M-Theorie

In der Physik ist die M-Theorie eine Theorie, die alle konsistenten Versionen der Superstringtheorie vereint . Edward Witten vermutete die Existenz einer solchen Theorie erstmals 1995 auf einer Stringtheorie- Konferenz an der University of Southern California. Wittens Ankündigung löste eine Welle intensiver Forschungstätigkeit aus, die als zweite Superstring-Revolution bekannt wurde . Vor Wittens Ankündigung hatten Stringtheoretiker fünf Versionen der Superstringtheorie identifiziert. Obwohl diese Theorien zunächst sehr unterschiedlich erschienen, zeigten Arbeiten vieler Physiker , dass sie auf komplexe und nicht-triviale Weise miteinander verbunden sind. Physiker fanden heraus, dass scheinbar unterschiedliche Theorien durch mathematische Transformationen, die als S-Dualität und T-Dualität bezeichnet werden, vereinheitlicht werden können . Wittens Vermutung basierte zum Teil auf der Existenz dieser Dualitäten und zum Teil auf der Beziehung der Stringtheorien zu einer Feldtheorie namens elfdimensionale Supergravitation .

Obwohl eine vollständige Formulierung der M-Theorie noch nicht bekannt ist, sollte eine solche Formulierung zwei- und fünfdimensionale Objekte, sogenannte Branen , beschreiben und bei niedrigen Energien durch elfdimensionale Supergravitation approximiert werden können . Moderne Formulierungsversuche der M-Theorie basieren typischerweise auf der Matrixtheorie oder der AdS/CFT-Korrespondenz . Laut Witten steht das M für „Magie“, „Geheimnis“ oder „Membran“ (je nach persönlicher Interpretation), und die wahre Bedeutung des Titels sollte erst dann geklärt werden, wenn eine fundamentalere Formulierung der Theorie vorliegt. ^{[ 1 ]}

Untersuchungen der mathematischen Struktur der M-Theorie haben wichtige theoretische Ergebnisse in Physik und Mathematik hervorgebracht. Spekulativ betrachtet könnte die M-Theorie ein Gerüst für die Entwicklung einer vereinheitlichten Theorie aller fundamentalen Naturkräfte liefern . Versuche, die M-Theorie mit Experimenten zu verknüpfen, konzentrieren sich typischerweise auf die Kompaktifizierung ihrer zusätzlichen Dimensionen , um Kandidatenmodelle der vierdimensionalen Welt zu konstruieren. Bislang konnte jedoch keines dieser Modelle die in Hochenergiephysik- Experimenten beobachteten physikalischen Phänomene reproduzieren .

Eines der grundlegendsten Probleme der modernen Physik ist das Problem der Quantengravitation . Das gegenwärtige Verständnis der Gravitation basiert auf Albert Einsteins allgemeiner Relativitätstheorie , die im Rahmen der klassischen Physik formuliert ist . Nichtgravitative Kräfte hingegen werden im Rahmen der Quantenmechanik beschrieben , einem radikal anderen Formalismus zur Beschreibung physikalischer Phänomene auf Basis von Wahrscheinlichkeiten . ^{[ a ]} Eine Quantentheorie der Gravitation ist notwendig, um die allgemeine Relativitätstheorie mit den Prinzipien der Quantenmechanik in Einklang zu bringen. ^{[ b ]} Schwierigkeiten entstehen jedoch, wenn man versucht, die üblichen Vorschriften der Quantentheorie auf die Gravitationskraft anzuwenden. ^{[ c ]}

Die Stringtheorie ist ein theoretischer Rahmen , der versucht, Gravitation und Quantenmechanik zu vereinen. In der Stringtheorie werden die punktförmigen Teilchen der Teilchenphysik durch eindimensionale Objekte, sogenannte Strings, ersetzt . Die Stringtheorie beschreibt, wie sich Strings im Raum ausbreiten und miteinander wechselwirken. In einer bestimmten Version der Stringtheorie gibt es nur eine Art von String, der wie eine kleine Schleife oder ein Segment eines gewöhnlichen Strings aussehen kann und auf verschiedene Weisen schwingen kann. Auf Distanzskalen, die größer als die Stringskala sind, verhält sich ein String wie ein gewöhnliches Teilchen, dessen Masse , Ladung und andere Eigenschaften durch den Schwingungszustand des Strings bestimmt werden. Auf diese Weise können alle Elementarteilchen als schwingende Strings betrachtet werden. Einer der Schwingungszustände eines Strings erzeugt das Graviton , ein quantenmechanisches Teilchen, das die Gravitationskraft trägt. ^{[ d ]}

Es existieren verschiedene Versionen der Stringtheorie: Typ I , Typ IIA , Typ IIB und zwei Varianten der heterotischen Stringtheorie ( Spin (32) und E <sub>₈ × E _₈ ). Die verschiedenen Theorien erlauben unterschiedliche Stringtypen, und die bei niedrigen Energien auftretenden Teilchen weisen unterschiedliche Symmetrien auf . Beispielsweise umfasst die Typ-I-Theorie auf der Ebene der Störungstheorie sowohl offene Strings (Segmente mit Endpunkten) als auch geschlossene Strings (geschlossene Schleifen), während die Typen IIA und IIB nur geschlossene Strings beinhalten. ^{[ 2 ]} (Nicht-störungstheoretisch können in allen diesen Theorien offene Strings existieren.) Jede dieser fünf Stringtheorien ergibt sich als Spezialfall der M-Theorie. Diese Theorie ist, wie ihre Vorgänger, ein Beispiel für eine Quantentheorie der Gravitation. Sie beschreibt eine Kraft, die der bekannten Gravitationskraft ähnelt und den Gesetzen der Quantenmechanik unterliegt. ^{[ 3 ]}${\displaystyle /\mathbb {Z} _{2}}$

Im Alltag sind uns drei Raumdimensionen vertraut: Höhe, Breite und Tiefe. Einsteins allgemeine Relativitätstheorie betrachtet die Zeit als eine Dimension, die den drei Raumdimensionen gleichwertig ist. In der allgemeinen Relativitätstheorie werden Raum und Zeit nicht als getrennte Größen modelliert, sondern zu einer vierdimensionalen Raumzeit , drei Raumdimensionen und einer Zeitdimension vereinheitlicht. In diesem Rahmen wird das Phänomen der Gravitation als Folge der Geometrie der Raumzeit betrachtet. ^{[ 4 ]}

