Satz von Hahn-Banach

In der Funktionalanalysis ist der Satz von Hahn-Banach ein zentrales Ergebnis, das die Erweiterung beschränkter linearer Funktionale, die auf einem Vektorunterraum eines Vektorraums definiert sind, auf den gesamten Vektorraum ermöglicht. Der Satz zeigt außerdem, dass es auf jedem normierten Vektorraum genügend stetige lineare Funktionale gibt, um den Dualraum zu untersuchen . Eine andere Version des Satzes von Hahn-Banach ist als Trennungssatz von Hahn-Banach oder Hyperebenen-Trennungssatz bekannt und findet vielfältige Anwendung in der konvexen Geometrie .

Geschichte

Der Satz ist nach den Mathematikern Hans Hahn und Stefan Banach benannt , die ihn Ende der 1920er Jahre unabhängig voneinander bewiesen. Der Spezialfall des Satzes für den Raum der stetigen Funktionen auf einem Intervall wurde bereits 1912 von Eduard Helly bewiesen ^[¹^] , und ein allgemeinerer Erweiterungssatz, der Satz von M. Riesz , aus dem sich der Satz von Hahn-Banach ableiten lässt, wurde 1923 von Marcel Riesz bewiesen ^[²^] . $C[a,b]$

Der erste Satz von Hahn-Banach wurde 1912 von Eduard Helly bewiesen. Er zeigte, dass bestimmte lineare Funktionale, die auf einem Unterraum eines bestimmten Typs normierter Räume definiert sind , eine Fortsetzung mit derselben Norm besitzen. Helly bewies dies, indem er zunächst die Existenz einer eindimensionalen Fortsetzung zeigte (bei der der Definitionsbereich des linearen Funktionals um eine Dimension erweitert wird) und anschließend die vollständige Induktion anwandte . 1927 definierte Hahn allgemeine Banachräume und nutzte Hellys Methode, um eine normerhaltende Version des Satzes von Hahn-Banach für Banachräume zu beweisen (wonach ein beschränktes lineares Funktional auf einem Unterraum eine beschränkte lineare Fortsetzung mit derselben Norm auf den gesamten Raum besitzt). 1929 verallgemeinerte Banach, dem Hahns Ergebnis nicht bekannt war, dieses, indem er die normerhaltende Version durch die Version mit dominierter Fortsetzung ersetzte, die sublineare Funktionen verwendet . Während Helly die vollständige Induktion nutzte, verwendeten Hahn und Banach die transfinite Induktion . ^[³^] $\mathbb {C} ^{\mathbb {N} }$

Der Satz von Hahn-Banach entstand aus dem Versuch, unendliche lineare Gleichungssysteme zu lösen. Er ist notwendig, um Probleme wie das Momentenproblem zu lösen . Dabei muss man, gegeben alle möglichen Momente einer Funktion , bestimmen, ob eine Funktion mit diesen Momenten existiert, und diese gegebenenfalls mithilfe dieser Momente finden. Ein weiteres solches Problem ist das Fourier-Kosinusreihenproblem . Hierbei muss man, gegeben alle möglichen Fourier-Kosinuskoeffizienten, bestimmen, ob eine Funktion mit diesen Koeffizienten existiert, und diese gegebenenfalls finden.

Riesz und Helly lösten das Problem für bestimmte Raumklassen (wie z. B. und ), wobei sie feststellten, dass die Existenz einer Lösung äquivalent zur Existenz und Stetigkeit bestimmter linearer Funktionale ist. Im Grunde mussten sie folgendes Problem lösen: ^[³^] $L^{p}([0,1])$ $C([a,b])$

(Das Vektorproblem : Gegeben eine Mengebeschränkter linearer Funktionale auf einemnormierten Raumund eine Menge von Skalaren,bestimme, ob es ein gibt, sodassfür alle

\left(f_{i}\right)_{i\in I}

X

\left(c_{i}\right)_{i\in I},

x\in X

f_{i}(x)=c_{i}

i\in I.

Falls es sich um einen reflexiven Raum handelt , genügt es zur Lösung des Vektorproblems, das folgende duale Problem zu lösen: ^[³^] $X$

( Das Funktionalproblem ) Gegeben seien eine Menge von Vektoren in einem normierten Raum und eine Menge von Skalaren. Bestimmen Sie, ob es ein beschränktes lineares Funktional auf gibt , sodass für alle

\left(x_{i}\right)_{i\in I}

X

\left(c_{i}\right)_{i\in I},

f

X

f\left(x_{i}\right)=c_{i}

i\in I.

Riesz definierte 1910 den Raum ( ) und 1913 die Räume . Im Zuge seiner Untersuchungen dieser Räume bewies er einen Spezialfall des Satzes von Hahn-Banach. Auch Helly bewies 1912 einen Spezialfall des Satzes von Hahn-Banach. Riesz löste 1910 das Funktionalproblem für einige spezifische Räume, Helly 1912 für eine allgemeinere Klasse von Räumen. Erst 1932 löste Banach in einer der ersten wichtigen Anwendungen des Satzes von Hahn-Banach das allgemeine Funktionalproblem. Der folgende Satz formuliert das allgemeine Funktionalproblem und charakterisiert seine Lösung. ^[³^] $L^{p}([0,1])$ $1<p<\infty$ $\ell ^{p}$

Satz ^{[ 3 ]} (Das Funktionalproblem) — Seien Vektoren in einem reellen oder komplexen normierten Raum und seien Skalare, die ebenfalls durch indiziert werden $\left(x_{i}\right)_{i\in I}$ $X$ $\left(c_{i}\right)_{i\in I}$ $I\neq \varnothing .$

Es existiert ein stetiges lineares Funktional auf , sodass für alle genau dann gilt, wenn es ein gibt, sodass für jede Wahl von Skalaren , wobei alle bis auf endlich viele sind, Folgendes gilt: $f$ $X$ $f\left(x_{i}\right)=c_{i}$ $i\in I$ $K>0$ $\left(s_{i}\right)_{i\in I}$ $s_{i}$ $0,$ $\left|\sum _{i\in I}s_{i}c_{i}\right|\leq K\left\|\sum _{i\in I}s_{i}x_{i}\right\|.$

Aus dem obigen Satz lässt sich der Satz von Hahn-Banach ableiten. ^{[ 3 ]} Ist die Funktion reflexiv , so löst dieser Satz das Vektorproblem. $X$

Satz von Hahn-Banach

Eine reellwertige Funktion, die auf einer Teilmenge von definiert ist , heißt $f:M\to \mathbb {R}$ $M$ $X$ Eine Funktion wird (oben) von einer Funktionwennfür jedes . Aus diesem Grund wird die folgende Version des Satzes von Hahn-Banach alsSatzvon der dominierten Fortsetzung bezeichnet . $p:X\to \mathbb {R}$ $f(m)\leq p(m)$ $m\in M.$

Satz von Hahn-Banach über dominierte Fortsetzungen (für reelle lineare Funktionale)^{[ 4 ]}^{[ 5 ]}^{[ 6 ]} —Istf einesublineare Funktion(z. B. eineNormoderHalbnorm) auf einem reellen Vektorraum definiert,so besitzt jedeslineare Funktionalauf einem Vektorunterraum vonvon fdominiertwird, mindestens einelineare Fortsetzungauf alle Funktionen,die ebenfalls von f dominiert wird. $p:X\to \mathbb {R}$ $X$ $X$ $p$ $X$ $p.$

Explizit gilt: Ist eine sublineare Funktion , was per Definition bedeutet, dass sie die Bedingung erfüllt, und ist ein lineares Funktional auf einem Vektorunterraum von , sodass , dann existiert ein lineares Funktional , sodass . Ist außerdem eine Halbnorm , so gilt notwendigerweise für alle . $p:X\to \mathbb {R}$ $p(x+y)\leq p(x)+p(y)\quad {\text{ and }}\quad p(tx)=tp(x)\qquad {\text{ for all }}\;x,y\in X\;{\text{ and all real }}\;t\geq 0,$ $f:M\to \mathbb {R}$ $M$ $X$ $f(m)\leq p(m)\quad {\text{ for all }}m\in M$ $F:X\to \mathbb {R}$ $F(m)=f(m)\quad {\text{ for all }}m\in M,$ $F(x)\leq p(x)\quad ~\;\,{\text{ for all }}x\in X.$ $p$ $|F(x)|\leq p(x)$ $x\in X.$

Der Satz bleibt gültig, wenn die Anforderungen an die Funktion so gelockert werden, dass nur noch gefordert wird, dass sie konvex ist : ^[⁷^]^[⁸^] Eine Funktion ist konvex und erfüllt genau dann die Bedingung , wenn für alle Vektoren und alle nichtnegativen reellen Zahlen gilt: Jede sublineare Funktion ist eine konvexe Funktion. Ist hingegen konvex mit , so ist die durch definierte Funktion positiv homogen (da für alle und gilt ), und da sie konvex ist, ist sie sublinear . Sie ist außerdem nach oben durch beschränkt und erfüllt die Bedingung für jedes lineare Funktional. Die Erweiterung des Satzes von Hahn-Banach auf konvexe Funktionale hat also keinen wesentlich größeren Inhalt als die klassische Aussage für sublineare Funktionale. $p$ $p$ $p(tx+(1-t)y)\leq tp(x)+(1-t)p(y)\qquad {\text{ for all }}0<t<1{\text{ and }}x,y\in X.$ $p:X\to \mathbb {R}$ $p(0)\leq 0$ $p(ax+by)\leq ap(x)+bp(y)$ $x,y\in X$ $a,b\geq 0$ $a+b\leq 1.$ $p:X\to \mathbb {R}$ $p(0)\geq 0,$ $p_{0}(x)\;{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}\;\inf _{t>0}{\frac {p(tx)}{t}}$ $x$ $r>0$ $p_{0}(rx)=\inf _{t>0}{\frac {p(trx)}{t}}=r\inf _{t>0}{\frac {p(trx)}{tr}}=r\inf _{\tau >0}{\frac {p(\tau x)}{\tau }}=rp_{0}(x)$ $p_{0}\leq p,$ $F\leq p_{0}$ $F\leq p.$

Wenn linear ist, dann gilt genau dann ^[⁴^], was der (äquivalenten) Schlussfolgerung entspricht, die einige Autoren ^[⁴^] anstelle von schreiben. Daraus folgt, dass, wenn auch symmetrisch ist , d. h. für alle gilt, dann genau dann gilt. Jede Norm ist eine Halbnorm , und beide sind symmetrische, balancierte sublineare Funktionen. Eine sublineare Funktion ist genau dann eine Halbnorm, wenn sie eine balancierte Funktion ist . Auf einem reellen Vektorraum (jedoch nicht auf einem komplexen Vektorraum) ist eine sublineare Funktion genau dann eine Halbnorm, wenn sie symmetrisch ist. Die Identitätsfunktion auf ist ein Beispiel für eine sublineare Funktion, die keine Halbnorm ist. $F:X\to \mathbb {R}$ $F\leq p$ $-p(-x)\leq F(x)\leq p(x)\quad {\text{ for all }}x\in X,$ $F\leq p.$ $p:X\to \mathbb {R}$ $p(-x)=p(x)$ $x\in X,$ $F\leq p$ $|F|\leq p.$ $\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ $X:=\mathbb {R}$

Für komplexe oder reelle Vektorräume

Der Satz von der dominierten Fortsetzung für reelle lineare Funktionale impliziert die folgende alternative Formulierung des Satzes von Hahn-Banach, die auf lineare Funktionale auf reellen oder komplexen Vektorräumen angewendet werden kann.

