Mathematische Finanzierung

Die Finanzmathematik , auch bekannt als quantitative Finanzmathematik , ist ein Gebiet der angewandten Mathematik , das sich mit der mathematischen Modellierung im Finanzbereich befasst .

Grundsätzlich lassen sich im Finanzwesen zwei separate Bereiche unterscheiden, die fortgeschrittene quantitative Methoden erfordern: die Bewertung von Derivaten einerseits und das Risiko- und Portfoliomanagement andererseits. ^{[ 1 ]} Die mathematische Finanzwissenschaft überschneidet sich stark mit den Bereichen der computergestützten Finanzwissenschaft und des Finanzingenieurwesens . Letzteres konzentriert sich auf Anwendungen und Modellierung, häufig mithilfe stochastischer Asset-Modelle , während erstere neben der Analyse auch die Entwicklung von Implementierungswerkzeugen für die Modelle in den Fokus rückt. Ebenfalls verwandt ist das quantitative Investieren , das bei der Portfolioverwaltung auf statistische und numerische Modelle (und in jüngster Zeit auch auf maschinelles Lernen ) anstelle der traditionellen Fundamentalanalyse setzt .

Die 1900 verteidigte Doktorarbeit des französischen Mathematikers Louis Bachelier gilt als erste wissenschaftliche Arbeit zur Finanzmathematik. Diese entwickelte sich jedoch erst in den 1970er Jahren als eigenständige Disziplin, im Anschluss an die Arbeiten von Fischer Black , Myron Scholes und Robert Merton zur Optionspreistheorie. Mathematisches Investieren hat seinen Ursprung in den Forschungen des Mathematikers Edward Thorp , der statistische Methoden nutzte, um zunächst das Kartenzählen beim Blackjack zu entwickeln und dessen Prinzipien anschließend auf das moderne systematische Investieren anzuwenden. ^{[ 2 ]}

Das Fachgebiet ist eng mit der Finanzökonomie verwandt , die sich mit einem Großteil der der Finanzmathematik zugrunde liegenden Theorie befasst. Während ausgebildete Ökonomen komplexe ökonomische Modelle verwenden , die auf beobachteten empirischen Zusammenhängen basieren, leitet die mathematische Finanzanalyse im Gegensatz dazu mathematische oder numerische Modelle ab und erweitert diese, ohne notwendigerweise eine Verbindung zur Finanztheorie herzustellen. Sie verwendet beobachtete Marktpreise als Eingangsgröße. Siehe: Bewertung von Optionen ; Finanzmodellierung ; Asset Pricing . Der fundamentale Satz der arbitragefreien Preisbildung ist einer der wichtigsten Sätze der mathematischen Finanzanalyse, während die Black-Scholes -Gleichung und -Formel zu den zentralen Ergebnissen zählen. ^{[ 3 ]}

Heute bieten viele Universitäten Studiengänge und Forschungsprogramme im Bereich der mathematischen Finanzwissenschaft an.

Es gibt zwei separate Bereiche der Finanzwissenschaft, die fortgeschrittene quantitative Techniken erfordern: die Bewertung von Derivaten sowie das Risiko- und Portfoliomanagement. Einer der Hauptunterschiede besteht darin, dass sie unterschiedliche Wahrscheinlichkeiten verwenden, wie beispielsweise die risikoneutrale Wahrscheinlichkeit (oder Arbitragewahrscheinlichkeit), bezeichnet mit „Q“, und die tatsächliche (oder versicherungsmathematische) Wahrscheinlichkeit, bezeichnet mit „P“.

Die Q-Welt

Ziel	"die Gegenwart extrapolieren"
Umfeld	risikoneutrale Wahrscheinlichkeit${\displaystyle \mathbb {Q} }$
Prozesse	Martingale in kontinuierlicher Zeit
Dimension	niedrig
Werkzeuge	Itō-Kalkül, partielle Differentialgleichungen
Herausforderungen	Kalibrierung
Geschäft	Verkäuferseite

Ziel der Derivatebewertung ist es, den fairen Preis eines Wertpapiers anhand liquiderer Wertpapiere zu bestimmen , deren Preis durch Angebot und Nachfrage bestimmt wird . Was als „fair“ gilt, hängt natürlich davon ab, ob man den Kauf oder Verkauf des Wertpapiers in Betracht zieht. Beispiele für zu bewertende Wertpapiere sind Standardoptionen , exotische Optionen , Wandelanleihen usw.

