Lineares zeitinvariantes System

In der Systemanalyse und anderen Forschungsgebieten bezeichnet man ein lineares zeitinvariantes ( LTI- ) System als ein System , das aus jedem Eingangssignal ein Ausgangssignal erzeugt, sofern es linear und zeitinvariant ist. Diese Begriffe werden in der folgenden Übersicht kurz definiert. Diese Eigenschaften treffen (exakt oder näherungsweise) auf viele wichtige physikalische Systeme zu. In diesem Fall lässt sich die Antwort y ( t ) des Systems auf ein beliebiges Eingangssignal x ( t ) direkt mittels Faltung bestimmen : y ( t ) = ( x ∗ h )( t ) , wobei h ( t ) die Impulsantwort des Systems und ∗ die Faltung (nicht zu verwechseln mit der Multiplikation) darstellt. Darüber hinaus existieren systematische Methoden zur Lösung solcher Systeme (Bestimmung von h ( t ) ), während Systeme, die nicht beide Eigenschaften erfüllen, im Allgemeinen schwieriger (oder gar unmöglich) analytisch zu lösen sind. Ein gutes Beispiel für ein LTI-System ist jeder elektrische Schaltkreis, der aus Widerständen , Kondensatoren , Induktivitäten und linearen Verstärkern besteht . ^{[ 2 ]}

Die Theorie linearer zeitinvarianter Systeme findet auch in der Bildverarbeitung Anwendung , wo die Systeme neben oder anstelle einer zeitlichen Dimension auch räumliche Dimensionen aufweisen. Diese Systeme werden zur Verallgemeinerung der Terminologie als linear translationsinvariant bezeichnet . Im Fall allgemeiner diskreter (d. h. abgetasteter ) Systeme entspricht der Begriff der linearen Verschiebungsinvarianz . Die Theorie linearer zeitinvarianter Systeme ist ein Gebiet der angewandten Mathematik mit direkten Anwendungen in der Analyse und dem Entwurf elektrischer Schaltungen , der Signalverarbeitung und dem Filterentwurf , der Regelungstechnik , dem Maschinenbau , der Bildverarbeitung , dem Entwurf von Messgeräten verschiedenster Art, der NMR-Spektroskopie und vielen anderen technischen Bereichen, in denen Systeme gewöhnlicher Differentialgleichungen auftreten.

Die definierenden Eigenschaften eines jeden LTI-Systems sind Linearität und Zeitinvarianz .

• Linearität bedeutet, dass die Beziehung zwischen Eingangs- und Ausgangsgröße , die beide als Funktionen betrachtet werden, eine lineare Abbildung ist: Ist eine Konstante, so ist die Systemausgabe gleich ; ist ein weiterer Eingang mit Systemausgabe , so ist die Systemausgabe gleich , dies gilt für alle Wahlen von , , . Letztere Bedingung wird oft als Superpositionsprinzip bezeichnet .${\displaystyle x(t)}$${\displaystyle y(t)}$${\displaystyle a}$${\displaystyle ax(t)}$${\displaystyle ay(t)}$${\displaystyle x'(t)}$${\displaystyle y'(t)}$${\displaystyle x(t)+x'(t)}$${\displaystyle y(t)+y'(t)}$${\displaystyle a}$${\displaystyle x(t)}$${\displaystyle x'(t)}$
• Zeitinvarianz bedeutet, dass die Ausgabe des Systems bis auf eine Zeitverzögerung von T Sekunden identisch ist, unabhängig davon, ob die Eingabe jetzt oder in T Sekunden erfolgt. Das heißt, wenn die Ausgabe aufgrund der Eingabe ist , dann ist die Ausgabe aufgrund der Eingabe . Daher ist das System zeitinvariant, da die Ausgabe nicht vom Zeitpunkt der Eingabe abhängt. ^{[ 3 ]}${\displaystyle x(t)}$${\displaystyle y(t)}$${\displaystyle x(tT)}$${\displaystyle y(tT)}$

Aufgrund dieser Eigenschaften lässt sich argumentieren, dass LTI-Systeme vollständig durch eine einzige Funktion, die sogenannte Impulsantwort des Systems , charakterisiert werden können, da sich jedes beliebige Signal per Superposition als Überlagerung zeitverschobener Impulse darstellen lässt . Die Systemausgabe ist einfach die Faltung des Eingangssignals mit der Impulsantwort des Systems . Dies wird als kontinuierliches System bezeichnet. Analog dazu ist ein diskretes, lineares, zeitinvariantes (oder allgemeiner „verschiebungsinvariantes“) System definiert als ein System, das in diskreter Zeit arbeitet : wobei y , x und h Folgen sind und die Faltung in diskreter Zeit eine diskrete Summation anstelle eines Integrals verwendet. ^{[ 4 ]}${\displaystyle y(t)}$${\displaystyle x(t)}$${\displaystyle h(t)}$${\displaystyle y_{i}=x_{i}*h_{i}}$