Satz von Hahn-Banach ^{[ 3 ]}^{[ 9 ]} —SeieineHalbnormauf einem Vektorraumüber dem Körper,die entwederoder Wennein lineares Funktional auf einem Vektorunterraum ist,sodass , dann existiert ein lineares Funktional ,sodass $p:X\to \mathbb {R}$ $X$ $\mathbf {K} ,$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {C} .$ $f:M\to \mathbf {K}$ $M$ $|f(m)|\leq p(m)\quad {\text{ for all }}m\in M,$ $F:X\to \mathbf {K}$ $F(m)=f(m)\quad \;{\text{ for all }}m\in M,$ $|F(x)|\leq p(x)\quad \;\,{\text{ for all }}x\in X.$

Der Satz bleibt gültig, wenn die Anforderungen an die Funktion so gelockert werden, dass nur noch gilt, dass für alle Skalare und alle Funktionen mit der Länge 1 gilt ^[⁸^]. Diese Bedingung ist genau dann erfüllt, wenn eine konvexe und balancierte Funktion ist, die erfüllt , oder äquivalent dazu, genau dann, wenn sie konvex ist und für alle Skalare der Länge 1 gilt. $p$ $x,y\in X$ $a$ $b$ $|a|+|b|\leq 1,$ $p(ax+by)\leq |a|p(x)+|b|p(y).$ $p$ $p(0)\leq 0,$ $p(0)\leq 0,$ $p(ux)\leq p(x)$ $x\in X$ $u.$

Ein komplexwertiges Funktional wird als $F$ dominiert von $p$ fallsfür alleim Definitionsbereich Mit dieser Terminologie lassen sich die obigen Aussagen des Satzes von Hahn-Banach prägnanter formulieren: $|F(x)|\leq p(x)$ $x$ $F.$

Satz von Hahn-Banach über dominierte Fortsetzungen : Ist eine Halbnorm auf einem reellen oder komplexen Vektorraum definiert, so besitzt jedes auf einem Vektorunterraum von definierte dominierte lineare Funktional eine dominierte lineare Fortsetzung auf ganz . Ist ein reeller Vektorraum und lediglich eine konvexe oder sublineare Funktion , so bleibt diese Aussage gültig, wenn die Bedeutung von „ dominiert “ (im Sinne von ) abgeschwächt wird und stattdessen „ dominiert über “ (im Sinne von ) bedeutet. ^[⁷^]^[⁸^]

p:X\to \mathbb {R}

X,

X

X.

X

p:X\to \mathbb {R}

|F|\leq p

F\leq p

Nachweisen

Die folgenden Beobachtungen erlauben die Anwendung des Satzes von Hahn-Banach für reelle Vektorräume auf (komplexwertige) lineare Funktionale auf komplexen Vektorräumen.

Jedes lineare Funktional auf einem komplexen Vektorraum ist durch seinen Realteil gemäß Formel ^[⁶^]^[^{Beweis 1}^] vollständig bestimmt . Ist außerdem eine Norm auf , so sind ihre dualen Normen gleich: ^[¹⁰^]. Insbesondere erweitert ein lineares Funktional auf ein anderes, das auf definiert ist, genau dann, wenn ihre Realteile auf übereinstimmen (anders ausgedrückt: ein lineares Funktional erweitert genau dann, wenn erweitert ). Der Realteil eines linearen Funktionals auf ist stets ein $F:X\to \mathbb {C}$ $\;\operatorname {Re} F:X\to \mathbb {R} \;$ $F(x)\;=\;\operatorname {Re} F(x)-i\operatorname {Re} F(ix)\qquad {\text{ for all }}x\in X$ $\|\cdot \|$ $X$ $\|F\|=\|\operatorname {Re} F\|.$ $X$ $M\subseteq X$ $M$ $F$ $f$ $\operatorname {Re} F$ $\operatorname {Re} f$ $X$ ein reell-lineares Funktional (d. h. es ist linear, wennman als reellen Vektorraum betrachtet), und wennein reell-lineares Funktional auf einem komplexen Vektorraum ist, danndefiniert das Funktional das eindeutige lineare Funktional,dessen Realteil $X$ $R:X\to \mathbb {R}$ $x\mapsto R(x)-iR(ix)$ $X$ $R.$

Wenn f ein lineares Funktional auf einem (komplexen oder reellen) Vektorraum ist und f eine Halbnorm ist, dann gilt ^[⁶^]^[^{Beweis 2}^] Einfacher ausgedrückt: Ein lineares Funktional wird genau dann von einer Halbnorm dominiert , wenn sein Realteil oben von f dominiert wird. $F$ $X$ $p:X\to \mathbb {R}$ $|F|\,\leq \,p\quad {\text{ if and only if }}\quad \operatorname {Re} F\,\leq \,p.$ $p$ $p.$

Beweis des Hahn-Banach-Satzes für komplexe Vektorräume durch Reduktion auf reelle Vektorräume ^{[ 3 ].}

Angenommen, ist eine Halbnorm auf einem komplexen Vektorraum und sei ein lineares Funktional, das auf einem Vektorunterraum von definiert ist und auf erfüllt. Betrachten Sie als reellen Vektorraum und wenden Sie den Satz von Hahn-Banach für reelle Vektorräume auf das reell-lineare Funktional an, um eine reell-lineare Erweiterung zu erhalten , die ebenfalls oben von dominiert wird, sodass sie auf und auf erfüllt. Die durch definierte Abbildung ist ein lineares Funktional auf , das erweitert (weil ihre Realteile auf übereinstimmen ) und auf erfüllt (weil und eine Halbnorm ist). $p:X\to \mathbb {R}$ $X$ $f:M\to \mathbb {C}$ $M$ $X$ $|f|\leq p$ $M.$ $X$ $\;\operatorname {Re} f:M\to \mathbb {R} \;$ $R:X\to \mathbb {R}$ $p,$ $R\leq p$ $X$ $R=\operatorname {Re} f$ $M.$ $F:X\to \mathbb {C}$ $F(x)\;=\;R(x)-iR(ix)$ $X$ $f$ $M$ $|F|\leq p$ $X$ $\operatorname {Re} F\leq p$ $p$ $\blacksquare$

Der obige Beweis zeigt, dass, wenn eine Halbnorm ist, eine Eins-zu-Eins-Korrespondenz zwischen dominierten linearen Erweiterungen von und dominierten reell-linearen Erweiterungen besteht. Der Beweis gibt sogar eine Formel an, mit der man explizit eine lineare Erweiterung von aus einer beliebigen gegebenen reell-linearen Erweiterung ihres Realteils konstruieren kann . $p$ $f:M\to \mathbb {C}$ $\operatorname {Re} f:M\to \mathbb {R} ;$ $f$

Kontinuität

Ein lineares Funktional auf einem topologischen Vektorraum ist genau dann stetig , wenn dies auch für seinen Realteil gilt, falls der Definitionsbereich ein normierter Raum ist (wobei eine Seite genau dann unendlich ist, wenn die andere Seite unendlich ist). ^[¹⁰^] Sei ein topologischer Vektorraum und eine sublineare Funktion . Wenn eine stetige sublineare Funktion ist, die ein lineares Funktional dominiert, dann ist notwendigerweise stetig. ^[⁶^] Darüber hinaus ist ein lineares Funktional genau dann stetig, wenn sein Betrag (eine Halbnorm , die dominiert ) stetig ist. ^[⁶^] Insbesondere ist ein lineares Funktional genau dann stetig, wenn es von einer stetigen sublinearen Funktion dominiert wird. $F$ $\operatorname {Re} F;$ $\|F\|=\|\operatorname {Re} F\|$ $X$ $p:X\to \mathbb {R}$ $p$ $F$ $F$ $F$ $|F|$ $F$

Nachweisen

Der Satz von Hahn-Banach für reelle Vektorräume folgt letztlich aus Hellys Ausgangsergebnis für den Spezialfall, in dem das lineare Funktional von auf einen größeren Vektorraum erweitert wird, in dem die Kodimension ^[³^] hat . $M$ $M$ $1.$

Lemma ^{[ 6 ]} (Satz über dominierte Fortsetzungen in einem Dimensional )—Seif einesublineare Funktionauf einem reellen Vektorraum,sei feinlineares Funktionalauf einemechten Vektorunterraum,sodass fauffür alle∈ x), und seix ein Vektor,der nichtin x liegt(also x ∈ x). Es existiert eine lineare Fortsetzungvon f,sodass f(x) = f(xauf x gilt $p:X\to \mathbb {R}$ $X,$ $f:M\to \mathbb {R}$ $M\subsetneq X$ $f\leq p$ $M$ $f(m)\leq p(m)$ $m\in M$ $x\in X$ $M$ $M\oplus \mathbb {R} x=\operatorname {span} \{M,x\}$ $F:M\oplus \mathbb {R} x\to \mathbb {R}$ $f$ $F\leq p$ $M\oplus \mathbb {R} x.$