Obwohl das Universum gut durch die vierdimensionale Raumzeit beschrieben wird, gibt es mehrere Gründe, warum Physiker Theorien in anderen Dimensionen in Betracht ziehen. In manchen Fällen wird eine Theorie durch die Modellierung der Raumzeit in einer anderen Anzahl von Dimensionen mathematisch handhabbarer, und Berechnungen sowie allgemeine Erkenntnisse lassen sich leichter durchführen. ^{[ e ]} Es gibt auch Situationen, in denen Theorien in zwei oder drei Raumzeitdimensionen nützlich sind, um Phänomene in der Festkörperphysik zu beschreiben . ^{[ 5 ]} Schließlich existieren Szenarien, in denen tatsächlich mehr als vier Raumzeitdimensionen existieren könnten, die bisher unentdeckt geblieben sind. ^{[ 6 ]}

Ein bemerkenswertes Merkmal der Stringtheorie und der M-Theorie ist, dass diese Theorien für ihre mathematische Konsistenz zusätzliche Raumzeitdimensionen benötigen . In der Stringtheorie ist die Raumzeit zehndimensional (neun räumliche Dimensionen und eine Zeitdimension),In der M-Theorie hingegen ist sie elfdimensional (zehn Raumdimensionen und eine Zeitdimension). Um reale physikalische Phänomene mithilfe dieser Theorien zu beschreiben, muss man sich daher Szenarien vorstellen, in denen diese zusätzlichen Dimensionen experimentell nicht beobachtet werden können. ^{[ 7 ]}

Die Kompaktifizierung ist eine Methode, die Anzahl der Dimensionen in einer physikalischen Theorie zu verändern. ^{[ f ]} Bei der Kompaktifizierung wird angenommen, dass sich einige der zusätzlichen Dimensionen zu Kreisen zusammenrollen. ^{[ 8 ]} Im Grenzfall, in dem diese zusammengerollten Dimensionen sehr klein werden, erhält man eine Theorie, in der die Raumzeit effektiv eine geringere Anzahl von Dimensionen aufweist. Eine gängige Analogie hierfür ist die Betrachtung eines mehrdimensionalen Objekts wie eines Gartenschlauchs. Betrachtet man den Schlauch aus ausreichender Entfernung, scheint er nur eine Dimension zu haben, seine Länge. Nähert man sich dem Schlauch jedoch, entdeckt man, dass er eine zweite Dimension besitzt, seinen Umfang. Eine Ameise, die auf der Oberfläche des Schlauchs kriecht, würde sich also in zwei Dimensionen bewegen. ^{[ g ]}

Theorien, die als unterschiedliche Grenzfälle der M-Theorie entstehen, erweisen sich als auf höchst komplexe Weise miteinander verbunden. Eine dieser Beziehungen zwischen verschiedenen physikalischen Theorien ist die sogenannte S-Dualität . Diese besagt, dass eine Ansammlung stark wechselwirkender Teilchen in einer Theorie in manchen Fällen als eine Ansammlung schwach wechselwirkender Teilchen in einer völlig anderen Theorie betrachtet werden kann. Vereinfacht gesagt, wechselwirkt eine Ansammlung von Teilchen stark, wenn sie häufig rekombinieren und zerfallen, und schwach, wenn dies selten geschieht. Die Typ-I-Stringtheorie erweist sich mittels S-Dualität als äquivalent zur heterotischen Stringtheorie. Ebenso ist die Typ-IIB-Stringtheorie auf komplexe Weise mit sich selbst durch die S-Dualität verbunden. ^{[ 10 ]}${\displaystyle \mathrm {Spin} (32)/\mathbb {Z} _{2}}$

Eine weitere Beziehung zwischen verschiedenen Stringtheorien ist die T-Dualität . Hierbei betrachtet man Strings, die sich in einer kreisförmigen zusätzlichen Dimension ausbreiten. Die T-Dualität besagt, dass ein String, der sich in einem Kreis mit Radius R ausbreitet , äquivalent zu einem String ist, der sich in einem Kreis mit Radius 1/ R ausbreitet . Das bedeutet, dass alle beobachtbaren Größen der einen Beschreibung mit Größen der dualen Beschreibung identifiziert werden können. Beispielsweise besitzt ein String Impuls , während er sich in einem Kreis ausbreitet, und er kann sich ein- oder mehrmals um den Kreis winden. Die Anzahl der Windungen wird als Windungszahl bezeichnet . Besitzt ein String in einer Beschreibung den Impuls p und die Windungszahl n , so besitzt er in der dualen Beschreibung den Impuls n und die Windungszahl p . Beispielsweise ist die Stringtheorie vom Typ IIA über die T-Dualität äquivalent zur Stringtheorie vom Typ IIB, und auch die beiden Versionen der heterotischen Stringtheorie sind durch die T-Dualität miteinander verbunden. ^{[ 10 ]}

Im Allgemeinen bezeichnet der Begriff Dualität eine Situation, in der sich zwei scheinbar unterschiedliche physikalische Systeme in nichttrivialer Weise als äquivalent erweisen. Sind zwei Theorien durch eine Dualität miteinander verbunden, bedeutet dies, dass die eine Theorie so transformiert werden kann, dass sie der anderen Theorie exakt gleicht. Die beiden Theorien sind dann bezüglich dieser Transformation dual zueinander. Anders ausgedrückt: Die beiden Theorien beschreiben mathematisch unterschiedliche Phänomene. ^{[ 11 ]}

Ein weiterer wichtiger theoretischer Ansatz der M-Theorie ist die Supersymmetrie . Sie beschreibt eine mathematische Beziehung zwischen Bosonen und Fermionen , die in bestimmten physikalischen Theorien existiert . Vereinfacht gesagt sind Fermionen die Bausteine ​​der Materie, während Bosonen die Wechselwirkungen zwischen Teilchen vermitteln. In Theorien mit Supersymmetrie besitzt jedes Boson ein entsprechendes Fermion und umgekehrt. Wird Supersymmetrie als lokale Symmetrie angenommen, erhält man automatisch eine quantenmechanische Theorie, die die Gravitation beinhaltet. Eine solche Theorie wird als Supergravitationstheorie bezeichnet . ^{[ 12 ]}

