Winkel

In der Geometrie wird ein Winkel von zwei Geraden gebildet , die sich in einem Punkt schneiden. ^{[ 1 ]} Jede Gerade wird als Schenkel des Winkels bezeichnet, der gemeinsame Punkt als Scheitelpunkt . ^{[ 2 ] [ 3 ]} Der Begriff „Winkel“ bezeichnet sowohl geometrische Figuren als auch deren Größe . Die Begriffe „Winkelmaß“ oder „ Winkelmessung“ werden mitunter verwendet, um zwischen der Messung der Größe und der Figur selbst zu unterscheiden. Die Winkelmessung ist eng mit Kreisen und Drehungen verbunden und wird oft mithilfe des Kreisbogens visualisiert oder definiert, dessen Mittelpunkt im Scheitelpunkt liegt und der zwischen den Schenkeln verläuft.

Es gibt keine allgemein anerkannte Definition des Winkels. ^{[ 4 ]} Winkel können auf vielfältige Weise konzipiert und verwendet werden, und obwohl für bestimmte Kontexte gültige Definitionen gegeben werden können, ist es schwierig, eine einzige formale Definition zu formulieren, die alle Aspekte des allgemeinen Winkelbegriffs vollständig und zufriedenstellend erfasst . ^{[ 5 ]}

Eine gängige Definition besagt, dass ein Winkel eine Figur ist , die aus zwei Strahlen besteht, die in einer Ebene liegen und einen gemeinsamen Endpunkt haben. Alternativ kann ein Winkel bei einer solchen Figur auch definiert werden als: die Öffnung zwischen den Strahlen; die Fläche der Ebene , die zwischen den Strahlen liegt; oder der Drehwinkel des einen Strahls um den Scheitelpunkt des anderen.

Allgemeiner werden Winkel auch überall dort gebildet, wo zwei Liniensegmente aufeinandertreffen, beispielsweise an den Ecken von Dreiecken und anderen Polygonen ^{[ 2 ]} oder am Schnittpunkt zweier Ebenen oder Kurven , wobei in diesem Fall die Strahlen, die tangential zu jeder Kurve im Schnittpunkt verlaufen, den Winkel definieren. ^{[ 6 ]}

Es ist üblich anzunehmen, dass die Schenkel des Winkels die Ebene in zwei Bereiche unterteilen, die als Winkelinneres und Winkeläußeres bezeichnet werden . Das Winkelinnere wird auch als Winkelsektor bezeichnet . ^{[ 7 ] [ 8 ] [ a ]}

Winkel in geometrischen Figuren werden mit einem Winkelsymbol (∠ oder ∠, gesprochen „Winkel“) und einem oder drei definierenden Punkten gekennzeichnet. Beispielsweise wird der Winkel mit Scheitelpunkt A, der von den Schenkeln ∠ und ∠A gebildet wird , als ∠A (nur mit dem Scheitelpunkt) oder ∠B (mit dem Scheitelpunkt immer in der Mitte) bezeichnet. Die Größe des Winkels wird mit θ oder δ angegeben . ${\displaystyle \angle }$${\displaystyle {\widehat {\quad }}}$${\displaystyle {\vec {\text{AB}}}}$${\displaystyle {\vec {\text{AC}}}}$${\displaystyle \angle {\text{A}}}$${\displaystyle \angle {\text{BAC}}}$${\displaystyle m\angle {\text{A}}}$${\displaystyle m\angle {\text{BAC}}}$

In geometrischen Figuren und mathematischen Ausdrücken ist es üblich, griechische Buchstaben ( α , β , γ , θ , φ , ...) oder Kleinbuchstaben des römischen Alphabets ( a ,  b ,  c , ...) als Variablen zu verwenden , um die Größe eines Winkels darzustellen. ^{[ 12 ]} Winkelmaße sind üblicherweise skalare Größen , ^{[ 13 ]} obwohl in der Physik und einigen Bereichen der Mathematik konventionsgemäß vorzeichenbehaftete Winkel verwendet werden, um die Drehrichtung anzugeben: positiv für gegen den Uhrzeigersinn, negativ für im Uhrzeigersinn. ^{[ 14 ]}

Winkel werden in verschiedenen Einheiten gemessen, am gebräuchlichsten sind Grad ( ° ), Radiant (rad ) und Drehung . Diese Einheiten unterscheiden sich in der Art und Weise, wie sie einen vollen Winkel unterteilen , also einen Winkel, bei dem ein Strahl, der anfänglich kongruent zum anderen ist, eine vollständige Drehung um den Scheitelpunkt ausführt, um wieder in seine Ausgangsposition zurückzukehren . ^{[ 15 ]}

Grad und Umdrehungen werden direkt in Bezug auf einen vollen Winkel definiert, der einer Umdrehung oder 360° entspricht. ^{[ 16 ]} Eine Angabe in Umdrehungen gibt die Größe eines Winkels als Anteil eines vollen Winkels an, und ein Grad kann als Unterteilung einer Umdrehung betrachtet werden. Radiant wird nicht direkt in Bezug auf einen vollen Winkel definiert (siehe § Winkelmessung ), sondern so, dass sein Maß 2π rad  , ungefähr 6,28 rad, beträgt. ^{[ 17 ]}

Historisch gesehen wurde die Gradeinheit so gewählt, dass dem gestreckten Winkel oder der Hälfte des vollen Winkels der Wert 180 zugeordnet wurde.

