Lagrangesche kohärente Struktur

Lagrangesche Kohärenzstrukturen ( LCS ) sind charakteristische Trajektorienflächen in einem dynamischen System , die über einen bestimmten Zeitraum einen wesentlichen Einfluss auf benachbarte Trajektorien ausüben. ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]} Die Art dieses Einflusses kann variieren, erzeugt aber stets ein kohärentes Trajektorienmuster, dessen theoretische Grundlage die zugrundeliegende LCS bildet. Bei der Beobachtung von Trajektorienmustern in der Natur lassen sich kohärente Merkmale leicht identifizieren, doch ist oft die zugrundeliegende Struktur, die diese Merkmale erzeugt, von besonderem Interesse.

Wie rechts dargestellt, reagieren einzelne Tracer-Trajektorien, die kohärente Muster bilden, im Allgemeinen empfindlich auf Änderungen ihrer Anfangsbedingungen und der Systemparameter. Im Gegensatz dazu erweisen sich die LCSs, die diese Trajektorienmuster erzeugen, als robust und liefern ein vereinfachtes Gerüst der Gesamtdynamik des Systems. ^{[ 1 ] [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ]} Die Robustheit dieses Gerüsts macht LCSs zu idealen Werkzeugen für Modellvalidierung, Modellvergleich und Benchmarking. LCSs können auch für Nowcasting und sogar für Kurzfristprognosen der Musterentwicklung in komplexen dynamischen Systemen verwendet werden.

^{Zu den physikalischen Phänomenen , die durch LCSs beeinflusst werden, gehören treibender Müll, Ölteppiche [7], Oberflächendriftkörper [8, 9} ] und ^{Chlorophyllmuster [ 10} ] ^{im Ozean ; Vulkanaschewolken [} 11 ] ^{und Sporen in} der ^{Atmosphäre [ 12} ] ^{sowie zusammenhängende Menschenansammlungen} [ ^{13 ] und} Tierformationen. Es wurde von Unterwassergleitern zur effizienten Navigation im Ozean genutzt ^{[ 14 ]} und es wird vermutet, dass Albatrosse es zur Nahrungssuche verwenden ^{[ 15 ]} .

Obwohl LCSs generell in jedem dynamischen System vorkommen, ist ihre Rolle bei der Erzeugung kohärenter Muster vielleicht am einfachsten in Fluidströmungen zu beobachten.

Betrachten wir auf einem Phasenraum und über einem Zeitintervall ein nicht-autonomes dynamisches System, das durch die Flussabbildung definiert ist , welche die Anfangsbedingungen auf ihre Position zu jedem Zeitpunkt abbildet . Ist die Flussabbildung ein Diffeomorphismus für eine beliebige Wahl von , so gilt für jede glatte Menge von Anfangsbedingungen in die Menge ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$${\displaystyle {\mathcal {I}}=[t_{0},t_{1}]}$${\displaystyle F_{t_{0}}^{t}\colon x_{0}\mapsto x(t,t_{0},x_{0})}$${\displaystyle x_{0}\in {\mathcal {P}}}$${\displaystyle x(t,t_{0},x_{0})\in {\mathcal {P}}}$${\displaystyle t\in {\mathcal {I}}}$${\displaystyle F_{t_{0}}^{t}}$${\displaystyle t\in {\mathcal {I}}}$${\displaystyle {\mathcal {M}}(t_{0})}$${\displaystyle {\mathcal {P}}}$

$${\displaystyle {\mathcal {M}}=\{(x,t)\in {\mathcal {P}}\times {\mathcal {I}}\,\colon [F_{t_{0}}^{t}]^{-1}(x)\in {\mathcal {M}}(t_{0})\}}$$

ist eine invariante Mannigfaltigkeit im erweiterten Phasenraum . In Anlehnung an die Terminologie der Fluiddynamik bezeichnen wir den sich entwickelnden Zeitabschnitt der Mannigfaltigkeit als materielle Oberfläche (siehe Abb. 1). Da jede Wahl der Anfangsbedingungen eine invariante Mannigfaltigkeit ergibt , sind invariante Mannigfaltigkeiten und die zugehörigen materiellen Oberflächen im erweiterten Phasenraum zahlreich und im Allgemeinen nicht unterscheidbar. Nur wenige von ihnen fungieren als Kerne kohärenter Trajektorienmuster. ${\displaystyle {\mathcal {P}}\times {\mathcal {I}}}$${\displaystyle {\mathcal {M}}(t)=F_{t_{0}}^{t}({\mathcal {M}}(t_{0}))}$${\displaystyle {\mathcal {M}}}$${\displaystyle {\mathcal {M}}(t_{0})}$${\displaystyle {\mathcal {M}}\in {\mathcal {P}}\times {\mathcal {I}}}$

Um ein zusammenhängendes Muster zu erzeugen, muss eine Materialoberfläche über den gesamten Zeitraum hinweg eine anhaltende und gleichmäßige Wirkung auf benachbarte Trajektorien ausüben . Beispiele für solche Wirkungen sind Anziehung, Abstoßung oder Scherung. Prinzipiell eignet sich jede wohldefinierte mathematische Eigenschaft, die aus zufällig gewählten, benachbarten Anfangsbedingungen zusammenhängende Muster erzeugt. ${\displaystyle {\mathcal {M}}(t)}$${\displaystyle {\mathcal {I}}}$

Die meisten dieser Eigenschaften lassen sich durch strikte Ungleichungen ausdrücken . Beispielsweise nennen wir eine Materialfläche anziehend über dem Intervall , wenn alle ausreichend kleinen Anfangsstörungen durch den Fluss in noch kleinere Endstörungen überführt werden . In der klassischen Theorie dynamischer Systeme werden invariante Mannigfaltigkeiten , die eine solche Anziehungseigenschaft über unendliche Zeiten erfüllen, als Attraktoren bezeichnet . Sie sind nicht nur speziell, sondern im Phasenraum sogar lokal eindeutig: Es existiert keine kontinuierliche Familie von Attraktoren. ${\displaystyle {\mathcal {M}}(t)}$${\displaystyle {\mathcal {I}}}$${\displaystyle {\mathcal {M}}(t_{0})}$${\displaystyle {\mathcal {M}}(t_{1})}$

Im Gegensatz dazu definieren in dynamischen Systemen , die über ein endliches Zeitintervall definiert sind , strikte Ungleichungen keine außergewöhnlichen (d. h. lokal eindeutigen) Materialflächen. Dies folgt aus der Stetigkeit der Flussabbildung über diesem Intervall . Wenn beispielsweise eine Materialfläche alle nahegelegenen Trajektorien über das Zeitintervall anzieht , dann zieht auch jede hinreichend nahegelegene andere Materialfläche an. ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$${\displaystyle F_{t_{0}}^{t}}$${\displaystyle {\mathcal {I}}}$${\displaystyle {\mathcal {M}}(t)}$${\displaystyle {\mathcal {I}}}$

Anziehende, abstoßende und scherende Materialoberflächen sind daher notwendigerweise übereinander gestapelt, d. h. sie bilden kontinuierliche Gruppen. Dies führt zu der Idee, in dynamischen Systemen endlicher Zeit nach LCSs (Local Concentration Squares) zu suchen, die als außergewöhnliche Materialoberflächen eine stärkere Kohärenz induzierende Eigenschaft aufweisen als alle benachbarten Oberflächen. Solche LCSs, definiert als Extrema (oder allgemeiner als stationäre Oberflächen) einer Kohärenzeigenschaft endlicher Zeit, dienen als beobachtbare Zentren von Trajektorienmustern. Beispiele für anziehende, abstoßende und scherende LCSs in einer direkten numerischen Simulation zweidimensionaler Turbulenz sind in Abb. 2a dargestellt.