Beweis ^{[ 6 ]}

Für jede reelle Zahl ist die durch definierte Abbildung immer eine lineare Erweiterung von auf ^[^{Anmerkung 1}^] , aber sie erfüllt möglicherweise nicht . Es wird gezeigt, dass immer so gewählt werden kann, dass garantiert wird, was den Beweis abschließt. $b,$ $F_{b}:M\oplus \mathbb {R} x\to \mathbb {R}$ $F_{b}(m+rx)=f(m)+rb$ $f$ $M\oplus \mathbb {R} x$ $F_{b}\leq p.$ $b$ $F_{b}\leq p,$

Wenn dann, was impliziert, definieren wir , wobei reelle Zahlen sind. Um dies zu gewährleisten, genügt es, dass (tatsächlich ist dies auch notwendig ^[^{Anmerkung 2}^] ), da dann die „entscheidende Ungleichung“ ^[⁶^{] erfüllt.} $m,n\in M$ $f(m)-f(n)=f(m-n)\leq p(m-n)=p(m+x-x-n)\leq p(m+x)+p(-x-n)$ $-p(-n-x)-f(n)~\leq ~p(m+x)-f(m).$ $a=\sup _{n\in M}[-p(-n-x)-f(n)]\qquad {\text{ and }}\qquad c=\inf _{m\in M}[p(m+x)-f(m)]$ $a\leq c$ $F_{b}\leq p,$ $a\leq b\leq c$ $b$ $-p(-n-x)-f(n)~\leq ~b~\leq ~p(m+x)-f(m)\qquad {\text{ for all }}\;m,n\in M.$

Um zu sehen, dass dies folgt, ^[^{Anmerkung 3}^] nehmen wir an , dass und setzen für beide ein , um zu erhalten: Wenn (bzw. wenn ), dann ist die rechte (bzw. die linke) Seite gleich , sodass Multiplikation mit ergibt $f(m)+rb\leq p(m+rx)$ $r\neq 0$ ${\tfrac {1}{r}}m$ $m$ $n$ $-p\left(-{\tfrac {1}{r}}m-x\right)-{\tfrac {1}{r}}f\left(m\right)~\leq ~b~\leq ~p\left({\tfrac {1}{r}}m+x\right)-{\tfrac {1}{r}}f\left(m\right).$ $r>0$ $r<0$ ${\tfrac {1}{r}}\left[p(m+rx)-f(m)\right]$ $r$ $rb\leq p(m+rx)-f(m).$ $\blacksquare$

Dieses Lemma bleibt auch dann gültig, wenn es sich lediglich um eine konvexe Funktion und nicht um eine sublineare Funktion handelt. ^[⁷^]^[⁸^] $p:X\to \mathbb {R}$

Nachweisen

Angenommen, die Menge ist konvex, was bedeutet, dass für alle und gilt. Seien und wie in der Aussage des Lemmas definiert . Für beliebige und beliebige positive reelle Zahlen addieren sich die positiven reellen Zahlen und zu , sodass die Konvexität von auf garantiert und somit beweist, dass , was nach Multiplikation beider Seiten mit zu wird. Dies impliziert, dass die durch definierten Werte reelle Zahlen sind, die erfüllen. Wie im obigen Beweis des Satzes über die dominierte eindimensionale Erweiterung definieren wir für jedes reelle durch . Man kann zeigen, dass, wenn , dann , wobei aus folgt, wenn (bzw. aus folgt, wenn ). $p$ $p(ty+(1-t)z)\leq tp(y)+(1-t)p(z)$ $0\leq t\leq 1$ $y,z\in X.$ $M,$ $f:M\to \mathbb {R} ,$ $x\in X\setminus M$ $m,n\in M$ $r,s>0,$ $t:={\tfrac {s}{r+s}}$ ${\tfrac {r}{r+s}}=1-t$ $1$ $p$ $X$ ${\begin{alignedat}{9}p\left({\tfrac {s}{r+s}}m+{\tfrac {r}{r+s}}n\right)~&=~p{\big (}{\tfrac {s}{r+s}}(m-rx)&&+{\tfrac {r}{r+s}}(n+sx){\big )}&&\\&\leq ~{\tfrac {s}{r+s}}\;p(m-rx)&&+{\tfrac {r}{r+s}}\;p(n+sx)&&\\\end{alignedat}}$ ${\begin{alignedat}{9}sf(m)+rf(n)~&=~(r+s)\;f\left({\tfrac {s}{r+s}}m+{\tfrac {r}{r+s}}n\right)&&\qquad {\text{ by linearity of }}f\\&\leq ~(r+s)\;p\left({\tfrac {s}{r+s}}m+{\tfrac {r}{r+s}}n\right)&&\qquad f\leq p{\text{ on }}M\\&\leq ~sp(m-rx)+rp(n+sx)\\\end{alignedat}}$ $-sp(m-rx)+sf(m)~\leq ~rp(n+sx)-rf(n),$ ${\tfrac {1}{rs}}$ ${\tfrac {1}{r}}[-p(m-rx)+f(m)]~\leq ~{\tfrac {1}{s}}[p(n+sx)-f(n)].$ $a=\sup _{\stackrel {m\in M}{r>0}}{\tfrac {1}{r}}[-p(m-rx)+f(m)]\qquad {\text{ and }}\qquad c=\inf _{\stackrel {n\in M}{s>0}}{\tfrac {1}{s}}[p(n+sx)-f(n)]$ $a\leq c.$ $b\in \mathbb {R}$ $F_{b}:M\oplus \mathbb {R} x\to \mathbb {R}$ $F_{b}(m+rx)=f(m)+rb.$ $a\leq b\leq c$ $F_{b}\leq p$ $rb\leq p(m+rx)-f(m)$ $b\leq c$ $r>0$ $a\leq b$ $r<0$ $\blacksquare$

Das obige Lemma ist der entscheidende Schritt bei der Herleitung des Satzes von der dominierten Erweiterung aus dem Lemma von Zorn .

Beweis des Satzes über die dominierte Erweiterung mithilfe des Lemmas von Zorn

Die Menge aller möglichen dominierten linearen Erweiterungen von ist durch gegenseitige Erweiterung teilweise geordnet, daher existiert eine maximale Erweiterung. Nach dem Ergebnis der Kodimension 1 kann, falls nicht auf ganz definiert, weiter erweitert werden. Somit muss überall definiert sein, wie behauptet. $f$ $F.$ $F$ $X,$ $F$ $\blacksquare$

Wenn die Kodimension abzählbar ist, lässt sich der Satz von Hahn-Banach mithilfe von Induktion und dem Lemma beweisen. Der Standardbeweis für den allgemeinen Fall verwendet das Lemma von Zorn, obwohl alternativ auch das strikt schwächere Ultrafilterlemma ^[¹¹^] (das äquivalent zum Kompaktheitssatz und zum Booleschen Primidealsatz ist) verwendet werden kann. Der Satz von Hahn-Banach kann auch mithilfe des Satzes von Tychonoff für kompakte Hausdorff-Räume ^[¹²^] (der ebenfalls äquivalent zum Ultrafilterlemma ist) bewiesen werden. $M$

Das Mizar-Projekt hat den Beweis des Satzes von Hahn-Banach in der HAHNBAN-Datei vollständig formalisiert und automatisch überprüft. ^{[ 13 ]}

Satz der stetigen Fortsetzung

Mit dem Satz von Hahn-Banach lässt sich die Existenz stetiger linearer Fortsetzungen stetiger linearer Funktionale garantieren .

Satz von Hahn-Banach zur stetigen Fortsetzung ^{[ 14 ]} –Jedes stetige lineare Funktional,das auf einem Vektorunterraumeines (reellen oder komplexen)lokalkonvexen topologischen Vektorraums, besitzt eine stetige lineare Fortsetzungauf den gesamten Vektorraum.zusätzlicheinnormierter Raum, so kann diese Fortsetzung so gewählt werden, dass ihreduale Normmit derjenigen des Vektorraums übereinstimmt. $f$ $M$ $X$ $F$ $X.$ $X$ $f.$

Kategorientheoretisch ausgedrückt ist der zugrundeliegende Körper des Vektorraums ein injektives Objekt in der Kategorie der lokal konvexen Vektorräume.

Auf einem normierten (oder halbnormierten ) Raum wird eine lineare Fortsetzung eines beschränkten linearen Funktionals als bezeichnet $F$ $f$ Normerhaltend, wenn es dieselbeduale Normwie das ursprüngliche Funktional besitzt: Aufgrund dieser Terminologie wird der zweite Teil desobigen Satzes normerhaltende“ Version des Satzes von Hahn-Banachbezeichnet^{. [}¹⁵^] Explizit: $\|F\|=\|f\|.$

Normerhaltender Satz von Hahn-Banach über stetige Fortsetzungen ^{[ 15 ]} —Jedes stetige lineare Funktional,das auf einem Vektorunterraumeines (reellen oder komplexen) normierten Raums, besitzt eine stetige lineare Fortsetzungauf alleVektorräume, die die Bedingung erfüllen: $f$ $M$ $X$ $F$ $X$ $\|f\|=\|F\|.$

Beweis des Satzes über die stetige Fortsetzung

Die folgenden Beobachtungen ermöglichen es, den Satz von der stetigen Fortsetzung aus dem Satz von Hahn-Banach abzuleiten . ^{[ 16 ]}

Der Betrag eines linearen Funktionals ist stets eine Halbnorm. Ein lineares Funktional auf einem topologischen Vektorraum ist genau dann stetig, wenn sein Betrag stetig ist. Dies ist genau dann der Fall, wenn eine stetige Halbnorm auf existiert, sodass auf dem Definitionsbereich von ^[¹⁷^] gilt. Ist ein lokal konvexer Raum, so bleibt diese Aussage auch dann gültig, wenn das lineare Funktional auf einem echten Vektorunterraum definiert ist . $F$ $X$ $|F|$ $p$ $X$ $|F|\leq p$ $F.$ $X$ $F$ $X.$

Beweis des Satzes über die stetige Fortsetzung lokal konvexer Räume ^{[ 16 ]}

Sei ein stetiges lineares Funktional auf einem Vektorunterraum eines lokalkonvexen topologischen Vektorraums. Da lokalkonvex ist, existiert eine stetige Halbnorm auf , die dominiert (d. h. für alle ). Nach dem Satz von Hahn-Banach existiert eine lineare Fortsetzung von , die wir nennen, die auf erfüllt . Dieses lineare Funktional ist stetig, da und eine stetige Halbnorm ist. $f$ $M$ $X.$ $X$ $p:X\to \mathbb {R}$ $X$ $f$ $|f(m)|\leq p(m)$ $m\in M$ $f$ $X,$ $F,$ $|F|\leq p$ $X.$ $F$ $|F|\leq p$ $p$