Das Winkeladditionsaxiom besagt, dass, wenn D ein Punkt im Inneren von θ ist, gilt: ^{[ 18 ]} Diese Beziehung definiert die Addition zweier Winkel: Ihre Scheitelpunkte werden zusammengelegt, wobei sie eine gemeinsame Seite haben, um einen neuen, größeren Winkel zu bilden. Das Maß des neuen, größeren Winkels ist die Summe der Maße der beiden Winkel. Die Subtraktion ergibt sich durch Umstellen der Formel. ^{[ 18 ]}${\displaystyle \angle {\text{BAC}}}$$${\displaystyle m\angle {\text{BAC}}=m\angle {\text{BAD}}+m\angle {\text{DAC}}.}$$

• Ein Winkel von 0° oder ein nicht gedrehter Winkel wird als Nullwinkel bezeichnet . ^{[ 19 ]}
• Ein Winkel, der kleiner als ein rechter Winkel ist (weniger als 90°), wird als spitzer Winkel bezeichnet . ^{[ 20 ]}
• Ein Winkel gleich ⁠1/4⁠  drehen (90° oder ⁠π/2Ein Winkel von rad  wird als rechter Winkel bezeichnet . Zwei Geraden, die einen rechten Winkel bilden, heißen normal , orthogonal oder senkrecht zueinander . ^{[ 21 ]}
• Ein Winkel, der größer als ein rechter Winkel und kleiner als ein gestreckter Winkel ist (zwischen 90° und 180°), wird als stumpfer Winkel bezeichnet ^{[ 20 ]} (stumpf bedeutet „stumpf“).
• Ein Winkel gleich ⁠1/2Eine  Drehung (180° oder π  rad) wird als gestreckter Winkel bezeichnet . ^{[ 19 ]}
• Ein Winkel, der größer als ein gestreckter Winkel, aber kleiner als eine Umdrehung ist (zwischen 180° und 360°), wird als überstumpfer Winkel bezeichnet .
• Ein Winkel, der einer Umdrehung (360° oder 2 π rad) entspricht , wird als Vollwinkel , vollständiger Winkel , runder Winkel oder Perigon  bezeichnet .
• Ein Winkel, der kein Vielfaches eines rechten Winkels ist, wird als schiefer Winkel bezeichnet .

Nebenwinkel (abgekürzt adj. ∠s ) sind Winkel, die einen gemeinsamen Scheitelpunkt und eine gemeinsame Kante haben, aber keine gemeinsamen inneren Punkte besitzen. Anders ausgedrückt: Es handelt sich um nebeneinanderliegende oder anliegende Winkel, die einen gemeinsamen Schenkel besitzen.

Scheitelwinkel entstehen, wenn sich zwei Geraden in einem Punkt schneiden und dabei vier Winkel bilden. Zwei einander gegenüberliegende Winkel werden Scheitelwinkel genannt (abgekürzt vert. opp. ∠s ) ^{[ 22 ].} „Scheibenwinkel“ bezieht sich dabei auf den gemeinsamen Scheitelpunkt und nicht auf die Ausrichtung (oben/unten). Ein Satz besagt, dass Scheitelwinkel immer kongruent oder gleich groß sind.[ 23 ] ^{Eine Transversale ist} eine Gerade , die zwei (oft parallele) Geraden schneidet und mit Außenwinkeln , Innenwinkeln , Wechselaußenwinkeln , Wechselinnenwinkeln , Stufenwinkeln und Nebenwinkeln in Verbindung steht . ^{[ 24 ]}

Bei der Addition zweier Winkel (ob benachbart oder räumlich getrennt) werden drei Sonderfälle als Komplementärwinkel , Supplementärwinkel und Exponentialwinkel bezeichnet .

