Wirbel

In der Fluiddynamik bezeichnet man als Wirbel ( Plural : Wirbel ) ^{[ 1 ] [ 2 ]} einen Bereich in einem Fluid, in dem die Strömung um eine Achse rotiert, die gerade oder gekrümmt sein kann. [ ^{3 ] [ 4 ] Wirbel} entstehen in durchmischten Fluiden und sind beispielsweise in Rauchringen , Strudeln im Kielwasser eines Bootes und in den Winden um tropische Wirbelstürme , Tornados oder Staubteufel zu beobachten .

Wirbel sind ein wesentlicher Bestandteil turbulenter Strömungen . Zur Charakterisierung von Wirbeln werden die Geschwindigkeitsverteilung, die Wirbelstärke (die Rotation der Strömungsgeschwindigkeit) sowie das Konzept der Zirkulation herangezogen. In den meisten Wirbeln ist die Strömungsgeschwindigkeit in der Nähe ihrer Achse am größten und nimmt mit zunehmendem Abstand von der Achse umgekehrt proportional ab.

In Abwesenheit äußerer Kräfte bewirkt die viskose Reibung innerhalb der Flüssigkeit eine Anordnung der Strömung in eine Ansammlung wirbelfreier Wirbel, die sich möglicherweise mit großräumigeren Strömungen, einschließlich großräumiger Wirbel, überlagern. Einmal entstandene Wirbel können sich bewegen, dehnen, verdrehen und auf komplexe Weise miteinander interagieren. Ein sich bewegender Wirbel trägt Drehimpuls, linearen Impuls, Energie und Masse mit sich.

In der Strömungslehre bezeichnet man als Wirbel eine Flüssigkeitsströmung, die sich um die Strömungsrichtung dreht. Die Strömung kann gekrümmt oder geradlinig verlaufen. Wirbel entstehen durch die Bewegung von Flüssigkeiten; man kann sie beispielsweise in Rauchringen, Strudeln, im Kielwasser eines Bootes oder in den Winden um einen Tornado oder Staubteufel beobachten.

Wirbel sind ein wichtiger Bestandteil turbulenter Strömungen . Man kann sie auch als kreisförmige Bewegung einer Flüssigkeit bezeichnen. Ohne äußere Einflüsse beruhigt sich die Flüssigkeit. Das Wasser bleibt dann still, anstatt sich zu bewegen.

Wenn Wirbel entstehen, können sie sich bewegen, dehnen, verdrehen und auf komplexe Weise miteinander interagieren. Bewegt sich ein Wirbel, kann er unter Umständen eine Winkelposition beeinflussen. Dreht man beispielsweise einen Wassereimer kontinuierlich, rotiert er um eine gedachte Linie, die sogenannte Achse. Die Rotation beschreibt dabei einen Kreis. In diesem Beispiel erzeugt die Rotation des Eimers eine zusätzliche Kraft.

Wirbel können ihre Form verändern, weil sie offene Partikelbahnen aufweisen. Dadurch kann ein sich bewegender Wirbel entstehen. Beispiele hierfür sind die Formen von Tornados und Strudeln in Abwasserkanälen . Wenn zwei oder mehr Wirbel nahe beieinander liegen, können sie zu einem Wirbel verschmelzen. Wirbel speichern zudem Energie in der Rotation des Fluids. Würde diese Energie nicht abgeführt, würde sich der Wirbel endlos kreisförmig bewegen.

Ein Schlüsselkonzept in der Dynamik von Wirbeln ist die Wirbelstärke , ein Vektor , der die lokale Drehbewegung an einem Punkt im Fluid beschreibt, wie sie von einem mit diesem Punkt mitbewegten Beobachter wahrgenommen würde. Anschaulich lässt sich die Wirbelstärke beobachten, indem man eine kleine, raue Kugel an dem betreffenden Punkt platziert, die sich frei mit dem Fluid bewegen kann, und ihre Rotation um ihren Mittelpunkt beobachtet. Die Richtung des Wirbelstärkevektors ist definiert als die Richtung der Rotationsachse dieser gedachten Kugel (gemäß der Rechte-Hand-Regel ) , während seine Länge dem Doppelten der Winkelgeschwindigkeit der Kugel entspricht . Mathematisch ist die Wirbelstärke als die Rotation des Geschwindigkeitsfeldes des Fluids definiert, üblicherweise mit bezeichnet und durch die Vektoranalysisformel ausgedrückt , wobei der Nabla-Operator und die lokale Strömungsgeschwindigkeit ist. ^{[ 5 ]}${\displaystyle {\vec {\omega }}}$${\displaystyle \nabla \times {\vec {\mathit {u}}}}$${\displaystyle \nabla }$${\displaystyle {\vec {\mathit {u}}}}$

