Nyquist-ISI-Kriterium

In der Kommunikationstechnik beschreibt das Nyquist-ISI-Kriterium die Bedingungen, die, wenn sie von einem Kommunikationskanal (einschließlich der Reaktionen von Sende- und Empfangsfiltern) erfüllt werden, zu keiner Intersymbolinterferenz (ISI) führen. Es bietet eine Methode zur Konstruktion bandbegrenzter Funktionen, um die Auswirkungen von Intersymbolinterferenz zu kompensieren.

Werden aufeinanderfolgende Symbole über einen Kanal mittels linearer Modulation (z. B. ASK , QAM ) übertragen , führt die Impulsantwort (bzw. äquivalent die Frequenzantwort ) des Kanals zu einer zeitlichen Ausbreitung des übertragenen Symbols. Dies verursacht Interferenz zwischen den Symbolen, da die zuvor übertragenen Symbole das aktuell empfangene Symbol beeinflussen und somit die Störfestigkeit verringern . Das Nyquist-Theorem stellt einen Zusammenhang zwischen diesem Zustand im Zeitbereich und einem äquivalenten Zustand im Frequenzbereich her .

Das Nyquist-Kriterium ist eng mit dem Nyquist-Shannon-Abtasttheorem verwandt , es besteht lediglich ein anderer Blickwinkel.

Bezeichnet man die Kanalimpulsantwort mit , so lässt sich die Bedingung für eine ISI-freie Antwort wie folgt ausdrücken: ${\displaystyle h(t)}$

${\displaystyle h(nT_{s})={\begin{cases}1;&n=0\\0;&n\neq 0\end{cases}}}$

für alle ganzen Zahlen , wobei die Symbolperiode ist . Das Nyquist-Theorem besagt, dass dies äquivalent ist zu: ${\displaystyle n}$${\displaystyle T_{s}}$

${\displaystyle {\frac {1}{T_{s}}}\sum _{k=-\infty }^{+\infty }H\left(f-{\frac {k}{T_{s}}}\right)=1\quad {\text{für alle Frequenzen }}f}$,

Dabei ist die Fouriertransformierte von . Dies ist das Nyquist-ISI-Kriterium. ${\displaystyle H(f)}$${\displaystyle h(t)}$

Dieses Kriterium lässt sich intuitiv folgendermaßen verstehen: Frequenzverschobene Kopien von müssen sich zu einem konstanten Wert addieren. Diese Bedingung ist erfüllt, wenn das Spektrum gerade Symmetrie aufweist, eine Bandbreite größer oder gleich besitzt und sein Einseitenband ungerade Symmetrie an der Grenzfrequenz aufweist . ${\displaystyle H(f)}$${\displaystyle H(f)}$${\displaystyle 1/T_{s}}$${\displaystyle \pm 1/2T_{s}}$

In der Praxis wird dieses Kriterium bei der Basisbandfilterung angewendet, indem die Symbolfolge als gewichtete Impulse ( Dirac-Delta-Funktion ) betrachtet wird. Erfüllen die Basisbandfilter im Kommunikationssystem das Nyquist-Kriterium, können Symbole über einen Kanal mit flachem Frequenzgang innerhalb eines begrenzten Frequenzbandes ohne Interferenz zwischen Symbolen (ISI) übertragen werden. Beispiele für solche Basisbandfilter sind der Raised-Cosine-Filter oder, im Idealfall, der Sinc-Filter .

Um das Kriterium herzuleiten, drücken wir zunächst das empfangene Signal durch das gesendete Symbol und die Kanalantwort aus. Sei h(t) die Kanalimpulsantwort , x [n] die zu sendenden Symbole mit einer Symbolperiode von T _s ; das empfangene Signal y(t) hat dann die Form (wobei Rauschen der Einfachheit halber vernachlässigt wurde):

${\displaystyle y(t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]\cdot h(t-nT_{s})}$Die

Durch Abtastung dieses Signals in Intervallen von T _s können wir y(t) als diskrete Zeitgleichung ausdrücken:

${\displaystyle y[k]=y(kT_{s})=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]\cdot h[kn]}$Die

Wenn wir den h[0] -Term der Summe separat schreiben, können wir dies wie folgt ausdrücken:

${\displaystyle y[k]=x[k]\cdot h[0]+\sum _{n\neq k}x[n]\cdot h[kn]}$,

Daraus können wir schließen, dass, wenn eine Antwort h[n] die folgende Bedingung erfüllt

${\displaystyle h[n]={\begin{cases}1;&n=0\\0;&n\neq 0\end{cases}}}$,

Nur ein gesendetes Symbol beeinflusst das empfangene y[k] zu jedem Abtastzeitpunkt, wodurch jegliche Interferenz zwischen Symbolen (ISI) beseitigt wird. Dies ist die Bedingung im Zeitbereich für einen ISI-freien Kanal. Nun suchen wir eine entsprechende Formulierung im Frequenzbereich . Wir beginnen damit, diese Bedingung im kontinuierlichen Zeitbereich auszudrücken:

${\displaystyle h(nT_{s})={\begin{cases}1;&n=0\\0;&n\neq 0\end{cases}}}$

Für alle ganzen Zahlen n multiplizieren wir ein solches h(t) mit einer Summe von Dirac-Delta-Funktionen (Impulsen) im Abstand von T _s. Dies entspricht der Abtastung der Antwort wie oben beschrieben, jedoch unter Verwendung eines kontinuierlichen Zeitausdrucks. Die rechte Seite der Bedingung kann dann als ein Impuls im Ursprung ausgedrückt werden: ${\displaystyle n}$${\displaystyle \delta (t)}$

${\displaystyle h(t)\cdot \sum _{k=-\infty }^{+\infty }\delta (t-kT_{s})=\delta (t)}$

Durch Fourier-Transformation beider Seiten dieser Beziehung erhalten wir:

${\displaystyle H\left(f\right)*{\frac {1}{T_{s}}}\sum _{k=-\infty }^{+\infty }\delta \left(f-{\frac {k}{T_{s}}}\right)=1}$

Und

${\displaystyle {\frac {1}{T_{s}}}\sum _{k=-\infty }^{+\infty }H\left(f-{\frac {k}{T_{s}}}\right)=1}$Die

Dies ist das Nyquist-ISI-Kriterium, und wenn eine Kanalantwort dieses Kriterium erfüllt, dann gibt es keine ISI zwischen den verschiedenen Abtastwerten.

• Nyquist-Rate
• Impulsformung
• Root-Raised-Cosine-Filter
• Harry Nyquist

• John G. Proakis , „ Digitale Kommunikation “, 3. Auflage, McGraw-Hill Book Co., 1995. ISBN 0-07-113814-5
• Behzad Razavi , „ RF Microelectronics “, Prentice-Hall, Inc., 1998. ISBN 0-13-887571-5