Klassische invariante Mannigfaltigkeiten sind invariante Mengen im Phasenraum eines autonomen dynamischen Systems. Im Gegensatz dazu müssen LCSs lediglich im erweiterten Phasenraum invariant sein. Das bedeutet, dass die LCSs des Systems über das Intervall im Allgemeinen zeitabhängig sind, selbst wenn das zugrunde liegende dynamische System autonom ist. Sie fungieren als sich entwickelnde Gerüste beobachteter kohärenter Trajektorienmuster. Abbildung 2b zeigt den Unterschied zwischen einer anziehenden LCS und einer klassischen instabilen Mannigfaltigkeit eines Sattelpunkts für sich entwickelnde Zeiten in einem autonomen dynamischen System. ^{[ 4 ]}${\displaystyle {\mathcal {P}}}$${\displaystyle I}$

Angenommen, der Phasenraum des zugrunde liegenden dynamischen Systems ist der materielle Konfigurationsraum eines Kontinuums, wie beispielsweise eines Fluids oder eines deformierbaren Körpers. Zum Beispiel für ein dynamisches System, das durch ein instationäres Geschwindigkeitsfeld erzeugt wird. $${\displaystyle v=v(x,t),\qquad x\in U\subset \mathbb {R} ^{3},}$$

Die offene Menge möglicher Partikelpositionen bildet einen Materialkonfigurationsraum. In diesem Raum sind LCSs (Lineare Konfigurationsflächen) Materialoberflächen, die durch Trajektorien gebildet werden. Ob eine Materialtrajektorie in einer LCS enthalten ist, ist eine Eigenschaft, die unabhängig von der Wahl der Koordinaten und somit nicht vom Beobachter abhängt. Folglich unterliegen LCSs der grundlegenden Objektivitätsanforderung (Materialrahmenunabhängigkeit) der Kontinuumsmechanik. ^{[ 4 ]} Die Objektivität von LCSs erfordert ihre Invarianz gegenüber allen möglichen Beobachteränderungen, d. h. linearen Koordinatenänderungen der Form , wobei der Vektor der transformierten Koordinaten ist; eine beliebige orthogonale Matrix , die zeitabhängige Rotationen repräsentiert; und ein beliebiger -dimensionaler Vektor, der zeitabhängige Translationen repräsentiert. Folglich sollte jede selbstkonsistente LCS-Definition oder jedes Kriterium durch rahmeninvariante Größen ausdrückbar sein. Beispielsweise transformieren sich die als definierte Dehnungsrate und der Spintensor unter euklidischen Rahmenänderungen in die Größen ${\displaystyle U}$$${\displaystyle x=Q(t)y+b(t),}$$${\displaystyle y\in \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle Q(t)}$${\displaystyle 3\times 3}$${\displaystyle b(t)}$${\displaystyle 3}$${\displaystyle S(x,t)}$${\displaystyle W(x,t)}$$${\displaystyle S(x,t)={\frac {1}{2}}\left(\nabla v(x,t)+(\nabla v(x,t))^{T}\right),\qquad W(x,t)={\frac {1}{2}}\left(\nabla v(x,t)-(\nabla v(x,t))^{T}\right),}$$$${\displaystyle {\tilde {S}}(y,t)=Q(t)^{T}S(x,t)Q(t),\qquad {\tilde {W}}(y,t)=Q(t)^{T}W(x,t)Q(t)-Q(t)^{T}{\dot {Q}}(t).}$$

Ein euklidischer Bezugssystemwechsel ist daher äquivalent zu einer Ähnlichkeitstransformation für , und somit ist ein LCS-Ansatz, der nur von den Eigenwerten und Eigenvektoren von ^{[ 16 ] [ 17 ]} abhängt , automatisch rahmeninvariant. Im Gegensatz dazu ist ein LCS-Ansatz, der von den Eigenwerten von abhängt, im Allgemeinen nicht rahmeninvariant. ${\displaystyle S(x,t)}$${\displaystyle S(x,t)}$${\displaystyle W(x,t)}$

Eine Reihe von rahmenabhängigen Größen, wie z . B. , , , sowie deren Mittelwerte oder Eigenwerte, werden routinemäßig in der heuristischen LCS-Erkennung verwendet. Obwohl solche Größen Merkmale des momentanen Geschwindigkeitsfeldes effektiv markieren können , ist ihre Fähigkeit, Materialmischung, Transport und Kohärenz zu erfassen, in einem gegebenen Bezugssystem begrenzt und a priori unbekannt. Betrachten wir beispielsweise die lineare, instationäre Bewegung von Fluidpartikeln ^{[ 4 ].}${\displaystyle \nabla v(x,t)}$${\displaystyle {W}(y,t)}$${\displaystyle \nabla F_{t_{0}}^{t}}$${\displaystyle v(x,t)}$

$${\displaystyle {\dot {x}}=v(x,t)={\begin{pmatrix}\sin {4t}&2+\cos {4t}\\-2+\cos {4t}&-\sin {4t}\end{pmatrix}}x,}$$

Dies ist eine exakte Lösung der zweidimensionalen Navier-Stokes-Gleichungen . Das (rahmenabhängige) Okubo-Weiss-Kriterium klassifiziert das gesamte Gebiet dieser Strömung als elliptisch (wirbelförmig) , da gilt, wobei sich auf die euklidische Matrixnorm bezieht . Wie in Abb. 3 zu sehen ist, wachsen die Trajektorien jedoch exponentiell entlang einer rotierenden Linie und schrumpfen exponentiell entlang einer anderen rotierenden Linie. ^{[ 4 ]} Materiell betrachtet ist die Strömung daher in jedem Bezugssystem hyperbolisch (sattelförmig). ${\displaystyle q={\frac {1}{2}}({\vert S\vert }^{2}-{\vert W\vert }^{2})<0}$${\displaystyle \vert \,\cdot \,\vert }$

Da die Newtonschen Gleichungen für die Teilchenbewegung und die Navier-Stokes-Gleichungen für die Flüssigkeitsbewegung bekanntermaßen rahmenabhängig sind, mag es zunächst kontraintuitiv erscheinen, Rahmeninvarianz für LCSs zu fordern, die aus Lösungen dieser rahmenabhängigen Gleichungen bestehen. Man sollte jedoch bedenken, dass die Newtonschen und Navier-Stokes-Gleichungen objektive physikalische Prinzipien für die Trajektorien materieller Teilchen darstellen . Solange sie korrekt von einem Bezugssystem in ein anderes transformiert werden, erzeugen diese Gleichungen physikalisch dieselben materiellen Trajektorien im neuen Bezugssystem. Tatsächlich legen wir die Transformation der Bewegungsgleichungen von einem -Bezugssystem in ein -Bezugssystem durch einen Koordinatenwechsel genau dadurch fest, dass wir die Abbildung von Trajektorien auf Trajektorien fordern, d. h., dass für alle Zeiten gilt. Die zeitliche Differentiation dieser Identität und deren Einsetzen in die ursprüngliche Gleichung im -Bezugssystem liefert dann die transformierte Gleichung im -Bezugssystem. Dieser Prozess fügt zwar neue Terme (Trägheitskräfte) zu den Bewegungsgleichungen hinzu, doch dienen diese Trägheitsterme genau der Sicherstellung der Invarianz materieller Trajektorien. Da LCS vollständig aus materiellen Trajektorien bestehen, bleiben sie in der transformierten Bewegungsgleichung im Bezugssystem invariant. Folglich muss jede selbstkonsistente LCS-Definition oder -Erkennungsmethode ebenfalls rahmeninvariant sein. ${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x=Q(t)y+b(t)}$${\displaystyle x(t)=Q(t)y(t)+b(t)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle y}$

Ausgehend von der obigen Diskussion lässt sich eine anziehende LCS am einfachsten als die lokal stärkste anziehende Materialoberfläche im erweiterten Phasenraum definieren (siehe Abb. 4). Analog dazu kann eine abstoßende LCS als die lokal stärkste abstoßende Materialoberfläche definiert werden. Anziehende und abstoßende LCS werden zusammenfassend als hyperbolische LCS bezeichnet [ ^{2 , 4 ], da} sie eine Verallgemeinerung des klassischen Konzepts der normalerweise hyperbolischen invarianten Mannigfaltigkeiten in dynamischen Systemen ^für endliche Zeiträume darstellen . ${\displaystyle {\mathcal {P}}\times {\mathcal {I}}}$