LTI-Systeme lassen sich im Frequenzbereich auch durch die Übertragungsfunktion des Systems charakterisieren . Diese entspricht bei einem kontinuierlichen bzw. diskreten System der Laplace- bzw. Z-Transformation der Impulsantwort. Aufgrund der Eigenschaften dieser Transformationen ist der Systemausgang im Frequenzbereich das Produkt der Übertragungsfunktion und der entsprechenden Frequenzbereichsdarstellung des Eingangssignals. Anders ausgedrückt: Die Faltung im Zeitbereich ist äquivalent zur Multiplikation im Frequenzbereich.

Bei allen LTI-Systemen sind die Eigenfunktionen und die Basisfunktionen der Transformationen komplexe Exponentialfunktionen . Wenn das Eingangssignal eines Systems eine komplexe Wellenform mit einer komplexen Amplitude und Frequenz ist , so ist das Ausgangssignal das Produkt einer komplexen Konstanten mit dem Eingangssignal, beispielsweise mit einer neuen komplexen Amplitude . Das Verhältnis ist die Übertragungsfunktion bei der Frequenz . Das Ausgangssignal ist in Phase und Amplitude verschoben , behält aber im stationären Zustand immer die gleiche Frequenz. LTI-Systeme können keine Frequenzkomponenten erzeugen, die nicht im Eingangssignal enthalten sind. ${\displaystyle A_{s}e^{st}}$${\displaystyle A_{s}}$${\displaystyle s}$${\displaystyle B_{s}e^{st}}$${\displaystyle B_{s}}$${\displaystyle B_{s}/A_{s}}$${\displaystyle s}$

Die Theorie linearer zeitinvarianter Systeme (LTI-Systeme) eignet sich gut zur Beschreibung vieler wichtiger Systeme. Die meisten LTI-Systeme gelten als relativ einfach zu analysieren, zumindest im Vergleich zu zeitvarianten und/oder nichtlinearen Systemen. Jedes System, das sich als lineare Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten modellieren lässt, ist ein LTI-System. Beispiele hierfür sind elektrische Schaltungen aus Widerständen , Induktivitäten und Kondensatoren ( RLC-Schaltungen ). Ideale Feder-Masse-Dämpfer-Systeme sind ebenfalls LTI-Systeme und mathematisch äquivalent zu RLC-Schaltungen.

Die meisten Konzepte von LTI-Systemen sind im kontinuierlichen und diskreten Fall ähnlich. In der Bildverarbeitung wird die Zeitvariable durch zwei Ortsvariablen ersetzt, und die Zeitinvarianz wird durch zweidimensionale Verschiebungsinvarianz ersetzt. Bei der Analyse von Filterbänken und MIMO -Systemen ist es oft hilfreich, Signalvektoren zu betrachten . Ein lineares System, das nicht zeitinvariant ist, kann mit anderen Ansätzen wie der Green-Funktions- Methode gelöst werden.

Das Verhalten eines linearen, zeitkontinuierlichen, zeitinvarianten Systems mit Eingangssignal x ( t ) und Ausgangssignal y ( t ) wird durch das Faltungsintegral beschrieben: ^{[ 5 ]}

${\displaystyle y(t)=(x*h)(t)}$	${\displaystyle \mathrel {\stackrel {\mathrm {def} }{=}} \int \limits _{-\infty }^{\infty }x(t-\tau )\cdot h(\tau )\,\mathrm {d} \tau }$
	${\displaystyle =\int \limits _{-\infty }^{\infty }x(\tau )\cdot h(t-\tau )\,\mathrm {d} \tau ,}$     (unter Anwendung des Kommutativgesetzes )

Die Systemantwort auf einen Impuls ist proportional zu einem gewichteten Mittelwert der Eingangsfunktion . Die Gewichtungsfunktion ist , lediglich um den Betrag verschoben . Mit Änderungen von gewichtet die Gewichtungsfunktion unterschiedliche Teile der Eingangsfunktion. Wenn für alle negativen Werte von null ist , hängt nur von den Werten von vor dem Zeitpunkt ab , und das System wird als kausal bezeichnet . ${\textstyle h(t)}$${\textstyle x(\tau )=\delta (\tau )}$${\textstyle y(t)}$${\textstyle x(\tau )}$${\textstyle h(-\tau )}$${\textstyle t}$${\textstyle t}$${\textstyle h(\tau )}$${\textstyle \tau }$${\textstyle y(t)}$${\textstyle x}$${\textstyle t}$