Eine Stringtheorie, die die Idee der Supersymmetrie integriert, wird als Superstringtheorie bezeichnet . Es existieren verschiedene Versionen der Superstringtheorie, die alle in den Rahmen der M-Theorie fallen. Bei niedrigen Energien werden Superstringtheorien durch eine der drei Supergravitationen in zehn Dimensionen approximiert, bekannt als Typ-I- , Typ-IIA- und Typ-IIB- Supergravitation. Analog dazu wird die M-Theorie bei niedrigen Energien durch Supergravitation in elf Dimensionen approximiert. ^{[ 3 ]}

In der Stringtheorie und verwandten Theorien wie der Supergravitationstheorie ist eine Brane ein physikalisches Objekt, das den Begriff des Punktteilchens auf höhere Dimensionen verallgemeinert. Beispielsweise kann ein Punktteilchen als Brane der Dimension Null, ein String hingegen als Brane der Dimension Eins betrachtet werden. Es ist auch möglich, höherdimensionale Branen zu betrachten. In Dimension p werden diese als p -Branen bezeichnet. Branen sind dynamische Objekte, die sich gemäß den Gesetzen der Quantenmechanik durch die Raumzeit ausbreiten können. Sie können Masse und andere Eigenschaften wie Ladung besitzen. Eine p -Brane überstreicht ein ( p  +1) -dimensionales Volumen in der Raumzeit, ihr sogenanntes Weltvolumen . Physiker untersuchen häufig Felder, die dem elektromagnetischen Feld analog sind und im Weltvolumen einer Brane existieren. Der Begriff Brane leitet sich vom Wort „Membran“ ab, das eine zweidimensionale Brane bezeichnet. ^{[ 13 ]}

In der Stringtheorie sind die fundamentalen Objekte, aus denen Elementarteilchen entstehen, die eindimensionalen Strings. Obwohl die von der M-Theorie beschriebenen physikalischen Phänomene noch nicht vollständig verstanden sind, ist bekannt, dass die Theorie zwei- und fünfdimensionale Branen beschreibt. Ein Großteil der aktuellen Forschung in der M-Theorie zielt darauf ab, die Eigenschaften dieser Branen besser zu verstehen. ^{[ h ]}

Zu Beginn des 20. Jahrhunderts leisteten Physiker und Mathematiker wie Albert Einstein und Hermann Minkowski Pionierarbeit bei der Anwendung der vierdimensionalen Geometrie zur Beschreibung der physikalischen Welt. ^{[ 14 ]} Diese Bemühungen gipfelten in der Formulierung von Einsteins allgemeiner Relativitätstheorie, die die Gravitation mit der Geometrie der vierdimensionalen Raumzeit in Beziehung setzt. ^{[ 15 ]}

Der Erfolg der allgemeinen Relativitätstheorie führte zu Bestrebungen, höherdimensionale Geometrie zur Erklärung anderer Kräfte anzuwenden. 1919 zeigte Theodor Kaluza in seinen Arbeiten, dass sich Gravitation und Elektromagnetismus durch den Übergang zu einer fünfdimensionalen Raumzeit zu einer einzigen Kraft vereinen lassen. ^{[ 15 ]} Diese Idee wurde von dem Physiker Oskar Klein weiterentwickelt , der vorschlug, dass die von Kaluza vorgeschlagene zusätzliche Dimension ^die Form eines Kreises mit einem Radius von etwa 10⁻³⁰ cm annehmen könnte . ^{[ 16 ]}

Die Kaluza-Klein-Theorie und Einsteins nachfolgende Versuche, eine einheitliche Feldtheorie zu entwickeln , waren nie vollständig erfolgreich. Dies lag zum Teil daran, dass die Kaluza-Klein-Theorie ein Teilchen (das Radion ) vorhersagte, dessen Existenz nie nachgewiesen wurde, und zum Teil daran, dass sie das Verhältnis von Masse zu Ladung eines Elektrons nicht korrekt vorhersagen konnte. Zudem wurden diese Theorien entwickelt, als andere Physiker gerade begannen, die Quantenmechanik zu entdecken, die sich schließlich als erfolgreich bei der Beschreibung bekannter Kräfte wie des Elektromagnetismus sowie neuer Kernkräfte erweisen sollte , die in der Mitte des Jahrhunderts entdeckt wurden. So dauerte es fast fünfzig Jahre, bis die Idee neuer Dimensionen wieder ernst genommen wurde. ^{[ 17 ]}

Neue Konzepte und mathematische Werkzeuge ermöglichten neue Erkenntnisse zur allgemeinen Relativitätstheorie und führten in den 1960er- und 1970er-Jahren zu einer Periode, die heute als das goldene Zeitalter der allgemeinen Relativitätstheorie bekannt ist . ^{[ 18 ]} Mitte der 1970er-Jahre begannen Physiker, höherdimensionale Theorien zu untersuchen, die die allgemeine Relativitätstheorie mit der Supersymmetrie kombinierten – die sogenannten Supergravitationstheorien. ^{[ 19 ]}

Die allgemeine Relativitätstheorie setzt keine Grenzen für die möglichen Dimensionen der Raumzeit. Obwohl die Theorie typischerweise in vier Dimensionen formuliert wird, lassen sich dieselben Gleichungen für das Gravitationsfeld in beliebiger Dimensionalität aufstellen. Die Supergravitation ist restriktiver, da sie eine Obergrenze für die Anzahl der Dimensionen festlegt. ^{[ 12 ]} 1978 zeigte Werner Nahm , dass die maximale Raumzeitdimension, in der sich eine konsistente supersymmetrische Theorie formulieren lässt, elf beträgt. ^{[ 20 ]} Im selben Jahr wiesen Eugène Cremmer , Bernard Julia und Joël Scherk von der École Normale Supérieure nach, dass die Supergravitation nicht nur bis zu elf Dimensionen zulässt, sondern in dieser maximalen Dimensionalität sogar am elegantesten ist. ^{[ 21 ] [ 22 ]}