Komplementärwinkel sind Winkelpaare, deren Maße zusammen einen rechten Winkel ergeben ( ⁠1/4⁠ drehen, 90°, oder ⁠π/2Wenn zwei komplementäre Winkel aneinandergrenzen, bilden ihre nicht gemeinsamen Schenkel einen rechten Winkel. In einem rechtwinkligen Dreieck sind die beiden spitzen Winkel komplementär, da die Summe der Innenwinkel eines Dreiecks 180° beträgt. Die Differenz zwischen einem Winkel und einem rechten Winkel wird als Komplement des Winkels bezeichnet . ^{[ 6 ]}

Nebenwinkel ergeben zusammen einen gestreckten Winkel ( ⁠1/2Drehung , 180° oder π rad). Liegen die beiden Nebenwinkel nebeneinander , bilden ihre nicht gemeinsamen Schenkel einen gestreckten Winkel bzw. eine Gerade und werden als Nebenwinkelpaar bezeichnet . ^{[ 25 ]} Die Differenz zwischen einem Winkel und einem gestreckten Winkel wird als Nebenwinkel des Winkels bezeichnet. ^{[ 26 ]}

Explementärwinkel oder konjugierte Winkel ergeben zusammen einen vollen Winkel (1 Umdrehung, 360° oder 2π Radiant ). ^{[ 27 ]} Die Differenz zwischen einem Winkel und einem vollen Winkel wird als Explementärwinkel oder konjugierter Winkelbezeichnet ^{. [ 28 ] [ 29 ]}

Beispiele für nicht benachbarte Nebenwinkel sind die benachbarten Winkel eines Parallelogramms und die gegenüberliegenden Winkel eines Sehnenvierecks . Bei einem Kreis mit Mittelpunkt O und Tangenten von einem äußeren Punkt P, die den Kreis in den Punkten T und Q berühren, sind die resultierenden Winkel ∠TPQ und ∠TOQ Nebenwinkel.

• 
  Die Winkel aund bsind komplementäre Winkel.
• 
  Die Winkel aund bsind Nebenwinkel .
• 
  Winkel AOBund CODsind ergänzende oder konjugierte Winkel.

• Ein Winkel, der Teil eines einfachen Polygons ist, wird als Innenwinkel bezeichnet, wenn er innerhalb dieses einfachen Polygons liegt. Ein einfaches konkaves Polygon besitzt mindestens einen Innenwinkel, also einen überstumpfen Winkel.
  In der euklidischen Geometrie beträgt die Summe der Innenwinkel eines Dreiecks π Radiant, 180° oder ⁠1/2Die Summe der Innenwinkel eines einfachen konvexen Vierecks beträgt 2π Radiant, 360° oder 1 Umdrehung. Im Allgemeinen beträgt die Summe der Innenwinkel eines einfachen konvexen Polygons mit n Seiten ( n −  2) π Radiant  oder ( n  − 2)180°, ( n  − 2)2 rechte Winkel oder ( n  − 2) ⁠1/2⁠  drehen.
• Der Nebenwinkel eines Innenwinkels wird Außenwinkel genannt ; das heißt, ein Innenwinkel und ein Außenwinkel bilden ein lineares Winkelpaar . An jedem Eckpunkt des Polygons befinden sich zwei Außenwinkel, die jeweils durch Verlängerung einer der beiden Seiten des Polygons, die sich an diesem Eckpunkt treffen, bestimmt werden; diese beiden Winkel sind Scheitelwinkel und daher gleich groß. Ein Außenwinkel gibt an, wie stark man einen Eckpunkt drehen muss, um das Polygon nachzuzeichnen. ^{[ 30 ]} Ist der zugehörige Innenwinkel ein überstumpfer Winkel, so ist der Außenwinkel negativ . Selbst in einem nicht einfachen Polygon kann der Außenwinkel definiert werden. Dennoch muss man eine Orientierung der Ebene (oder Fläche ) wählen, um das Vorzeichen des Außenwinkels festzulegen.
  In der euklidischen Geometrie entspricht die Summe der Außenwinkel eines einfachen konvexen Polygons einer vollen Umdrehung (360°), wenn man an jedem Eckpunkt nur einen der beiden Außenwinkel betrachtet. Dieser Außenwinkel wird als Nebenwinkel bezeichnet . Außenwinkel werden häufig in Logo Turtle-Programmen beim Zeichnen regelmäßiger Polygone verwendet.
• In einem Dreieck schneiden sich die Winkelhalbierenden zweier Außenwinkel und die Winkelhalbierende des dritten Innenwinkels in einem Punkt. ^{[ 31 ] : 149}
• In einem Dreieck liegen drei Schnittpunkte, die jeweils die Winkelhalbierende der gegenüberliegenden verlängerten Seite bilden , auf einer Geraden . ^{[ 31 ] : 149}
• In einem Dreieck liegen drei Schnittpunkte auf einer Geraden: zwei zwischen einer Innenwinkelhalbierenden und der gegenüberliegenden Seite sowie der dritte zwischen der anderen Außenwinkelhalbierenden und der verlängerten gegenüberliegenden Seite. ^{[ 31 ] : 149}
• Manche Autoren verwenden den Begriff „ Außenwinkel eines einfachen Polygons“ synonym mit dem erweiterten Außenwinkel ( nicht dem Supplementwinkel!) des Innenwinkels. ^{[ 32 ]} Dies steht im Widerspruch zur obigen Verwendung.