Um zu verstehen, warum die Faltung die Ausgabe eines LTI-Systems erzeugt, bezeichnen wir die Funktion mit der Variablen und der Konstanten mit . Die kürzere Notation bezeichnet dann . Ein kontinuierliches System transformiert eine Eingangsfunktion in eine Ausgangsfunktion . Im Allgemeinen kann jeder Wert der Ausgabe von jedem Wert der Eingabe abhängen. Dieses Konzept wird dargestellt durch: , wobei der Transformationsoperator für die Zeit ist . In einem typischen System hängt am stärksten von den Werten von ab, die nahe am Zeitpunkt auftraten . Ändert sich die Transformation selbst nicht mit , ist die Ausgangsfunktion konstant, und das System ist uninteressant. ${\textstyle \{x(u-\tau );\ u\}}$${\textstyle x(u-\tau )}$${\textstyle u}$${\textstyle \tau }$${\textstyle \{x\}}$${\textstyle \{x(u);\ u\}}$${\textstyle \{x\},}$${\textstyle \{y\}}$$${\displaystyle y(t)\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} O_{t}\{x\},}$$${\textstyle O_{t}}$${\textstyle t}$${\textstyle y(t)}$${\textstyle x}$${\textstyle t}$${\textstyle t}$

Für ein lineares System muss Gleichung 1 erfüllt sein : ${\textstyle O}$

${\displaystyle O_{t}\left\{\int \limits _{-\infty }^{\infty }c_{\tau }\ x_{\tau }(u)\,\mathrm {d} \tau ;\ u\right\}=\int \limits _{-\infty }^{\infty }c_{\tau }\ \underbrace {y_{\tau }(t)} _{O_{t}\{x_{\tau }\}}\,\mathrm {d} \tau .}$

Gl. 2

Und die Anforderung der Zeitinvarianz lautet:

${\displaystyle {\begin{aligned}O_{t}\{x(u-\tau );\ u\}&\mathrel {\stackrel {\quad }{=}} y(t-\tau )\\&\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} O_{t-\tau }\{x\}.\,\end{aligned}}}$

Gl. 3

In dieser Notation können wir die Impulsantwort wie folgt schreiben:${\textstyle h(t)\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} O_{t}\{\delta (u);\ u\}.}$

Ähnlich:

${\displaystyle h(t-\tau )}$	${\displaystyle \mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} O_{t-\tau }\{\delta (u);\ u\}}$
	${\displaystyle =O_{t}\{\delta (u-\tau );\ u\}.}$     (unter Verwendung von Gl. 3 )

Setzt man dieses Ergebnis in das Faltungsintegral ein, so erhält man: $${\displaystyle {\begin{aligned}(x*h)(t)&=\int _{-\infty }^{\infty }x(\tau )\cdot h(t-\tau )\,\mathrm {d} \tau \\[4pt]&=\int _{-\infty }^{\infty }x(\tau )\cdot O_{t}\{\delta (u-\tau );\ u\}\,\mathrm {d} \tau ,\,\end{aligned}}}$$

welche die Form der rechten Seite von Gl.2 für den Fall und${\textstyle c_{\tau }=x(\tau )}$${\textstyle x_{\tau }(u)=\delta (u-\tau ).}$

Gleichung 2 erlaubt dann diese Fortsetzung: $${\displaystyle {\begin{aligned}(x*h)(t)&=O_{t}\left\{\int _{-\infty }^{\infty }x(\tau )\cdot \delta (u-\tau )\,\mathrm {d} \tau ;\ u\right\}\\[4pt]&=O_{t}\left\{x(u);\ u\right\}\\&\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} y(t).\,\end{aligned}}}$$

Zusammenfassend lässt sich die Eingangsfunktion durch ein Kontinuum zeitverschobener Impulsfunktionen darstellen, die, wie in Gl. 1 gezeigt, „linear“ kombiniert werden . Die Linearität des Systems erlaubt es, die Systemantwort durch das entsprechende Kontinuum von Impulsantworten darzustellen , die auf dieselbe Weise kombiniert werden. Die Zeitinvarianz ermöglicht es, diese Kombination durch das Faltungsintegral darzustellen. ${\textstyle \{x\}}$

Die oben genannten mathematischen Operationen lassen sich einfach grafisch simulieren. ^{[ 6 ]}