Sobald ein fairer Preis ermittelt ist, kann der Händler auf der Verkäuferseite einen Markt für das Wertpapier schaffen. Die Preisbildung von Derivaten ist daher ein komplexer „Extrapolationsvorgang“, um den aktuellen Marktwert eines Wertpapiers zu bestimmen, der anschließend von den Verkäufern verwendet wird. Die quantitative Preisbildung von Derivaten wurde von Louis Bachelier in seinem Werk „The Theory of Speculation “ („Théorie de la spéculation“, veröffentlicht 1900) mit der Einführung des grundlegendsten und einflussreichsten Prozesses, der Brownschen Bewegung , und deren Anwendung auf die Optionspreisbewertung begründet. ^{[ 4 ] [ 5 ]} Die Brownsche Bewegung wird mithilfe der Langevin-Gleichung und des diskreten Random Walk hergeleitet . ^{[ 6 ]} Bachelier modellierte die Zeitreihe der Veränderungen des Logarithmus von Aktienkursen als Random Walk , bei dem die kurzfristigen Veränderungen eine endliche Varianz aufweisen . Dies führt dazu, dass längerfristige Veränderungen einer Gaußverteilung folgen . ^{[ 7 ]}

Die Theorie blieb lange Zeit ungenutzt, bis Fischer Black und Myron Scholes , zusammen mit grundlegenden Beiträgen von Robert C. Merton , den zweitwichtigsten Prozess, die geometrische Brownsche Bewegung , auf die Optionspreisberechnung anwandten . Dafür wurden M. Scholes und R. Merton 1997 mit dem Nobelpreis für Wirtschaftswissenschaften ausgezeichnet . Black war nicht preisberechtigt, da er 1995 verstarb. ^{[ 8 ]}

Der nächste wichtige Schritt war das Fundamentaltheorem der Assetpreisbildung von Harrison und Pliska (1981), demzufolge der geeignet normalisierte aktuelle Preis P ₀ eines Wertpapiers nur dann arbitragefrei und somit wirklich fair ist, wenn es einen stochastischen Prozess P _t mit konstantem Erwartungswert gibt , der seine zukünftige Entwicklung beschreibt: ^{[ 9 ]}

${\displaystyle P_{0}=\mathbf {E} _{0}(P_{t})}$

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Ein Prozess, der ( 1 ) erfüllt, wird als „ Martingal “ bezeichnet. Ein Martingal belohnt kein Risiko. Daher wird die Wahrscheinlichkeit des normalisierten Wertpapierkursprozesses als „risikoneutral“ bezeichnet und üblicherweise mit dem Buchstaben „ “ in Tafelschrift gekennzeichnet . ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Die Beziehung ( 1 ) muss für alle Zeitpunkte t gelten: daher sind die Prozesse, die für die Derivatepreisbildung verwendet werden, naturgemäß in stetiger Zeit.

Quantitative Analysten ( Quants ) in der Finanzwelt konzentrieren sich auf die Preisgestaltung von Derivaten. Ihre Tätigkeit erfordert ein detailliertes Verständnis der mathematischen Modelle, die für spezifische Finanzinstrumente verwendet werden.

Wertpapiere werden einzeln bewertet, daher sind die Probleme in der Q-Welt niedrigdimensionaler Natur. Die Kalibrierung ist eine der größten Herausforderungen der Q-Welt: Sobald ein kontinuierlicher parametrischer Prozess anhand einer Beziehung wie ( 1 ) auf eine Menge gehandelter Wertpapiere kalibriert wurde, wird eine ähnliche Beziehung verwendet, um den Preis neuer Derivate zu bestimmen.

Die wichtigsten quantitativen Werkzeuge zur Behandlung von kontinuierlichen Q-Prozessen sind der stochastische Kalkül nach Itô , Simulationen und partielle Differentialgleichungen (PDEs). ^{[ 10 ]}

Die P-Welt

Ziel	"die Zukunft gestalten"
Umfeld	realweltliche Wahrscheinlichkeit${\displaystyle \mathbb {P} }$
Prozesse	diskrete Zeitreihen
Dimension	groß
Werkzeuge	multivariate Statistik
Herausforderungen	Schätzung
Geschäft	Käuferseite

Risiko- und Portfoliomanagement zielt darauf ab, die statistisch abgeleitete Wahrscheinlichkeitsverteilung der Marktpreise aller Wertpapiere in einem bestimmten zukünftigen Anlagehorizont zu modellieren. Diese „reale“ Wahrscheinlichkeitsverteilung der Marktpreise wird üblicherweise mit dem Buchstaben „“ (in Tafelschrift) bezeichnet , im Gegensatz zur „risikoneutralen“ Wahrscheinlichkeit „ “. Basierend auf der P-Verteilung trifft die Käuferseite Entscheidungen darüber, welche Wertpapiere erworben werden sollen, um das zukünftige Gewinn- und Verlustprofil ihrer Positionen im Portfolio zu verbessern. Teile dieses Prozesses werden zunehmend automatisiert; siehe „ Grundlagen der Finanzwirtschaft“ § „Quantitatives Investieren“ für eine Liste relevanter Artikel. ${\displaystyle \mathbb {P} }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Für ihre Pionierarbeit teilten sich Markowitz und Sharpe zusammen mit Merton Miller den Nobelpreis für Wirtschaftswissenschaften 1990 – die erste Auszeichnung dieser Art, die jemals für eine Arbeit im Bereich Finanzen verliehen wurde.