Beweis für normierte Räume

Ein lineares Funktional auf einem normierten Raum ist genau dann stetig , wenn es beschränkt ist , d. h. seine duale Norm endlich ist. In diesem Fall gilt für jeden Punkt seines Definitionsbereichs. Ist außerdem so, dass für alle im Definitionsbereich des Funktionals gilt, dann ist notwendigerweise . Ist eine lineare Erweiterung eines linearen Funktionals, so erfüllen ihre dualen Normen stets ^[^{Beweis 3}^] , sodass Gleichheit äquivalent zu ist, was genau dann gilt, wenn für jeden Punkt im Definitionsbereich der Erweiterung gilt. Dies lässt sich mithilfe der durch definierten Funktion ausdrücken , die stets eine Halbnorm ist : ^[^{Anmerkung 4}^]. $f$ $\|f\|=\sup\{|f(m)|:\|m\|\leq 1,m\in \operatorname {domain} f\}$ $|f(m)|\leq \|f\|\|m\|$ $m$ $c\geq 0$ $|f(m)|\leq c\|m\|$ $m$ $\|f\|\leq c.$ $F$ $f$ $\|f\|\leq \|F\|$ $\|f\|=\|F\|$ $\|F\|\leq \|f\|,$ $|F(x)|\leq \|f\|\|x\|$ $x$ $\|f\|\,\|\cdot \|:X\to \mathbb {R}$ $x\mapsto \|f\|\,\|x\|,$

Eine lineare Erweiterung eines beschränkten linearen Funktionals ist genau dann normerhaltend , wenn die Erweiterung von der Halbnorm dominiert wird.

f

\|f\|\,\|\cdot \|.

Die Anwendung des Satzes von Hahn-Banach auf diese Halbnorm führt somit zu einer dominierten linearen Erweiterung, deren Norm (notwendigerweise) gleich derjenigen von ist, womit der Satz bewiesen ist: $f$ $\|f\|\,\|\cdot \|$ $f,$

Beweis des normerhaltenden Hahn-Banach-Stetigkeitsfortsetzungssatzes ^{[ 15 ]}

Sei ein stetiges lineares Funktional auf einem Vektorunterraum eines normierten Raums . Dann ist die durch definierte Funktion eine Halbnorm auf , die dominiert , d. h ., dass für jedes gilt. Nach dem Satz von Hahn-Banach existiert ein lineares Funktional auf , das fortsetzt (was garantiert ), und das ebenfalls von dominiert wird, d. h., dass für jedes gilt. Die Tatsache, dass eine reelle Zahl ist, sodass für jedes gilt, garantiert . Da endlich ist, ist das lineare Funktional beschränkt und somit stetig. $f$ $M$ $X.$ $p:X\to \mathbb {R}$ $p(x)=\|f\|\,\|x\|$ $X$ $f,$ $|f(m)|\leq p(m)$ $m\in M.$ $F$ $X$ $f$ $\|f\|\leq \|F\|$ $p,$ $|F(x)|\leq p(x)$ $x\in X.$ $\|f\|$ $|F(x)|\leq \|f\|\|x\|$ $x\in X,$ $\|F\|\leq \|f\|.$ $\|F\|=\|f\|$ $F$

Nichtlokal konvexe Räume

Der Satz von der stetigen Fortsetzung kann versagen, wenn der topologische Vektorraum (TVS) nicht lokal konvex ist . Beispielsweise ist der Lebesgue-Raum ein vollständiger metrisierbarer TVS (ein F-Raum ), der nicht lokal konvex ist (tatsächlich sind seine einzigen konvexen offenen Teilmengen der Raum selbst und die leere Menge), und das einzige stetige lineare Funktional auf ist die konstante Funktion ( Rudin 1991 , §1.47). Da ein Hausdorff-Raum ist, ist jeder endlichdimensionale Vektorunterraum linear homöomorph zum euklidischen Raum oder (nach dem Satz von Riesz ), und somit ist jedes von Null verschiedene lineare Funktional auf stetig, aber keines hat eine stetige lineare Fortsetzung auf den gesamten Raum. Es ist jedoch möglich, dass ein TVS nicht lokal konvex ist, aber dennoch genügend stetige lineare Funktionale besitzt, sodass sein stetiger Dualraum Punkte trennt ; für einen solchen TVS kann ein auf einem Vektorunterraum definiertes stetiges lineares Funktional eine stetige lineare Fortsetzung auf den gesamten Raum haben. $X$ $0<p<1,$ $L^{p}([0,1])$ $L^{p}([0,1])$ $L^{p}([0,1])$ $0$ $L^{p}([0,1])$ $M\subseteq L^{p}([0,1])$ $\mathbb {R} ^{\dim M}$ $\mathbb {C} ^{\dim M}$ $f$ $M$ $L^{p}([0,1]).$ $X$ $X^{*}$

Ist der Vektorraum nicht lokal konvex, so existiert möglicherweise keine stetige Halbnorm auf (nicht nur auf ), die dominiert. In diesem Fall ist der Satz von Hahn-Banach nicht wie im obigen Beweis des Satzes über die stetige Fortsetzung anwendbar . Die Argumentation des Beweises lässt sich jedoch verallgemeinern, um eine Charakterisierung der Existenz einer stetigen linearen Fortsetzung eines stetigen linearen Funktionals zu liefern: Ist ein beliebiger Vektorraum (nicht notwendigerweise lokal konvex), so besitzt ein auf einem Vektorunterraum definiertes stetiges lineares Funktional genau dann eine stetige lineare Fortsetzung auf ganz , wenn eine stetige Halbnorm auf existiert, die dominiert. Genauer gesagt: Ist eine stetige lineare Fortsetzung gegeben, so ist eine stetige Halbnorm auf , die dominiert, und umgekehrt: Ist eine stetige Halbnorm auf gegeben , die dominiert, so ist jede dominierte lineare Fortsetzung von auf (deren Existenz durch den Satz von Hahn-Banach garantiert ist) eine stetige lineare Fortsetzung. $X$ $p:X\to \mathbb {R}$ $X$ $M$ $f,$ $X$ $f$ $M$ $F$ $X$ $p$ $X$ $f.$ $F$ $p:=|F|$ $X$ $f;$ $p:X\to \mathbb {R}$ $X$ $f$ $f$ $X$

Geometrische Hahn-Banach-Separationssätze

Das Kernelement des Satzes von Hahn-Banach ist ein Ergebnis über die Trennung zweier konvexer Mengen. Diese Art von Argumentation findet breite Anwendung in der konvexen Geometrie ^[¹⁸^] , der Optimierungstheorie und der Ökonomie . Lemmata, die sich aus dem ursprünglichen Satz von Hahn-Banach ableiten, werden als Hahn-Banach-Trennungssätze bezeichnet . ^[¹⁹^]^[²⁰^] Sie sind Verallgemeinerungen des Hyperebenen-Trennungssatzes , der besagt, dass zwei disjunkte, nichtleere, konvexe Teilmengen eines endlichdimensionalen Raumes durch eine affine Hyperebene getrennt werden können . Diese Hyperebene ist eine Faser ( Niveaumenge ) der Form , wobei ein lineares Funktional ungleich null und ein Skalar ist. $\{-p(-x-n)-f(n):n\in M\},$ $\{p(m+x)-f(m):m\in M\}.$ $\mathbb {R} ^{n}$ $f^{-1}(s)=\{x:f(x)=s\}$ $f\neq 0$ $s$

Satz ^{[ 19 ]} — Seien und nichtleere konvexe Teilmengen eines reellen lokal konvexen topologischen Vektorraums. Wenn und dann existiert ein stetiges lineares Funktional auf , sodass und für alle (ein solches ist notwendigerweise ungleich Null). $A$ $B$ $X.$ $\operatorname {Int} A\neq \varnothing$ $B\cap \operatorname {Int} A=\varnothing$ $f$ $X$ $\sup f(A)\leq \inf f(B)$ $f(a)<\inf f(B)$ $a\in \operatorname {Int} A$ $f$

Besitzen die konvexen Mengen zusätzliche Eigenschaften, wie beispielsweise Offenheit oder Kompaktheit , so lässt sich die Schlussfolgerung wesentlich verstärken:

Satz ^{[ 3 ]}^{[ 21 ]} — Seien und konvexe, nichtleere, disjunkte Teilmengen eines reellen topologischen Vektorraums $A$ $B$ $X.$

Wenn offen ist, dann sind und durch eine abgeschlossene Hyperebene getrennt . Explizit bedeutet dies, dass es eine stetige lineare Abbildung und gibt , sodass für alle gilt . Wenn sowohl als auch offen sind, kann die rechte Seite auch strikt angenommen werden. $A$ $A$ $B$ $f:X\to \mathbf {K}$ $s\in \mathbb {R}$ $f(a)<s\leq f(b)$ $a\in A,b\in B.$ $A$ $B$
Wenn f lokal konvex, kompakt und abgeschlossen ist, dann sind f und g strikt getrennt : Es existiert eine stetige lineare Abbildung f und g , sodass für alle g ∈ (g ... $X$ $A$ $B$ $A$ $B$ $f:X\to \mathbf {K}$ $s,t\in \mathbb {R}$ $f(a)<t<s<f(b)$ $a\in A,b\in B.$

Wenn die Zahl komplex (und nicht reell) ist, gelten dieselben Aussagen, jedoch nur für den Realteil . $X$ $f.$

Das folgende wichtige Korollar ist als geometrischer Satz von Hahn-Banach oder Satz von Mazur (auch bekannt als Satz von Ascoli-Mazur ^{[ 22 ]} ) bekannt. Es folgt aus dem ersten Punkt oben und der Konvexität von $M.$

Satz (Mazur) ^{[ 23 ]} — Sei ein Vektorunterraum des topologischen Vektorraums und sei eine nichtleere, konvexe, offene Teilmenge von mit . Dann existiert eine abgeschlossene Hyperebene (Vektorunterraum der Kodimension 1) , die enthält , aber disjunkt zu bleibt. $M$ $X$ $K$ $X$ $K\cap M=\varnothing .$ $N\subseteq X$ $M,$ $K.$

Der Satz von Mazur verdeutlicht, dass Vektorunterräume (auch solche, die nicht abgeschlossen sind) durch lineare Funktionale charakterisiert werden können.