Anfänglich hofften viele Physiker, durch die Kompaktifizierung der elfdimensionalen Supergravitation realistische Modelle unserer vierdimensionalen Welt konstruieren zu können. Man erhoffte sich von solchen Modellen eine einheitliche Beschreibung der vier fundamentalen Naturkräfte: Elektromagnetismus, starke und schwache Kernkraft sowie Gravitation. Das Interesse an der elfdimensionalen Supergravitation ließ jedoch bald nach, als verschiedene Mängel dieses Modells entdeckt wurden. Eines der Probleme bestand darin, dass die physikalischen Gesetze scheinbar zwischen Drehungen im Uhrzeigersinn und gegen den Uhrzeigersinn unterscheiden – ein Phänomen, das als Chiralität bekannt ist . Edward Witten und andere stellten fest, dass sich diese Chiralitätseigenschaft nicht ohne Weiteres durch Kompaktifizierung von elf Dimensionen ableiten lässt. ^{[ 22 ]}

In der ersten Superstring-Revolution von 1984 wandten sich viele Physiker der Stringtheorie als vereinheitlichender Theorie der Teilchenphysik und der Quantengravitation zu. Anders als die Supergravitationstheorie konnte die Stringtheorie die Chiralität des Standardmodells berücksichtigen und lieferte eine mit Quanteneffekten konsistente Gravitationstheorie. ^{[ 22 ]} Ein weiteres Merkmal der Stringtheorie, das viele Physiker in den 1980er und 1990er Jahren faszinierte, war ihre hohe Eindeutigkeit. In herkömmlichen Teilchentheorien kann man jede beliebige Ansammlung von Elementarteilchen betrachten, deren klassisches Verhalten durch eine beliebige Lagrange-Funktion beschrieben wird . In der Stringtheorie sind die Möglichkeiten deutlich eingeschränkter: In den 1990er Jahren argumentierten Physiker, dass es nur fünf konsistente supersymmetrische Versionen der Theorie gäbe. ^{[ 22 ]}

Obwohl es nur wenige konsistente Superstringtheorien gab, blieb es ein Rätsel, warum es nicht nur eine einzige konsistente Formulierung gab. ^{[ 22 ]} Als Physiker jedoch begannen, die Stringtheorie genauer zu untersuchen, erkannten sie, dass diese Theorien auf komplexe und nicht-triviale Weise miteinander verbunden sind. ^{[ 23 ]}

Ende der 1970er Jahre vermuteten Claus Montonen und David Olive eine besondere Eigenschaft bestimmter physikalischer Theorien. ^{[ 24 ]} Eine präzisierte Version ihrer Vermutung betrifft die sogenannte N =4 supersymmetrische Yang-Mills-Theorie , welche theoretische Teilchen beschreibt, die formal den Quarks und Gluonen der Atomkerne ähneln . Die Stärke der Wechselwirkung der Teilchen dieser Theorie wird durch die Kopplungskonstante g gemessen . Das Ergebnis von Montonen und Olive, heute bekannt als Montonen-Olive-Dualität , besagt, dass die N =4 supersymmetrische Yang-Mills-Theorie mit der Kopplungskonstante g äquivalent zu derselben Theorie mit der Kopplungskonstante 1/ g ist. Anders ausgedrückt: Ein System stark wechselwirkender Teilchen (große Kopplungskonstante) lässt sich äquivalent zu einem System schwach wechselwirkender Teilchen (kleine Kopplungskonstante) beschreiben und umgekehrt ^{[ 25 ] –} und zwar anhand des Spinmoments.

In den 1990er Jahren verallgemeinerten mehrere Theoretiker die Montonen-Olive-Dualität zur S-Dualität, welche verschiedene Stringtheorien miteinander verbindet. Ashoke Sen untersuchte die S-Dualität im Kontext heterotischer Strings in vier Dimensionen. ^{[ 26 ] [ 27 ]} Chris Hull und Paul Townsend zeigten, dass eine Typ-IIB-Stringtheorie mit einer großen Kopplungskonstante über die S-Dualität äquivalent zu derselben Theorie mit einer kleinen Kopplungskonstante ist. ^{[ 28 ]} Theoretiker fanden außerdem heraus, dass verschiedene Stringtheorien durch die T-Dualität miteinander verbunden sein können. Diese Dualität impliziert, dass Strings, die sich auf völlig unterschiedlichen Raumzeitgeometrien ausbreiten, physikalisch äquivalent sein können. ^{[ 29 ]}

Die Stringtheorie erweitert die gewöhnliche Teilchenphysik, indem sie nulldimensionale Punktteilchen durch eindimensionale Objekte, sogenannte Strings, ersetzt. Ende der 1980er Jahre lag es nahe, dass Theoretiker weitere Erweiterungen formulierten, in denen Teilchen durch zweidimensionale Supermembranen oder höherdimensionale Objekte, sogenannte Branen, ersetzt werden ^{. Solche Objekte wurden bereits 1962 von Paul Dirac [30} ] in Betracht gezogen und in ^{den 1980er} Jahren von einer kleinen, aber enthusiastischen Gruppe von Physikern erneut aufgegriffen. ^{[ 22 ]}

Die Supersymmetrie schränkt die mögliche Dimensionalität einer Brane stark ein. 1987 zeigten Eric Bergshoeff, Ergin Sezgin und Paul Townsend, dass die elfdimensionale Supergravitation zweidimensionale Branen beinhaltet. ^{[ 31 ]} Intuitiv erscheinen diese Objekte wie Flächen oder Membranen, die sich durch die elfdimensionale Raumzeit ausbreiten. Kurz nach dieser Entdeckung untersuchten Michael Duff , Paul Howe, Takeo Inami und Kellogg Stelle eine spezielle Kompaktifizierung der elfdimensionalen Supergravitation, bei der eine der Dimensionen zu einem Kreis aufgerollt ist. ^{[ 32 ]} In diesem Fall kann man sich die Membran um die kreisförmige Dimension gewickelt vorstellen. Ist der Radius des Kreises ausreichend klein, ähnelt diese Membran einem String in der zehndimensionalen Raumzeit. Tatsächlich zeigten Duff und seine Mitarbeiter, dass diese Konstruktion exakt die Strings der Typ-IIA-Superstringtheorie reproduziert. ^{[ 25 ]}

