Webspace

In der Mathematik , insbesondere in der Funktionalanalysis , ist ein verketteter Raum ein topologischer Vektorraum, der so konstruiert wurde, dass die Aussagen des Satzes über offene Abbildungen und des Satzes über abgeschlossene Graphen für eine größere Klasse linearer Abbildungen gelten , deren Zielbereiche verkettete Räume sind. Ein Raum heißt verkettet, wenn es eine Menge von Mengen gibt , die als Netz bezeichnet wird und bestimmte Eigenschaften erfüllt. Netze wurden erstmals von de Wilde untersucht.

Web

Sei ein lokal konvexer topologischer Vektorraum nach Hausdorff . $X$ Das Web ist eine geschichtete Sammlung vonDatenträgern, die die folgenden Absorptions- und Konvergenzanforderungen erfüllen.^{[ 1 ]}

Schicht 1 : Die erste Schicht muss aus einer Folge von Scheiben bestehen , deren Vereinigung die Summe der Scheiben, die die Masse ... Masse der Scheiben, die die Masse der Scheiben, die Masse der Scheiben, die die Masse der Scheiben, die die Masse der Scheiben, die Masse der Scheiben $D_{1},D_{2},D_{3},\ldots$ $X$ $\bigcup _{i\in \mathbb {N} }D_{i}$ $X.$
Schicht 2 : Für jede Scheibe in der ersten Schicht muss es eine Folge von Scheiben in geben , so dass für jedes : und absorbiert Die Mengen bilden die zweite Schicht. $D_{i}$ $D_{i1},D_{i2},D_{i3},\ldots$ $X$ $D_{i}$ $D_{ij}\subseteq \left({\tfrac {1}{2}}\right)D_{i}\quad {\text{ für jedes }}j$ $\cup _{j\in \mathbb {N} }D_{ij}$ $D_{i}.$ $\left(D_{ij}\right)_{i,j\in \mathbb {N} }$
Schicht 3 : Jeder Scheibe in der zweiten Schicht wird eine weitere Folge von Scheiben zugeordnet, die analog definierte Eigenschaften erfüllen; explizit bedeutet dies, dass für jedes : und absorbiert Die Mengen bilden die dritte Schicht. $D_{ij}$ $D_{ij1},D_{ij2},D_{ij3},\ldots$ $X$ $D_{i,j}$ $D_{ijk}\subseteq \left({\tfrac {1}{2}}\right)D_{ij}\quad {\text{ für jedes }}k$ $\cup _{k\in \mathbb {N} }D_{ijk}$ $D_{ij}.$ $\left(D_{ijk}\right)_{i,j,k\in \mathbb {N} }$

Setzen Sie diesen Prozess fort, um Schichten zu definieren. Das heißt, verwenden Sie Induktion, um eine Schicht anhand ihrer Bedeutung zu definieren. $4,5,\ldots .$ $n+1$ $n.$

AEin Strang ist eine Folge von Scheiben, wobei die erste Scheibe aus der ersten Schicht ausgewählt wird,die zweite aus der zugehörigen Folgeusw. Wir fordern außerdem, dass eine Folge von Vektoren, dieaus einem Strang ausgewählt werden (wobeizur ersten Scheibe des Strangsgehört, zur zweiten usw.),konvergiert. $D_{i},$ $D_{i},$ $(x_{n})$ $x_{1}$ $x_{2}$ $\sum _{n=1}^{\infty }x_{n}$

Ein lokal konvexer topologischer Vektorraum nach Hausdorff , auf dem ein Netz definiert werden kann, wird als solcher bezeichnet.vernetzter Raum .

Beispiele und hinreichende Bedingungen

Satz ^{[ 2 ]} (de Wilde 1978) — Ein topologischer Vektorraum ist genau dann ein Fréchet-Raum , wenn er sowohl ein Webraum als auch ein Baire-Raum ist . $X$

Alle folgenden Bereiche sind vernetzt:

Fréchet-Räume . ^{[ 2 ]}
Projektive Grenzen und induktive Grenzen von Folgen vernetzter Räume.
Ein sequenziell abgeschlossener Vektorunterraum eines netzartigen Raums. ^{[ 3 ]}
Abzählbare Produkte von Netzräumen. ^{[ 3 ]}
Ein Hausdorff-Quotient eines Netzraums. ^{[ 3 ]}
Das Bild eines netzartigen Raums unter einer sequenziell stetigen linearen Abbildung, falls dieses Bild ein Hausdorff-Raum ist . ^{[ 3 ]}
Die Bornologisierung eines vernetzten Raums.
Der stetige Dualraum eines metrisierbaren lokal konvexen Raums, der mit der starken dualen Topologie ausgestattet ist , ist vernetzt. ^{[ 2 ]}
Ist der strikte induktive Limes einer abzählbaren Familie lokal konvexer metrisierbarer Räume, so ist der stetige Dualraum von mit der starken Topologie vernetzt. ^[⁴^] $X$ $X$ $X$ $X$
- Insbesondere sind die starken Duale von lokal konvexen metrisierbaren Räumen vernetzt. ^{[ 5 ]}
Ist ein vernetzter Raum, so ist auch jede Hausdorff-lokalkonvexe Topologie, die schwächer als diese (vernetzte) Topologie ist, vernetzt. ^[³^] $X$

Sätze

Satz über abgeschlossene Graphen ^{[ 6 ]} — Sei eine lineare Abbildung zwischen TVSs, die sequenziell abgeschlossen ist (d. h. ihr Graph ist eine sequenziell abgeschlossene Teilmenge von ). Wenn ein verwebter Raum und ein ultrabornologischer Raum (wie ein Fréchet-Raum oder ein induktiver Limes von Fréchet-Räumen) ist, dann ist stetig. $A:X\to Y$ $X\times Y$ $Y$ $X$ $A$

Satz über abgeschlossene Graphen — Jede abgeschlossene lineare Abbildung vom Induktionslimes von Baire- lokalkonvexen Räumen in einen vernetzten lokalkonvexen Raum ist stetig.