Korollar ^{[ 24 ]} (Separation eines Unterraums und einer offenen konvexen Menge) — Sei ein Vektorunterraum eines lokal konvexen topologischen Vektorraums und eine nichtleere offene konvexe Teilmenge, die disjunkt zu ist. Dann existiert ein stetiges lineares Funktional auf , sodass für alle und auf $M$ $X,$ $U$ $M.$ $f$ $X$ $f(m)=0$ $m\in M$ $\operatorname {Re} f>0$ $U.$

Stützende Hyperebenen

Da Punkte trivial konvex sind , impliziert der geometrische Hahn-Banach-Satz, dass Funktionale den Rand einer Menge bestimmen können. Sei insbesondere ein reeller topologischer Vektorraum und sei konvex mit . Dann existiert ein Funktional, das in verschwindet, aber im Inneren von definiert ist ^[¹⁹^]. $X$ $A\subseteq X$ $\operatorname {Int} A\neq \varnothing .$ $a_{0}\in A\setminus \operatorname {Int} A$ $a_{0},$ $A.$

Ein normierter Raum heißt glatt, wenn es in jedem Punkt seiner Einheitskugel eine eindeutige abgeschlossene Hyperebene zur Einheitskugel in diesem Punkt gibt. Köthe zeigte 1983, dass ein normierter Raum genau dann glatt in einem Punkt ist, wenn die Norm in diesem Punkt Gateaux-differenzierbar ist . ^[³^] $X$ $x$ $x.$ $x$

Ausgewogene oder scheibenförmige Nachbarschaften

Sei eine konvexe balancierte Umgebung des Ursprungs in einem lokal konvexen topologischen Vektorraum und sei kein Element von . Dann existiert ein stetiges lineares Funktional auf , sodass ^[³^] $U$ $X$ $x\in X$ $U.$ $f$ $X$ $\sup |f(U)|\leq |f(x)|.$

Anwendungen

Der Satz von Hahn-Banach ist das erste Anzeichen einer wichtigen Philosophie in der Funktionalanalysis : Um einen Raum zu verstehen, muss man seine stetigen Funktionale verstehen .

Lineare Unterräume werden beispielsweise durch Funktionale charakterisiert: Ist $X$ ein normierter Vektorraum mit linearem Unterraum $M$ (nicht notwendigerweise abgeschlossen) und ist ein Element von $X,$ das nicht im Abschluss von $M$ liegt , so existiert eine stetige lineare Abbildung mit für alle und . (Man beachte dazu, dass eine sublineare Funktion ist.) Ist außerdem ein Element von $X$ , so existiert eine stetige lineare Abbildung mit und . Dies impliziert, dass die natürliche Injektion von einem normierten Raum $X$ in seinen doppelten Dualraum isometrisch ist. $z$ $f:X\to \mathbf {K}$ $f(m)=0$ $m\in M,$ $f(z)=1,$ $\|f\|=\operatorname {dist} (z,M)^{-1}.$ $\operatorname {dist} (\cdot ,M)$ $z$ $f:X\to \mathbf {K}$ $f(z)=\|z\|$ $\|f\|\leq 1.$ $J$ $V^{**}$

Dieses letzte Ergebnis legt auch nahe, dass der Satz von Hahn-Banach oft dazu verwendet werden kann, eine „bessere“ Topologie für weitere Berechnungen zu finden. Beispielsweise setzen viele Ergebnisse der Funktionalanalysis voraus, dass ein Raum Hausdorffsch oder lokal konvex ist. Sei $X$ jedoch ein topologischer Vektorraum, der nicht notwendigerweise Hausdorffsch oder lokal konvex ist , aber eine nichtleere, eigentliche, konvexe, offene Menge $M$ besitzt . Dann impliziert der geometrische Satz von Hahn-Banach, dass eine Hyperebene existiert, die $M$ von jedem anderen Punkt trennt. Insbesondere muss ein von Null verschiedenes Funktional auf $X$ existieren – das heißt, der stetige Dualraum ist nicht trivial. ^[³^]^[²⁵^] Betrachtet man $X$ mit der durch induzierten schwachen Topologie, so wird $X$ lokal konvex; nach dem zweiten Punkt des geometrischen Satzes von Hahn-Banach trennt die schwache Topologie auf diesem neuen Raum Punkte . Somit wird $X$ mit dieser schwachen Topologie zu einem Hausdorffsch-Raum . Dies ermöglicht es mitunter, einige Ergebnisse von lokal konvexen topologischen Vektorräumen auf nicht-Hausdorffsche und nicht-lokal konvexe Räume anzuwenden. $X^{*}$ $X^{*},$

Partielle Differentialgleichungen

Der Satz von Hahn-Banach ist oft nützlich, wenn man die Methode der A-priori-Abschätzungen anwenden möchte . Angenommen, wir möchten die lineare Differentialgleichung für mit in einem Banachraum $X$ lösen . Wenn wir die Größe von in Abhängigkeit von kontrollieren können und als beschränktes lineares Funktional auf einem geeigneten Raum von Testfunktionen betrachten können, dann können wir als lineares Funktional durch Adjunktion auffassen: Zunächst ist dieses Funktional nur auf dem Bild von definiert, aber mithilfe des Satzes von Hahn-Banach können wir versuchen, es auf den gesamten Bildbereich $X$ zu erweitern . Das resultierende Funktional wird oft als schwache Lösung der Gleichung definiert . $Pu=f$ $u,$ $f$ $u$ $\|f\|_{X}$ $u$ $g,$ $f$ $(f,g)=(u,P^{*}g).$ $P,$

Charakterisierung reflexiver Banachräume

Satz ^{[ 26 ]} — Ein reeller Banachraum heißt reflexiv genau dann, wenn jedes Paar nichtleerer, disjunkter, abgeschlossener, konvexer Teilmengen, von denen eine beschränkt ist, durch eine Hyperebene strikt getrennt werden kann.

Beispiel aus der Fredholm-Theorie

Um eine konkrete Anwendung des Satzes von Hahn-Banach zu veranschaulichen, werden wir nun ein Ergebnis beweisen, das fast ausschließlich aus dem Satz von Hahn-Banach folgt.

Satz – Sei ein lokal konvexer Hausdorff-Vektorraum über dem Körper und ein Vektorunterraum von , der zu für eine Menge TVS-isomorph ist. Dann ist ein abgeschlossener und komplementierter Vektorunterraum von . $X$ $\mathbf {K}$ $Y$ $X$ $\mathbf {K} ^{I}$ $I.$ $Y$ $X.$

Nachweisen

Da ein vollständiger TVS ist, ist auch ein vollständiger TVS , und da jede vollständige Teilmenge eines Hausdorff-TVS abgeschlossen ist, ist eine abgeschlossene Teilmenge von . Sei ein TVS-Isomorphismus, sodass jedes ein stetiges surjektives lineares Funktional ist. Nach dem Satz von Hahn-Banach können wir jedes zu einem stetigen linearen Funktional auf fortsetzen. Sei , sodass eine stetige lineare Surjektion ist, deren Einschränkung auf ist . Sei eine stetige lineare Abbildung, deren Einschränkung auf ist, wobei die Identitätsabbildung auf bezeichnet. Dies zeigt, dass eine stetige lineare Projektion auf ist (d. h. ). Somit ist in und in der Kategorie der TVSs komplementiert . $\mathbf {K} ^{I}$ $Y,$ $Y$ $X.$ $f=\left(f_{i}\right)_{i\in I}:Y\to \mathbf {K} ^{I}$ $f_{i}:Y\to \mathbf {K}$ $f_{i}$ $F_{i}:X\to \mathbf {K}$ $X.$ $F:=\left(F_{i}\right)_{i\in I}:X\to \mathbf {K} ^{I}$ $F$ $Y$ $F{\big \vert }_{Y}=\left(F_{i}{\big \vert }_{Y}\right)_{i\in I}=\left(f_{i}\right)_{i\in I}=f.$ $P:=f^{-1}\circ F:X\to Y,$ $Y$ $P{\big \vert }_{Y}=f^{-1}\circ F{\big \vert }_{Y}=f^{-1}\circ f=\mathbf {1} _{Y},$ $\mathbb {1} _{Y}$ $Y.$ $P$ $Y$ $P\circ P=P$ $Y$ $X$ $X=Y\oplus \ker P$ $\blacksquare$

Das obige Ergebnis kann verwendet werden, um zu zeigen, dass jeder abgeschlossene Vektorunterraum von komplementiert ist, da jeder solche Raum entweder endlichdimensional oder TVS-isomorph zu ist. $\mathbb {R} ^{\mathbb {N} }$ $\mathbb {R} ^{\mathbb {N} }.$

Verallgemeinerungen

Allgemeine Vorlage

Es existieren mittlerweile viele weitere Versionen des Satzes von Hahn-Banach. Die allgemeine Struktur der verschiedenen in diesem Artikel vorgestellten Versionen des Satzes von Hahn-Banach sieht wie folgt aus:

p:X\to \mathbb {R}

ist eine sublineare Funktion (möglicherweise eine Halbnorm ) auf einem Vektorraum, ist ein Vektorunterraum von (möglicherweise abgeschlossen), und ist ein lineares Funktional auf , das auf erfüllt (und möglicherweise weitere Bedingungen). Daraus folgt, dass eine lineare Fortsetzung von auf existiert, sodass auf (möglicherweise mit zusätzlichen Eigenschaften).