1990 veröffentlichte Andrew Strominger ein ähnliches Ergebnis, das nahelegte, dass stark wechselwirkende Strings in zehn Dimensionen äquivalent durch schwach wechselwirkende fünfdimensionale Branen beschrieben werden könnten. ^{[ 33 ]} Anfänglich konnten Physiker diesen Zusammenhang aus zwei wichtigen Gründen nicht beweisen. Zum einen war die Montonen-Olive-Dualität noch unbewiesen, wodurch Stromingers Vermutung noch unsicherer war. Zum anderen gab es zahlreiche technische Probleme im Zusammenhang mit den Quanteneigenschaften fünfdimensionaler Branen. ^{[ 34 ]} Das erste dieser Probleme wurde 1993 gelöst, als Ashoke Sen nachwies, dass bestimmte physikalische Theorien die Existenz von Objekten mit sowohl elektrischer als auch magnetischer Ladung erfordern, wie sie von Montonen und Olive vorhergesagt worden waren. ^{[ 35 ]}

Trotz dieser Fortschritte blieb die Beziehung zwischen Strings und fünfdimensionalen Branen spekulativ, da es den Theoretikern nicht gelang, die Branen zu quantisieren. Ab 1991 untersuchte ein Forscherteam um Michael Duff, Ramzi Khuri, Jianxin Lu und Ruben Minasian eine spezielle Kompaktifizierung der Stringtheorie, bei der vier der zehn Dimensionen aufgerollt sind. Betrachtet man eine fünfdimensionale Brane, die um diese zusätzlichen Dimensionen gewickelt ist, so ähnelt sie einem eindimensionalen String. Dadurch wurde die vermutete Beziehung zwischen Strings und Branen auf eine Beziehung zwischen Strings untereinander reduziert, die sich nun mit etablierten theoretischen Methoden überprüfen ließ. ^{[ 29 ]}

Auf der Konferenz „Strings '95“ an der University of Southern California im Jahr 1995 machte Edward Witten vom Institute for Advanced Study die überraschende These, dass alle fünf Superstringtheorien lediglich unterschiedliche Grenzfälle einer einzigen Theorie in elf Raumzeitdimensionen seien. Wittens Ankündigung fasste alle bisherigen Ergebnisse zur S- und T-Dualität sowie zum Auftreten zwei- und fünfdimensionaler Branen in der Stringtheorie zusammen. ^{[ 36 ]} In den Monaten nach Wittens Ankündigung erschienen Hunderte neuer Veröffentlichungen im Internet, die bestätigten, dass die neue Theorie Membranen in wichtiger Weise einbezieht. ^{[ 37 ]} Diese Forschungswelle ist heute als die zweite Superstringrevolution bekannt . ^{[ 38 ]}

Eine der wichtigsten Entwicklungen nach Wittens Ankündigung war seine Zusammenarbeit mit dem Stringtheoretiker Petr Hořava im Jahr 1996. ^{[ 39 ] [ 40 ]} Witten und Hořava untersuchten die M-Theorie auf einer speziellen Raumzeitgeometrie mit zwei zehndimensionalen Randkomponenten. Ihre Arbeit trug zum Verständnis der mathematischen Struktur der M-Theorie bei und zeigte mögliche Wege auf, die M-Theorie mit der realen Physik zu verknüpfen. ^{[ 41 ]}

Anfänglich vermuteten einige Physiker, die neue Theorie sei eine fundamentale Membrantheorie, doch Witten hegte Skepsis hinsichtlich der Rolle von Membranen in dieser Theorie. In einer Veröffentlichung aus dem Jahr 1996 schrieben Hořava und Witten:

Da vorgeschlagen wurde, dass die elfdimensionale Theorie eine Supermembrantheorie sei, es aber einige Gründe gibt, diese Interpretation zu bezweifeln, nennen wir sie unverbindlich die M-Theorie und überlassen die Frage nach dem Zusammenhang von M mit Membranen der Zukunft. ^{[ 39 ]}

Mangels eines tieferen Verständnisses der wahren Bedeutung und Struktur der M-Theorie schlug Witten vor, das M solle je nach Geschmack für „Magie“, „Geheimnis“ oder „Membran“ stehen, und die wahre Bedeutung des Titels solle erst dann geklärt werden, wenn eine grundlegendere Formulierung der Theorie vorliege. ^{[ 1 ]} Jahre später erklärte er: „Ich dachte, meine Kollegen würden verstehen, dass es tatsächlich für Membran steht. Leider hat das zu Verwirrung geführt.“ ^{[ 42 ]}

In der Mathematik ist eine Matrix eine rechteckige Anordnung von Zahlen oder anderen Daten. In der Physik ist ein Matrixmodell eine spezielle Art physikalischer Theorie, deren mathematische Formulierung den Begriff der Matrix in wichtiger Weise einbezieht. Ein Matrixmodell beschreibt das Verhalten einer Menge von Matrizen im Rahmen der Quantenmechanik. ^{[ 43 ] [ 44 ]}

Ein wichtiges Beispiel für ein Matrixmodell ist das BFSS-Matrixmodell, das 1997 von Tom Banks , Willy Fischler , Stephen Shenker und Leonard Susskind vorgeschlagen wurde . Diese Theorie beschreibt das Verhalten von neun großen Matrizen. In ihrer Originalveröffentlichung zeigten die Autoren unter anderem, dass der Niederenergiegrenzwert dieses Matrixmodells durch elfdimensionale Supergravitation beschrieben wird. Diese Berechnungen führten sie zu der Annahme, dass das BFSS-Matrixmodell exakt äquivalent zur M-Theorie ist. Das BFSS-Matrixmodell kann daher als Prototyp für eine korrekte Formulierung der M-Theorie und als Werkzeug zur Untersuchung ihrer Eigenschaften in einem relativ einfachen Rahmen verwendet werden. ^{[ 43 ]}