Die durch die Wirbelstärke gemessene lokale Rotation darf nicht mit dem Winkelgeschwindigkeitsvektor dieses Fluidabschnitts relativ zur Umgebung oder zu einer festen Achse verwechselt werden. Insbesondere in einem Wirbel kann sie der mittleren Winkelgeschwindigkeit des Fluids relativ zur Wirbelachse entgegengesetzt sein. ${\displaystyle {\vec {\omega }}}$${\displaystyle {\vec {\omega }}}$

Theoretisch kann die Geschwindigkeit u der Teilchen (und damit die Wirbelstärke) in einem Wirbel in Abhängigkeit vom Abstand r von der Achse auf vielfältige Weise variieren. Es gibt jedoch zwei wichtige Sonderfälle:

• Wenn sich die Flüssigkeit wie ein starrer Körper dreht – das heißt, wenn die Winkelgeschwindigkeit Ω gleichmäßig ist und u proportional zum Abstand r von der Achse zunimmt –, würde sich eine winzige, von der Strömung mitgeführte Kugel ebenfalls um ihren Mittelpunkt drehen, als wäre sie Teil dieses starren Körpers. In einer solchen Strömung ist die Wirbelstärke überall gleich: Ihre Richtung verläuft parallel zur Rotationsachse, und ihr Betrag entspricht dem Doppelten der gleichmäßigen Winkelgeschwindigkeit Ω der Flüssigkeit um den Rotationsmittelpunkt.

  ${\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {\Omega }}&=(0,0,\Omega ),\quad {\vec {r}}=(x,y,0),\\{\vec {u}}&={\vec {\Omega }}\times {\vec {r}}=(-\Omega y,\Omega x,0),\\{\vec {\omega }}&=\nabla \times {\vec {u}}=(0,0,2\Omega )=2{\vec {\Omega }}.\end{aligned}}}$

• Wenn die Geschwindigkeit u des Teilchens umgekehrt proportional zum Abstand r von der Achse ist, würde sich die gedachte Testkugel nicht um die eigene Achse drehen; sie würde ihre Orientierung beibehalten, während sie sich kreisförmig um die Wirbelachse bewegt. In diesem Fall ist die Wirbelstärke an jedem Punkt außerhalb dieser Achse null, und die Strömung wird als wirbelfrei bezeichnet . ${\displaystyle {\vec {\omega }}}$

  ${\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {\Omega }}&=\left(0,0,\alpha r^{-2}\right),\quad {\vec {r}}=(x,y,0),\\{\vec {u}}&={\vec {\Omega }}\times {\vec {r}}=\left(-\alpha yr^{-2},\alpha xr^{-2},0\right),\\{\vec {\omega }}&=\nabla \times {\vec {u}}=0.\end{aligned}}}$

In Abwesenheit äußerer Kräfte entwickelt sich ein Wirbel üblicherweise recht schnell in Richtung einer wirbelfreien Strömung, bei der die Strömungsgeschwindigkeit u umgekehrt proportional zum Abstand r ist . Wirbelfreie Wirbel werden auch als freie Wirbel bezeichnet .

Bei einem wirbelfreien Wirbel ist die Zirkulation entlang jeder geschlossenen Kontur, die die Wirbelachse nicht umschließt, null; für jede Kontur, die die Achse einmal umschließt, hat sie einen festen Wert Γ . ^{[ 6 ]} Die Tangentialkomponente der Partikelgeschwindigkeit ist dann . Der Drehimpuls pro Masseneinheit relativ zur Wirbelachse ist daher konstant, . ${\displaystyle u_{\theta }={\tfrac {\Gamma }{2\pi r}}}$${\displaystyle ru_{\theta }={\tfrac {\Gamma }{2\pi }}}$