Heuristisch kann man die Anfangspositionen abstoßender LCSs als Anfangsbedingungen bestimmen, bei denen infinitesimale Störungen von Trajektorien, die von einem Punkt ausgehen, lokal am stärksten im Vergleich zu Trajektorien anwachsen, die von einem anderen Punkt ausgehen . ^{[ 2 ] [ 18 ]} Der heuristische Ansatz besteht darin, anstatt eine stark abstoßende Materialoberfläche zu konstruieren, einfach Punkte mit großem Partikelabstand zu suchen. Ein solcher Abstand kann durchaus durch starke Scherung entlang der so identifizierten Punkte verursacht werden; es ist jedoch keineswegs garantiert, dass diese Punkte eine normale Abstoßung auf benachbarte Trajektorien ausüben. ${\displaystyle {\mathcal {M}}(t_{0})}$${\displaystyle {\mathcal {M}}(t_{0})}$${\displaystyle {\mathcal {M}}(t_{0})}$

Das Wachstum einer infinitesimalen Störung entlang einer Trajektorie wird durch den Gradienten der Flussabbildung bestimmt . Sei eine kleine Störung der Anfangsbedingung , mit , wobei ein beliebiger Einheitsvektor in ist . Diese Störung wächst im Allgemeinen entlang der Trajektorie zum Störungsvektor . Dann lässt sich die maximale relative Streckung infinitesimaler Störungen am Punkt berechnen als ${\displaystyle {\xi }(t)}$${\displaystyle x(t,t_{0},x_{0})}$${\displaystyle \nabla F_{t_{0}}^{t}}$${\displaystyle \epsilon {\xi }(t_{0})}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle 0<\epsilon \ll 1}$${\displaystyle \xi (t_{0})}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle x(t,t_{0},x_{0})}$${\displaystyle {\xi }_{\epsilon }(t_{1};x_{0})=\nabla F_{t_{0}}^{t_{1}}(x_{0})\epsilon {\xi }(t_{0})}$${\displaystyle x_{0}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\delta _{t_{0}}^{t_{1}}(x_{0})&=\lim _{\epsilon \to 0}{\frac {1}{\epsilon }}\max _{\left|\xi (t_{0})\right|=1}\left|\xi _{\epsilon }(t_{1};x_{0})\right|\\&=\max _{\left|\xi (t_{0})\right|=1}{\sqrt {\left\langle \nabla F_{t_{0}}^{t_{1}}(x_{0})\xi (t_{0}),\nabla F_{t_{0}}^{t_{1}}(x_{0})\xi (t_{0})\right\rangle }}\\&=\max _{\left|\xi (t_{0})\right|=1}{\sqrt {\left\langle \xi (t_{0}),C_{t_{0}}^{t_{1}}(x_{0})\xi (t_{0})\right\rangle }}\\\end{aligned}}}$$

wobei den rechten Cauchy-Green-Verzerrungstensor bezeichnet . Daraus folgt ^{[ 2 ]} , dass die maximale relative Dehnung entlang einer Trajektorie, die von ausgeht, genau beträgt . Da diese relative Dehnung tendenziell schnell ansteigt, ist es zweckmäßiger, mit ihrem Wachstumsexponenten zu arbeiten , der dann genau dem Lyapunov-Exponenten endlicher Zeit (FTLE) entspricht.${\displaystyle C_{t_{0}}^{t_{1}}=\left[\nabla F_{t_{0}}^{t_{1}}\right]^{T}\nabla F_{t_{0}}^{t_{1}}}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle \delta _{t_{0}}^{t_{1}}(x_{0})={\sqrt {\lambda _{n}(x_{0})}}}$${\displaystyle (\log {\delta _{t_{0}}^{t_{1}}})/(t_{1}-t_{0})}$

$${\displaystyle \mathrm {FTLE} _{t_{0}}^{t_{1}}(x_{0})={\frac {1}{2(t_{1}-t_{0})}}\log \lambda _{n}(x_{0}).}$$

Daher erwartet man, dass hyperbolische LCSs als lokale Maximierungsflächen (oder Kanten ) der Kodimension eins des FTLE-Feldes auftreten. ^{[ 2 ] [ 20 ]} Diese Erwartung erweist sich in den meisten Fällen als gerechtfertigt: Die Zeitpunkte abstoßender LCSs sind durch Kanten markiert . Wendet man dasselbe Argument in der Rückwärtszeit an, so erhält man, dass die Zeitpunkte anziehender LCSs durch Kanten des rückwärts gerichteten FTLE-Feldes markiert sind . ${\displaystyle t_{0}}$${\displaystyle \mathrm {FTLE} _{t_{0}}^{t_{1}}(x_{0})}$${\displaystyle t_{1}}$${\displaystyle \mathrm {FTLE} _{t_{1}}^{t_{0}}}$

Die klassische Methode zur Berechnung von Lyapunov-Exponenten besteht in der Lösung einer linearen Differentialgleichung für die linearisierte Flussabbildung . Ein effizienterer Ansatz ist die Berechnung des FTLE-Feldes mittels einer einfachen Finite-Differenzen-Approximation des Deformationsgradienten. ^{[ 2 ]} Beispielsweise wird in einer dreidimensionalen Strömung eine Trajektorie von einem beliebigen Element eines Gitters von Anfangsbedingungen aus gestartet. Mithilfe der Koordinatendarstellung der sich entwickelnden Trajektorie wird der Gradient der Flussabbildung approximiert als ${\displaystyle \nabla F_{t_{0}}^{t}(x_{0})}$${\displaystyle x(t;t_{0},x_{0})}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle x=(x^{1},x^{2},x^{3})}$${\displaystyle x(t;t_{0},x_{0})}$$${\displaystyle \nabla F_{t_{0}}^{t}(x_{0})\approx {\begin{pmatrix}{\frac {x^{1}(t;t_{0},x_{0}+\delta _{1})-x^{1}(t;t_{0},x_{0}-\delta _{1})}{\left|2\delta _{1}\right|}}&{\frac {x^{1}(t;t_{0},x_{0}+\delta _{2})-x^{1}(t;t_{0},x_{0}-\delta _{2})}{\left|2\delta _{2}\right|}}&{\frac {x^{1}(t;t_{0},x_{0}+\delta _{3})-x^{1}(t;t_{0},x_{0}-\delta _{3})}{\left|2\delta _{3}\right|}}\\{\frac {x^{2}(t;t_{0},x_{0}+\delta _{1})-x^{2}(t;t_{0},x_{0}-\delta _{1})}{\left|2\delta _{1}\right|}}&{\frac {x^{2}(t;t_{0},x_{0}+\delta _{2})-x^{2}(t;t_{0},x_{0}-\delta _{2})}{\left|2\delta _{2}\right|}}&{\frac {x^{2}(t;t_{0},x_{0}+\delta _{3})-x^{2}(t;t_{0},x_{0}-\delta _{3})}{\left|2\delta _{3}\right|}}\\{\frac {x^{3}(t;t_{0},x_{0}+\delta _{1})-x^{3}(t;t_{0},x_{0}-\delta _{1})}{\left|2\delta _{1}\right|}}&{\frac {x^{3}(t;t_{0},x_{0}+\delta _{2})-x^{3}(t;t_{0},x_{0}-\delta _{2})}{\left|2\delta _{2}\right|}}&{\frac {x^{3}(t;t_{0},x_{0}+\delta _{3})-x^{3}(t;t_{0},x_{0}-\delta _{3})}{\left|2\delta _{3}\right|}}\end{pmatrix}},}$$

mit einem kleinen Vektor, der in Koordinatenrichtung zeigt. Bei zweidimensionalen Strömungen ist nur die erste Nebenmatrix der obigen Matrix relevant. ${\displaystyle \delta _{i}}$${\displaystyle x^{i}}$${\displaystyle 2\times 2}$

