Lineares System

In der Systemtheorie ist ein lineares System ein mathematisches Modell eines Systems , das auf der Verwendung eines linearen Operators basiert . Lineare Systeme weisen typischerweise deutlich einfachere Merkmale und Eigenschaften auf als nichtlineare Systeme. Als mathematische Abstraktion oder Idealisierung finden lineare Systeme wichtige Anwendungen in der Regelungstechnik , der Signalverarbeitung und der Telekommunikation . Beispielsweise lässt sich das Ausbreitungsmedium für drahtlose Kommunikationssysteme häufig durch lineare Systeme modellieren.

Definition

Ein allgemeines deterministisches System kann durch einen Operator $H$ beschrieben werden , der einen Eingang $x (t)$ als Funktion von $t$ auf einen Ausgang $y (t)$ abbildet , eine Art Black-Box -Beschreibung.

Ein System ist genau dann linear, wenn es das Superpositionsprinzip oder äquivalent dazu sowohl die Additivitäts- als auch die Homogenitätseigenschaften ohne Einschränkungen erfüllt (d. h. für alle Eingangsgrößen, alle Skalierungskonstanten und alle Zeiten). ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]}^{[ 3 ]}^{[ 4 ]}

Das Superpositionsprinzip besagt, dass eine Linearkombination von Eingangsgrößen des Systems eine Linearkombination der einzelnen Nullzustands-Ausgangsgrößen (d. h. Ausgangsgrößen, die die Anfangsbedingungen auf Null setzen) erzeugt, die den einzelnen Eingangsgrößen entsprechen. ^{[ 5 ]}^{[ 6 ]}

In einem System, das die Homogenitätseigenschaft erfüllt, führt die Skalierung des Eingangs stets zu einer Skalierung der Nullzustandsantwort um denselben Faktor. ^{[ 6 ]} In einem System, das die Additivitätseigenschaft erfüllt, führt die Addition zweier Eingänge stets zur Addition der beiden entsprechenden Nullzustandsantworten der einzelnen Eingänge. ^{[ 6 ]}

Mathematisch gesehen muss ein lineares System , das zwei beliebige Eingangsgrößen und die zugehörigen Nullzustands-Ausgangsgrößen für beliebige Skalarwerte $α$ und $β$ , für beliebige Eingangssignale $x$ $1$ $($ $t$ $)$ und $x$ $2$ $($ $t$ $)$ und für alle Zeiten $t$ erfüllt, die folgende Bedingung erfüllen : ${\begin{aligned}x_{1}(t)\\x_{2}(t)\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}y_{1}(t)&=H\left\{x_{1}(t)\right\}\\y_{2}(t)&=H\left\{x_{2}(t)\right\}\end{aligned}}$ $\alpha y_{1}(t)+\beta y_{2}(t)=H\left\{\alpha x_{1}(t)+\beta x_{2}(t)\right\}$

Das System wird dann durch die Gleichung $H (x (t)) = y (t)$ definiert , wobei $y (t)$ eine beliebige Funktion der Zeit und $x (t)$ der Systemzustand ist. Ausgehend von $y (t)$ und $H$ kann das System nach $x$ $($ $t$ $)$ aufgelöst werden .

Das Verhalten des resultierenden Systems unter dem Einfluss einer komplexen Eingangsgröße lässt sich als Summe der Reaktionen auf einfachere Eingangsgrößen beschreiben. Bei nichtlinearen Systemen besteht keine solche Beziehung. Diese mathematische Eigenschaft vereinfacht die Lösung der Modellgleichungen im Vergleich zu vielen nichtlinearen Systemen. Für zeitinvariante Systeme bildet sie die Grundlage der Impulsantwort- oder Frequenzgangmethoden (siehe LTI-Systemtheorie ), welche eine allgemeine Eingangsfunktion $x (t)$ durch Einheitsimpulse oder Frequenzkomponenten beschreiben .

Typische Differentialgleichungen linearer zeitinvarianter Systeme eignen sich gut für die Analyse mittels der Laplace-Transformation im kontinuierlichen Fall und der Z-Transformation im diskreten Fall (insbesondere bei Computerimplementierungen).

Eine andere Sichtweise ist, dass Lösungen linearer Gleichungssysteme aus einem System von Funktionen bestehen, die sich im geometrischen Sinne wie Vektoren verhalten.

