closed vector subspace of an infrabarrelled space is, however, not necessarily infrabarrelled.^[8]

Every product and locally convex direct sum of any family of infrabarrelled spaces is infrabarrelled.^[8] Every separated quotient of an infrabarrelled space is infrabarrelled.^[8]

Every Hausdorff barrelled space and every Hausdorff bornological space is quasibarrelled.^[9] Thus, every metrizable TVS is quasibarrelled.

Note that there exist quasibarrelled spaces that are neither barrelled nor bornological.^[3] There exist Mackey spaces that are not quasibarrelled.^[3] There exist distinguished spaces, DF-spaces, and ${\displaystyle \sigma }$-barrelled spaces that are not quasibarrelled.^[3]

The strong dual space${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$ of a Fréchet space${\displaystyle X}$ is distinguished if and only if ${\displaystyle X}$ is quasibarrelled.^[10]

There exists a DF-space that is not quasibarrelled.^[3]

There exists a quasibarrelled DF-space that is not bornological.^[3]

There exists a quasibarrelled space that is not a σ-barrelled space.^[3]

• Fassförmiger Raum  – Art von topologischem Vektorraum
• Reflexiver Raum  – Lokal konvexer topologischer Vektorraum
• Halbreflexiver Raum

• Adasch, Norbert; Ernst, Bruno; Keim, Dieter (1978). Topologische Vektorräume: Die Theorie ohne Konvexitätsbedingungen . Lecture Notes in Mathematics. Band 639. Berlin New York: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-08662-8OCLC  297140003 .​
• Berberian, Sterling K. (1974). Vorlesungen zur Funktionalanalysis und Operatortheorie . Graduate Texts in Mathematics. Band 15. New York: Springer. ISBN 978-0-387-90081-0OCLC  878109401 .​
• Bourbaki, Nicolas (1987) [1981]. Topologische Vektorräume: Kapitel 1–5 . Elemente der Mathematik . Übersetzt von Eggleston, HG; Madan, S. Berlin New York: Springer-Verlag. ISBN 3-540-13627-4OCLC  17499190 .​
• Conway, John B. (1990). Einführung in die Funktionalanalysis . Graduate Texts in Mathematics . Band 96 (2. Aufl.). New York: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-97245-9OCLC  21195908 .​
• Edwards, Robert E. (1995). Funktionalanalysis: Theorie und Anwendungen . New York: Dover Publications. ISBN 978-0-486-68143-6OCLC  30593138 .​
• Grothendieck, Alexander (1973). Topologische Vektorräume . Übersetzt von Chaljub, Orlando. New York: Gordon and Breach Science Publishers. ISBN 978-0-677-30020-7OCLC  886098 .​
• Hogbe-Nlend, Henri (1977). Bornologien und Funktionalanalysis: Einführung in die Theorie der Dualitätstopologie – Bornologie und ihre Anwendung in der Funktionalanalysis . North-Holland Mathematics Studies, Band 26. Amsterdam, New York: North Holland. ISBN 978-0-08-087137-0MR  0500064 . OCLC  316549583 .​
• Husain, Taqdir; Khaleelulla, SM (1978). Barrelledness in Topological and Ordered Vector Spaces . Lecture Notes in Mathematics . Band 692. Berlin, New York, Heidelberg: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-09096-0OCLC  4493665 .​
• Jarchow, Hans (1981). Lokalkonvexe Räume . Stuttgart: BG Teubner. ISBN 978-3-519-02224-4OCLC  8210342 .​
• Khaleelulla, SM (1982). Gegenbeispiele in topologischen Vektorräumen . Lecture Notes in Mathematics . Band 936. Berlin, Heidelberg, New York: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-11565-6OCLC  8588370 .​
• Köthe, Gottfried (1983) [1969]. Topologische Vektorräume I . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Bd. 159. Übersetzt von Garling, DJH New York: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-64988-2MR  0248498 . OCLC  840293704 .​
• Köthe, Gottfried (1979). Topologische Vektorräume II . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Bd. 237. New York: Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-90400-9OCLC  180577972 .​
• Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Topologische Vektorräume . Reine und angewandte Mathematik (2. Aufl.). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666OCLC  144216834 .​
• Schaefer, Helmut H.; Wolff, Manfred P. (1999). Topologische Vektorräume . GTM . Band 8 (2. Aufl.). New York, NY: Springer New York Imprint. ISBN 978-1-4612-7155-0OCLC  840278135 .​
• Swartz, Charles (1992). Einführung in die Funktionalanalysis . New York: M. Dekker. ISBN 978-0-8247-8643-4OCLC  24909067 .​
• Trèves, François (2006) [1967]. Topologische Vektorräume, Verteilungen und Kernel . Mineola, NY: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1OCLC  853623322 .​
• Wilansky, Albert (2013). Moderne Methoden in topologischen Vektorräumen . Mineola, New York: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-49353-4OCLC  849801114 .​
• Wong, Yau-Chuen (1979). Schwartzräume, Kernräume und Tensorprodukte . Lecture Notes in Mathematics . Band 726. Berlin New York: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-09513-2OCLC  5126158 .​