Strouhal-Nummer

In der Dimensionsanalyse ist die Strouhal-Zahl ( St , manchmal auch Sr, um Verwechslungen mit der Stanton-Zahl zu vermeiden) eine dimensionslose Kennzahl zur Beschreibung oszillierender Strömungsmechanismen. Benannt ist sie nach Vincenc Strouhal , einem tschechischen Physiker, der 1878 Experimente mit Drähten durchführte, die Wirbelablösung und -schwingungen im Wind zeigten. ^{[ 1 ] [ 2 ]} Die Strouhal-Zahl ist ein integraler Bestandteil der Grundlagen der Strömungsmechanik .

Die Strouhal-Zahl wird oft angegeben als

$${\displaystyle {\text{St}}={\frac {fL}{U}},}$$

Dabei ist f die Frequenz der Wirbelablösung in Hertz ^{[ 3 ]} , L die charakteristische Länge (z. B. hydraulischer Durchmesser oder Tragflügeldicke ) und U die mittlere Strömungsgeschwindigkeit in Metern pro Sekunde . In bestimmten Fällen, wie z. B. beim Steigflug, entspricht diese charakteristische Länge der Schwingungsamplitude. Diese Wahl der charakteristischen Länge kann genutzt werden, um zwischen der Strouhal-Zahl und der reduzierten Frequenz zu unterscheiden.

$${\displaystyle {\text{St}}={\frac {kA}{\pi c}},}$$

wobei k die reduzierte Frequenz und A die Amplitude der Hubschwingung ist.

Bei gleichförmiger Umströmung eines feststehenden Zylinders entspricht dessen Durchmesser der charakteristischen Länge. In diesem Fall ist die Strouhal-Zahl eine Funktion der Reynolds-Zahl, basierend auf dem Durchmesser, , ^{[ 5 ]} wobei ρ die Dichte des Fluids (kg/m³ ⁾ und ν die dynamische Viskosität des Fluids [kg·m/s] ist . Über vier Größenordnungen der Reynolds-Zahl, von 10² ^bis 10⁵ ^, bleibt der Wert der Strouhal-Zahl nahe bei 0,2 (siehe Abbildung). ${\displaystyle \mathrm {Re} _{D}=\rho VD/\mu }$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \mu }$

Bei Kugeln in gleichförmiger Strömung im Reynoldszahlbereich von 8 × 10² ^< Re < 2 × 10⁵ ^existieren zwei Strouhal-Zahlen. Die niedrigere Frequenz ist auf großskalige Instabilitäten der Nachlaufströmung zurückzuführen, unabhängig von der Reynoldszahl Re und beträgt annähernd 0,2. Die höhere Frequenz der Strouhal-Zahl wird durch kleinskalige Instabilitäten aufgrund der Ablösung der Scherschicht verursacht. ^{[ 6 ] [ 7 ]}

Bei großen Strouhal-Zahlen (Größenordnung 1) dominiert die Viskosität die Strömung, was zu einer kollektiven oszillierenden Bewegung des Flüssigkeitspfropfens führt. Bei kleinen Strouhal-Zahlen (Größenordnung 10⁻⁴ ^und darunter) dominiert der schnelle, quasistationäre Teil der Bewegung die Oszillation. Oszillationen bei mittleren Strouhal-Zahlen sind durch die Bildung und das rasche Ablösen von Wirbeln gekennzeichnet. ^{[ 8 ]}

Da wir Newtons zweites Gesetz kennen , das besagt, dass Kraft gleich Masse mal Beschleunigung ist, oder , und dass Beschleunigung die Ableitung der Geschwindigkeit ist, oder (charakteristische Geschwindigkeit/Zeit) im Fall der Strömungsmechanik, sehen wir ${\displaystyle F=ma}$${\displaystyle {\tfrac {U}{t}}}$

${\displaystyle F={\dfrac {mU}{t}}}$,

Da die charakteristische Geschwindigkeit als Länge pro Zeiteinheit dargestellt werden kann, erhalten wir ${\displaystyle {\tfrac {L}{t}}}$

${\displaystyle F={\dfrac {mU^{2}}{L}}}$,

Wo,

m = Masse

U = charakteristische Geschwindigkeit,

L = charakteristische Länge.

Dividiert man beide Seiten durch , erhält man ${\displaystyle {\tfrac {mU^{2}}{L}}}$

${\displaystyle {\tfrac {FL}{mU^{2}}}=1={\text{constant}}}$⇒ ,${\displaystyle {\tfrac {mU^{2}}{FL}}=1={\text{constant}}}$

Wo,

m = Masse

U = charakteristische Geschwindigkeit,

F = resultierende äußere Kräfte,

L = charakteristische Länge.