Lineare Modelle werden häufig verwendet, um nichtlineare Systeme durch Linearisierung zu beschreiben . Dies geschieht in der Regel aus mathematischen Gründen.

Die vorherige Definition eines linearen Systems gilt für SISO-Systeme (Single-Input Single-Output). Bei MIMO-Systemen (Multiple-Input Multiple-Output) werden Eingangs- und Ausgangssignalvektoren ( , , , ) anstelle von Eingangs- und Ausgangssignalen ( , , , .) betrachtet ^[²^]^[⁴^]. ${\mathbf {x} }_{1}(t)$ ${\mathbf {x} }_{2}(t)$ ${\mathbf {y} }_{1}(t)$ ${\mathbf {y} }_{2}(t)$ $x_{1}(t)$ $x_{2}(t)$ $y_{1}(t)$ $y_{2}(t)$

Diese Definition eines linearen Systems ist analog zur Definition einer linearen Differentialgleichung in der Analysis und einer linearen Transformation in der linearen Algebra .

Beispiele

Ein einfacher harmonischer Oszillator gehorcht der Differentialgleichung: $m{\frac {d^{2}(x)}{dt^{2}}}=-kx.$

Dann ist $H$ ein linearer Operator. Setzen wir $y$ $($ $t$ $) = 0$ , so können wir die Differentialgleichung als $H$ $($ $x$ $($ $t$ $)) =$ $y$ $($ $t$ $)$ umschreiben , woraus sich zeigt, dass ein einfacher harmonischer Oszillator ein lineares System ist. $H(x(t))=m{\frac {d^{2}(x(t))}{dt^{2}}}+kx(t),$

Weitere Beispiele für lineare Systeme sind solche, die durch die Gleichungen , , , und alle Systeme, die durch gewöhnliche lineare Differentialgleichungen beschrieben werden, beschrieben werden. ^[⁴^] Systeme, die durch die Gleichungen , , , , , , , und ein System mit ungerader Symmetrie am Ausgang, bestehend aus einem linearen Bereich und einem Sättigungsbereich (konstantem Bereich), beschrieben werden, sind nichtlinear, da sie nicht immer das Superpositionsprinzip erfüllen. ^[⁷^]^[⁸^]^[⁹^]^[¹⁰^] $y(t)=k\,x(t)$ $y(t)=k\,{\frac {\mathrm {d} x(t)}{\mathrm {d} t}}$ $y(t)=k\,\int _{-\infty }^{t}x(\tau )\mathrm {d} \tau$ $y(t)=k$ $y(t)=k\,x(t)+k_{0}$ $y(t)=\sin {[x(t)]}$ $y(t)=\cos {[x(t)]}$ $y(t)=x^{2}(t)$ ${\textstyle y(t)={\sqrt {x(t)}}}$ $y(t)=|x(t)|$

Der Ausgangs-Eingangs-Graph eines linearen Systems muss keine Gerade durch den Ursprung sein. Betrachten wir beispielsweise ein System, das durch die Gleichung (z. B. ein Kondensator mit konstanter Kapazität oder eine Spule mit konstanter Induktivität ) beschrieben wird. Es ist linear, da es dem Superpositionsprinzip genügt. Ist das Eingangssignal jedoch sinusförmig, so ist auch das Ausgangssignal sinusförmig, und der Ausgangs-Eingangs-Graph ist daher eine Ellipse mit Mittelpunkt im Ursprung anstatt einer Geraden durch den Ursprung. $y(t)=k\,{\frac {\mathrm {d} x(t)}{\mathrm {d} t}}$

Auch wenn das Eingangssignal eine Sinusfunktion ist, kann das Ausgangssignal eines linearen Systems Oberschwingungen enthalten (und eine kleinere Grundfrequenz als das Eingangssignal aufweisen). Betrachten wir beispielsweise ein System, das durch die Gleichung beschrieben wird . Es ist linear, da es dem Superpositionsprinzip genügt. Ist das Eingangssignal jedoch eine Sinusfunktion der Form , lässt sich mithilfe trigonometrischer Produkt-zu-Summen-Formeln leicht zeigen , dass das Ausgangssignal ist. Das heißt, das Ausgangssignal besteht nicht nur aus Sinusfunktionen mit der gleichen Frequenz wie das Eingangssignal ( 3 rad/s ), sondern auch aus Sinusfunktionen mit den Frequenzen 2 rad/s und 4 rad/s . Weiterhin lässt sich durch die Wahl des kleinsten gemeinsamen Vielfachen der Grundperiode der Ausgangssinusfunktionen zeigen, dass die Grundkreisfrequenz des Ausgangssignals 1 rad/s beträgt und sich somit von der des Eingangssignals unterscheidet. $y(t)=(1.5+\cos {(t)})\,x(t)$ $x(t)=\cos {(3t)}$ $y(t)=1.5\cos {(3t)}+0.5\cos {(2t)}+0.5\cos {(4t)}$