Eine Eigenfunktion ist eine Funktion, deren Ergebnis des Operators eine skalierte Version derselben Funktion ist. Dabei ist f die Eigenfunktion und λ der Eigenwert , eine Konstante. $${\displaystyle {\mathcal {H}}f=\lambda f,}$$${\displaystyle \lambda }$

Die Exponentialfunktionen , wobei , sind Eigenfunktionen eines linearen , zeitinvarianten Operators. Ein einfacher Beweis veranschaulicht dieses Konzept. Sei die Eingangsgröße . Die Ausgangsgröße des Systems mit der Impulsantwort ist dann , was aufgrund der Kommutativität der Faltung äquivalent ist zu ${\displaystyle Ae^{st}}$${\displaystyle A,s\in \mathbb {C} }$${\displaystyle x(t)=Ae^{st}}$${\displaystyle h(t)}$$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }h(t-\tau )Ae^{s\tau }\,\mathrm {d} \tau }$$$${\displaystyle {\begin{aligned}\overbrace {\int _{-\infty }^{\infty }h(\tau )\,Ae^{s(t-\tau )}\,\mathrm {d} \tau } ^{{\mathcal {H}}f}&=\int _{-\infty }^{\infty }h(\tau )\,Ae^{st}e^{-s\tau }\,\mathrm {d} \tau \\[4pt]&=Ae^{st}\int _{-\infty }^{\infty }h(\tau )\,e^{-s\tau }\,\mathrm {d} \tau \\[4pt]&=\overbrace {\underbrace {Ae^{st}} _{\text{Input}}} ^{f}\,\overbrace {\underbrace {H(s)} _{\text{Scalar}}} ^{\lambda }\,,\\\end{aligned}}}$$

wobei der Skalar nur vom Parameter s abhängt . $${\displaystyle H(s)\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} \int _{-\infty }^{\infty }h(t)e^{-st}\,\mathrm {d} t}$$

Die Systemantwort ist also eine skalierte Version des Eingangssignals. Insbesondere ist für jedes das Systemausgangssignal das Produkt aus Eingangssignal und der Konstanten . Daher ist eine Eigenfunktion eines LTI-Systems, und der zugehörige Eigenwert ist . ${\displaystyle A,s\in \mathbb {C} }$${\displaystyle Ae^{st}}$${\displaystyle H(s)}$${\displaystyle Ae^{st}}$${\displaystyle H(s)}$

Es ist auch möglich, komplexe Exponentialfunktionen direkt als Eigenfunktionen von LTI-Systemen abzuleiten.

Betrachten wir eine komplexe Exponentialfunktion und eine zeitverschobene Version davon. ${\displaystyle v(t)=e^{i\omega t}}$${\displaystyle v_{a}(t)=e^{i\omega (t+a)}}$

${\displaystyle H[v_{a}](t)=e^{i\omega a}H[v](t)}$durch Linearität in Bezug auf die Konstante . ${\displaystyle e^{i\omega a}}$

${\displaystyle H[v_{a}](t)=H[v](t+a)}$durch die Zeitinvarianz von . ${\displaystyle H}$

Durch Einstellen und Umbenennen erhalten wir also: d . h., dass eine komplexe Exponentialfunktion als Eingabe eine komplexe Exponentialfunktion mit der gleichen Frequenz als Ausgabe ergibt. ${\displaystyle H[v](t+a)=e^{i\omega a}H[v](t)}$${\displaystyle t=0}$$${\displaystyle H[v](\tau )=e^{i\omega \tau }H[v](0)}$$${\displaystyle e^{i\omega \tau }}$

Die Eigenfunktionseigenschaft von Exponentialfunktionen ist sowohl für die Analyse als auch für das Verständnis von LTI-Systemen sehr nützlich. Die einseitige Laplace-Transformation ist genau die Methode, um die Eigenwerte aus der Impulsantwort zu erhalten. Von besonderem Interesse sind reine Sinusfunktionen (d. h. Exponentialfunktionen der Form , wobei und ). Die Fourier-Transformation liefert die Eigenwerte für reine komplexe Sinusfunktionen. Sowohl als auch werden als Systemfunktion , Systemantwort oder Übertragungsfunktion bezeichnet . $${\displaystyle H(s)\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} {\mathcal {L}}\{h(t)\}\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} \int _{0}^{\infty }h(t)e^{-st}\,\mathrm {d} t}$$${\displaystyle e^{j\omega t}}$${\displaystyle \omega \in \mathbb {R} }$${\displaystyle j\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} {\sqrt {-1}}}$${\displaystyle H(j\omega )={\mathcal {F}}\{h(t)\}}$${\displaystyle H(s)}$${\displaystyle H(j\omega )}$

Die Laplace-Transformation wird üblicherweise im Kontext einseitiger Signale verwendet, d. h. Signale, die für alle Werte von t unterhalb eines bestimmten Wertes null sind. Üblicherweise wird dieser „Startzeitpunkt“ aus Gründen der Einfachheit und ohne Beschränkung der Allgemeinheit auf null gesetzt, wobei das Transformationsintegral von null bis unendlich läuft (die oben dargestellte Transformation mit der unteren Integrationsgrenze minus unendlich wird formal als bilaterale Laplace-Transformation bezeichnet ).

