Nyquist-Rate

In der Signalverarbeitung entspricht die Nyquist-Frequenz dem Doppelten der höchsten Frequenz ( Bandbreite ) einer gegebenen Funktion oder eines Signals. Sie ist nach Harry Nyquist benannt und wird in Abtastwerten pro Zeiteinheit (dp/s) oder Hertz (Hz) angegeben . [ 1 ^{] Bei einer} höheren Abtastrate ist die resultierende diskrete Zeitfolge frei von der als Aliasing bekannten Verzerrung. Umgekehrt ist die Nyquist-Frequenz bei gegebener Abtastrate halb so groß wie diese. Die Nyquist-Frequenz ist eine Eigenschaft eines kontinuierlichen Signals , während die Nyquist-Frequenz eine Eigenschaft eines diskreten Systems ist.

Der Begriff Nyquist-Rate wird auch in einem anderen Kontext mit der Einheit Symbole pro Sekunde verwendet, was dem Forschungsgebiet von Harry Nyquist entspricht. In diesem Kontext stellt sie eine obere Grenze für die Symbolrate in einem bandbreitenbegrenzten Basisbandkanal wie einer Telegrafenleitung ^{[ 2 ]} oder einem Durchlassbandkanal wie einem begrenzten Funkfrequenzband oder einem Frequenzmultiplexkanal dar .

Wird eine stetige Funktion mit einer konstanten Abtastrate ^von Abtastwerten pro Sekunde abgetastet , existieren stets unendlich viele weitere stetige Funktionen, die zu derselben Abtastrate passen. Nur eine davon ist jedoch auf Zyklen pro Sekunde ( Hz ) begrenzt , was bedeutet, dass ihre Fouriertransformierte für alle Abtastwerte gleich ist ^. Die mathematischen Algorithmen, die üblicherweise zur Rekonstruktion einer stetigen Funktion aus Abtastwerten verwendet werden ,   erzeugen beliebig gute Näherungen dieser theoretischen, aber unendlich langen Funktion. Daraus folgt: Ist die ursprüngliche Funktion auf begrenzt (das sogenannte Nyquist-Kriterium) ^, so ist sie die einzige Funktion, die von den Interpolationsalgorithmen approximiert wird. Bezogen auf die Bandbreite einer Funktion , wie hier dargestellt, wird das Nyquist-Kriterium oft als bezeichnet. Für Funktionen mit Bandbreite wird   als Nyquist-Rate bezeichnet. Wird das Nyquist-Kriterium nicht erfüllt ( z . B. ), tritt Aliasing auf, was zu unvermeidlichen Unterschieden zwischen der ursprünglichen Funktion und einer rekonstruierten Funktion mit geringerer Bandbreite führt. In den meisten Fällen werden diese Unterschiede als Verzerrung interpretiert. ${\displaystyle x(t),}$${\displaystyle f_{s}}$${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}f_{s}}$${\displaystyle X(f),}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle |f|\geq {\tfrac {1}{2}}f_{s}.}$${\displaystyle x(t),}$${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}f_{s},}$${\displaystyle (B),}$${\displaystyle f_{s}>2B.}$${\displaystyle 2B}$${\displaystyle B.}$${\displaystyle (}$${\displaystyle B>{\tfrac {1}{2}}f_{s}),}$${\displaystyle x(t)}$

Abbildung 3 zeigt eine Funktion, die als Basisband- oder Tiefpassfunktion bezeichnet wird , da ihr positiver Frequenzbereich mit signifikanter Energie im Intervall [0,  B ) liegt. Liegt der Frequenzbereich hingegen im Bereich ( A ,  A + B ) für ein A  >  B , spricht man von einer Bandpassfunktion . Ein häufiges Anliegen (aus verschiedenen Gründen) ist die Umwandlung in eine Basisbandfunktion. Eine Möglichkeit hierfür ist die Frequenzmischung ( Heterodyn -Synthese ), bei der die Bandpassfunktion auf den Frequenzbereich (0,  B ) heruntergefiltert wird. Ein möglicher Grund dafür ist die Reduzierung der Nyquist-Frequenz für eine effizientere Speicherung. Es zeigt sich, dass man dasselbe Ergebnis direkt erzielen kann, indem man die Bandpassfunktion mit einer Abtastrate unterhalb der Nyquist-Frequenz abtastet. Diese Abtastrate ist das kleinste ganzzahlige Teilvielfache der Frequenz A , das das Basisband-Nyquist-Kriterium erfüllt: f _{_s}  > 2B . Für eine allgemeinere Erläuterung siehe Bandpass-Abtastung .

Lange bevor Harry Nyquist mit der Abtastung in Verbindung gebracht wurde, wurde der Begriff Nyquist-Intervall anders verwendet, nämlich mit einer Bedeutung, die dem, was Nyquist tatsächlich untersuchte, näherkam. Harold S. Black zitiert dazu in seinem 1953 erschienenen Buch „Modulation Theory“ im Abschnitt „Nyquist-Intervall“ des ersten Kapitels „Historischer Hintergrund“:

„Wenn der essentielle Frequenzbereich auf B Zyklen pro Sekunde begrenzt ist, gab Nyquist 2 ^B als maximale Anzahl von Codeelementen pro Sekunde an, die eindeutig aufgelöst werden können, vorausgesetzt, die maximale Interferenz beträgt weniger als einen halben Quantenschritt. Diese Rate wird allgemein als Signalisierung mit der Nyquist-Rate bezeichnet , und 1/(2^B ) wird als Nyquist-Intervall bezeichnet .“ (Hervorhebung hinzugefügt; Kursivschrift aus dem Original)

B bezieht sich in diesem Zusammenhang auf das Nyquist-ISI-Kriterium und bezeichnet die einseitige Bandbreite, nicht die Gesamtbandbreite, wie sie später verwendet wird.

Laut OED könnte Blacks Aussage bezüglich 2 B der Ursprung des Begriffs Nyquist-Rate sein . ^{[ 3 ]}

Nyquists berühmte Arbeit von 1928 untersuchte, wie viele Impulse (Codeelemente) pro Sekunde über einen Kanal mit begrenzter Bandbreite übertragen und empfangen werden können. ^{[ 4 ]} Die Signalisierung mit der Nyquist-Rate bedeutete, so viele Codeimpulse durch einen Telegrafenkanal zu senden, wie dessen Bandbreite zuließ. Shannon nutzte Nyquists Ansatz, als er 1948 das Abtasttheorem bewies , Nyquist selbst befasste sich jedoch nicht mit der Abtastung an sich.

In Blacks späterem Kapitel über das „Abtastprinzip“ wird Nyquist ein Teil der Anerkennung für einige relevante mathematische Erkenntnisse zugeschrieben:

Nyquist (1928) wies darauf hin, dass, wenn die Funktion im Wesentlichen auf das Zeitintervall T beschränkt ist , 2 BT- Werte ausreichen , um die Funktion zu spezifizieren, und stützte seine Schlussfolgerungen auf eine Fourierreihendarstellung der Funktion über das Zeitintervall T.

• Nyquist-Frequenz
• Nyquist-ISI-Kriterium
• Nyquist-Shannon-Abtasttheorem
• Abtastung (Signalverarbeitung)