Zeitlich veränderliche Impulsantwort

Die zeitvariante Impulsantwort $h (t₂, t₁)$ eines linearen Systems ist definiert als die Reaktion des Systems zum Zeitpunkt t = t₂ auf einen einzelnen Impuls, $der$ $zum$ Zeitpunkt $t$ $=$ $t₁$ angelegt wird . Anders ausgedrückt: Wenn die Eingangsgröße $x$ $($ $t$ $)$ eines linearen Systems gegeben ist durch x(t) $=$ _{δ(t) ,} wobei $δ($ $t$ $)$ die Dirac-Delta-Funktion darstellt , und die zugehörige Antwort $y$ $($ $t$ $)$ des Systems durch y(t) = δ(t) gegeben ist, $dann ist die Funktion h(t₂$ $,$ t₁ $)$ $die$ $zeitvariante$ $Impulsantwort$ $des$ $Systems$ . Da das System vor dem Anlegen der Eingangsgröße nicht reagieren kann, muss die folgende Kausalitätsbedingung erfüllt sein: $x(t)=\delta (t-t_{1})$ $y(t=t_{2})=h(t_{2},t_{1})$ $h(t_{2},t_{1})=0,t_{2}<t_{1}$

Das Faltungsintegral

Die Ausgabe eines beliebigen kontinuierlichen linearen Systems ist mit der Eingabe durch ein Integral verknüpft, das aufgrund der Kausalitätsbedingung über einen doppelt unendlichen Bereich geschrieben werden kann: $y(t)=\int _{-\infty }^{t}h(t,t')x(t')dt'=\int _{-\infty }^{\infty }h(t,t')x(t')dt'$

Wenn die Eigenschaften des Systems nicht von der Betriebszeit abhängen, spricht man von Zeitinvarianz, und $h$ ist nur eine Funktion der Zeitdifferenz $τ = t - t'$ , die für $τ < 0$ (d. h. $t < t'$ ) null ist. Durch eine Umdefinition von $h$ lässt sich die Eingangs-Ausgangs-Beziehung dann auf jede der folgenden Arten äquivalent formulieren: $y(t)=\int _{-\infty }^{t}h(t-t')x(t')dt'=\int _{-\infty }^{\infty }h(t-t')x(t')dt'=\int _{-\infty }^{\infty }h(\tau )x(t-\tau )d\tau =\int _{0}^{\infty }h(\tau )x(t-\tau )d\tau$

Lineare zeitinvariante Systeme werden üblicherweise durch die Laplace-Transformierte der Impulsantwortfunktion, die sogenannte Übertragungsfunktion , charakterisiert : $H(s)=\int _{0}^{\infty }h(t)e^{-st}\,dt.$

In Anwendungen handelt es sich dabei üblicherweise um eine rationale algebraische Funktion von $s$ . Da $h (t)$ für negative $t$ null ist , kann das Integral gleichermaßen über den doppelt unendlichen Bereich geschrieben werden, und die Einsetzung von $s = iω$ führt zur Formel für die Frequenzgangfunktion : $H(i\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }h(t)e^{-i\omega t}dt$

Zeitdiskrete Systeme

Der Ausgang eines beliebigen linearen Systems mit diskreter Zeit steht in Beziehung zum Eingang durch die zeitlich variable Faltungssumme: oder äquivalent für ein zeitinvariantes System durch Neudefinition von $h$ , wobei die Verzögerungszeit zwischen dem Reiz zum Zeitpunkt m und der Antwort zum Zeitpunkt n darstellt . $y[n]=\sum _{m=-\infty }^{n}{h[n,m]x[m]}=\sum _{m=-\infty }^{\infty }{h[n,m]x[m]}$ $y[n]=\sum _{k=0}^{\infty }{h[k]x[n-k]}=\sum _{k=-\infty }^{\infty }{h[k]x[n-k]}$ $k=n-m$

Siehe auch

Referenzen

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