Die Fourier-Transformation dient der Analyse von Systemen, die Signale unendlicher Ausdehnung verarbeiten, wie beispielsweise modulierte Sinussignale. Sie lässt sich jedoch nicht direkt auf Eingangs- und Ausgangssignale anwenden, die nicht quadratintegrierbar sind. Die Laplace-Transformation hingegen ist für diese Signale direkt anwendbar, sofern sie vor einem Startzeitpunkt null sind, selbst wenn sie nicht quadratintegrierbar sind – vorausgesetzt, es handelt sich um stabile Systeme. Die Fourier-Transformation wird häufig mithilfe des Wiener-Khinchin-Theorems auf Spektren unendlicher Signale angewendet, selbst wenn keine Fourier-Transformierten der Signale existieren.

Aufgrund der Faltungseigenschaft beider Transformationen kann die Faltung, die den Systemausgang liefert, in eine Multiplikation im Transformationsbereich umgewandelt werden, vorausgesetzt, es existieren Signale, für die die Transformationen existieren. $${\displaystyle y(t)=(h*x)(t)\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} \int _{-\infty }^{\infty }h(t-\tau )x(\tau )\,\mathrm {d} \tau \mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} {\mathcal {L}}^{-1}\{H(s)X(s)\}.}$$

Man kann die Systemantwort direkt nutzen, um zu bestimmen, wie ein System mit der entsprechenden Laplace-Transformation eine bestimmte Frequenzkomponente verarbeitet. Berechnet man die Systemantwort (Laplace-Transformation der Impulsantwort) bei der komplexen Frequenz s = jω , wobei ω = 2πf , erhält man | H ( s )|, die Systemverstärkung für die Frequenz f . Die relative Phasenverschiebung zwischen Ausgang und Eingang für diese Frequenzkomponente ist analog gegeben durch arg( H ( s )).

Zu den wichtigsten Eigenschaften eines Systems gehören Kausalität und Stabilität. Kausalität ist eine Notwendigkeit für ein physikalisches System , dessen unabhängige Variable die Zeit ist; diese Einschränkung besteht jedoch nicht in anderen Bereichen wie der Bildverarbeitung.

Ein System ist kausal, wenn seine Ausgabe nur von gegenwärtigen und vergangenen, nicht aber von zukünftigen Eingaben abhängt. Eine notwendige und hinreichende Bedingung für Kausalität ist $${\displaystyle h(t)=0\quad \forall t<0,}$$

Wo befindet sich die Impulsantwort? Im Allgemeinen lässt sich aus der zweiseitigen Laplace-Transformation keine Kausalität ableiten . Bei Berechnungen im Zeitbereich verwendet man jedoch üblicherweise die einseitige Laplace-Transformation, welche die Kenntnis der Kausalität voraussetzt. ${\displaystyle h(t)}$

Ein System heißt BIBO -stabil (Bounded-Input, Bounded-Output- stabil), wenn für jeden beschränkten Eingang der Ausgang endlich ist. Mathematisch ausgedrückt: Wenn jeder Eingang die Bedingung erfüllt, $${\displaystyle \ \|x(t)\|_{\infty }<\infty }$$

führt zu einem zufriedenstellenden Ergebnis $${\displaystyle \ \|y(t)\|_{\infty }<\infty }$$

(Das heißt, wenn ein endlicher ^maximaler Absolutwert von einen endlichen maximalen Absolutwert von impliziert ), dann ist das System stabil. Eine notwendige und hinreichende Bedingung ist , dass die Impulsantwort in L¹ liegt (eine endliche L¹-Norm besitzt ⁾ : ${\displaystyle x(t)}$${\displaystyle y(t)}$${\displaystyle h(t)}$$${\displaystyle \|h(t)\|_{1}=\int _{-\infty }^{\infty }|h(t)|\,\mathrm {d} t<\infty .}$$

Im Frequenzbereich muss der Konvergenzbereich die imaginäre Achse enthalten . ${\displaystyle s=j\omega }$

Beispielsweise ist ein idealer Tiefpassfilter mit einer Impulsantwort gleich einer sinc-Funktion nicht BIBO-stabil, da die sinc-Funktion keine endliche L¹-Norm besitzt ^. Daher ist der Ausgang des idealen Tiefpassfilters für bestimmte beschränkte Eingangssignale unbeschränkt. Insbesondere ist der Ausgang unbeschränkt, wenn das Eingangssignal für t = 0 null und für t = 0 eine Sinusfunktion an der Grenzfrequenz ist . ${\displaystyle t<0}$${\displaystyle t>0}$

Nahezu alles in kontinuierlichen Systemen hat ein Gegenstück in diskreten Systemen.

