Transferbetreiber

In der Mathematik kodiert der Transferoperator Informationen über eine iterierte Abbildung und wird häufig zur Untersuchung des Verhaltens dynamischer Systeme , der statistischen Mechanik , des Quantenchaos und von Fraktalen verwendet . In allen üblichen Fällen ist der größte Eigenwert 1, und der zugehörige Eigenvektor ist das invariante Maß des Systems.

Der Transferoperator wird manchmal auch Ruelle-Operator genannt , nach David Ruelle , oder Perron-Frobenius-Operator oder Ruelle-Perron-Frobenius-Operator , in Anlehnung an die Anwendbarkeit des Perron-Frobenius-Theorems zur Bestimmung der Eigenwerte des Operators.

Die zu untersuchende iterierte Funktion ist eine Abbildung für eine beliebige Menge . ${\displaystyle f\colon X\rightarrow X}$${\displaystyle X}$

Der Transferoperator ist definiert als ein Operator, der auf dem Raum der Funktionen wirkt als ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$${\displaystyle \{\Phi \colon X\rightarrow \mathbb {C} \}}$

${\displaystyle ({\mathcal {L}}\Phi )(x)=\sum _{y\,\in \,f^{-1}(x)}g(y)\Phi (y)}$

wobei eine Hilfsbewertungsfunktion ist. Wenn eine Jacobi- Determinante besitzt , dann wird üblicherweise als angenommen . ${\displaystyle g\colon X\rightarrow \mathbb {C} }$${\displaystyle f}$${\displaystyle |J|}$${\displaystyle g}$${\displaystyle g=1/|J|}$

Die obige Definition des Transferoperators lässt sich als Punktmengenlimes des maßtheoretischen Pushforwards von g zeigen : Im Wesentlichen ist der Transferoperator der direkte Bildfunktor in der Kategorie der messbaren Räume . Der linksadjungierte Operator des Perron-Frobenius-Operators ist der Koopman-Operator oder Kompositionsoperator . Der allgemeine Rahmen wird durch den Borelschen Funktionalkalkül bereitgestellt .

Im Allgemeinen lässt sich der Transferoperator als (Links-) Verschiebungsoperator auf einem Verschiebungsraum interpretieren . Die am häufigsten untersuchten Verschiebungen sind die Unterverschiebungen endlichen Typs . Die Adjungierte des Transferoperators kann analog dazu üblicherweise als Rechtsverschiebung interpretiert werden. Besonders gut untersuchte Rechtsverschiebungen sind der Jacobi-Operator und die Hessenberg-Matrix , die beide mittels einer Rechtsverschiebung Systeme orthogonaler Polynome erzeugen.

Während die Iteration einer Funktion naturgemäß zur Untersuchung der Bahnen von Punkten in X unter Iteration führt (Punktdynamik ) , definiert der Transferoperator die Entwicklung (glatter) Abbildungen unter Iteration. Daher treten Transferoperatoren typischerweise in physikalischen Problemen wie Quantenchaos und statistischer Mechanik auf , wo die zeitliche Entwicklung glatter Funktionen im Fokus steht. Dies wiederum findet medizinische Anwendung im rationalen Wirkstoffdesign , beispielsweise im Bereich der Molekulardynamik . ${\displaystyle f}$

Häufig ist der Transferoperator positiv und besitzt diskrete, positive, reellwertige Eigenwerte , wobei der größte Eigenwert gleich eins ist. Aus diesem Grund wird der Transferoperator auch als Frobenius-Perron-Operator bezeichnet.

Die Eigenfunktionen des Transferoperators sind üblicherweise Fraktale. Entspricht der Logarithmus des Transferoperators einem Quanten- Hamiltonoperator , liegen die Eigenwerte typischerweise sehr eng beieinander. Daher umfasst selbst ein sehr kleines und sorgfältig ausgewähltes Ensemble von Quantenzuständen eine große Anzahl sehr unterschiedlicher fraktaler Eigenzustände mit von null verschiedenem Träger über das gesamte Volumen. Dies kann genutzt werden, um viele Ergebnisse der klassischen statistischen Mechanik zu erklären, darunter die Irreversibilität der Zeit und die Zunahme der Entropie .

Der Transferoperator der Bernoulli-Abbildung ist exakt lösbar und ein klassisches Beispiel für deterministisches Chaos ; die diskreten Eigenwerte entsprechen den Bernoulli-Polynomen . Dieser Operator besitzt außerdem ein kontinuierliches Spektrum, das aus der Hurwitz-Zetafunktion besteht . ${\displaystyle b(x)=2x-\lfloor 2x\rfloor }$

Der Transferoperator der Gauß-Abbildung wird als Gauß-Kuzmin-Wirsing-Operator (GKW-Operator) bezeichnet . Die Theorie des GKW-Operators geht auf eine Hypothese von Gauß über Kettenbrüche zurück und ist eng mit der Riemannschen Zetafunktion verwandt . ${\displaystyle h(x)=1/x-\lfloor 1/x\rfloor }$

• Bernoulli-Schema
• Verschiebung endlichen Typs
• Satz von Krein-Rutman
• Transfermatrixmethode

• Gaspard, Pierre (1992). „r-adische eindimensionale Abbildungen und die Eulersche Summenformel“. J. Phys. A: Math. Gen. 25 ( 8): L483– L485. Bibcode : 1992JPhA...25L.483G . doi : 10.1088/0305-4470/25/8/017 .
• Gaspard, Pierre (1998). Chaos, Streuung und statistische Mechanik . Cambridge University Press . ISBN 0-521-39511-9Die
• Mackey, Michael C. (1992). Der Zeitpfeil: Die Ursprünge thermodynamischen Verhaltens . Springer-Verlag. ISBN 0-387-94093-6Die
• Mayer, Dieter H. (1978). Der Ruelle-Araki-Transferoperator in der klassischen statistischen Mechanik . Springer-Verlag. ISBN 0-387-09990-5Die
• Ruelle, David (1978). Thermodynamischer Formalismus: Die mathematischen Strukturen der klassischen statistischen Gleichgewichtsmechanik . Addison-Wesley, Reading. ISBN 0-201-13504-3Die
• Ruelle, David (2002). „Dynamische Zetafunktionen und Transferoperatoren“ (PDF) . Notices of the AMS . 49 (8): 887–895 .(Bietet einen einführenden Überblick).