FTLE-Rillen haben sich als einfaches und effizientes Werkzeug zur Visualisierung hyperbolischer LCSs in einer Reihe physikalischer Probleme erwiesen und liefern faszinierende Bilder der Anfangspositionen hyperbolischer LCSs in verschiedenen Anwendungen (siehe z. B. Abb. 5a-b). Allerdings bilden FTLE-Rillen, die über gleitende Zeitfenster gewonnen werden, keine Materialoberflächen. Daher können Rillen unter variierendem t nicht zur Definition von Lagrange-Objekten wie hyperbolischen LCSs verwendet werden . Tatsächlich spielt eine lokal stärkste abstoßende Materialoberfläche über t im Allgemeinen nicht dieselbe Rolle über t , und daher ist ihre sich entwickelnde Position zum Zeitpunkt t keine Rille für t ≥ 0. Dennoch wurden sich entwickelnde FTLE-Rillen zweiter Ableitung ^{[ 23 ]} , die über gleitende Intervalle der Form t = 0 berechnet wurden, von einigen Autoren allgemein mit LCSs identifiziert. ^{[ 23 ]} Zur Unterstützung dieser Identifizierung wird oft argumentiert, dass der Materialfluss über solche gleitenden FTLE-Rillen notwendigerweise klein sein sollte. ^{[ 23 ] [ 24 ] [ 25 ] [ 26 ]}${\displaystyle [t_{0}+T,t_{1}+T]}$${\displaystyle \mathrm {FTLE} _{t_{0}+T}^{t_{1}+T}(x_{0})}$${\displaystyle T}$${\displaystyle [t_{0},t_{1}]}$${\displaystyle [t_{0}+T,t_{1}+T]}$${\displaystyle t_{0}+T}$${\displaystyle \mathrm {FTLE} _{t_{0}+T}^{t_{1}+T}}$${\displaystyle [t_{0}+T,t_{1}+T]}$

Die Identifizierung "FTLE ridge=LCS" ^{[ 23 ] [ 24 ]} leidet jedoch unter folgenden konzeptionellen und mathematischen Problemen:

• Die FTLE-Kammstrukturen zweiter Ordnung sind notwendigerweise gerade Linien und existieren daher in physikalischen Problemen nicht. ^{[ 27 ] [ 28 ]}
• Die über gleitende Zeitfenster mit variierendem berechneten FTLE-Kammstrukturen sind im Allgemeinen nicht Lagrange'sch, und der Fluss durch sie ist im Allgemeinen nicht klein. ^{[ 29 ]}${\displaystyle [t_{0}+T,t_{1}+T]}$${\displaystyle T}$
• Insbesondere ist eine viel zitierte Materialflussformel ^{[ 23 ] [ 24 ] [ 25 ]} für FTLE-Kanten falsch , ^{[ 4 ] [ 29 ]} selbst für gerade FTLE-Kanten.
• FTLE-Kanten markieren hyperbolische LCS-Positionen, heben aber auch Oberflächen mit hoher Scherung hervor. ^{[ 20 ]} In Anwendungen tritt häufig eine komplexe Mischung beider Oberflächentypen auf (siehe Abb. 6 für ein Beispiel).
• Neben den hyperbolischen LCS, die durch FTLE-Kämme hervorgehoben werden, gibt es noch einige andere Arten von LCS (elliptische und parabolische) ^{[ 4 ].}

Die lokale Variationstheorie hyperbolischer LCSs baut auf deren ursprünglicher Definition als stärkste abstoßende oder abstoßende Materialflächen in der Strömung über das Zeitintervall auf . ^{[ 2 ]} Sei an einem Anfangspunkt eine Einheitsnormale auf eine anfängliche Materialfläche (vgl. Abb. 7). Aufgrund der Invarianz von Materiallinien wird der Tangentialraum durch die linearisierte Strömungsabbildung in den Tangentialraum von abgebildet . Gleichzeitig bleibt das Bild der Normalen unter im Allgemeinen nicht senkrecht zu . Daher entwickelt die advektierte Normale neben einer Normalkomponente der Länge auch eine Tangentialkomponente der Länge (vgl. Abb. 7). ${\displaystyle [t_{0},t_{1}]}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle n_{0}}$${\displaystyle {\mathcal {M}}(t_{0})}$${\displaystyle T_{x_{0}}{\mathcal {M}}(t_{0})}$${\displaystyle T_{x_{1}}{\mathcal {M}}(t_{1})}$${\displaystyle \nabla F_{t_{0}}^{t_{1}}(x_{0})}$${\displaystyle n_{0}}$${\displaystyle \nabla F_{t_{0}}^{t_{1}}(x_{0})}$${\displaystyle {\mathcal {M}}(t_{1})}$${\displaystyle \rho _{t_{0}}^{t_{1}}(x_{0,}n_{0})}$${\displaystyle \sigma _{t_{0}}^{t_{1}}(x_{0},n_{0})}$

Wenn , dann stößt die sich entwickelnde Materialoberfläche nahegelegene Trajektorien am Ende des Zeitintervalls strikt ab . Analog dazu signalisiert , dass nahegelegene Trajektorien entlang ihrer Normalenrichtungen strikt angezogen werden. Eine abstoßende (anziehende) LCS über dem Intervall kann als Materialoberfläche definiert werden , deren Nettoabstoßung punktweise maximal (minimal) bezüglich Störungen des anfänglichen Normalenvektorfeldes ist . Wie bereits erwähnt, bezeichnen wir abstoßende und anziehende LCSs zusammenfassend als hyperbolische LCSs . ^{[ 2 ]}${\displaystyle \rho _{t_{0}}^{t_{1}}(x_{0},n_{0})>1}$${\displaystyle {\mathcal {M}}(t)}$${\displaystyle [t_{0},t_{1}]}$${\displaystyle \rho _{t_{0}}^{t_{1}}(x_{0},n_{0})<1}$${\displaystyle {\mathcal {M}}(t)}$${\displaystyle [t_{0},t_{1}]}$${\displaystyle {\mathcal {M}}(t)}$${\displaystyle \rho _{t_{0}}^{t_{1}}(x_{0},n_{0})}$${\displaystyle n_{0}}$

Die Lösung dieser lokalen Extremalprinzipien für hyperbolische LCSs in zwei und drei Dimensionen liefert Einheitsnormalenvektorfelder, an die hyperbolische LCSs überall tangential anliegen sollten. ^{[ 30 ] [ 31 ] [ 32 ]} Die Existenz solcher Normalenflächen erfordert im dreidimensionalen Fall außerdem eine Integrabilitätsbedingung vom Frobenius-Typ . Alle diese Ergebnisse lassen sich wie folgt zusammenfassen: ^{[ 4 ]}

Hyperbolische LCS-Bedingungen aus der lokalen Variationstheorie in den Dimensionen n=2 und n=3

LCS	Normalenvektorfeld von für${\displaystyle {\mathcal {M}}(t_{0})}$${\displaystyle n=2,3}$	ODE für n=2 ${\displaystyle {\mathcal {M}}(t_{0})}$	PDE vom Frobenius-Typ für für n=3 ${\displaystyle {\mathcal {M}}(t_{0})}$
Anziehend	${\displaystyle \xi _{1}(x_{0})}$	${\displaystyle x_{0}^{\prime }=\xi _{2}(x_{0})}$( Dehnfalten )	${\displaystyle \left\langle \nabla \times \xi _{1}(x_{0}),\xi _{1}(x_{0})\right\rangle =0}$( Streckflächen )
Abstoßend	${\displaystyle \xi _{n}(x_{0})}$	${\displaystyle x_{0}^{\prime }=\xi _{1}(x_{0})}$( Linien verkleinern )	${\displaystyle \left\langle \nabla \times \xi _{3}(x_{0}),\xi _{3}(x_{0})\right\rangle =0}$( Schrumpfflächen )

Abstoßende LCSs werden als die meisten abstoßenden Schrumpfungslinien ausgehend von lokalen Maxima ermittelt . Anziehende LCSs werden als die meisten anziehenden Streckungslinien ausgehend von lokalen Minima ermittelt . Diese Startpunkte dienen als Anfangspositionen außergewöhnlicher Sattelpunkttrajektorien in der Strömung. Ein Beispiel für die lokale Variationsberechnung einer abstoßenden LCS ist in Abb. 8 dargestellt. Der Berechnungsalgorithmus ist im LCS-Tool verfügbar. ${\displaystyle \lambda _{2}(x_{0})}$${\displaystyle \lambda _{1}(x_{0})}$