• Der Winkel zwischen zwei Ebenen (z. B. zwei benachbarten Flächen eines Polyeders ) wird als Diederwinkel bezeichnet . ^{[ 6 ]} Er kann als der spitze Winkel zwischen zwei Geraden definiert werden, die senkrecht auf den Ebenen stehen.
• Der Winkel zwischen einer Ebene und einer sich schneidenden Geraden ist komplementär zum Winkel zwischen der sich schneidenden Geraden und der Normalen zur Ebene.

Winkelmessung umfasst sowohl die direkte physikalische Messung mit einem Messinstrument wie einem Winkelmesser als auch die theoretische Berechnung der Winkelgröße aus anderen bekannten Größen. Obwohl die Winkelmessung eng mit Rotation und Kreisen verknüpft ist, gibt es verschiedene Auffassungen darüber, was genau gemessen wird, darunter unter anderem: der Drehwinkel um den Scheitelpunkt eines Strahls zum anderen; ^{[ 33 ]} der Öffnungswinkel zwischen den Strahlen; ^{[ 34 ]} oder die Länge des Bogens, der den Winkel im Mittelpunkt eines Einheitskreises einschließt. ^{[ 35 ]}

Die Winkelmessung unterscheidet sich grundlegend von der Messung anderer physikalischer Größen wie beispielsweise Längen. ^{[ 36 ]} Winkel von besonderer Bedeutung (wie der rechte Winkel) prägen die Systeme und Einheiten der Winkelmessung, was bei Längenmessungen nicht der Fall ist, da die Maßeinheiten (Meter, Fuß) willkürlich sind.

Grundsätzlich gibt es zwei Ansätze zur Winkelmessung: die Winkelmessung relativ zu einem Referenzwinkel (wie z. B. einem rechten Winkel) und die Kreiswinkelmessung.

Ein gewählter Referenzwinkel (rechter Winkel, gestreckter Winkel oder voller Winkel) kann in gleiche Teile geteilt werden, und die Größe eines Teils wird als Maßeinheit für andere Winkel verwendet.

Bei der gebräuchlichsten Methode der praktischen Winkelmessung wird ein rechter Winkel in 90 gleiche Teile, sogenannte Grad , unterteilt , während er im selten verwendeten Centesimalsystem in 100 gleiche Teile, sogenannte Gon, unterteilt wird . ^{[ 37 ] [ 38 ]}

Bei der Kreismessung wird ein Winkel innerhalb eines Kreises beliebiger Größe platziert, wobei der Scheitelpunkt im Mittelpunkt des Kreises liegt und die Schenkel den Umfang schneiden.

Zwischen den beiden Schnittpunkten entsteht ein Kreisbogen der Länge s , der den Winkel einschließt . Die Länge s kann zur Messung der Winkelgröße θ verwendet werden. Da s jedoch von der Größe des gewählten Kreises abhängt, muss das Maß skaliert werden. Dies geschieht durch die Berechnung des Verhältnisses von s zum Radius r oder zum Umfang C des Kreises.

Das Verhältnis der Länge s zum Radius r ist die Anzahl der Radiant im Winkel, ^{[ 35 ]} während das Verhältnis der Länge s zum Umfang C die Anzahl der Windungen ist : $${\displaystyle \theta ={\frac {s}{r}}\,\mathrm {rad} ={\frac {s}{C}}\,\mathrm {turn} ={\frac {s}{2\pi r}}\,\mathrm {turn} }$$

Der so definierte Wert von θ ist unabhängig von der Größe des Kreises: Wenn die Länge des Radius geändert wird, ändern sich sowohl der Umfang als auch die Bogenlänge im gleichen Verhältnis, sodass die VerhältnisseS/Rund​​S/Csind unverändert. [ ^{nb 1 ]}

Das VerhältnisS/Rwird als „Radiantenmaß“ ^{[ 18 ]} oder „Kreismaß“ ^{[ 39 ] [ 38 ] [ 40 ]} eines Winkels bezeichnet, wird aber auch zur Definition einer Maßeinheit namens Radiant verwendet, die als ein Winkel definiert ist, für den das VerhältnisS/R⁠ = 1. ^{[ 39 ]} Somit ist die Messung eines Winkels gegeben durch ⁠S/RDer Winkel kann auf zwei Arten betrachtet werden: erstens als Maß anhand der Proportionen des Winkels selbst (Verhältnis von Bogenlänge zu Radius) oder zweitens als Anzahl der Einheiten im Winkel (Verhältnis der Bogenlänge des gemessenen Winkels zur Bogenlänge des Einheitswinkels). ^{[ 41 ] [ 38 ]}

Die folgende Tabelle listet einige bemerkenswerte Einheiten auf, die zur Darstellung von Winkeln verwendet werden.