In vielen Kontexten ist ein diskretes Zeitsystem (DT-System) eigentlich Teil eines größeren kontinuierlichen Zeitsystems (CT-Systems). Beispielsweise nimmt ein digitales Aufnahmesystem ein analoges Signal auf, digitalisiert es, verarbeitet gegebenenfalls die digitalen Signale und gibt das analoge Signal zur Wiedergabe wieder.

In praktischen Systemen sind DT-Signale üblicherweise gleichmäßig abgetastete Versionen von CT-Signalen. Ist ein CT-Signal vorhanden, wandelt die Abtastschaltung vor dem Analog-Digital-Wandler dieses in ein DT-Signal um: wobei T die Abtastperiode ist . Vor der Abtastung wird das Eingangssignal normalerweise durch ein sogenanntes Nyquist-Filter geleitet , das Frequenzen oberhalb der Faltfrequenz 1/(2T) entfernt. Dadurch wird sichergestellt, dass im gefilterten Signal keine Information verloren geht. Ohne Filterung würde jede Frequenzkomponente oberhalb der Faltfrequenz (oder Nyquist-Frequenz ) auf eine andere Frequenz umgerechnet (und somit das ursprüngliche Signal verzerren), da ein DT-Signal nur Frequenzkomponenten unterhalb der Faltfrequenz unterstützt. ${\displaystyle x(t)}$$${\displaystyle x_{n}\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} x(nT)\qquad \forall \,n\in \mathbb {Z} ,}$$

Sei die Folge${\displaystyle \{x[m-k];\ m\}}$${\displaystyle \{x[m-k];{\text{ for all integer values of }}m\}.}$

Und die kürzere Notation soll Folgendes darstellen${\displaystyle \{x\}}$${\displaystyle \{x[m];\ m\}.}$

Ein diskretes System transformiert eine Eingangsfolge in eine Ausgangsfolge . Im Allgemeinen kann jedes Element der Ausgabe von jedem Element der Eingabe abhängen. Wenn wir den Transformationsoperator mit darstellen , können wir schreiben: ${\displaystyle \{x\}}$${\displaystyle \{y\}.}$${\displaystyle O}$$${\displaystyle y[n]\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} O_{n}\{x\}.}$$

Beachten Sie, dass die Ausgabesequenz konstant ist und das System uninteressant bleibt, solange sich die Transformation selbst nicht mit n ändert. (Daher der Index n .) In einem typischen System hängt y [ n ] am stärksten von den Elementen von x ab , deren Indizes nahe bei n liegen .

Im Spezialfall der Kronecker-Delta-Funktion ist die Ausgangssequenz die Impulsantwort : ${\displaystyle x[m]=\delta [m],}$$${\displaystyle h[n]\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} O_{n}\{\delta [m];\ m\}.}$$

Für ein lineares System müssen folgende Bedingungen erfüllt sein: ${\displaystyle O}$

${\displaystyle O_{n}\left\{\sum _{k=-\infty }^{\infty }c_{k}\cdot x_{k}[m];\ m\right\}=\sum _{k=-\infty }^{\infty }c_{k}\cdot O_{n}\{x_{k}\}.}$

Gl. 4

Und die Anforderung der Zeitinvarianz lautet:

${\displaystyle {\begin{aligned}O_{n}\{x[m-k];\ m\}&\mathrel {\stackrel {\quad }{=}} y[n-k]\\&\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} O_{n-k}\{x\}.\,\end{aligned}}}$

Gl. 5

In einem solchen System charakterisiert die Impulsantwort das System vollständig. Das heißt, für jede Eingangsfolge lässt sich die Ausgangsfolge aus der Eingangsfolge und der Impulsantwort berechnen. Um zu verstehen, wie das funktioniert, betrachten wir die folgende Identität: ${\displaystyle \{h\}}$$${\displaystyle x[m]\equiv \sum _{k=-\infty }^{\infty }x[k]\cdot \delta [m-k],}$$

was sich in Form einer Summe gewichteter Deltafunktionen ausdrückt. ${\displaystyle \{x\}}$