Die Portfolioauswahlarbeit von Markowitz und Sharpe führte die Mathematik in das Investmentmanagement ein . Im Laufe der Zeit wurde die Mathematik immer komplexer. Dank Robert Merton und Paul Samuelson wurden Einperiodenmodelle durch Modelle mit kontinuierlicher Zeit und Brownscher Bewegung ersetzt , und die in der Mean-Variance-Optimierung implizite quadratische Nutzenfunktion wurde durch allgemeinere, steigende und konkave Nutzenfunktionen abgelöst. ^{[ 11 ]} In den letzten Jahren verlagerte sich der Fokus zudem auf das Schätzrisiko, d. h. die Gefahren der fälschlichen Annahme, dass fortgeschrittene Zeitreihenanalysen allein vollständig genaue Schätzungen der Marktparameter liefern können. ^{[ 12 ]} Siehe Finanzrisikomanagement § Investmentmanagement .

Die Erforschung der Finanzmärkte und ihrer zeitlichen Preisentwicklung ist Gegenstand zahlreicher Studien. Charles Dow , einer der Gründer von Dow Jones & Company und des Wall Street Journal , formulierte dazu die sogenannte Dow-Theorie . Diese bildet die Grundlage der technischen Analyse , die versucht, zukünftige Veränderungen vorherzusagen. Ein Grundsatz der technischen Analyse besagt, dass Markttrends zumindest kurzfristig Hinweise auf die Zukunft geben. Die Behauptungen der technischen Analysten werden von vielen Wissenschaftlern angezweifelt. Obwohl zahlreiche empirische Studien die Effektivität der technischen Analyse untersucht haben, besteht weiterhin kein eindeutiger Konsens über ihren Nutzen für die Prognose von Finanzmärkten. ^{[ 13 ]}

Im Laufe der Jahre wurden immer ausgefeiltere mathematische Modelle und Strategien zur Bewertung von Derivaten entwickelt, deren Glaubwürdigkeit jedoch durch die Finanzkrise von 2008 Schaden nahm .

Die zeitgenössische Praxis der Finanzmathematik wurde von Experten des Fachgebiets, insbesondere von Paul Wilmott und Nassim Nicholas Taleb in seinem Buch „Der Schwarze Schwan“ ^{[ 14 ]} , kritisiert . Taleb argumentiert, dass die Preise von Finanzanlagen nicht durch die derzeit verwendeten einfachen Modelle beschrieben werden können, wodurch ein Großteil der gängigen Praxis bestenfalls irrelevant und schlimmstenfalls gefährlich irreführend sei. Wilmott und Emanuel Derman veröffentlichten im Januar 2009 das „Manifest der Finanzmodellierer“ ^{[ 15 ]} , das einige der gravierendsten Bedenken aufgreift. Institutionen wie das Institute for New Economic Thinking bemühen sich nun um die Entwicklung neuer Theorien und Methoden ^{[ 16 ] .}

Generell gilt die Modellierung von Preisänderungen durch Verteilungen mit endlicher Varianz zunehmend als ungeeignet. ^{[ 17 ]} In den 1960er Jahren entdeckte Benoit Mandelbrot , dass Preisänderungen keiner Gaußverteilung folgen , sondern besser durch Lévy-Alpha- stabile Verteilungen modelliert werden . ^{[ 18 ]} Das Ausmaß der Änderung bzw. die Volatilität hängt mit einer Potenz von etwas mehr als 1/2 von der Länge des Zeitintervalls ab . Große Kursänderungen nach oben oder unten sind wahrscheinlicher, als sie sich mit einer Gaußverteilung und einer geschätzten Standardabweichung berechnen ließen . Das Problem besteht jedoch darin, dass dies die Parametrisierung erheblich erschwert und die Risikokontrolle weniger zuverlässig macht. ^{[ 14 ]}

Noch grundlegender ist vielleicht: Obwohl mathematische Finanzmodelle kurzfristig Gewinne erzielen können, steht diese Art der Modellierung oft im Widerspruch zu einem zentralen Grundsatz der modernen Makroökonomie, der Lucas-Kritik – oder dem Prinzip rationaler Erwartungen . Diese besagt, dass beobachtete Zusammenhänge nicht unbedingt struktureller Natur sind und sich daher nicht für politische Maßnahmen oder zur Gewinnerzielung nutzen lassen, sofern wir sie nicht mithilfe von Kausalanalyse und Ökonometrie identifiziert haben . ^{[ 19 ]} Mathematische Finanzmodelle berücksichtigen daher nicht die komplexen Aspekte der menschlichen Psychologie, die für die Modellierung moderner makroökonomischer Bewegungen wie der sich selbst erfüllenden Panik, die Bankenanstürme auslöst, entscheidend sind .

• Nicole El Karoui , „Die Zukunft der Finanzmathematik“ , ParisTech Review , 6. September 2013
• Harold Markowitz , „Portfolio Selection“, The Journal of Finance , 7, 1952, S. 77–91
• William F. Sharpe , Investments , Prentice-Hall, 1985
• Pierre Henry Labordere (2017). „Modellfreies Hedging aus der Martingale-Optimaltransportperspektive“. Chapman & Hall/ CRC.