In der Mathematik und im Internationalen Größensystem (SI ) ist ein Winkel als dimensionslose Größe definiert ^{[ 42 ]} , insbesondere das Radiant im Internationalen Einheitensystem (SI ) ^{[ 43 ]} . Diese Konvention verhindert, dass Winkel Informationen für die Dimensionsanalyse liefern . Misst man beispielsweise einen Winkel im Radiant, indem man die Bogenlänge durch den Radius teilt, teilt man im Wesentlichen eine Länge durch eine andere, und die Längeneinheiten heben sich gegenseitig auf. Daher besitzt das Ergebnis – der Winkel – keine physikalische „Dimension“ wie Meter oder Sekunden ^{[ 44 ]} . Dies gilt für alle Winkeleinheiten wie Radiant, Grad oder Umdrehungen – sie alle repräsentieren eine reine Zahl, die quantifiziert, wie weit sich etwas gedreht hat ^{[ 45 ]} . Aus diesem Grund scheinen Winkeleinheiten in vielen Gleichungen während der Berechnungen zu „verschwinden“, was inkonsistent wirkt und zu Verwechslungen von Winkeleinheiten führen kann ^{[ 46 ] [ 47 ] .}

Dies hat zu intensiven Diskussionen unter Wissenschaftlern und Pädagogen geführt. Einige Wissenschaftler schlugen vor, dem Winkel eine eigene fundamentale Dimension zuzuerkennen, ähnlich wie Länge oder Zeit. ^{[ 48 ]} Dies würde bedeuten, dass Winkeleinheiten wie Radiant in Berechnungen stets explizit verwendet würden, was die Dimensionsanalyse erleichtern würde. Allerdings müsste dieser Ansatz auch viele bekannte mathematische und physikalische Formeln ändern, wodurch sie länger und möglicherweise etwas weniger vertraut würden. ^{[ 49 ]} Derzeit ist es üblich, Winkeleinheiten gegebenenfalls anzugeben, sie aber als dimensionslos zu betrachten, wohl wissend, dass diese Einheiten zwar wichtig sind, sich aber anders verhalten als Meter oder Kilogramm. ^{[ 50 ]}

Ein Winkel ∠BAC kann sich auf vier verschiedene Winkel beziehen: den Winkel im Uhrzeigersinn von B nach C um A, den Winkel gegen den Uhrzeigersinn von B nach C um A, den Winkel im Uhrzeigersinn von C nach B um A oder den Winkel gegen den Uhrzeigersinn von C nach B um A. Daher ist es oft hilfreich, eine Konvention einzuführen, die es ermöglicht, dass positive und negative Winkelwerte Orientierungen und/oder Drehungen in entgegengesetzte Richtungen oder „Sinn“ relativ zu einem Bezugspunkt darstellen.

In einem zweidimensionalen kartesischen Koordinatensystem wird ein Winkel typischerweise durch seine beiden Schenkel definiert, wobei sein Scheitelpunkt im Ursprung liegt. Der Anfangsschenkel liegt auf der positiven x-Achse , während der andere Schenkel, der sogenannte Endpunkt, durch das Maß vom Anfangsschenkel in Radiant, Grad oder Umdrehungen definiert wird. Positive Winkel entsprechen Drehungen zur positiven y-Achse , negative Winkel Drehungen zur negativen y -Achse. Bei der Darstellung kartesischer Koordinaten durch die Standardposition , definiert durch die x -Achse nach rechts und die y- Achse nach oben, erfolgen positive Drehungen gegen den Uhrzeigersinn und negative Drehungen im Uhrzeigersinn .

In vielen Kontexten entspricht ein Winkel von −θ praktisch einem Winkel von „einer vollen Umdrehung minus θ “. Beispielsweise ist eine Orientierung von −45° praktisch gleich einer Orientierung von 360° − 45° oder 315°. Obwohl die Endposition dieselbe ist, ist eine physikalische Drehung (Bewegung) von −45° nicht dasselbe wie eine Drehung von 315° (beispielsweise würde die Drehung einer Person, die einen Besen auf einem staubigen Boden hält, optisch unterschiedliche Spuren der gefegten Bereiche hinterlassen).

In der dreidimensionalen Geometrie haben „im Uhrzeigersinn“ und „gegen den Uhrzeigersinn“ keine absolute Bedeutung, daher muss die Richtung positiver und negativer Winkel anhand einer Orientierung definiert werden , die typischerweise durch einen Normalenvektor bestimmt wird , der durch den Scheitelpunkt des Winkels verläuft und senkrecht zu der Ebene steht, in der die Strahlen des Winkels liegen.

In der Navigation werden Peilungen oder Azimute relativ zu Norden gemessen. Konventionsgemäß sind Peilwinkel , von oben betrachtet, im Uhrzeigersinn positiv, sodass eine Peilung von 45° einer Nordostrichtung entspricht. Negative Peilungen werden in der Navigation nicht verwendet; eine Nordwestrichtung entspricht daher einer Peilung von 315°.