Daher: $${\displaystyle {\begin{aligned}y[n]=O_{n}\{x\}&=O_{n}\left\{\sum _{k=-\infty }^{\infty }x[k]\cdot \delta [m-k];\ m\right\}\\&=\sum _{k=-\infty }^{\infty }x[k]\cdot O_{n}\{\delta [m-k];\ m\},\,\end{aligned}}}$$

wobei wir Gleichung 4 für den Fall und angewendet haben . ${\displaystyle c_{k}=x[k]}$${\displaystyle x_{k}[m]=\delta [m-k]}$

Aufgrund von Gleichung 5 können wir schreiben: $${\displaystyle {\begin{aligned}O_{n}\{\delta [m-k];\ m\}&\mathrel {\stackrel {\quad }{=}} O_{n-k}\{\delta [m];\ m\}\\&\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} h[n-k].\end{aligned}}}$$

Daher:

${\displaystyle y[n]}$	${\displaystyle =\sum _{k=-\infty }^{\infty }x[k]\cdot h[n-k]}$
	${\displaystyle =\sum _{k=-\infty }^{\infty }x[n-k]\cdot h[k],}$     ( Kommutativität )

Dies ist die bekannte diskrete Faltungsformel. Der Operator kann daher als proportional zu einem gewichteten Mittelwert der Funktion x [ k ] interpretiert werden. Die Gewichtungsfunktion ist h [−k ] , lediglich um den Betrag n verschoben . Mit der Änderung von n gewichtet die Gewichtungsfunktion unterschiedliche Teile der Eingangsfunktion. Äquivalent dazu ist die Systemantwort auf einen Impuls bei n = 0 eine zeitlich umgekehrte Kopie der ursprünglichen Gewichtungsfunktion. Wenn h [ k ] für alle negativen k gleich null ist , spricht man von einem kausalen System . ${\displaystyle O_{n}}$

Eine Eigenfunktion ist eine Funktion, deren Ergebnis nach Anwendung des Operators wieder die gleiche Funktion ist, skaliert mit einer Konstanten. Symbolisch ausgedrückt: $${\displaystyle {\mathcal {H}}f=\lambda f,}$$

wobei f die Eigenfunktion und der Eigenwert eine Konstante ist. ${\displaystyle \lambda }$

Die Exponentialfunktionen , wobei , sind Eigenfunktionen eines linearen , zeitinvarianten Operators . ist das Abtastintervall und . Ein einfacher Beweis veranschaulicht dieses Konzept. ${\displaystyle z^{n}=e^{sTn}}$${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$${\displaystyle T\in \mathbb {R} }$${\displaystyle z=e^{sT},\ z,s\in \mathbb {C} }$

Angenommen, die Eingangsgröße ist . Die Ausgangsgröße des Systems mit der Impulsantwort ist dann . ${\displaystyle x[n]=z^{n}}$${\displaystyle h[n]}$$${\displaystyle \sum _{m=-\infty }^{\infty }h[n-m]\,z^{m}}$$

was aufgrund der Kommutativität der Faltung äquivalent zu dem Folgenden ist, wobei nur vom Parameter z abhängt . $${\displaystyle \sum _{m=-\infty }^{\infty }h[m]\,z^{(n-m)}=z^{n}\sum _{m=-\infty }^{\infty }h[m]\,z^{-m}=z^{n}H(z)}$$$${\displaystyle H(z)\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} \sum _{m=-\infty }^{\infty }h[m]z^{-m}}$$

Es handelt sich also um eine Eigenfunktion eines LTI-Systems, da die Systemantwort gleich dem Eingangssignal multipliziert mit der Konstanten ist . ${\displaystyle z^{n}}$${\displaystyle H(z)}$

Die Eigenfunktionseigenschaft von Exponentialfunktionen ist sowohl für die Analyse als auch für das Verständnis von LTI-Systemen sehr nützlich. Die Z-Transformation$${\displaystyle H(z)={\mathcal {Z}}\{h[n]\}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }h[n]z^{-n}}$$

Dies ist genau die Methode, um die Eigenwerte aus der Impulsantwort zu erhalten. Von besonderem Interesse sind reine Sinusfunktionen, d. h. Exponentialfunktionen der Form , wobei . Diese lassen sich auch als mit schreiben . Die diskrete Fourier-Transformation (DTFT) liefert die Eigenwerte reiner Sinusfunktionen. Sowohl als auch werden als Systemfunktion , Systemantwort oder Übertragungsfunktion bezeichnet . ${\displaystyle e^{j\omega n}}$${\displaystyle \omega \in \mathbb {R} }$${\displaystyle z^{n}}$${\displaystyle z=e^{j\omega }}$${\displaystyle H(e^{j\omega })={\mathcal {F}}\{h[n]\}}$${\displaystyle H(z)}$${\displaystyle H(e^{j\omega })}$

Wie die einseitige Laplace-Transformation wird auch die Z-Transformation üblicherweise im Kontext einseitiger Signale verwendet, d. h. Signale, die für t < 0 null sind. Die diskrete Fourier-Transformation (Fourier-Reihe) kann zur Analyse periodischer Signale verwendet werden.