In der Geometrie ist es oft hilfreich, Koordinaten einzuführen . Um beispielsweise die Geometrie der euklidischen Ebene zu untersuchen , definiert man die Koordinaten x und y als die Abstände zwischen einem beliebigen Punkt in der Ebene und einem Achsenpaar . In der Geometrie sind die Koordinaten eines Punktes Zahlen, die multipliziert werden können, und das Produkt zweier Koordinaten ist unabhängig von der Reihenfolge der Multiplikation. Das heißt, xy = yx . Diese Eigenschaft der Multiplikation ist als Kommutativgesetz bekannt , und diese Beziehung zwischen Geometrie und der kommutativen Algebra der Koordinaten bildet den Ausgangspunkt für einen Großteil der modernen Geometrie. ^{[ 45 ]}

Die nichtkommutative Geometrie ist ein Teilgebiet der Mathematik, das versucht, diese Situation zu verallgemeinern. Anstatt mit gewöhnlichen Zahlen zu arbeiten, betrachtet man ähnliche Objekte, wie beispielsweise Matrizen, deren Multiplikation nicht dem Kommutativgesetz genügt (d. h. Objekte, für die xy nicht notwendigerweise gleich yx ist ). Man stellt sich diese nichtkommutierenden Objekte als Koordinaten auf einem allgemeineren Raumbegriff vor und beweist Sätze über diese verallgemeinerten Räume, indem man die Analogie zur gewöhnlichen Geometrie ausnutzt. ^{[ 46 ]}

In einer Arbeit aus dem Jahr 1998 zeigten Alain Connes , Michael R. Douglas und Albert Schwarz , dass einige Aspekte von Matrixmodellen und der M-Theorie durch eine nichtkommutative Quantenfeldtheorie beschrieben werden können – eine spezielle Art physikalischer Theorie, in der die Koordinaten der Raumzeit die Kommutativitätseigenschaft nicht erfüllen. ^{[ 44 ]} Dies stellte eine Verbindung zwischen Matrixmodellen und der M-Theorie einerseits und der nichtkommutativen Geometrie andererseits her. Es führte rasch zur Entdeckung weiterer wichtiger Verbindungen zwischen nichtkommutativer Geometrie und verschiedenen physikalischen Theorien. ^{[ 47 ] [ 48 ]}

Die Anwendung der Quantenmechanik auf physikalische Objekte wie das elektromagnetische Feld, die sich in Raum und Zeit ausdehnen, wird als Quantenfeldtheorie bezeichnet . ^{[ i ]} In der Teilchenphysik bilden Quantenfeldtheorien die Grundlage für unser Verständnis von Elementarteilchen, die als Anregungen in den fundamentalen Feldern modelliert werden. Quantenfeldtheorien werden auch in der Festkörperphysik verwendet, um teilchenähnliche Objekte, sogenannte Quasiteilchen, zu modellieren . ^{[ j ]}

Ein Ansatz zur Formulierung der M-Theorie und zur Untersuchung ihrer Eigenschaften ist die Anti-de-Sitter/Konforme-Feldtheorie-Korrespondenz (AdS/CFT-Korrespondenz) . Die von Juan Maldacena Ende 1997 vorgeschlagene AdS/CFT-Korrespondenz ist ein theoretisches Ergebnis, das besagt, dass die M-Theorie in einigen Fällen äquivalent zu einer Quantenfeldtheorie ist. ^{[ 49 ]} Neben Einblicken in die mathematische Struktur der String- und M-Theorie hat die AdS/CFT-Korrespondenz viele Aspekte der Quantenfeldtheorie in Bereichen erhellt, in denen traditionelle Berechnungsmethoden unwirksam sind. ^{[ 50 ]}

In der AdS/CFT-Korrespondenz wird die Geometrie der Raumzeit mithilfe einer bestimmten Vakuumlösung der Einsteinschen Feldgleichungen, dem sogenannten Anti-de-Sitter-Raum , beschrieben . ^{[ 51 ]} Vereinfacht ausgedrückt ist der Anti-de-Sitter-Raum ein mathematisches Modell der Raumzeit, in dem der Abstand zwischen Punkten (die Metrik ) anders definiert ist als in der gewöhnlichen euklidischen Geometrie . Er ist eng mit dem hyperbolischen Raum verwandt, der als Kreisscheibe betrachtet werden kann, wie links dargestellt. ^{[ 52 ]} Diese Abbildung zeigt eine Parkettierung einer Kreisscheibe mit Dreiecken und Quadraten. Der Abstand zwischen den Punkten dieser Kreisscheibe lässt sich so definieren, dass alle Dreiecke und Quadrate die gleiche Größe haben und der äußere Kreisrand von jedem Punkt im Inneren unendlich weit entfernt ist. ^{[ 53 ]}

Man stelle sich nun einen Stapel hyperbolischer Scheiben vor, wobei jede Scheibe den Zustand des Universums zu einem bestimmten Zeitpunkt repräsentiert. Das resultierende geometrische Objekt ist der dreidimensionale Anti-de-Sitter-Raum. ^{[ 52 ]} Er ähnelt einem massiven Zylinder , dessen Querschnitt eine Kopie der hyperbolischen Scheibe ist. In dieser Darstellung verläuft die Zeit vertikal. Die Oberfläche dieses Zylinders spielt eine wichtige Rolle in der AdS/CFT-Korrespondenz. Wie die hyperbolische Ebene ist auch der Anti-de-Sitter-Raum so gekrümmt , dass jeder Punkt im Inneren unendlich weit von dieser Grenzfläche entfernt ist. ^{[ 53 ]}

Diese Konstruktion beschreibt ein hypothetisches Universum mit nur zwei Raumdimensionen und einer Zeitdimension, lässt sich aber auf beliebig viele Dimensionen verallgemeinern. Tatsächlich kann der hyperbolische Raum mehr als zwei Dimensionen haben, und man kann Kopien des hyperbolischen Raums „stapeln“, um höherdimensionale Modelle des Anti-de-Sitter-Raums zu erhalten. ^{[ 52 ]}