• Winkel mit gleichem Maß (d. h. gleicher Größe) werden als gleich oder kongruent bezeichnet . Ein Winkel ist durch sein Maß definiert und hängt nicht von den Längen seiner Schenkel ab (z. B. sind alle rechten Winkel gleich groß).
• Zwei Winkel, die gemeinsame Endschenkel haben, sich aber in ihrer Größe um ein ganzzahliges Vielfaches einer Umdrehung unterscheiden, werden koterminale Winkel genannt .
• Der Referenzwinkel (manchmal auch verwandter Winkel genannt ) für einen beliebigen Winkel θ in Standardlage ist der positive spitze Winkel zwischen dem Endschenkel von θ und der x-Achse (positiv oder negativ). ^{[ 51 ]} Die Größe des Referenzwinkels für einen gegebenen Winkel kann verfahrenstechnisch bestimmt werden, indem man den Betrag des Winkels modulo ⁠ bildet.1/2Dreht man einen Winkel um 180° oder π Radiant, stoppt man, falls er spitz ist, und nimmt andernfalls den Nebenwinkel (180° minus dem reduzierten Betrag). Beispielsweise ist ein Winkel von 30° bereits ein Referenzwinkel, und auch ein Winkel von 150° hat einen Referenzwinkel von 30° ( 180° − 150° ). Winkel von 210° und 510° entsprechen ebenfalls einem Referenzwinkel von 30° ( 210° mod 180° = 30° , 510° mod 180° = 150°, deren Nebenwinkel 30° beträgt).

Für eine Winkeleinheit gilt definitionsgemäß das Winkeladditionsaxiom ; allerdings werden einige Messungen oder Größen im Zusammenhang mit Winkeln verwendet, die dieses Assuffizienz nicht erfüllen:

• Die Steigung entspricht dem Tangens des Winkels und wird oft als Prozentsatz angegeben („Höhenunterschied geteilt durch horizontale Entfernung“). Bei sehr kleinen Werten (unter 5 %) entspricht die Steigung einer Geraden annähernd dem Winkel in Radiant zur Horizontalen. Das Höhengefälle wird verwendet , um die Steilheit von Straßen, Wegen und Eisenbahnstrecken anzugeben.
• In der rationalen Geometrie ist der Abstand zwischen zwei Geraden als das Quadrat des Sinus des Winkels zwischen den Geraden definiert. Da der Sinus eines Winkels und der Sinus seines Nebenwinkels gleich sind, führt jede Drehung um einen Winkel, die eine der Geraden auf die andere abbildet, zum gleichen Wert für den Abstand zwischen den Geraden.
• Obwohl dies selten vorkommt, kann man die direkten Ergebnisse trigonometrischer Funktionen angeben , wie zum Beispiel den Sinus des Winkels.

Der Winkel zwischen einer Geraden und einer Kurve (Mischwinkel) oder zwischen zwei sich schneidenden Kurven (Kurvenwinkel) ist definiert als der Winkel zwischen den Tangenten im Schnittpunkt. Verschiedene Bezeichnungen (heute kaum noch gebräuchlich) wurden für Sonderfälle verwendet: amphicyrtisch (griech. ἀμφί , beidseitig, κυρτός, konvex) oder cissoidal (griech. κισσός, Efeu), bikonvex; xystroidal oder sistroidal (griech. ξυστρίς, ein Werkzeug zum Schaben), konkav-konvex; amphicoelisch (griech. κοίλη, eine Mulde) oder angulus lunularis , bikonkav. ^{[ 52 ]}

Die antiken griechischen Mathematiker wussten, wie man einen Winkel mit Zirkel und Lineal halbiert (ihn in zwei gleich große Winkel teilt), konnten ihn aber nur für bestimmte Winkel dreiteilen. 1837 zeigte Pierre Wantzel , dass diese Konstruktion für die meisten Winkel nicht möglich ist.

Im euklidischen Raum ist der Winkel θ zwischen zwei euklidischen Vektoren u und v mit ihrem Skalarprodukt und ihren Längen durch die Formel verknüpft.$${\displaystyle \mathbf {u} \cdot \mathbf {v} =\cos(\theta )\left\|\mathbf {u} \right\|\left\|\mathbf {v} \right\|.}$$

Diese Formel liefert eine einfache Methode, um den Winkel zwischen zwei Ebenen (oder gekrümmten Oberflächen) aus ihren Normalenvektoren und zwischen windschiefen Geraden aus ihren Vektorgleichungen zu bestimmen.