Die ideale wirbelfreie Wirbelströmung im freien Raum ist physikalisch nicht realisierbar, da dies bedeuten würde, dass die Partikelgeschwindigkeit (und damit die Kraft, die benötigt wird, um die Partikel auf ihren Kreisbahnen zu halten) mit Annäherung an die Wirbelachse unbegrenzt zunimmt. Tatsächlich existiert in realen Wirbeln stets ein Kernbereich um die Achse, in dem die Partikelgeschwindigkeit nicht weiter ansteigt, sondern mit Annäherung an r gegen null auf null abfällt. Innerhalb dieses Bereichs ist die Strömung nicht mehr wirbelfrei: Die Wirbelstärke wird ungleich null und verläuft annähernd parallel zur Wirbelachse. Der Rankine-Wirbel ist ein Modell, das eine Starrkörperrotation annimmt, solange _r kleiner als ein fester Abstand r₀ ist , und außerhalb dieses Kernbereichs eine wirbelfreie Strömung. ${\displaystyle {\vec {\omega }}}$

In einer viskosen Flüssigkeit enthält eine wirbelfreie Strömung überall viskose Dissipation, jedoch wirken keine resultierenden viskosen Kräfte, sondern nur viskose Spannungen. ^{[ 7 ]} Aufgrund der Dissipation erfordert die Aufrechterhaltung eines wirbelfreien viskosen Wirbels kontinuierliche Arbeitszufuhr im Kern (beispielsweise durch gleichmäßiges Drehen eines Zylinders im Kern). Im freien Raum findet keine Energiezufuhr im Kern statt, sodass die im Kern konzentrierte Wirbelstärke sich auf natürliche Weise nach außen ausbreitet und den Kern in eine sich allmählich verlangsamende und allmählich anwachsende Starrkörperströmung umwandelt, die von der ursprünglichen wirbelfreien Strömung umgeben ist. Ein solcher abklingender wirbelfreier Wirbel besitzt eine exakte Lösung der viskosen Navier-Stokes-Gleichungen , den sogenannten Lamb-Oseen-Wirbel .

Ein Rotationswirbel – ein Wirbel, der sich wie ein starrer Körper dreht – kann in diesem Zustand nicht unbegrenzt bestehen, es sei denn, es wirkt eine zusätzliche Kraft ein, die nicht durch die Fluidbewegung selbst erzeugt wird. Er weist überall außerhalb seines Kerns eine von null verschiedene Wirbelstärke auf. Rotationswirbel werden auch als Starrkörperwirbel oder erzwungene Wirbel bezeichnet.

Wird beispielsweise ein Wassereimer mit konstanter Winkelgeschwindigkeit ω um seine vertikale Achse gedreht, rotiert das Wasser schließlich wie ein starrer Körper. Die Wasserteilchen bewegen sich dann auf Kreisbahnen mit der Geschwindigkeit u = ωr . ^{[ 6 ]} In diesem Fall nimmt die Wasseroberfläche eine Parabelform an .

In dieser Situation erzeugt das starre, rotierende Gehäuse eine zusätzliche Kraft, nämlich einen zusätzlichen , nach innen gerichteten Druckgradienten im Wasser, der den Übergang der Starrkörperströmung in den wirbelfreien Zustand verhindert.

Wirbelstrukturen werden durch ihre Wirbelstärke , die lokale Rotationsgeschwindigkeit der Fluidpartikel, definiert. Sie entstehen durch die sogenannte Grenzschichtablösung , die auftritt, wenn ein Fluid über eine Oberfläche strömt und aufgrund der Haftbedingung eine abrupte Beschleunigung von seiner Strömungsgeschwindigkeit auf null erfährt . Diese abrupte negative Beschleunigung erzeugt eine Grenzschicht , die eine lokale Rotation des Fluids an der Wand (d. h. Wirbelstärke) verursacht, die als Wandschubspannung bezeichnet wird. Die Dicke dieser Grenzschicht ist proportional zu (wobei v die Strömungsgeschwindigkeit des Fluids und t die Zeit ist). ${\displaystyle \surd (vt)}$

Ist der Durchmesser oder die Wandstärke des Gefäßes oder des Fluids geringer als die Grenzschichtdicke, löst sich die Grenzschicht nicht ab und es bilden sich keine Wirbel. Überschreitet die Grenzschicht jedoch diese kritische Dicke, kommt es zur Ablösung und zur Wirbelbildung.