X,

M

X

f

M

|f|\leq p

M

F

f

X

|F|\leq p

X

Satz ^{[ 3 ]} — Sei eine absorbierende Kreisscheibe in einem reellen oder komplexen Vektorraum und sei ein lineares Funktional, das auf einem Vektorunterraum von definiert ist, sodass auf , dann existiert ein lineares Funktional auf , das sich fortsetzt, sodass auf $D$ $X$ $f$ $M$ $X$ $|f|\leq 1$ $M\cap D,$ $F$ $X$ $f$ $|F|\leq 1$ $D.$

Für Halbnormen

Satz von Hahn-Banach für Halbnormen ^{[ 27 ]}^{[ 28 ]} —SeieineHalbnormauf einem Vektorunterraumvonundsei eine Halbnorm auf ,sodass, dann existiert eine Halbnormauf ,sodassaufundauf $p:M\to \mathbb {R}$ $M$ $X,$ $q:X\to \mathbb {R}$ $X$ $p\leq q{\big \vert }_{M},$ $P:X\to \mathbb {R}$ $X$ $P{\big \vert }_{M}=p$ $M$ $P\leq q$ $X.$

Beweis des Satzes von Hahn-Banach für Halbnormen

Sei die konvexe Hülle von . Da eine absorbierende Scheibe in ihrem Minkowski-Funktional ist, ist eine Halbnorm. Dann gilt auf und auf $S$ $\{m\in M:p(m)\leq 1\}\cup \{x\in X:q(x)\leq 1\}.$ $S$ $X,$ $P$ $p=P$ $M$ $P\leq q$ $X.$

Angenommen, sei beispielsweise ein beschränktes lineares Funktional auf einem Vektorunterraum eines normierten Raums definiert , sodass seine Operatornorm eine nichtnegative reelle Zahl ist. Dann ist der Absolutbetrag des linearen Funktionals eine Halbnorm auf , und die durch definierte Abbildung ist eine Halbnorm auf , die auf erfüllt. Der Satz von Hahn-Banach für Halbnormen garantiert die Existenz einer Halbnorm, die auf gleich ist ( da ) und überall auf durch nach oben beschränkt ist (da ). $f$ $M$ $X,$ $\|f\|$ $p:=|f|$ $M$ $q:X\to \mathbb {R}$ $q(x)=\|f\|\,\|x\|$ $X$ $p\leq q{\big \vert }_{M}$ $M.$ $P:X\to \mathbb {R}$ $|f|$ $M$ $P{\big \vert }_{M}=p=|f|$ $P(x)\leq \|f\|\,\|x\|$ $X$ $P\leq q$

Geometrische Trennung

Satz von Hahn-Banach ^{[ 3 ]} —Seif eine sublineare Funktion auf einem reellen Vektorraum,sei ℝeine beliebige Teilmenge vonℝ undseieine beliebigeAbbildung. Wenn es positive reelle Zahlenf undg , sodassf(x) = f(x)+g ... $p:X\to \mathbb {R}$ $X,$ $S\subseteq X$ $X,$ $f:S\to \mathbb {R}$ $a$ $b$ $0\geq \inf _{s\in S}[p(s-ax-by)-f(s)-af(x)-bf(y)]\qquad {\text{ for all }}x,y\in S,$ $F:X\to \mathbb {R}$ $X$ $F\leq p$ $X$ $f\leq F\leq p$ $S.$

Maximale dominierte lineare Erweiterung

Satz ^{[ 3 ]} (Andenaes, 1970) – Sei f eine sublineare Funktion auf einem reellen Vektorraum, sei f ein lineares Funktional auf einem Vektorunterraum von , sodass f( x) = f(x) auf , und sei eine beliebige Teilmenge von . Dann existiert ein lineares Funktional auf , das f (x) auf erweitert , f(x) = f (x) auf erfüllt und (punktweise) maximal auf ist im folgenden Sinne: Wenn f ein lineares Funktional auf ist, das f(x) auf erweitert und f(x) = f(x) auf erfüllt, dann impliziert f(x) = f(x) auf ℝ² ... $p:X\to \mathbb {R}$ $X,$ $f:M\to \mathbb {R}$ $M$ $X$ $f\leq p$ $M,$ $S\subseteq X$ $X.$ $F:X\to \mathbb {R}$ $X$ $f,$ $F\leq p$ $X,$ $S$ ${\widehat {F}}:X\to \mathbb {R}$ $X$ $f$ ${\widehat {F}}\leq p$ $X,$ $F\leq {\widehat {F}}$ $S$ $F={\widehat {F}}$ $S.$

Wenn es sich um eine einelementige Menge handelt (wobei ein Vektor ist) und wenn eine solche maximale dominierte lineare Erweiterung von ist, dann ^[³^] $S=\{s\}$ $s\in X$ $F:X\to \mathbb {R}$ $f:M\to \mathbb {R} ,$ $F(s)=\inf _{m\in M}[f(s)+p(s-m)].$

Vektorwertige Hahn-Banach-Methode

Vektorwertiger Satz von Hahn-Banach ^{[ 3 ]} —SindundVektorräume über demselben Körper undist eine lineare Abbildung auf einem Vektorunterraumvonso existiert eine lineare Abbildung, die erweitert $X$ $Y$ $f:M\to Y$ $M$ $X,$ $F:X\to Y$ $f.$

Invariante Hahn-Banach

Ein Satz von Karten ist $\Gamma$ $X\to X$ kommutativ (bezüglichder Funktionskomposition ), wennfür alleauf einer Teilmengevon Funktionist $\,\circ \,$ $F\circ G=G\circ F$ $F,G\in \Gamma .$ $f$ $M$ $X$ $\Gamma$ -invariant, wennundauffür jedes $L(M)\subseteq M$ $f\circ L=f$ $M$ $L\in \Gamma .$

Ein invarianter Satz von Hahn-Banach ^{[ 29 ]} –Seieinekommutative Mengestetiger linearer Abbildungen einesnormierten Raumsin sich selbst und seiein stetiges lineares Funktional, das in einem Vektorunterraumvon-invariantist, d. h., dassundauffür jedes . Dannbesitzt eine stetige lineare Fortsetzungauf alle ,die dieselbeOperatornormund ebenfalls-invariant ist, d. h., dassauffür jedes $\Gamma$ $X$ $f$ $M$ $X$ $\Gamma$ $L(M)\subseteq M$ $f\circ L=f$ $M$ $L\in \Gamma .$ $f$ $F$ $X$ $\|f\|=\|F\|$ $\Gamma$ $F\circ L=F$ $X$ $L\in \Gamma .$

Dieser Satz lässt sich wie folgt zusammenfassen:

Jedes -invariante stetige lineare Funktional, das auf einem Vektorunterraum eines normierten Raums definiert ist, besitzt eine -invariante Hahn-Banach-Fortsetzung auf alle ^[²⁹^].

\Gamma

X

\Gamma

X.

Für nichtlineare Funktionen

Der folgende Satz von Mazur–Orlicz (1953) ist äquivalent zum Satz von Hahn–Banach.

Satz von Mazur-Orlicz ^{[ 3 ]} —Seif einesublineare Funktionauf einem reellen oder komplexen Vektorraum,sei ℝeine beliebige Menge und seien ΩundΩ beliebige Abbildungen. Die folgenden Aussagen sind äquivalent: $p:X\to \mathbb {R}$ $X,$ $T$ $R:T\to \mathbb {R}$ $v:T\to X$

Es existiert ein reellwertiges lineares Funktional auf , sodass auf und auf ; $F$ $X$ $F\leq p$ $X$ $R\leq F\circ v$ $T$
für jede endliche Folge nichtnegativer reeller Zahlen und jede Folge von Elementen von $s_{1},\ldots ,s_{n}$ $n>0$ $t_{1},\ldots ,t_{n}\in T$ $T,$ $\sum _{i=1}^{n}s_{i}R\left(t_{i}\right)\leq p\left(\sum _{i=1}^{n}s_{i}v\left(t_{i}\right)\right).$

Der folgende Satz charakterisiert, wann jede Skalarfunktion auf (nicht notwendigerweise linear) eine stetige lineare Fortsetzung auf ganz besitzt. $X$ $X.$

Satz (Das Erweiterungsprinzip ^{[ 30 ]} )—Seieine skalarwertige Funktion auf einer Teilmengeeinestopologischen Vektorraums. Dann existiert ein stetiges lineares Funktionalaufdas erweitert,aufexistiert,sodass für alle positiven ganzen Zahlenund alle endlichen Folgenvon Skalaren und Elementenvon gilt: $f$ $S$ $X.$ $F$ $X$ $f$ $p$ $X$ $\left|\sum _{i=1}^{n}a_{i}f(s_{i})\right|\leq p\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}s_{i}\right)$ $n$ $a_{1},\ldots ,a_{n}$ $s_{1},\ldots ,s_{n}$ $S.$

Converse

Sei $X$ ein topologischer Vektorraum. Ein Vektorunterraum $M$ von $X$ hat die Erweiterungseigenschaft, wenn jedes stetige lineare Funktional auf $M$ zu einem stetigen linearen Funktional auf $X$ fortgesetzt werden kann , und wir sagen, dass $X$ die Hahn-Banach-Erweiterungseigenschaft ( HBEP ) hat, wenn jeder Vektorunterraum von $X$ die Erweiterungseigenschaft hat. ^{[ 31 ]}

Der Satz von Hahn-Banach garantiert, dass jeder lokal konvexe Hausdorff-Raum die HBEP besitzt. Für vollständige metrisierbare topologische Vektorräume gilt aufgrund von Kalton die Umkehrung: Jeder vollständige metrisierbare Vektorraum mit der Hahn-Banach-Erweiterungseigenschaft ist lokal konvex. ^{[ 31 ]} Andererseits ist ein Vektorraum $X$ überabzählbarer Dimension, der mit der feinsten Vektortopologie ausgestattet ist , ein topologischer Vektorraum mit der Hahn-Banach-Erweiterungseigenschaft, der weder lokal konvex noch metrisierbar ist. ^{[ 31 ]}

Ein Vektorunterraum $M$ eines TVS $X$ besitzt die Trennungseigenschaft, wenn es für jedes Element von $X$ , für das es ein stetiges lineares Funktional auf $X$ gibt , so dass und für alle gilt. Offensichtlich trennt der stetige Dualraum eines TVS $X genau dann Punkte auf$ $X$ , wenn er die Trennungseigenschaft besitzt. 1992 bewies Kakol, dass es für jeden unendlichdimensionalen Vektorraum $X$ TVS-Topologien auf $X$ gibt , die die HBEP nicht besitzen, obwohl genügend stetige lineare Funktionale vorhanden sind, damit der stetige Dualraum Punkte auf $X trennt. Ist$ $X$ jedoch ein TVS, so besitzt jeder Vektorunterraum von $X$ genau dann die Erweiterungseigenschaft, wenn jeder Vektorunterraum von $X$ die Trennungseigenschaft besitzt. ^[³¹^] $x\not \in M,$ $f$ $f(x)\neq 0$ $f(m)=0$ $m\in M.$ $\{0\},$