Aufgrund der Faltungseigenschaft beider Transformationen lässt sich die Faltung, die den Systemausgang liefert, in eine Multiplikation im Transformationsbereich umwandeln. Das heißt: $${\displaystyle y[n]=(h*x)[n]=\sum _{m=-\infty }^{\infty }h[n-m]x[m]={\mathcal {Z}}^{-1}\{H(z)X(z)\}.}$$

Genau wie die Laplace-Transformations-Übertragungsfunktion in der Analyse kontinuierlicher Systeme erleichtert die Z-Transformation die Analyse von Systemen und das Verständnis ihres Verhaltens.

Die Eingangs-Ausgangs-Kennlinie eines diskreten LTI-Systems wird vollständig durch seine Impulsantwort beschrieben . Kausalität und Stabilität gehören zu den wichtigsten Eigenschaften eines Systems. Nicht-kausale (zeitlich nicht-kausale) Systeme lassen sich wie oben beschrieben definieren und analysieren, sind aber nicht in Echtzeit realisierbar. Instabile Systeme können zwar analysiert und aufgebaut werden, sind aber nur als Teil eines größeren Systems mit stabiler Gesamtübertragungsfunktion sinnvoll . ${\displaystyle h[n]}$

Ein zeitdiskretes LTI-System ist kausal, wenn der aktuelle Wert des Ausgangssignals nur vom aktuellen Wert und den vorherigen Werten des Eingangssignals abhängt. ^{[ 7 ]} Eine notwendige und hinreichende Bedingung für Kausalität ist die Impulsantwort. Im Allgemeinen lässt sich Kausalität nicht aus der Z-Transformation bestimmen, da die inverse Transformation nicht eindeutig ist. Wird jedoch ein Konvergenzbereich definiert, kann Kausalität nachgewiesen werden. $${\displaystyle h[n]=0\ \forall n<0,}$$${\displaystyle h[n]}$

Ein System heißt BIBO- stabil (Bounded Input, Bounded Output Stabil ), wenn für jeden beschränkten Eingang der Ausgang endlich ist. Mathematisch ausgedrückt: $${\displaystyle \|x[n]\|_{\infty }<\infty }$$

impliziert, dass $${\displaystyle \|y[n]\|_{\infty }<\infty }$$

(Das heißt, wenn beschränkte Eingangsgrößen beschränkte Ausgangsgrößen implizieren, in dem Sinne, dass die maximalen Absolutwerte von und endlich sind), dann ist das System stabil. Eine notwendige und hinreichende Bedingung ist, dass die Impulsantwort die folgende Bedingung erfüllt: ${\displaystyle x[n]}$${\displaystyle y[n]}$${\displaystyle h[n]}$$${\displaystyle \|h[n]\|_{1}\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} \sum _{n=-\infty }^{\infty }|h[n]|<\infty .}$$

Im Frequenzbereich muss der Konvergenzbereich den Einheitskreis enthalten (d. h. die Ortskurve , die für komplexe z die Bedingung erfüllt ). ${\displaystyle |z|=1}$

• Zirkuläre Matrix
• Frequenzgang
• Impulsantwort
• Systemanalyse
• Grüne Funktion
• Signalflussdiagramm

• Phillips, C. L., Parr, J. M. & Riskin, E. A. (2007). Signale, Systeme und Transformationen . Prentice Hall. ISBN 978-0-13-041207-2Die{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
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• ECE 209: Überblick über Schaltungen als LTI-Systeme (Archiviert am 19.03.2009 in der Wayback Machine)  – Kurze Einführung in die mathematische Analyse von (elektrischen) LTI-Systemen.
• ECE 209: Ursachen der Phasenverschiebung (Archiviert am 16.07.2011 in der Wayback Machine)  – Bietet eine intuitive Erklärung der Ursachen der Phasenverschiebung in zwei gängigen elektrischen LTI-Systemen.
• JHU 520.214 Signale und Systeme – Kursunterlagen . Ein kompakter Kurs zur LTI-Systemtheorie. Geeignet zum Selbststudium.
• Beispiel für ein LTI-System: RC-Tiefpassfilter . Amplituden- und Phasengang.