Diese Grenzschichtablösung kann auch bei gegenläufigen Druckgradienten (d. h. einem sich stromabwärts aufbauenden Druck) auftreten. Sie ist bei gekrümmten Oberflächen und allgemeinen Geometrieänderungen wie konvexen Flächen zu beobachten. Ein besonderes Beispiel für starke Geometrieänderungen findet sich an der Hinterkante eines stumpfen Körpers, wo die Strömungsverlangsamung und damit die Grenzschicht- und Wirbelbildung stattfindet.

Eine weitere Form der Wirbelbildung an einer Grenzfläche entsteht, wenn Fluid senkrecht auf eine Wand strömt und einen Spritzeffekt erzeugt. Die Geschwindigkeitsstromlinien werden sofort abgelenkt und abgebremst, sodass sich die Grenzschicht ablöst und einen ringförmigen Wirbel bildet. ^{[ 8 ]}

In einem stationären Wirbel bildet die typische Stromlinie (eine Linie, die den Strömungsgeschwindigkeitsvektor überall tangiert) eine geschlossene Schleife um die Achse; jede Wirbellinie (eine Linie, die den Wirbelstärkevektor überall tangiert) verläuft annähernd parallel zur Achse. Eine Fläche, die sowohl die Strömungsgeschwindigkeit als auch die Wirbelstärke überall tangiert, wird als Wirbelröhre bezeichnet . Im Allgemeinen sind Wirbelröhren um die Rotationsachse angeordnet. Die Achse selbst ist eine der Wirbellinien und stellt einen Grenzfall einer Wirbelröhre mit dem Durchmesser Null dar.

Gemäß den Helmholtz-Theoremen kann eine Wirbellinie – außer kurzzeitig bei instationärer Strömung während der Wirbelbildung oder -auflösung – nicht innerhalb des Fluids beginnen oder enden. Im Allgemeinen bilden Wirbellinien (insbesondere die Achsenlinie) entweder geschlossene Schleifen oder enden an der Fluidgrenze. Ein Strudel ist ein Beispiel für Letzteres: ein Wirbel in einem Gewässer, dessen Achse an der Wasseroberfläche endet. Ein Wirbelrohr, dessen Wirbellinien alle geschlossen sind, bildet eine geschlossene, torusförmige Oberfläche.

Ein neu entstehender Wirbel dehnt sich rasch aus und krümmt sich, um offene Wirbellinien aufzulösen. Beispielsweise bildet sich beim Starten eines Flugzeugtriebwerks üblicherweise vor jedem Propeller bzw. vor dem Turbofan jedes Strahltriebwerks ein Wirbel . Ein Ende der Wirbellinie ist am Triebwerk befestigt, während sich das andere Ende in der Regel ausdehnt und krümmt, bis es den Boden erreicht.

Werden Wirbel durch Rauch oder Tintenspuren sichtbar gemacht, können sie spiralförmige Bahnen oder Stromlinien aufweisen. Dieser Eindruck ist jedoch oft eine optische Täuschung, und die Flüssigkeitspartikel bewegen sich auf geschlossenen Bahnen. Die spiralförmigen Streifen, die fälschlicherweise für Stromlinien gehalten werden, sind in Wirklichkeit Wolken der Markierungsflüssigkeit, die ursprünglich mehrere Wirbelröhren umfassten und durch die ungleichmäßige Strömungsgeschwindigkeitsverteilung spiralförmig verformt wurden.

Die Strömung in einem Wirbel erzeugt einen dynamischen Druck (zusätzlich zum hydrostatischen Druck), der im Kernbereich nahe der Achse am geringsten ist und gemäß dem Bernoulli-Prinzip mit zunehmender Entfernung vom Kern ansteigt . Man kann sagen, dass der Gradient dieses Drucks die Strömung zwingt, eine gekrümmte Bahn um die Achse zu beschreiben.

In einer Starrkörper-Wirbelströmung einer Flüssigkeit mit konstanter Dichte ist der dynamische Druck proportional zum Quadrat des Abstands r von der Achse. In einem konstanten Gravitationsfeld ist die freie Oberfläche der Flüssigkeit, sofern vorhanden, ein konkaves Paraboloid .

