Weber-Zahl

Die Weber-Zahl ( We ) ist eine dimensionslose Kennzahl der Strömungsmechanik , die häufig zur Analyse von Strömungen mit Grenzflächen zwischen zwei verschiedenen Fluiden, insbesondere bei Mehrphasenströmungen mit stark gekrümmten Oberflächen, verwendet wird. ^{[ 1 ]} Sie ist nach Moritz Weber (1871–1951) benannt. ^{[ 2 ]} Sie kann als Maß für die relative Bedeutung der Trägheit eines Fluids im Vergleich zu seiner Oberflächenspannung betrachtet werden . Die Größe ist nützlich zur Analyse von Dünnschichtströmungen sowie der Bildung von Tröpfchen und Blasen.

Die Weber-Zahl kann wie folgt geschrieben werden:

${\displaystyle \mathrm {We} ={\frac {\mbox{Trägheitsdruck}}{\mbox{Laplace-Druck}}}={\frac {\rho \,v^{2}}{\left(\sigma /l\right)}}={\frac {\rho \,v^{2}\,l}{\sigma }}}$  

Wo

• ${\displaystyle \rho }$ist die Dichte des Fluids ( kg / m ³ ).
• ${\displaystyle v}$ist seine Geschwindigkeit (m/ s ).
• ${\displaystyle l}$ist seine charakteristische Länge , typischerweise der Tropfendurchmesser (m).
• ${\displaystyle \sigma }$ist die Oberflächenspannung ( N /m).
• ${\displaystyle \rho \,v^{2}}$ist die Trägheits- oder dynamische Druckskala .
• ${\displaystyle \sigma /l}$ist die Laplace-Druckskala .

Die obige Darstellung beschreibt die Kraftperspektive zur Definition der Weber-Zahl. Man kann sie auch aus der Energieperspektive als das Verhältnis der kinetischen Energie beim Aufprall zur Oberflächenenergie definieren.

${\displaystyle \mathrm {We} ={\frac {E_{\mathrm {kin} }}{E_{\mathrm {surf} }}}}$,

Wo

${\displaystyle E_{\mathrm {kin} }\propto \rho l^{3}v^{2}}$  

Und

${\displaystyle E_{\mathrm {surf} }\propto l^{2}\sigma }$Die

Die Weber-Zahl tritt in den inkompressiblen Navier-Stokes-Gleichungen durch eine freie Oberflächenrandbedingung auf . ^{[ 3 ]}

Bei einer Flüssigkeit mit konstanter Dichte und dynamischer Viskosität herrscht an der freien Grenzfläche ein Gleichgewicht zwischen der Normalspannung und der mit der Oberflächenspannung verbundenen Krümmungskraft :${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle {\widehat {\bf {n}}}\cdot \mathbb {T} \cdot {\widehat {\bf {n}}}=\sigma \left(\nabla \cdot {\widehat {\bf {n}}}\right)}$

Hierbei ist der Einheitsnormalenvektor der Oberfläche, der Cauchy-Spannungstensor und der Divergenzoperator . Der Cauchy-Spannungstensor für ein inkompressibles Fluid hat die Form: ${\displaystyle {\widehat {\bf {n}}}}$${\displaystyle \mathbb {T} }$${\displaystyle \nabla \cdot }$

${\displaystyle \mathbb {T} =-pI+\mu \left[\nabla {\bf {v}}+(\nabla {\bf {v}})^{T}\right]}$

Unter Berücksichtigung des dynamischen Drucks und der Annahme einer Strömung mit hoher Reynolds-Zahl ist es möglich, die Variablen mithilfe der Skalierungen zu dimensionslos zu machen:${\displaystyle p_{d}=p-\rho {\bf {g}}\cdot {\bf {x}}}$

${\displaystyle p_{d}=\rho V^{2}p_{d}',\quad \nabla =L^{-1}\nabla ',\quad {\bf {g}}=g{\bf {g}}',\quad {\bf {x}}=L{\bf {x}}',\quad {\bf {v}}=V{\bf {v}}'}$

Die Randbedingung für die freie Oberfläche in dimensionslosen Variablen lautet dann:

${\displaystyle -p_{d}'+{1 \over {{\text{Fr}}^{2}}}z'+{1 \over {\text{Re}}}{\widehat {\bf {n}}}\cdot \left[\nabla '{\bf {v}}'+(\nabla '{\bf {v}}')^{T}\right]\cdot {\widehat {\bf {n}}}={1 \over {\text{We}}}\left(\nabla '\cdot {\widehat {\bf {n}}}\right)}$

Dabei ist die Froude-Zahl , die Reynolds-Zahl und die Weber-Zahl. Der Einfluss der Weber-Zahl lässt sich dann im Verhältnis zu Gravitations- und Viskositätskräften quantifizieren. ${\displaystyle {\text{Fr}}}$${\displaystyle {\text{Re}}}$${\displaystyle {\text{We}}}$

Eine Anwendung der Weber-Zahl ist die Untersuchung von Wärmerohren. Bei hohem Impulsstrom im Dampfkern des Wärmerohrs kann die auf die Flüssigkeit im Docht wirkende Scherspannung so groß werden, dass Tröpfchen in den Dampfstrom mitgerissen werden. Die Weber-Zahl ist der dimensionslose Parameter, der den Beginn dieses Phänomens, die sogenannte Mitreißgrenze (Weber-Zahl ≥ 1), bestimmt. In diesem Fall ist die Weber-Zahl definiert als das Verhältnis des Impulses in der Dampfschicht zur Oberflächenspannung, die die Flüssigkeit zurückhält, wobei die charakteristische Länge der Porengröße an der Oberfläche entspricht.

• Weast, R., Lide, D., Astle, M., Beyer, W. (1989–1990). CRC Handbook of Chemistry and Physics. 70. Aufl. Boca Raton, Florida: CRC Press, Inc. F-373,376.