Bei dreidimensionalen Strömungen ist es einfacher, anstatt die Frobenius-PDE (siehe Tabelle oben) für hyperbolische LCSs zu lösen, Schnittpunkte hyperbolischer LCSs mit ausgewählten zweidimensionalen Ebenen zu konstruieren und eine Fläche numerisch an eine große Anzahl solcher Schnittkurven anzupassen. Die Einheitsnormale einer zweidimensionalen Ebene sei mit . Die Schnittkurve einer abstoßenden zweidimensionalen LCS-Fläche mit der Ebene ist sowohl senkrecht zu als auch zur Einheitsnormalen der LCS. Folglich erfüllt eine Schnittkurve die gewöhnliche Differentialgleichung (ODE). ${\displaystyle \Pi }$${\displaystyle n_{\Pi }}$${\displaystyle \Pi }$${\displaystyle n_{\Pi }}$${\displaystyle \xi _{3}(x_{0})}$${\displaystyle x_{0}(s)}$

$${\displaystyle x_{0}^{\prime }=\xi _{3}(x_{0})\times n_{\Pi },}$$

Deren Trajektorien bezeichnen wir als reduzierte Schrumpfungslinien . ^{[ 32 ]} (Streng genommen handelt es sich bei dieser Gleichung nicht um eine gewöhnliche Differentialgleichung, da ihre rechte Seite kein Vektorfeld, sondern ein Richtungsfeld ist, welches im Allgemeinen nicht global orientierbar ist.) Schnittpunkte hyperbolischer LCSs mit sind die am schnellsten kontrahierenden reduzierten Schrumpfungslinien. Die Bestimmung solcher Schrumpfungslinien in einer glatten Familie benachbarter Ebenen und die anschließende Anpassung einer Fläche an die so erhaltene Kurvenschar liefert eine numerische Approximation einer zweidimensionalen abstoßenden LCS. ^{[ 32 ]}${\displaystyle \Pi }$${\displaystyle \Pi }$

Eine allgemeine Materialoberfläche erfährt bei ihrer Deformation Scherung und Dehnung, die beide aufgrund der Stetigkeit der Abbildung stetig von den Anfangsbedingungen abhängen . Die gemittelte Dehnung und Scherung innerhalb eines Streifens eng beieinander liegender Materiallinien weisen daher typischerweise innerhalb eines solchen Streifens Variationen auf. Die zweidimensionale Geodätentheorie der LCSs sucht nach besonders kohärenten Stellen, an denen dieser allgemeine Trend nicht mehr gilt. Dies führt zu einer um eine Größenordnung geringeren Variabilität der Scherung oder Dehnung als üblicherweise über einen Streifen zu erwarten wäre. Konkret sucht die Geodätentheorie nach LCSs als speziellen Materiallinien, um die herum Materialstreifen weder in der über die Materiallinien gemittelten Scherung ( scherungsfreie LCSs ) noch in der über die Materiallinien gemittelten Dehnung ( dehnungsfreie oder elliptische LCSs ) Variabilität aufweisen. Solche LCSs erweisen sich als Nullgeodäten geeigneter metrischer Tensoren, die durch das Deformationsfeld definiert sind – daher der Name dieser Theorie. ${\displaystyle F_{t_{0}}^{t}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}(\epsilon )}$${\displaystyle {\mathcal {O}}(\epsilon )}$${\displaystyle {\mathcal {O}}(\epsilon )}$${\displaystyle {\mathcal {O}}(\epsilon )}$${\displaystyle {\mathcal {O}}(\epsilon )}$

Es wurde festgestellt, dass scherungsfreie LCSs Nullgeodäten eines Lorentzschen metrischen Tensors sind, der wie folgt definiert ist ^{[ 33 ].}${\displaystyle D_{t_{0}}^{t_{1}}}$

$${\displaystyle D_{t_{0}}^{t_{1}}(x_{0})={\frac {1}{2}}\left[C_{t_{0}}^{t_{1}}(x_{0})\Omega -\Omega C_{t_{0}}^{t_{1}}(x_{0})\right],\qquad \Omega ={\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\\\end{pmatrix}}.}$$

Es lässt sich zeigen, dass solche Nullgeodäten Tensorlinien des Cauchy-Green-Verzerrungstensors sind, d. h. sie tangieren das Richtungsfeld, das durch die Verzerrungseigenvektorfelder gebildet wird . ^{[ 33 ]} Genauer gesagt sind abstoßende LCSs Trajektorien, die von lokalen Maxima des Eigenwertfelds ausgehen. Anziehende LCSs hingegen sind Trajektorien, die von lokalen Minima des Eigenwertfelds ausgehen. Dies stimmt mit den Ergebnissen der lokalen Variationstheorie der LCSs überein. Der geodätische Ansatz verdeutlicht zudem die Robustheit hyperbolischer LCSs: Hyperbolische LCSs bleiben nur dann stationäre Kurven des gemittelten Scherfunktionals, wenn ihre Endpunkte fixiert sind. Dies steht im Gegensatz zu parabolischen LCSs (siehe unten), die ebenfalls scherungsfreie LCSs sind, aber auch unter beliebigen Variationen als stationäre Kurven des Scherfunktionals bestehen bleiben. Folglich sind individuelle Entwicklungsverläufe objektiv, und Aussagen über die von ihnen gebildeten kohärenten Strukturen sollten ebenfalls objektiv sein. ${\displaystyle \xi _{i}(x_{0})}$${\displaystyle x_{0}^{\prime }=\xi _{1}(x_{0})}$${\displaystyle \lambda _{2}(x_{0})}$${\displaystyle x_{0}^{\prime }=\xi _{2}(x_{0})}$${\displaystyle \lambda _{1}(x_{0})}$

Ein Anwendungsbeispiel ist in Abb. 9 dargestellt, wo das plötzliche Auftreten eines hyperbolischen Kerns (stärkster anziehender Teil einer Strecklinie) innerhalb des Ölteppichs die bemerkenswerte Tiger-Schwanz-Instabilität in der Form des Ölteppichs verursachte.

Elliptische LCSs sind geschlossene und verschachtelte Materialoberflächen, die als Bausteine ​​der Lagrange’schen Äquivalente von Wirbeln fungieren, d. h. rotationsdominierte Trajektorienbereiche, die den Phasenraum im Allgemeinen ohne wesentliche Dehnung oder Faltung durchlaufen. Sie ahmen das Verhalten von Kolmogorov-Arnold-Moser (KAM)-Tori nach , die elliptische Bereiche in Hamiltonschen Systemen bilden . Ihre Kohärenz kann entweder durch ihre homogene Materialrotation oder durch ihre homogenen Dehnungseigenschaften erreicht werden.

Als einfachste Methode zur Beschreibung der Rotationskohärenz kann man ein elliptisches LCS als röhrenförmige Materialoberfläche definieren, entlang derer kleine Materialvolumina im betrachteten Zeitintervall dieselbe Nettorotation ausführen. ^{[ 34 ]} Eine Herausforderung besteht darin, dass in jedem Materialvolumenelement alle einzelnen Materialfasern (Tangentenvektoren der Trajektorien) unterschiedliche Rotationen ausführen. ${\displaystyle [t_{0},t_{1}]}$

Um eine wohldefinierte Volumenrotation für jedes Materialelement zu erhalten, kann man die eindeutigen links- und rechtspolaren Zerlegungen des Strömungsgradienten in der Form verwenden.

$${\displaystyle \nabla F_{t_{0}}^{t_{1}}=R_{t_{0}}^{t_{1}}U_{t_{0}}^{t_{1}}=V_{t_{0}}^{t_{1}}R_{t_{0}}^{t_{1}},}$$ Der eigentliche orthogonale Tensor wird als Rotationstensor bezeichnet , und die symmetrischen, positiv definiten Tensoren werden als linker Strecktensor bzw. rechter Strecktensor bezeichnet . ${\displaystyle R_{t_{0}}^{t_{1}}}$${\displaystyle U_{t_{0}}^{t_{1}},V_{t_{0}}^{t_{1}}}$