Um Winkel in einem abstrakten reellen inneren Produktraum zu definieren , ersetzen wir das euklidische Skalarprodukt ( · ) durch das innere Produkt , d.h. ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$$${\displaystyle \langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle =\cos(\theta )\ \left\|\mathbf {u} \right\|\left\|\mathbf {v} \right\|.}$$

In einem komplexen inneren Produktraum kann der obige Ausdruck für den Kosinus nicht-reelle Werte liefern, daher wird er durch oder, häufiger, durch Verwendung des Absolutbetrags ersetzt. $${\displaystyle \operatorname {Re} \left(\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle \right)=\cos(\theta )\left\|\mathbf {u} \right\|\left\|\mathbf {v} \right\|.}$$$${\displaystyle \left|\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle \right|=\left|\cos(\theta )\right|\left\|\mathbf {u} \right\|\left\|\mathbf {v} \right\|.}$$

Die letztgenannte Definition ignoriert die Richtung der Vektoren. Sie beschreibt somit den Winkel zwischen eindimensionalen Unterräumen , die von den Vektoren und entsprechend aufgespannt werden. ${\displaystyle \operatorname {span} (\mathbf {u} )}$${\displaystyle \operatorname {span} (\mathbf {v} )}$${\displaystyle \mathbf {u} }$${\displaystyle \mathbf {v} }$

Die Definition des Winkels zwischen eindimensionalen Unterräumen in einem Hilbertraum , gegeben durch , lässt sich auf Unterräume endlicher Dimension erweitern. Gegeben seien zwei Unterräume , mit , so führt dies zu einer Definition von Winkeln zwischen Unterräumen, die als kanonische oder Hauptwinkel bezeichnet werden.${\displaystyle \operatorname {span} (\mathbf {u} )}$${\displaystyle \operatorname {span} (\mathbf {v} )}$$${\displaystyle \left|\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle \right|=\left|\cos(\theta )\right|\left\|\mathbf {u} \right\|\left\|\mathbf {v} \right\|}$$${\displaystyle {\mathcal {U}}}$${\displaystyle {\mathcal {W}}}$${\displaystyle \dim({\mathcal {U}}):=k\leq \dim({\mathcal {W}}):=l}$${\displaystyle k}$

In der Riemannschen Geometrie wird der metrische Tensor verwendet, um den Winkel zwischen zwei Tangenten zu definieren . Dabei sind U und V Tangentenvektoren und g _{_ij} die Komponenten des metrischen Tensors G.$${\displaystyle \cos \theta ={\frac {g_{ij}U^{i}V^{j}}{\sqrt {\left|g_{ij}U^{i}U^{j}\right|\left|g_{ij}V^{i}V^{j}\right|}}}.}$$

Ein hyperbolischer Winkel ist das Argument einer hyperbolischen Funktion, genau wie der Kreiswinkel das Argument einer Kreisfunktion ist . Man kann sich das anhand der Größe der Öffnungen eines hyperbolischen und eines Kreissektors vorstellen , da die Flächen dieser Sektoren jeweils den Winkelbeträgen entsprechen. ^{[ 53 ]} Im Gegensatz zum Kreiswinkel ist der hyperbolische Winkel unbeschränkt. Betrachtet man die Kreis- und Hyperbelfunktionen als unendliche Reihen in ihrem Winkelargument, so sind die Kreisfunktionen lediglich alternierende Reihen der Hyperbelfunktionen. Dieser Vergleich der beiden Reihen, die Winkelfunktionen entsprechen, wurde von Leonhard Euler in seiner „Einführung in die Analysis des Unendlichen “ (1748) beschrieben.

Das Wort „ Winkel“ stammt vom lateinischen Wort „angulus “ ab , was „Ecke“ bedeutet. Verwandte Wörter sind das griechische ἀγκύλος ( ankylos ) mit der Bedeutung „krumm, gebogen“ und das englische Wort „ ankle “. Beide sind mit der proto-indogermanischen Wurzel *ank- verwandt , die „biegen“ oder „sich verbeugen“ bedeutet. ^{[ 54 ]}

Philosophen debattieren seit Jahrtausenden über das Wesen von Winkeln. Einige argumentieren, Winkel seien ein Maß (eine Größe), andere sehen sie als eine durch die sie begrenzenden Linien definierte Form (eine qualitative Beziehung), und wieder andere behaupten, ein Winkel sei beides. ^{[ 55 ]} Pädagogisch gilt die Definition von Winkeln als Figuren als allgemein anerkannt. Das Maß eines Winkels ist die Anzahl der kongruenten, sich nicht überlappenden Kopien eines Einheitswinkels, die notwendig sind, um den Winkel und sein Inneres vollständig abzudecken. Winkel gelten als gleich groß und ähnlich oder kongruent in ihrer Form. ^{[ 56 ]}

Euklid definiert einen ebenen Winkel als die Neigung zweier Geraden zueinander in einer Ebene, die sich schneiden und nicht geradlinig zueinander verlaufen. Laut dem neuplatonischen Metaphysiker Proklos muss ein Winkel entweder eine Eigenschaft, eine Größe oder eine Beziehung sein. Das erste Konzept, Winkel als Eigenschaft, wurde von Eudemos von Rhodos verwendet , der einen Winkel als Abweichung von einer Geraden betrachtete ; das zweite, Winkel als Größe, von Karpus von Antiochia , der ihn als den Abstand oder Raum zwischen den sich schneidenden Geraden ansah; Euklid übernahm das dritte: Winkel als Beziehung. ^{[ 57 ]}