In einer wirbelfreien Wirbelströmung mit konstanter Fluiddichte und zylindrischer Symmetrie variiert der dynamische Druck gemäß P _∞ − ⁠K/r ²Hierbei _ist P∞ der Grenzdruck im unendlichen Abstand von derAchse. Diese Formel liefert eine weitere Einschränkung für die Ausdehnung des Kerns, da der Druck nicht negativ sein kann. Die freie Oberfläche (sofern vorhanden) fällt in der Nähe der Achsenlinie steil ab, wobei die Tiefe umgekehrt proportional zu r² ^ist . Die von der freien Oberfläche gebildete Form wird als Hyperboloid oder „ Gabriels Horn “ (nach Evangelista Torricelli ) bezeichnet.

Der Kern eines Luftwirbels ist manchmal sichtbar, da Wasserdampf durch die adiabatische Abkühlung aufgrund des niedrigen Drucks im Kern kondensiert ; der Trichter eines Tornados ist ein Beispiel dafür. Endet eine Wirbellinie an einer Grenzfläche, kann der reduzierte Druck auch Materie von dieser Fläche in den Kern ziehen. Ein Staubteufel ist beispielsweise eine Staubsäule, die vom Kern eines am Boden haftenden Luftwirbels aufgenommen wird. Ein Wirbel, der an der Wasseroberfläche endet (wie der Strudel, der sich oft über einem Badewannenabfluss bildet), kann eine Luftsäule in den Kern ziehen. Der Vorwärtswirbel, der von einem Triebwerk eines geparkten Flugzeugs ausgeht, kann Wasser und kleine Steine ​​in den Kern und dann in das Triebwerk saugen.

Wirbel müssen nicht stationär sein; sie können sich bewegen und ihre Form verändern. In einem sich bewegenden Wirbel sind die Partikelbahnen nicht geschlossen, sondern offene, schleifenartige Kurven wie Helices und Zykloiden . Eine Wirbelströmung kann auch mit einem radialen oder axialen Strömungsmuster kombiniert sein. In diesem Fall sind die Stromlinien und Bahnlinien keine geschlossenen Kurven, sondern Spiralen bzw. Helices. Dies ist bei Tornados und Strudeln in Abwasserkanälen der Fall. Ein Wirbel mit spiralförmigen Stromlinien wird als solenoidal bezeichnet .

Solange Viskosität und Diffusion vernachlässigbar sind, wird die Flüssigkeit in einem sich bewegenden Wirbel mitgerissen. Insbesondere die Flüssigkeit im Kern (und die darin eingeschlossene Materie) verbleibt tendenziell im Kern, während sich der Wirbel bewegt. Dies ist eine Folge des zweiten Helmholtz-Theorems . Wirbel können daher (anders als Oberflächen- und Druckwellen ) Masse, Energie und Impuls über beträchtliche, im Verhältnis zu ihrer Größe beträchtliche Distanzen transportieren, und zwar mit erstaunlich geringer Streuung. Dieser Effekt wird durch Rauchringe demonstriert und in Wirbelring -Spielzeugen und -Pistolen genutzt .

Zwei oder mehr annähernd parallele Wirbel, die sich in dieselbe Richtung drehen, ziehen sich an und verschmelzen schließlich zu einem einzigen Wirbel, dessen Zirkulation der Summe der Zirkulationen der einzelnen Wirbel entspricht. Beispielsweise erzeugt ein Flugzeugflügel , der Auftrieb entwickelt, an seiner Hinterkante eine Schicht kleiner Wirbel. Diese kleinen Wirbel verschmelzen zu einem einzigen Flügelspitzenwirbel , der sich weniger als eine Flügeltiefe hinter der Hinterkante befindet. Dieses Phänomen tritt auch bei anderen aktiven Tragflächenprofilen auf , wie beispielsweise Propellerblättern. Zwei parallele Wirbel mit entgegengesetzter Zirkulation (wie die beiden Flügelspitzenwirbel eines Flugzeugs) bleiben hingegen tendenziell getrennt.

Wirbel bergen erhebliche Energie in der kreisförmigen Bewegung des Fluids. In einem idealen Fluid könnte diese Energie niemals abgeführt werden, und der Wirbel würde ewig bestehen bleiben. Reale Fluide weisen jedoch Viskosität auf , wodurch die Energie im Kern des Wirbels sehr langsam abgeführt wird. Nur durch die Auflösung eines Wirbels aufgrund der Viskosität kann eine Wirbellinie im Fluid enden, anstatt an der Fluidgrenze.