Ein wichtiges Merkmal des Anti-de-Sitter-Raums ist seine Grenze (die im dreidimensionalen Fall einem Zylinder ähnelt). Eine Eigenschaft dieser Grenze ist, dass sie in einem kleinen Bereich um einen beliebigen Punkt der Minkowski- Raumform , dem in der nichtgravitativen Physik verwendeten Raumzeitmodell, entspricht. ^{[ 54 ]} Man kann daher eine Hilfstheorie betrachten, in der die „Raumzeit“ durch die Grenze des Anti-de-Sitter-Raums definiert ist. Diese Beobachtung ist der Ausgangspunkt für die AdS/CFT-Korrespondenz, die besagt, dass die Grenze des Anti-de-Sitter-Raums als die „Raumzeit“ einer Quantenfeldtheorie angesehen werden kann. Die Behauptung lautet, dass diese Quantenfeldtheorie äquivalent zur Gravitationstheorie auf dem gesamten Anti-de-Sitter-Raum ist, da es ein „Wörterbuch“ gibt, um Entitäten und Berechnungen der einen Theorie in ihre Entsprechungen in der anderen Theorie zu übersetzen. Beispielsweise könnte ein einzelnes Teilchen in der Gravitationstheorie einer bestimmten Teilchengruppe in der Randtheorie entsprechen. Darüber hinaus sind die Vorhersagen beider Theorien quantitativ identisch, sodass, wenn zwei Teilchen in der Gravitationstheorie eine 40-prozentige Kollisionswahrscheinlichkeit haben, die entsprechenden Ansammlungen in der Randtheorie ebenfalls eine 40-prozentige Kollisionswahrscheinlichkeit hätten. ^{[ 55 ]}

Eine spezielle Realisierung der AdS/CFT-Korrespondenz besagt, dass die M-Theorie auf dem Produktraum AdS_₇ × S_⁴ äquivalent zur sogenannten (2,0)-Theorie auf dem sechsdimensionalen Rand ist. ^{[ 49 ]} Hierbei bezieht sich „(2,0)“ auf die spezielle Art der Supersymmetrie, die in der Theorie auftritt. In diesem Beispiel ist die Raumzeit der Gravitationstheorie effektiv siebendimensional (daher die Notation AdS_₇ ), und es gibt vier zusätzliche „ kompakte “ Dimensionen (kodiert durch den Faktor S_⁴). In der realen Welt ist die Raumzeit, zumindest makroskopisch, vierdimensional, weshalb diese Version der Korrespondenz kein realistisches Modell der Gravitation liefert. Ebenso ist die duale Theorie kein praktikables Modell für irgendein reales System, da sie eine Welt mit sechs Raumzeitdimensionen beschreibt. ^{[ k ]}

Dennoch hat sich die (2,0)-Theorie als wichtig für die Untersuchung der allgemeinen Eigenschaften von Quantenfeldtheorien erwiesen. Sie umfasst viele mathematisch interessante effektive Quantenfeldtheorien und weist auf neue Dualitäten zwischen diesen Theorien hin. So zeigten Luis Alday, Davide Gaiotto und Yuji Tachikawa , dass man durch Kompaktifizierung dieser Theorie auf einer Fläche eine vierdimensionale Quantenfeldtheorie erhält. Es existiert eine Dualität, die als AGT-Korrespondenz bekannt ist und die Physik dieser Theorie mit bestimmten physikalischen Konzepten der Fläche selbst verknüpft. ^{[ 56 ]} In jüngerer Zeit haben Theoretiker diese Ideen erweitert, um die durch Kompaktifizierung auf drei Dimensionen erhaltenen Theorien zu untersuchen. ^{[ 57 ]}

Neben ihren Anwendungen in der Quantenfeldtheorie hat die (2,0)-Theorie auch wichtige Ergebnisse in der reinen Mathematik hervorgebracht . So nutzte Witten beispielsweise die Existenz der (2,0)-Theorie, um eine „physikalische“ Erklärung für eine vermutete mathematische Beziehung zu liefern, die als geometrische Langlands-Korrespondenz bekannt ist . ^{[ 58 ]} In einer späteren Arbeit zeigte Witten, dass die (2,0)-Theorie zum Verständnis eines mathematischen Konzepts namens Khovanov-Homologie verwendet werden kann . ^{[ 59 ]} Die um das Jahr 2000 von Michail Khovanov entwickelte Khovanov-Homologie ist ein Werkzeug in der Knotentheorie , dem Teilgebiet der Mathematik, das die verschiedenen Formen von Knoten untersucht und klassifiziert. ^{[ 60 ]} Eine weitere Anwendung der (2,0)-Theorie in der Mathematik findet sich in den Arbeiten von Davide Gaiotto , Greg Moore und Andrew Neitzke , die physikalische Ideen nutzten, um neue Ergebnisse in der Hyperkähler-Geometrie abzuleiten . ^{[ 61 ]}

Eine weitere Realisierung der AdS/CFT-Korrespondenz besagt, dass die M-Theorie auf AdS <sub>4 × S 7 äquivalent zu einer Quantenfeldtheorie namens ABJM-Theorie in drei Dimensionen ist. In dieser Version der Korrespondenz sind sieben der Dimensionen der M-Theorie aufgerollt, sodass vier nicht-kompakte Dimensionen verbleiben. Da die Raumzeit unseres Universums vierdimensional ist, liefert diese Version der Korrespondenz eine etwas realistischere Beschreibung der Gravitation. [ 62 ]

Die in dieser Version des Briefwechsels erwähnte ABJM-Theorie ist aus verschiedenen Gründen interessant. Sie wurde von Aharony, Bergman, Jafferis und Maldacena eingeführt und ist eng mit der Chern-Simons-Theorie verwandt . Letztere wurde Ende der 1980er Jahre durch Witten aufgrund ihrer Anwendungen in der Knotentheorie bekannt. ^{[ 63 ]} Darüber hinaus dient die ABJM-Theorie als ein semi-realistisches, vereinfachtes Modell zur Lösung von Problemen der Festkörperphysik. ^{[ 62 ]}

Die M-Theorie ist nicht nur von erheblichem theoretischem Interesse, sondern bietet auch einen Rahmen für die Konstruktion von Modellen der realen Physik, die die allgemeine Relativitätstheorie mit dem Standardmodell der Teilchenphysik verbinden . Die Phänomenologie ist der Teilbereich der theoretischen Physik, in dem Physiker realistische Modelle der Natur aus abstrakteren theoretischen Ideen entwickeln. Die Stringphänomenologie ist der Teilbereich der Stringtheorie, der versucht, realistische Modelle der Teilchenphysik auf der Grundlage der String- und der M-Theorie zu konstruieren. ^{[ 64 ]}