Da der Cauchy-Green-Verzerrungstensor als die lokale Materialverzerrung dargestellt werden kann, die durch die Eigenwerte und Eigenvektoren von beschrieben wird, werden diese vollständig durch die Singulärwerte und Singulärvektoren der Streckungstensoren erfasst. Der verbleibende Faktor im Deformationsgradienten wird durch dargestellt , interpretiert als die Rotationskomponente der Volumenelemente im Festkörper. Bei ebenen Bewegungen ist diese Rotation relativ zur Normalen der Ebene definiert. Im dreidimensionalen Raum ist die Rotation relativ zur Achse definiert, die durch den Eigenvektor von zum Eigenwert 1 entsprechenden Wert definiert ist. Bei höherdimensionalen Strömungen kann der Rotationstensor nicht als Rotation um eine einzelne Achse betrachtet werden. $${\displaystyle C_{t_{0}}^{t_{1}}=[\nabla F_{t_{0}}^{t_{1}}]^{T}\nabla F_{t_{0}}^{t_{1}}=U_{t_{0}}^{t_{1}}U_{t_{0}}^{t_{1}}=V_{t_{0}}^{t_{1}}V_{t_{0}}^{t_{1}},}$$${\displaystyle C_{t_{0}}^{t_{1}}}$${\displaystyle R_{t_{0}}^{t_{1}}}$${\displaystyle R_{t_{0}}^{t_{1}}}$

In zwei und drei Dimensionen existiert daher ein polarer Rotationswinkel (PRA) , der die durch die Strömung hervorgerufene Materialrotation eines Volumenelements mit Mittelpunkt im Anfangszustand charakterisiert . Dieser PRA ist bis auf Vielfache von wohldefiniert . Für zweidimensionale Strömungen kann der PRA aus den Invarianten von mithilfe der Formeln ^{[ 34 ] berechnet werden.}${\displaystyle \theta _{t_{0}}^{t_{1}}(x_{0})}$${\displaystyle R_{t_{0}}^{t_{1}}}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle 2\pi }$${\displaystyle C_{t_{0}}^{t_{1}}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\cos \theta _{t_{0}}^{t_{1}}&={\frac {\langle \xi _{i},\nabla F_{t_{0}}^{t_{1}}\xi _{i}\rangle }{\sqrt {\lambda _{i}}}},\quad i=1\,\,or\,\,\,2,\\\sin \theta _{t_{0}}^{t_{1}}&=\left(-1\right)^{j}{\frac {\langle \xi _{i},\nabla F_{t_{0}}^{t_{1}}\xi _{j}\rangle }{\sqrt {\lambda _{j}}}},\qquad (i,j)=(1,2)\,\,or\,\,(2,1),\\\end{aligned}}}$$

die über die Formel eine Vier-Quadranten-Version der PRA ergeben

$${\displaystyle \theta _{t_{0}}^{t}=\left[1-{\rm {sign\,}}\left(\sin \theta _{t_{0}}^{t}\right)\right]\pi +{\rm {sign\,}}\left(\sin \theta _{t_{0}}^{t}\right)\cos ^{-1}\left(\cos \theta _{t_{0}}^{t}\right).}$$

Bei dreidimensionalen Strömungen kann die PRA wiederum aus den Invarianten der Formeln ^{[ 34 ] berechnet werden.}${\displaystyle C_{t_{0}}^{t_{1}}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\cos \theta _{t_{0}}^{t}&={\frac {1}{2}}\left(\sum _{i=1}^{3}{\frac {\left\langle \xi _{i},\nabla F_{t_{0}}^{t_{1}}\xi _{i}\right\rangle }{\sqrt {\lambda _{i}}}}-1\right),\\\sin \theta _{t_{0}}^{t}&={\frac {\left\langle \xi _{i},\nabla F_{t_{0}}^{t_{1}}\xi _{j}\right\rangle -\left\langle \xi _{j},\nabla F_{t_{0}}^{t_{1}}\xi _{i}\right\rangle }{2\epsilon _{ijk}e_{k}}},\qquad i\neq j,\end{aligned}}}$$ wobei das Levi-Civita-Symbol ist und der Eigenvektor zum Einheits-Eigenvektor der Matrix ist . ${\displaystyle \epsilon _{ijk}}$${\displaystyle \mathbf {e} =\left\{e_{k}\right\}}$${\displaystyle \left[K_{t_{0}}^{t}\right]_{jk}=\left\langle \xi _{j},\nabla F_{t_{0}}^{t_{1}}\xi _{k}\right\rangle /{\sqrt {\lambda _{k}}}}$

Die zeitlichen Positionen elliptischer LCSs werden als röhrenförmige Niveaumengen der PRA-Verteilung visualisiert . In zwei Dimensionen sind (polare) elliptische LCSs daher einfach geschlossene Niveaukurven der PRA, die sich als objektiv erweisen. ^{[ 34 ]} In drei Dimensionen sind (polare) elliptische LCSs toroidale oder zylindrische Niveauflächen der PRA, die jedoch nicht objektiv sind und sich daher in rotierenden Bezugssystemen im Allgemeinen ändern. Kohärente Lagrangesche Wirbelgrenzen können als äußerste Elemente verschachtelter Familien elliptischer LCSs visualisiert werden. Zwei- und dreidimensionale Beispiele elliptischer LCS, die durch röhrenförmige Niveauflächen der PRA sichtbar gemacht werden, sind in Abb. 10a-b dargestellt. ${\displaystyle t_{0}}$${\displaystyle \theta _{t_{0}}^{t}}$

Die Niveaumengen der PRA sind in zwei Dimensionen objektiv, nicht aber in drei. Ein weiterer Nachteil des polaren Rotationstensors ist seine dynamische Inkonsistenz: Die über benachbarte Teilintervalle einer Gesamtdeformation berechneten polaren Rotationen ergeben nicht die Rotation, die für das gesamte Zeitintervall derselben Deformation berechnet wird. ^{[ 35 ]} Obwohl der Rotationstensor in der Norm über ein festes Zeitintervall am nächsten an liegt , bilden diese stückweise besten Anpassungen keine Familie von Starrkörperrotationen, wenn und variiert werden. Aus diesem Grund weichen die vom polaren Rotationstensor über variable Zeitintervalle vorhergesagten Rotationen von der experimentell beobachteten mittleren Materialrotation von Fluidelementen ab. ^{[ 35 ] [ 36 ]}${\displaystyle R_{t_{0}}^{t_{1}}}$${\displaystyle \nabla F_{t_{0}}^{t_{1}}}$${\displaystyle L^{2}}$${\displaystyle [t_{0},t_{1}]}$${\displaystyle t_{0}}$${\displaystyle t_{1}}$

Eine Alternative zur klassischen Polardarstellung bietet eine Lösung sowohl für das Problem der fehlenden Objektivität als auch für das Problem der dynamischen Inkonsistenz. Genauer gesagt, hat die dynamische Polardarstellung (DPD) ^{[ 35 ]} des Deformationsgradienten ebenfalls die Form

$${\displaystyle \nabla F_{t_{0}}^{t}=O_{t_{0}}^{t}M_{t_{0}}^{t}=N_{t_{0}}^{t}O_{t_{0}}^{t},}$$

Der orthogonale Eigenwerttensor ist der dynamische Rotationstensor , und die nichtsingulären Tensoren sind der linke bzw. rechte dynamische Strecktensor . Wie die klassische Polardarstellung ist auch die DPD in jeder endlichen Dimension gültig. Im Gegensatz zur klassischen Polardarstellung werden die dynamischen Rotations- und Strecktensoren jedoch nicht durch Matrixmanipulationen, sondern durch Lösen linearer Differentialgleichungen gewonnen. Insbesondere ist der Deformationsgradient der rein rotatorischen Strömung .${\displaystyle O_{t_{0}}^{t}}$${\displaystyle M_{t_{0}}^{t},N_{t_{0}}^{t}}$${\displaystyle O_{t_{0}}^{t}=\nabla _{a_{0}}a(t)}$

$${\displaystyle {\dot {a}}=W\left(x(t;x_{0}),t\right)a,}$$

und ist der Deformationsgradient der rein dehnenden Strömung ${\displaystyle M_{t_{0}}^{t}=\nabla _{b_{0}}b(t)}$

$${\displaystyle {\dot {b}}=O_{t}^{t_{0}}S\left(x(t;x_{0}),t\right)O_{t_{0}}^{t}b.}$$Die