Satz über offene Abbildungen — Jede stetige surjektive lineare Abbildung von einem netzartigen lokalkonvexen Raum auf einen induktiven Limes von Baire-lokalkonvexen Räumen ist offen.

Satz über offene Abbildungen ^{[ 6 ]} — Jede stetige surjektive lineare Abbildung von einem lokal konvexen Raum mit Netzstruktur auf einen ultrabornologischen Raum ist offen.

Satz über offene Abbildungen ^{[ 6 ]} — Wenn das Bild eines abgeschlossenen linearen Operators vom lokal konvexen Webraum in den lokal konvexen Hausdorff-Raum nicht mager ist, dann ist es eine surjektive offene Abbildung. $A:X\to Y$ $X$ $Y$ $Y$ $A:X\to Y$

Sind die Räume nicht lokal konvex, so gibt es einen Begriff von Netz, bei dem die Bedingung, eine Kreisscheibe zu sein, durch die Bedingung, ausgeglichen zu sein, ersetzt wird . Für einen solchen Begriff von Netz ergeben sich die folgenden Resultate:

Satz über abgeschlossene Graphen — Jede abgeschlossene lineare Abbildung vom induktiven Limes von Baire- topologischen Vektorräumen in einen netzartigen topologischen Vektorraum ist stetig.

Siehe auch

Fast offene lineare Abbildung – Eine Abbildung, die eine ähnliche Bedingung wie eine offene Abbildung erfüllt.
Fassförmiger Raum – Art von topologischem Vektorraum
Geschlossener Graph – Eigenschaft von Funktionen in der Topologie
Satz über abgeschlossene Graphen (Funktionalanalysis) – Sätze, die Stetigkeit und Abgeschlossenheit von Graphen verknüpfen
Geschlossener linearer Operator – Linearer Operator, dessen Graph geschlossen ist.
Diskontinuierliche lineare Abbildung
F-Raum – Topologischer Vektorraum mit vollständiger translationsinvarianter Metrik
Fréchet-Raum – Lokal konvexer topologischer Vektorraum, der auch ein vollständiger metrischer Raum ist
Kakutani-Fixpunktsatz – Fixpunktsatz für mengenwertige Funktionen
Metrisierbarer topologischer Vektorraum – Topologischer Vektorraum, dessen Topologie durch eine Metrik definiert werden kann
Satz über offene Abbildungen (Funktionalanalysis) – Bedingung dafür, dass ein linearer Operator offen ist
Satz von Ursescu – Verallgemeinerung des Satzes über abgeschlossene Graphen, offene Abbildungen und gleichmäßige Beschränktheit

Zitate

^ Narici & Beckenstein 2011 , S. 470−471.
^ ^a ^b ^c Narici & Beckenstein 2011 , S. 472.
^ ^a ^b ^c ^d ^e Narici & Beckenstein 2011 , p. 481.
^ Narici & Beckenstein 2011 , S. 473.
^ Narici & Beckenstein 2011 , S. 459–483.
^ ^a ^b ^c Narici & Beckenstein 2011 , S. 474–476.

Referenzen

De Wilde, Marc (1978). Sätze über abgeschlossene Graphen und verkettete Räume . London: Pitman.
Khaleelulla, SM (1982). Gegenbeispiele in topologischen Vektorräumen . Lecture Notes in Mathematics . Band 936. Berlin, Heidelberg, New York: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-11565-6OCLC 8588370 .
Kriegl, Andreas ; Michor, Peter W. (1997). Die praktische Einführung der globalen Analysis (PDF) . Mathematical Surveys and Monographs. Band 53. Providence, RI: American Mathematical Society . ISBN 978-0-8218-0780-4OCLC 37141279 .
Kriegl, Andreas; Michor, Peter W. (1997). Die praktische Anwendung der globalen Analysis . Mathematische Übersichten und Monographien. Amerikanische Mathematische Gesellschaft . S. 557–578 . ISBN 9780821807804Die
Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Topologische Vektorräume . Reine und angewandte Mathematik (2. Aufl.). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666OCLC 144216834 .
Schaefer, Helmut H.; Wolff, Manfred P. (1999). Topologische Vektorräume . GTM . Band 8 (2. Aufl.). New York, NY: Springer New York Imprint. ISBN 978-1-4612-7155-0OCLC 840278135 .

[FOOTNOTENariciBeckenstein2011470−471-1] Narici & Beckenstein 2011 , S. 470−471.

[FOOTNOTENariciBeckenstein2011472-2] Narici & Beckenstein 2011 , S. 472.

[FOOTNOTENariciBeckenstein2011481-3] Narici & Beckenstein 2011 , p. 481.

[FOOTNOTENariciBeckenstein2011473-4] Narici & Beckenstein 2011 , S. 473.

[FOOTNOTENariciBeckenstein2011459–483-5] Narici & Beckenstein 2011 , S. 459–483.

[FOOTNOTENariciBeckenstein2011474–476-6] Narici & Beckenstein 2011 , S. 474–476.

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