Typischerweise basieren solche Modelle auf dem Konzept der Kompaktifizierung. ^{[ l ]} Ausgehend von der zehn- oder elfdimensionalen Raumzeit der String- oder M-Theorie postulieren Physiker eine Form für die zusätzlichen Dimensionen. Durch die geeignete Wahl dieser Form können sie Modelle konstruieren, die dem Standardmodell der Teilchenphysik grob ähneln, ergänzt durch zusätzliche, noch unentdeckte Teilchen ^{[ 65 ]} , üblicherweise supersymmetrische Partner bekannter Teilchen. Ein gängiger Ansatz, um realistische Physik aus der Stringtheorie abzuleiten, besteht darin, mit der heterotischen Theorie in zehn Dimensionen zu beginnen und anzunehmen, dass die sechs zusätzlichen Raumzeitdimensionen die Form einer sechsdimensionalen Calabi-Yau-Mannigfaltigkeit aufweisen . Dies ist eine spezielle Art geometrischer Objekte, benannt nach den Mathematikern Eugenio Calabi und Shing-Tung Yau . ^{[ 66 ]} Calabi-Yau-Mannigfaltigkeiten bieten vielfältige Möglichkeiten, realistische Physik aus der Stringtheorie zu extrahieren. Andere ähnliche Methoden können verwendet werden, um auf Basis der M-Theorie Modelle mit einer Physik zu konstruieren, die in gewissem Maße der unserer vierdimensionalen Welt ähnelt. ^{[ 67 ]}

Teils aufgrund theoretischer und mathematischer Schwierigkeiten, teils aufgrund der extrem hohen Energien (die in absehbarer Zeit technologisch nicht realisierbar sind), die für die experimentelle Überprüfung dieser Theorien erforderlich wären, gibt es bisher keine experimentellen Belege, die eindeutig darauf hindeuten würden, dass eines dieser Modelle eine korrekte fundamentale Beschreibung der Natur darstellt. Dies hat einige Mitglieder der Fachwelt veranlasst, diese Vereinheitlichungsansätze zu kritisieren und den Wert weiterer Forschung zu diesen Problemen in Frage zu stellen. ^{[ 68 ]}

In einem Ansatz der Phänomenologie der M-Theorie gehen Theoretiker davon aus, dass die sieben zusätzlichen Dimensionen der M-Theorie die Form einer G² _- Mannigfaltigkeit aufweisen . Dies ist eine spezielle Art von siebendimensionaler Form, die von dem Mathematiker Dominic Joyce von der Universität Oxford konstruiert wurde . ^{[ 69 ]} Diese G² _- Mannigfaltigkeiten sind mathematisch noch immer unzureichend verstanden, was es Physikern erschwert hat, diesen phänomenologischen Ansatz vollständig weiterzuentwickeln. ^{[ 70 ]}

Beispielsweise setzen Physiker und Mathematiker häufig voraus, dass der Raum eine mathematische Eigenschaft namens Glattheit besitzt . Diese Eigenschaft kann jedoch im Fall einer G² _- Mannigfaltigkeit nicht angenommen werden, wenn man die Physik unserer vierdimensionalen Welt rekonstruieren möchte. Ein weiteres Problem besteht darin, dass G² _- Mannigfaltigkeiten keine komplexen Mannigfaltigkeiten sind, weshalb Theoretiker keine Methoden der komplexen Analysis anwenden können . Schließlich gibt es viele offene Fragen zur Existenz, Eindeutigkeit und anderen mathematischen Eigenschaften von G² _- Mannigfaltigkeiten, und Mathematikern fehlt ein systematischer Ansatz zur Suche nach diesen Mannigfaltigkeiten. ^{[ 70 ]}

Aufgrund der Schwierigkeiten mit G² _- Mannigfaltigkeiten verfolgen die meisten Versuche, realistische physikalische Theorien auf Basis der M-Theorie zu konstruieren, einen indirekteren Ansatz zur Kompaktifizierung der elfdimensionalen Raumzeit. Ein von Witten, Hořava, Burt Ovrut und anderen entwickelter Ansatz ist die heterotische M-Theorie. Dabei wird angenommen, dass eine der elf Dimensionen der M-Theorie kreisförmig ist. Ist dieser Kreis sehr klein, reduziert sich die Raumzeit effektiv auf zehn Dimensionen. Anschließend wird angenommen, dass sechs der zehn Dimensionen eine Calabi-Yau-Mannigfaltigkeit bilden. Ist auch diese Calabi-Yau-Mannigfaltigkeit klein, ergibt sich eine vierdimensionale Theorie. ^{[ 70 ]}

Die heterotische M-Theorie wurde zur Konstruktion von Modellen der Branenkosmologie verwendet , in denen das beobachtbare Universum auf einer Brane in einem höherdimensionalen umgebenden Raum existiert. Sie hat auch alternative Theorien des frühen Universums hervorgebracht, die nicht auf der Theorie der kosmischen Inflation beruhen . ^{[ 70 ]}

• BBC Horizon : „Paralleluniversen“  – Die 2002 von BBC Horizon ausgestrahlte Dokumentation „Paralleluniversen“ befasst sich mit der Geschichte und Entstehung der M-Theorie sowie den beteiligten Wissenschaftlern.
• [1] PBS.org-NOVA: Das elegante Universum ] – 2003 mit dem Emmy Award ausgezeichnete, dreistündige Miniserie von Nova mit Brian Greene , adaptiert von seinem Buch Das elegante Universum (ursprüngliche PBS- Sendetermine: 28. Oktober, 20–22 Uhr und 4. November, 2003, 20–21 Uhr)

• F-Theorie
• Multiversum

• Superstringtheory.com  – Die „Offizielle Website zur Stringtheorie“, erstellt von Patricia Schwarz. Informationsmaterial zur Stringtheorie und M-Theorie für Laien und Experten.
• Nicht einmal falsch  – Peter Woits Blog über Physik im Allgemeinen und Stringtheorie im Besonderen.
• M-Theorie – Edward Witten (1995) – Wittens Vorlesung von 1995 zur Einführung der M-Theorie.