Der dynamische Rotationstensor kann weiterhin in zwei Deformationsgradienten zerlegt werden: einen für eine räumlich gleichmäßige (Starrkörper-)Rotation und einen, der von dieser gleichmäßigen Rotation abweicht: ${\displaystyle O_{t_{0}}^{t}}$

$${\displaystyle O_{t_{0}}^{t}=\Phi _{t_{0}}^{t}\Theta _{t_{0}}^{t}.}$$

Als räumlich unabhängige Starrkörperrotation ist der orthogonale Eigenrotationstensor dynamisch konsistent und dient als Deformationsgradient des relativen Rotationsflusses. ${\displaystyle \Phi _{t_{0}}^{t}=\partial _{\alpha _{0}}\alpha (t)}$

$${\displaystyle {\dot {\alpha }}=\left[W\left(x(t;x_{0}),t\right)-{\bar {W}}\left(t\right)\right]\alpha .}$$

Im Gegensatz dazu ist der eigentliche orthogonale mittlere Rotationstensor der Deformationsgradient des mittleren Rotationsflusses. ${\displaystyle \Theta _{t_{0}}^{t}=D_{\beta _{0}}\beta (t)}$

$${\displaystyle {\dot {\beta }}=\Phi _{t}^{t_{0}}{\bar {W}}\left(t\right)\Phi _{t_{0}}^{t}\beta .}$$ Die dynamische Konsistenz impliziert, dass der gesamte von einem Objekt um seine eigene Rotationsachse beschriebene Winkel dynamisch konsistent ist. Dieser intrinsische Rotationswinkel ist ebenfalls objektiv und entspricht der Hälfte der Lagrange-gemittelten Wirbelabweichung ( LAVD ). ^{[ 36 ]} Die LAVD ist definiert als die über die Trajektorie gemittelte Größe der Abweichung der Wirbelstärke von ihrem räumlichen Mittelwert. Mit der Wirbelstärke und ihrem räumlichen Mittelwert nimmt die LAVD über ein Zeitintervall daher die folgende Form an ^{[ 36 ].}${\displaystyle \Phi _{t_{0}}^{t}}$${\displaystyle \Phi _{t_{0}}^{t}}$${\displaystyle \psi _{t_{0}}^{t}(x_{0})}$${\displaystyle \omega (x,t)=\nabla \times v(x,t)}$$${\displaystyle {\bar {\omega }}(t)={\frac {\int _{U(t)}\omega (x,t)\,dV}{\mathrm {vol} \,(U(t))}},}$$${\displaystyle [t_{0},t_{1}]}$$${\displaystyle \mathrm {LAVD} _{t_{0}}^{t_{1}}(x_{0}):=\int _{t_{0}}^{t_{1}}\left|\omega (x(s;x_{0}),s)-{\bar {\omega }}(s)\right|\,ds,}$$

wobei der (möglicherweise zeitlich veränderliche) Definitionsbereich des Geschwindigkeitsfeldes bezeichnet wird . Dieses Ergebnis gilt sowohl in zwei als auch in drei Dimensionen und ermöglicht die Berechnung eines wohldefinierten, objektiven und dynamisch konsistenten Materialrotationswinkels entlang jeder beliebigen Trajektorie. ${\displaystyle U(t)}$${\displaystyle v(x,t)}$

Die äußersten komplexen röhrenförmigen Niveaulinien des LAVD definieren die Anfangspositionen rotationskohärenter Materialwirbelgrenzen in zweidimensionalen instationären Strömungen (siehe Abb. 11a). Konstruktionsbedingt können diese Grenzen eine transversale Filamentierung aufweisen, wobei sich jedes entstehende Filament mit der Grenze mitdreht, ohne dass es zu einer globalen transversalen Ablösung vom Materialwirbel kommt. (Ausnahmen bilden reibungsfreie Strömungen, bei denen eine solche globale Ablösung der LAVD-Niveaulinien von einem Wirbel möglich ist, da die Fluidelemente ihre Materialrotationsrate für alle Zeiten beibehalten ^{[ 36 ]} ). Bemerkenswerterweise lässt sich nachweisen, dass die Zentren rotationskohärenter Wirbel (definiert durch lokale Maxima des LAVD-Feldes) die beobachteten Anziehungs- oder Abstoßungszentren für die Bewegung von Partikeln endlicher Größe (Trägheitspartikeln) in geophysikalischen Strömungen sind (siehe Abb. 11b). ^{[ 36 ]} Bei dreidimensionalen Strömungen definieren röhrenförmige Niveauflächen des LAVD Anfangspositionen von zweidimensionalen Wirbelgrenzflächen (siehe Abb. 11c), die über einen Zeitraum intcenter|erval rotationskohärent bleiben (siehe Abb. 11d). ${\displaystyle [t_{0},t_{1}]}$

Die lokale Variationstheorie elliptischer LCS zielt auf Materialoberflächen ab, die die Materialscherung über das betrachtete endliche Zeitintervall lokal maximieren. Dies bedeutet, dass an jedem Punkt einer elliptischen LCS der Tangentialraum die Ebene ist, entlang der die lokale Lagrangesche Scherung maximal ist (vgl. Abb. 7). ${\displaystyle [t_{0},t_{1}]}$${\displaystyle x_{0}\in {\mathcal {M}}(t_{0})}$${\displaystyle {\mathcal {M}}(t)}$${\displaystyle T_{x_{0}}{\mathcal {M}}(t_{0})}$${\displaystyle \sigma _{t_{0}}^{t_{1}}(x_{0})}$

Einführung des zweidimensionalen Schervektorfelds und des dreidimensionalen Schernormalenvektorfelds $${\displaystyle \eta ^{\pm }(x_{0}):={\sqrt {\frac {\lambda _{2}(x_{0})-1}{\lambda _{2}(x_{0})-\lambda _{1}(x_{0})}}}\xi _{1}(x_{0})\pm {\sqrt {\frac {1-\lambda _{1}(x_{0})}{\lambda _{2}(x_{0})-\lambda _{1}(x_{0})}}}\xi _{2}(x_{0}),}$$$${\displaystyle n_{\pm }(x_{0})={\sqrt {\frac {\sqrt {\lambda _{1}(x_{0})}}{{\sqrt {\lambda _{1}(x_{0})}}+{\sqrt {\lambda _{3}(x_{0})}}}}}\xi _{1}(x_{0})\pm {\sqrt {\frac {\sqrt {\lambda _{3}(x_{0})}}{{\sqrt {\lambda _{1}(x_{0})}}+{\sqrt {\lambda _{3}(x_{0})}}}}}\xi _{3}(x_{0}),}$$

Die Kriterien für zwei- und dreidimensionale elliptische LCSs lassen sich wie folgt zusammenfassen: ^{[ 32 ] [ 37 ]}

Elliptische LCS-Bedingungen aus der lokalen Variationstheorie in den Dimensionen n=2 und n=3

LCS	Normalenvektorfeld für n=3 ${\displaystyle {\mathcal {M}}(t_{0})}$	ODE für n=2 ${\displaystyle {\mathcal {M}}(t_{0})}$	PDE vom Frobenius-Typ für für n=3 ${\displaystyle {\mathcal {M}}(t_{0})}$
Elliptisch	${\displaystyle n_{\pm }(x_{0})}$	${\displaystyle x_{0}^{\prime }=\eta ^{\pm }(x_{0})}$( Scherlinien )	${\displaystyle \langle \nabla \times n_{\pm }(x_{0}),n_{\pm }(x_{0})\rangle =0}$( Scherflächen )