• In der hydrodynamischen Interpretation des Verhaltens elektromagnetischer Felder erzeugt die Beschleunigung eines elektrischen Fluids in einer bestimmten Richtung einen positiven Wirbel eines magnetischen Fluids. Dieser wiederum erzeugt um sich herum einen entsprechenden negativen Wirbel eines elektrischen Fluids. Exakte Lösungen klassischer nichtlinearer magnetischer Gleichungen umfassen die Landau-Lifschitz-Gleichung , das Heisenberg- Kontinuumsmodell , die Ishimori-Gleichung und die nichtlineare Schrödinger-Gleichung .
• Wirbelringe sind torusförmige Wirbel, deren Rotationsachse eine geschlossene Kurve bildet. Rauchringe und Blasenringe sind zwei bekannte Beispiele.
• Die Auftriebskraft von Flugzeugflügeln, Propellerblättern, Segeln und anderen Tragflächen lässt sich durch die Entstehung eines Wirbels erklären, der sich der an dem Flügel vorbeiströmenden Luft überlagert.
• Der aerodynamische Widerstand lässt sich größtenteils durch die Bildung von Wirbeln in der umgebenden Flüssigkeit erklären, die dem sich bewegenden Körper Energie entziehen.
• In bestimmten Meerengen oder Buchten können durch die Gezeiten große Strudel entstehen . Beispiele hierfür sind Charybdis aus der klassischen Mythologie in der Straße von Messina, Italien ; die Naruto-Strudel von Nankaido, Japan ; und der Mahlstrom bei den Lofoten, Norwegen .
• Wirbel in der Erdatmosphäre sind wichtige Phänomene in der Meteorologie . Dazu gehören Mesozyklonen mit einem Durchmesser von wenigen Kilometern, Tornados, Wasserhosen und Hurrikane. Diese Wirbel werden häufig durch Temperatur- und Feuchtigkeitsschwankungen mit der Höhe angetrieben. Die Drehrichtung von Hurrikanen wird von der Erdrotation beeinflusst. Ein weiteres Beispiel ist der Polarwirbel , ein beständiger, großräumiger Zyklon mit Zentrum in der Nähe der Pole, in der mittleren und oberen Troposphäre sowie in der Stratosphäre.
• Wirbel sind markante Merkmale der Atmosphären anderer Planeten. Dazu gehören der permanente Große Rote Fleck auf Jupiter , der zeitweise auftretende Große Dunkle Fleck auf Neptun , die Polarwirbel der Venus , die Staubteufel auf dem Mars und das Nordpolarsechseck des Saturn .
• Sonnenflecken sind dunkle Bereiche auf der sichtbaren Oberfläche der Sonne ( Photosphäre ), die sich durch eine niedrigere Temperatur als ihre Umgebung und eine intensive magnetische Aktivität auszeichnen.
• Die Akkretionsscheiben von Schwarzen Löchern und anderen massereichen Gravitationsquellen
• Die Taylor-Couette-Strömung tritt in einer Flüssigkeit zwischen zwei ineinander verschachtelten Zylindern auf, wobei sich einer dreht und der andere feststeht.

• Loper, David E. (November 1966). Eine Analyse eingeschlossener magnetohydrodynamischer Wirbelströmungen (PDF) (NASA-Auftragnehmerbericht NASA CR-646). Washington: National Aeronautics and Space Administration. LCCN  67060315 .
• Batchelor, G. K. (1967). Einführung in die Strömungslehre . Cambridge University Press. Kap. 7 ff. ISBN 9780521098175Die
• Falkovich, G. (2011). Strömungsmechanik – ein Kurzkurs für Physiker . Cambridge University Press. ISBN 978-1-107-00575-4Die
• De La Fuente Marcos, C.; Barge, P. (2001). „Der Einfluss langlebiger Wirbelzirkulation auf die Dynamik von Staubpartikeln in der Mittelebene einer protoplanetaren Scheibe“ . Monthly Notices of the Royal Astronomical Society . 323 (3): 601–614 . Bibcode : 2001MNRAS.323..601D . doi : 10.1046/j.1365-8711.2001.04228.x .

• Optische Wirbel (Archiviert am 17. März 2013 im Internetarchiv Wayback Machine)
• Kapitel 3 Rotationsströmungen: Zirkulation und Turbulenz
• Wirbelströmungsforschungslabor (MIT) – Eine Einrichtung zur Erforschung von Strömungen in der Natur und Teil des Fachbereichs Ozeantechnik