Bezug zum Auswahlaxiom und anderen Theoremen

Der Beweis des Satzes von Hahn-Banach für reelle Vektorräume ( HB ) verwendet üblicherweise das Lemma von Zorn , welches im axiomatischen Rahmen der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre ( ZF ) äquivalent zum Auswahlaxiom ( AC ) ist. Łoś und Ryll-Nardzewski ^{[ 12 ]} und unabhängig davon Luxemburg ^{[ 11 ]} entdeckten , dass sich HB mithilfe des Ultrafilterlemmas ( UL ) beweisen lässt , welches (unter ZF ) äquivalent zum Booleschen Primidealsatz ( BPI ) ist. BPI ist strikt schwächer als das Auswahlaxiom, und später wurde gezeigt, dass HB strikt schwächer als BPI ist . ^{[ 32 ]}

Das Ultrafilterlemma ist (unter ZF ) äquivalent zum Satz von Banach-Alaoglu ^{[ 33 ]} , einem weiteren grundlegenden Satz der Funktionalanalysis . Obwohl der Satz von Banach-Alaoglu HB impliziert ^{[ 34 ]} , ist er nicht äquivalent dazu (anders ausgedrückt: Der Satz von Banach-Alaoglu ist strikt stärker als HB ). HB ist jedoch äquivalent zu einer bestimmten abgeschwächten Version des Satzes von Banach-Alaoglu für normierte Räume ^{[ 35 ]} . Der Satz von Hahn-Banach ist außerdem äquivalent zu der folgenden Aussage: ^{[ 36 ]}

(∗): Auf jeder Booleschen Algebra

B

existiert eine „Wahrscheinlichkeitsladung“, d. h. eine nicht-konstante, endlich additive Abbildung von nach

B

[0,1].

( BPI ist gleichbedeutend mit der Aussage, dass es immer nichtkonstante Wahrscheinlichkeitsladungen gibt, die nur die Werte 0 und 1 annehmen.)

In ZF genügt der Satz von Hahn-Banach, um die Existenz einer nicht-Lebesgue-messbaren Menge zu beweisen. ^{[ 37 ]} Darüber hinaus impliziert der Satz von Hahn-Banach das Banach-Tarski-Paradoxon . ^{[ 38 ]}

Für separable Banachräume bewiesen D. K. Brown und S. G. Simpson, dass der Satz von Hahn-Banach aus WKL₀ folgt _, einem schwachen Teilsystem der Arithmetik zweiter Stufe , das eine Form des auf Binärbäume beschränkten Lemmas von König als Axiom annimmt. Tatsächlich bewiesen sie, dass die beiden unter schwachen Voraussetzungen äquivalent sind – ein Beispiel für umgekehrte Mathematik . ^{[ 39 ]}^{[ 40 ]}

Siehe auch

Farkas' Lemma – Lösbarkeitssatz für endliche Systeme linearer Ungleichungen
Ficheras Existenzprinzip – Satz der Funktionalanalysis
M. Riesz' Erweiterungssatz
Satz über die trennende Achse – Über die Existenz von Hyperebenen, die disjunkte konvexe Mengen trennen
Vektorwertige Sätze von Hahn und Banach

Anmerkungen

Diese Definition bedeutet beispielsweise, dassund wenndann.Tatsächlich gilt: Wenneine beliebige lineare Erweiterung vonnachdannfür.Mit anderen Worten: Jede lineare Erweiterung vonnachhat die Formfür ein (eindeutiges). $F_{b}(x)=F_{b}(0+1x)=f(0)+1b=b$ $m\in M$ $F_{b}(m)=F_{b}(m+0x)=f(m)+0b=f(m).$ $G:M\oplus \mathbb {R} x\to \mathbb {R}$ $f$ $M\oplus \mathbb {R} x$ $G=F_{b}$ $b:=G(x).$ $f$ $M\oplus \mathbb {R} x$ $F_{b}$ $b.$
^ Explizit gilt dies für jede reelle Zahlaufgenau dann, wenn .Kombiniert mit der Tatsache, dass die dominierte lineare Erweiterung vonnachgenau dann eindeutig ist, wenn ,wobei dieser Skalar die Werte der Erweiterung an der Stelle an angibt.Da jede lineare Erweiterung vonnachdie Formfür eindie Grenzensomit auch den Bereich möglicher Werte (ander dominierten linearen Erweiterungenvon angenommen werden könnenIst eine beliebige lineare Erweiterung von , dieerfüllt,dann gilt für jedes . $b\in \mathbb {R} ,$ $F_{b}\leq p$ $M\oplus \mathbb {R} x$ $a\leq b\leq c.$ $F_{b}(x)=b,$ $f$ $M\oplus \mathbb {R} x$ $a=c,$ $x.$ $f$ $M\oplus \mathbb {R} x$ $F_{b}$ $b,$ $a\leq b=F_{b}(x)\leq c$ $x$ $f$ $F:X\to \mathbb {R}$ $f$ $F\leq p$ $x\in X\setminus M,$ $\sup _{m\in M}[-p(-m-x)-f(m)]~\leq ~F(x)~\leq ~\inf _{m\in M}[p(m+x)-f(m)].$
^ Geometrische Illustration: Die geometrische Idee des obigen Beweises lässt sich vollständig am Beispiel von darstellen . Zunächst definieren wir die einfache Erweiterung .Dies funktioniert nicht, da möglicherweise. Es ist jedoch ein Schritt in die richtige Richtung.ist weiterhin konvex, undistidentisch null auf der x-Achse. Somit haben wir uns auf den Fallauf der x-Achse reduziert. Wennauf, sind wir fertig. Andernfalls wählen wir einsodassaufund gleichzeitig so einzuschränken,dassaufundauf. Die Definition vonwürde dann die gewünschte Erweiterung liefern. Daauf gegenüberliegenden Seiten vonundan einem Punkt aufaufgrund der Konvexität vonauf allen Punkten vongilt,ist endlich. Geometrisch funktioniert dies, daeine konvexe Menge ist, die disjunkt zu istund somit vollständig auf einer Seite von liegen muss. Wir definieren .Diesauf. Es bleibt, die andere Seite zu überprüfen. Für alleimpliziert die Konvexität, dass für alle gilt,also . Da wir im Beweis nur die Konvexität von verwendet haben, sehen wir, dass das Lemma auch für lediglich konvexe gilt. $X=\mathbb {R} ^{2},M=\{(x,0):x\in \mathbb {R} \}.$ $f_{0}(x,y)=f(x),$ $f_{0}\leq p$ $p-f_{0}$ $p-f_{0}\geq f-f_{0}.$ $f-f_{0}$ $f=0,p\geq 0$ $p\geq 0$ $\mathbb {R} ^{2},$ $v\in \mathbb {R} ^{2},$ $p(v)<0.$ $p$ $v+M$ $-v+M$ $p\geq b$ $v+M$ $p\geq -b$ $-v+M,$ ${\tilde {f}}(w+rv)=rb$ $-v+M,v+M$ $M,$ $p<0$ $v+M,$ $p,$ $p\geq 0$ $-v+M.$ $\inf _{u\in -v+M}p(u)$ $\{z:p(z)<0\}$ $M,$ $M.$ $b=-\inf _{u\in -v+M}p(u).$ $p\geq -b$ $-v+M.$ $v+w\in v+M,$ $-v+w'\in -v+M,p(v+w)+p(-v+w')\geq 2p((w+w')/2)=0,$ $p(v+w)\geq \sup _{u\in -v+M}-p(u)=b.$ $p$ $p.$
^ Wie jedes nichtnegative skalare Vielfache einer Norm ist auch diese Halbnorm(das Produkt der nichtnegativen reellen Zahlmit der Norm) eine Norm, wennpositiv ist, obwohl diese Tatsache für den Beweis nicht benötigt wird. $\|f\|\,\|\cdot \|$ $\|f\|$ $\|\cdot \|$ $\|f\|$

Beweise

Wenn einen Realteil hat,dannbeweistdies, dassEinsetzenvonund Verwendungvon ergibt $z=a+ib\in \mathbb {C}$ $\operatorname {Re} z=a$ $-\operatorname {Re} (iz)=b,$ $z=\operatorname {Re} z-i\operatorname {Re} (iz).$ $F(x)$ $z$ $iF(x)=F(ix)$ $F(x)=\operatorname {Re} F(x)-i\operatorname {Re} F(ix).$ $\blacksquare$
Seieine beliebige homogene skalarwertige Abbildung auf(wie etwa ein lineares Funktional) undsei eine beliebige Abbildung, diefür alleSkalareder Länge 1 (wie etwa eine Halbnorm) erfüllt. Wenndann .Um die Umkehrung zu zeigen, nehmen wir an, dass und fixieren .Seiund wähle einsodass .Es bleibt zu zeigen, dassdie Homogenität vonimpliziert,dass reell ist, sodass .Nach Annahmeundsomitwie gewünscht. $F$ $X$ $p:X\to \mathbb {R}$ $p(ux)=p(x)$ $x$ $u$ $|F|\leq p$ $\operatorname {Re} F\leq |\operatorname {Re} F|\leq |F|\leq p.$ $\operatorname {Re} F\leq p$ $x\in X.$ $r=|F(x)|$ $\theta \in \mathbb {R}$ $F(x)=re^{i\theta };$ $r\leq p(x).$ $F$ $F\left(e^{-i\theta }x\right)=r$ $\operatorname {Re} F\left(e^{-i\theta }x\right)=F\left(e^{-i\theta }x\right).$ $\operatorname {Re} F\leq p$ $p\left(e^{-i\theta }x\right)=p(x),$ $r=\operatorname {Re} F\left(e^{-i\theta }x\right)\leq p\left(e^{-i\theta }x\right)=p(x),$ $\blacksquare$
^ Die Abbildungist eine Erweiterung von ,was bedeutet, dassundfür jedes. Folglich ist das Supremum der Menge auf der linken Seite, das ist,nicht größer als das Supremum der rechten Seite, das ist.Mit anderen Worten: $F$ $f$ $\operatorname {domain} f\subseteq \operatorname {domain} F$ $F(m)=f(m)$ $m\in \operatorname {domain} f.$ $\{|f(m)|:\|m\|\leq 1,m\in \operatorname {domain} f\}=\{|F(m)|:\|m\|\leq 1,m\in \operatorname {domain} f\}\subseteq \{|F(x)\,|:\|x\|\leq 1,x\in \operatorname {domain} F\}$ $\|f\|,$ $\|F\|.$ $\|f\|\leq \|F\|.$