Bei dreidimensionalen Strömungen, wie im Fall hyperbolischer LCSs, kann die Lösung der Frobenius-PDE vermieden werden. Stattdessen lassen sich Schnittpunkte eines röhrenförmigen elliptischen LCS mit ausgewählten zweidimensionalen Ebenen konstruieren und eine Fläche numerisch an eine große Anzahl dieser Schnittkurven anpassen. Wie bei den oben beschriebenen hyperbolischen LCSs bezeichnen wir die Einheitsnormale einer zweidimensionalen Ebene mit . Die Schnittkurven elliptischer LCSs mit der Ebene stehen wiederum senkrecht sowohl zu als auch zur Einheitsnormale des LCS. Folglich erfüllt eine Schnittkurve die reduzierte Scher-ODE, deren Trajektorien wir als reduzierte Scherlinien bezeichnen . ^{[ 32 ]} (Streng genommen ist die reduzierte Scher-ODE keine gewöhnliche Differentialgleichung, da ihre rechte Seite kein Vektorfeld, sondern ein Richtungsfeld ist, das im Allgemeinen nicht global orientierbar ist.) Schnittpunkte röhrenförmiger elliptischer LCSs mit sind Grenzzyklen der reduzierten Scher-ODE. Die Bestimmung solcher Grenzzyklen in einer glatten Familie benachbarter Ebenen und die anschließende Anpassung einer Fläche an die Grenzzyklusfamilie liefert eine numerische Näherung für eine 2D-Scherfläche. Ein dreidimensionales Beispiel dieser lokalen Variationsrechnung einer elliptischen Grenzzyklusfläche ist in Abb. 11 dargestellt. ^{[ 32 ]}${\displaystyle \Pi }$${\displaystyle n_{\Pi }}$${\displaystyle \Pi }$${\displaystyle n_{\Pi }}$${\displaystyle n_{\pm }(x_{0})}$${\displaystyle x_{0}(s)}$$${\displaystyle x_{0}^{\prime }=n_{\pm }(x_{0})\times n_{\Pi },}$$${\displaystyle \Pi }$${\displaystyle \Pi }$

Wie bereits im Abschnitt über hyperbolische LCSs erwähnt, wurde in zwei Dimensionen ein globaler Variationsansatz entwickelt, um elliptische LCSs als geschlossene stationäre Kurven des materialliniengemittelten Lagrangeschen Verzerrungsfunktionals zu erfassen. ^{[ 4 ] [ 39 ]} Diese Kurven erweisen sich als geschlossene Nullgeodäten der verallgemeinerten Green-Lagrange-Verzerrungstensorfamilie , wobei ein positiver Parameter (Lagrange-Multiplikator) ist. Es lässt sich zeigen, dass die geschlossenen Nullgeodäten mit Grenzzyklen der Familie der Richtungsfelder übereinstimmen. ${\displaystyle {\frac {1}{2}}(C_{t_{0}}^{t_{1}}-\lambda I)}$${\displaystyle \lambda >0}$

$${\displaystyle \eta _{\lambda }^{\pm }(x_{0}):={\sqrt {\frac {\lambda _{2}(x_{0})-\lambda ^{2}}{\lambda _{2}(x_{0})-\lambda _{1}(x_{0})}}}\xi _{1}(x_{0})\pm {\sqrt {\frac {\lambda ^{2}-\lambda _{1}(x_{0})}{\lambda _{2}(x_{0})-\lambda _{1}(x_{0})}}}\xi _{2}(x_{0}),}$$

Beachten Sie, dass für das Richtungsfeld mit dem Richtungsfeld für Scherlinien übereinstimmt, das oben aus der lokalen Variationstheorie von LCSs erhalten wurde. ${\displaystyle \lambda =1}$${\displaystyle \eta _{\lambda }^{\pm }(x_{0}}$${\displaystyle \eta ^{\pm }(x_{0}}$

Die Trajektorien werden als -Linien bezeichnet . Bemerkenswerterweise handelt es sich dabei um die Anfangspositionen von Materiallinien, die sich unter der Strömungsabbildung infinitesimal gleichmäßig dehnen . Genauer gesagt wird jeder Teil einer -Linie zwischen den Zeitpunkten und um den Faktor gestreckt . Abbildung 13 zeigt beispielsweise elliptische LCSs, die als geschlossene -Linien innerhalb des Großen Roten Flecks des Jupiters identifiziert wurden. ^{[ 38 ]}${\displaystyle \eta _{\lambda }^{\pm }}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle F_{t_{0}}^{t_{1}}}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle t_{0}}$${\displaystyle t_{1}}$${\displaystyle \lambda }$

Parabolische LCSs sind scherungsfreie Materialoberflächen, die die Kerne von strahlartigen Trajektorien abgrenzen. Solche LCSs zeichnen sich sowohl durch geringe Dehnung (da sie sich innerhalb einer nicht dehnbaren Struktur befinden) als auch durch geringe Scherung aus (da die Materialscherung in den Strahlkernen minimal ist).

Da Scherung und Dehnung entlang einer parabolischen LCS so gering wie möglich sind, können die Ausgangspositionen solcher Materialoberflächen als Gräben des FTLE-Feldes betrachtet werden . ^{[ 40 ] [ 41 ]} Ein geophysikalisches Beispiel einer parabolischen LCS (generalisierter Jetkern), die als Graben des FTLE-Feldes sichtbar wird, ist in Abb. 14a dargestellt. ${\displaystyle FTLE_{t_{0}}^{t_{1}}(x_{0})}$

In zwei Dimensionen sind parabolische LCSs ebenfalls Lösungen des oben für hyperbolische LCSs beschriebenen globalen scherungsfreien Variationsprinzips. ^{[ 33 ]} Sie bestehen aus Schrumpf- und Strecklinien, die Geodäten des Lorentzschen Metriktensors darstellen . Im Gegensatz zu hyperbolischen LCSs erfüllen parabolische LCSs jedoch robustere Randbedingungen: Sie bleiben stationäre Kurven des materialliniengemittelten Scherfunktionals, selbst bei Variationen ihrer Endpunkte. Dies erklärt die hohe Robustheit und Beobachtbarkeit von Jetkernen bei Mischungsprozessen. Demgegenüber steht die hohe Empfindlichkeit und das allmähliche Verschwinden hyperbolischer LCS-Spektrums in diffusiven Tracermustern außerhalb stark hyperbolischer Regionen. ${\displaystyle D_{t_{0}}^{t_{1}}}$

Unter variablen Randbedingungen an den Endpunkten erweisen sich die Anfangspositionen parabolischer LCSs als alternierende Ketten von Schrumpfungs- und Strecklinien, die Singularitäten dieser Linienfelder verbinden. ^{[ 4 ] [ 33 ]} Diese Singularitäten treten an Punkten auf, an denen keine infinitesimale Deformation zwischen den beiden Zeitpunkten t und t stattfindet . Abb. 14b zeigt ein Beispiel parabolischer LCSs in der Jupiteratmosphäre, die mithilfe dieser Variationstheorie lokalisiert wurden. ^{[ 38 ]} Die V-förmigen Strukturen, die sich aus kreisförmigen Materialklumpen entlang des Jetkerns bilden, sind charakteristisch für die Tracer-Deformation in der Nähe parabolischer LCSs. ${\displaystyle \lambda _{1}(x_{0})=\lambda _{2}(x_{0})}$${\displaystyle t_{0}}$${\displaystyle t_{1}}$

Partikeladvektion und Berechnung des Lyapunov-Exponenten in endlicher Zeit :

• ManGen ^{[ 42 ]} ( Quellcode )
• LCS MATLAB Kit ^{[ 43 ]} ( Quellcode )
• FlowVC ^{[ 44 ]} ( Quellcode )
• cuda_ftle ^{[ 45 ]} ( Quellcode )
• CTRAJ ^{[ 46 ]}
• Newman ^{[ 47 ]} ( Quellcode )
• FlowTK ^{[ 48 ]} ( Quellcode )

Jupyter-Notebooks, die Sie durch die Methoden führen, mit denen advektive, diffusive, stochastische und aktive Transportbarrieren aus diskreten Geschwindigkeitsdaten extrahiert werden.

• TBarrier ^{[ 49 ]} ( Quellcode )

• Turbulenz
• Chaostheorie
• Theorie dynamischer Systeme
• Spektrale Untermannigfaltigkeit
• Eulersche Kohärenzstruktur
• Kohärente turbulente Struktur