Die Gleichheit von Scheitelwinkeln wird als Scheitelwinkelsatz bezeichnet . Eudemus von Rhodos schrieb den Beweis Thales von Milet zu . ^{[ 58 ] [ 23 ]} Der Satz zeigte, dass Scheitelwinkel gleich groß sind, da beide Winkel eines Paares von Scheitelwinkeln Nebenwinkel zu beiden anliegenden Winkeln sind. Laut einer historischen Notiz ^{[ 23 ]} beobachtete Thales bei einem Besuch in Ägypten, dass die Ägypter immer dann die Scheitelwinkel maßen, wenn sie zwei sich schneidende Geraden zeichneten, um sicherzustellen, dass sie gleich groß waren. Thales schloss daraus, dass man beweisen könne, dass alle Scheitelwinkel gleich groß sind, wenn man einige allgemeine Vorstellungen akzeptiere, wie zum Beispiel:

• Alle gestreckten Winkel sind gleich.
• Gleiches zu Gleichem addiert ergibt Gleiches.
• Gleiches subtrahiert man von Gleichem, erhält man das gleiche Ergebnis.

Wenn zwei benachbarte Winkel eine Gerade bilden, sind sie supplementär. Wenn wir also annehmen, dass Winkel A gleich x ist, dann ist Winkel C gleich 180° − x . Analog dazu ist Winkel D gleich 180° − x . Sowohl Winkel C als auch Winkel D haben ein Maß von 180° − x und sind kongruent. Da Winkel B supplementär zu Winkel C und Winkel D ist , kann jedes dieser Winkelmaße verwendet werden, um Winkel B zu bestimmen . Mit dem Maß von Winkel C oder Winkel D ergibt sich für Winkel B : 180° − (180° − x ) = x . Daher sind Winkel A und Winkel B gleich groß und haben beide das Maß x .

In der Geographie lässt sich der Standort jedes Punktes auf der Erde mithilfe eines geographischen Koordinatensystems bestimmen . Dieses System gibt die geografische Breite und Länge eines jeden Ortes anhand der Winkel an, die vom Erdmittelpunkt aus betrachtet werden, wobei der Äquator und (üblicherweise) der Greenwich-Meridian als Bezugspunkte dienen.

In der Astronomie lässt sich ein bestimmter Punkt auf der Himmelskugel (also die scheinbare Position eines astronomischen Objekts) mithilfe verschiedener astronomischer Koordinatensysteme bestimmen , wobei die Bezugspunkte je nach System variieren. Astronomen messen den Winkelabstand zweier Sterne , indem sie sich zwei Geraden durch den Erdmittelpunkt vorstellen , die jeweils einen der Sterne schneiden. Aus dem Winkel zwischen diesen Geraden lässt sich der Winkelabstand der beiden Sterne berechnen.

Sowohl in der Geographie als auch in der Astronomie kann eine Visierrichtung durch einen vertikalen Winkel, wie z. B. den Höhenwinkel oder die Elevation in Bezug auf den Horizont , sowie den Azimut in Bezug auf Norden angegeben werden .

Astronomen messen die scheinbare Größe von Objekten auch als Winkeldurchmesser . Der Vollmond hat beispielsweise von der Erde aus betrachtet einen Winkeldurchmesser von etwa 0,5° oder 30 Bogenminuten. Man könnte sagen: „Der Durchmesser des Mondes schließt einen Winkel von einem halben Grad ein.“ Mithilfe der Kleinwinkelproportion lässt sich ein solches Winkelmaß in ein Entfernungs-/Größenverhältnis umrechnen.

Weitere astronomische Näherungen umfassen:

• 0,5° ist der ungefähre Winkeldurchmesser der Sonne und des Mondes , wie er von der Erde aus gesehen wird.
• 1° ist die ungefähre Winkelweite des kleinen Fingers bei ausgestrecktem Arm.
• 10° ist die ungefähre Winkelweite einer geschlossenen Faust bei ausgestrecktem Arm.
• 20° ist die ungefähre Winkelbreite einer Handspanne bei ausgestrecktem Arm.

Diese Messungen hängen von der jeweiligen Person ab, und die obigen Angaben sollten nur als grobe Faustregeln betrachtet werden .

In der Astronomie wird die Rektaszension üblicherweise in Winkeleinheiten gemessen, die auf der Grundlage eines 24-Stunden-Tages in Zeiteinheiten ausgedrückt werden. ^{[ 59 ]}

• „Angle“  , Encyclopædia Britannica , Bd. 2 (9. Aufl. ), 1878, S.  29–30