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[13] Diese Definition bedeutet beispielsweise, dassund wenndann.Tatsächlich gilt: Wenneine beliebige lineare Erweiterung vonnachdannfür.Mit anderen Worten: Jede lineare Erweiterung vonnachhat die Formfür ein (eindeutiges). $F_{b}(x)=F_{b}(0+1x)=f(0)+1b=b$ $m\in M$ $F_{b}(m)=F_{b}(m+0x)=f(m)+0b=f(m).$ $G:M\oplus \mathbb {R} x\to \mathbb {R}$ $f$ $M\oplus \mathbb {R} x$ $G=F_{b}$ $b:=G(x).$ $f$ $M\oplus \mathbb {R} x$ $F_{b}$ $b.$

[14] Explizit gilt dies für jede reelle Zahlaufgenau dann, wenn .Kombiniert mit der Tatsache, dass die dominierte lineare Erweiterung vonnachgenau dann eindeutig ist, wenn ,wobei dieser Skalar die Werte der Erweiterung an der Stelle an angibt.Da jede lineare Erweiterung vonnachdie Formfür eindie Grenzensomit auch den Bereich möglicher Werte (ander dominierten linearen Erweiterungenvon angenommen werden könnenIst eine beliebige lineare Erweiterung von , dieerfüllt,dann gilt für jedes . $b\in \mathbb {R} ,$ $F_{b}\leq p$ $M\oplus \mathbb {R} x$ $a\leq b\leq c.$ $F_{b}(x)=b,$ $f$ $M\oplus \mathbb {R} x$ $a=c,$ $x.$ $f$ $M\oplus \mathbb {R} x$ $F_{b}$ $b,$ $a\leq b=F_{b}(x)\leq c$ $x$ $f$ $F:X\to \mathbb {R}$ $f$ $F\leq p$ $x\in X\setminus M,$ $\sup _{m\in M}[-p(-m-x)-f(m)]~\leq ~F(x)~\leq ~\inf _{m\in M}[p(m+x)-f(m)].$

[GeometricIllustration-15] Geometrische Illustration: Die geometrische Idee des obigen Beweises lässt sich vollständig am Beispiel von darstellen . Zunächst definieren wir die einfache Erweiterung .Dies funktioniert nicht, da möglicherweise. Es ist jedoch ein Schritt in die richtige Richtung.ist weiterhin konvex, undistidentisch null auf der x-Achse. Somit haben wir uns auf den Fallauf der x-Achse reduziert. Wennauf, sind wir fertig. Andernfalls wählen wir einsodassaufund gleichzeitig so einzuschränken,dassaufundauf. Die Definition vonwürde dann die gewünschte Erweiterung liefern. Daauf gegenüberliegenden Seiten vonundan einem Punkt aufaufgrund der Konvexität vonauf allen Punkten vongilt,ist endlich. Geometrisch funktioniert dies, daeine konvexe Menge ist, die disjunkt zu istund somit vollständig auf einer Seite von liegen muss. Wir definieren .Diesauf. Es bleibt, die andere Seite zu überprüfen. Für alleimpliziert die Konvexität, dass für alle gilt,also . Da wir im Beweis nur die Konvexität von verwendet haben, sehen wir, dass das Lemma auch für lediglich konvexe gilt. $X=\mathbb {R} ^{2},M=\{(x,0):x\in \mathbb {R} \}.$ $f_{0}(x,y)=f(x),$ $f_{0}\leq p$ $p-f_{0}$ $p-f_{0}\geq f-f_{0}.$ $f-f_{0}$ $f=0,p\geq 0$ $p\geq 0$ $\mathbb {R} ^{2},$ $v\in \mathbb {R} ^{2},$ $p(v)<0.$ $p$ $v+M$ $-v+M$ $p\geq b$ $v+M$ $p\geq -b$ $-v+M,$ ${\tilde {f}}(w+rv)=rb$ $-v+M,v+M$ $M,$ $p<0$ $v+M,$ $p,$ $p\geq 0$ $-v+M.$ $\inf _{u\in -v+M}p(u)$ $\{z:p(z)<0\}$ $M,$ $M.$ $b=-\inf _{u\in -v+M}p(u).$ $p\geq -b$ $-v+M.$ $v+w\in v+M,$ $-v+w'\in -v+M,p(v+w)+p(-v+w')\geq 2p((w+w')/2)=0,$ $p(v+w)\geq \sup _{u\in -v+M}-p(u)=b.$ $p$ $p.$

[24] Wie jedes nichtnegative skalare Vielfache einer Norm ist auch diese Halbnorm(das Produkt der nichtnegativen reellen Zahlmit der Norm) eine Norm, wennpositiv ist, obwohl diese Tatsache für den Beweis nicht benötigt wird. $\|f\|\,\|\cdot \|$ $\|f\|$ $\|\cdot \|$ $\|f\|$

[10] Wenn einen Realteil hat,dannbeweistdies, dassEinsetzenvonund Verwendungvon ergibt $z=a+ib\in \mathbb {C}$ $\operatorname {Re} z=a$ $-\operatorname {Re} (iz)=b,$ $z=\operatorname {Re} z-i\operatorname {Re} (iz).$ $F(x)$ $z$ $iF(x)=F(ix)$ $F(x)=\operatorname {Re} F(x)-i\operatorname {Re} F(ix).$ $\blacksquare$

[12] Seieine beliebige homogene skalarwertige Abbildung auf(wie etwa ein lineares Funktional) undsei eine beliebige Abbildung, diefür alleSkalareder Länge 1 (wie etwa eine Halbnorm) erfüllt. Wenndann .Um die Umkehrung zu zeigen, nehmen wir an, dass und fixieren .Seiund wähle einsodass .Es bleibt zu zeigen, dassdie Homogenität vonimpliziert,dass reell ist, sodass .Nach Annahmeundsomitwie gewünscht. $F$ $X$ $p:X\to \mathbb {R}$ $p(ux)=p(x)$ $x$ $u$ $|F|\leq p$ $\operatorname {Re} F\leq |\operatorname {Re} F|\leq |F|\leq p.$ $\operatorname {Re} F\leq p$ $x\in X.$ $r=|F(x)|$ $\theta \in \mathbb {R}$ $F(x)=re^{i\theta };$ $r\leq p(x).$ $F$ $F\left(e^{-i\theta }x\right)=r$ $\operatorname {Re} F\left(e^{-i\theta }x\right)=F\left(e^{-i\theta }x\right).$ $\operatorname {Re} F\leq p$ $p\left(e^{-i\theta }x\right)=p(x),$ $r=\operatorname {Re} F\left(e^{-i\theta }x\right)\leq p\left(e^{-i\theta }x\right)=p(x),$ $\blacksquare$

[ProofNormOfExtensionIsLarger-23] Die Abbildungist eine Erweiterung von ,was bedeutet, dassundfür jedes. Folglich ist das Supremum der Menge auf der linken Seite, das ist,nicht größer als das Supremum der rechten Seite, das ist.Mit anderen Worten: $F$ $f$ $\operatorname {domain} f\subseteq \operatorname {domain} F$ $F(m)=f(m)$ $m\in \operatorname {domain} f.$ $\{|f(m)|:\|m\|\leq 1,m\in \operatorname {domain} f\}=\{|F(m)|:\|m\|\leq 1,m\in \operatorname {domain} f\}\subseteq \{|F(x)\,|:\|x\|\leq 1,x\in \operatorname {domain} F\}$ $\|f\|,$ $\|F\|.$ $\|f\|\leq \|F\|.$

[1] O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. , "Hahn–Banach theorem" , MacTutor History of Mathematics Archive , University of St Andrews

[2] Siehe den Erweiterungssatz von M. Riesz . Nach Gårding, L. (1970). „Marcel Riesz in memoriam“ . Acta Math. 124 (1): I– XI. doi : 10.1007/bf02394565 . MR 0256837 . Das Argument war Riesz bereits 1918 bekannt.

[FOOTNOTENariciBeckenstein2011177–220-3] ^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g ^h ⁱ ^j ^k ^l ^m ⁿ ^o ^p ^q ^r ^s Narici & Beckenstein 2011 , S. 177–220.

[FOOTNOTERudin199156–62-4] Rudin 1991 , S. 56–62.

[5] Rudin 1991 , Th. 3.2

[FOOTNOTENariciBeckenstein2011177–183-6] ^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g ^h Narici & Beckenstein 2011 , S. 177–183.

[FOOTNOTESchechter1996318–319-7] Schechter 1996 , S. 318–319.

[FOOTNOTEReedSimon1980-8] Reed & Simon 1980 .

[9] Rudin 1991 , Th. 3.2

[FOOTNOTENariciBeckenstein2011126–128-11] Narici & Beckenstein 2011 , ^S. 126–128.

[FOOTNOTELuxemburg1962-16] Luxemburg 1962 .

[FOOTNOTEŁośRyll-Nardzewski1951233–237-17] Łoś & Ryll-Nardzewski 1951 , S. 233–237.

[18] HAHNBAN-Datei

[FOOTNOTENariciBeckenstein2011182,_498-19] Narici & Beckenstein 2011 , S. 182, 498.

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Geschichte

Satz von Hahn-Banach

Für komplexe oder reelle Vektorräume

Nachweisen

Satz der stetigen Fortsetzung

Beweis des Satzes über die stetige Fortsetzung

Nichtlokal konvexe Räume

Geometrische Hahn-Banach-Separationssätze

Stützende Hyperebenen

Ausgewogene oder scheibenförmige Nachbarschaften

Anwendungen

Partielle Differentialgleichungen

Charakterisierung reflexiver Banachräume

Beispiel aus der Fredholm-Theorie

Verallgemeinerungen

Für Halbnormen

Geometrische Trennung

Maximale dominierte lineare Erweiterung

Vektorwertige Hahn-Banach-Methode

Invariante Hahn-Banach

Für nichtlineare Funktionen

Converse

Bezug zum Auswahlaxiom und anderen Theoremen

Siehe auch

Anmerkungen

Referenzen

Bibliographie

Kategorien

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