Dies bietet eine dimensionslose Grundlage für eine Beziehung zwischen Masse, charakteristischer Geschwindigkeit, resultierenden äußeren Kräften und Länge (Größe), die zur Analyse der Auswirkungen der Strömungsmechanik auf einen Körper mit Masse verwendet werden kann.

Sind die resultierenden äußeren Kräfte überwiegend elastisch, können wir das Hookesche Gesetz anwenden , um zu sehen

${\displaystyle F=k\Delta L}$,

Wo,

k = Federkonstante (Steifigkeit des elastischen Elements),

ΔL = Deformation (Längenänderung).

Unter der Annahme , dass , dann . Mit der Eigenresonanzfrequenz des elastischen Systems, , die gleich ist , erhalten wir ${\displaystyle \Delta L\propto L}$${\displaystyle F\approx kL}$${\displaystyle \omega _{0}^{2}}$${\displaystyle {\tfrac {k}{m}}}$

${\displaystyle {\dfrac {mU^{2}}{FL}}={\dfrac {mU^{2}}{kL^{2}}}={\dfrac {U^{2}}{\omega _{0}^{2}L^{2}}}}$,

Wo,

m = Masse

U = charakteristische Geschwindigkeit,

${\displaystyle \omega _{0}}$= Eigenfrequenz,

ΔL = Deformation (Längenänderung).

Da die Frequenz der zyklischen Bewegung durch folgende Gleichung dargestellt werden kann , erhalten wir: ${\displaystyle f={\tfrac {\omega _{0}^{2}L}{U}}}$

${\displaystyle {\dfrac {U^{2}}{\omega _{0}^{2}L^{2}}}={\dfrac {U}{fL}}={\text{constant}}={\dfrac {fL}{U}}={\text{St (Strouhal Number)}}}$,

Wo,

f = Frequenz,

L = charakteristische Länge,

U = charakteristische Drehzahl.

Im Bereich der Mikro- und Nanorobotik wird die Strouhal-Zahl zusammen mit der Reynolds-Zahl verwendet , um den Einfluss einer externen oszillierenden Strömung auf den Körper eines Mikroroboters zu analysieren. Bei einem Mikroroboter mit zyklischer Bewegung kann die Strouhal-Zahl wie folgt berechnet werden:

${\displaystyle {\text{St}}={\dfrac {fL}{U}}}$,

Wo,

f = Zyklusfrequenz,

L = charakteristische Länge des Roboters

U = charakteristische Drehzahl.

Die Analyse eines Mikroroboters mithilfe der Strouhal-Zahl ermöglicht es, den Einfluss der Bewegung des Fluids, in dem er sich befindet, auf seine Bewegung im Verhältnis zu den auf den Roboter wirkenden Trägheitskräften zu beurteilen – unabhängig davon, ob die dominanten Kräfte elastisch sind oder nicht. ^{[ 9 ]}

Im medizinischen Bereich könnten Mikroroboter, die sich durch Schwimmbewegungen fortbewegen, Mikromanipulationen in unzugänglichen Umgebungen durchführen.

Die Gleichung für ein Blutgefäß: ^{[ 10 ]}

${\displaystyle {\text{St}}={\dfrac {fD}{V}}}$,

Wo,

f = Schwingungsfrequenz der Schwimmbewegung des Mikroboters

D = Blutgefäßdurchmesser

V = instationäre viskoelastische Strömung

Die Strouhal-Zahl wird als Verhältnis der Deborah-Zahl (De) zur Weissenberg-Zahl (Wi) verwendet: ^{[ 10 ]}

${\displaystyle {\text{St}}={\dfrac {\text{De}}{\text{Wi}}}}$Die

Die Strouhal-Zahl kann auch zur Bestimmung der Womersley-Zahl (Wo) verwendet werden . Der Fall der Blutströmung kann als instationäre viskoelastische Strömung kategorisiert werden, daher ist die Womersley-Zahl ^{[ 10 ].}

${\displaystyle {\text{Wo}}={\sqrt {{\dfrac {\pi }{2}}\times {\text{Re}}\times {\text{St}}}}}$,

Oder wenn man beide Gleichungen berücksichtigt,

${\displaystyle {\text{Wo}}={\sqrt {{\dfrac {\pi }{2}}\times {\text{Re}}\times {\dfrac {\text{De}}{\text{Wi}}}}}}$Die

In der Messtechnik , insbesondere bei Axialturbinenzählern , wird die Strouhal-Zahl zusammen mit der Roshko-Zahl verwendet , um einen Zusammenhang zwischen Durchflussrate und Frequenz herzustellen. Der Vorteil dieser Methode gegenüber der Methode mit Frequenz/Viskosität versus K-Faktor besteht darin, dass sie Temperatureinflüsse auf das Messgerät berücksichtigt.

${\displaystyle {\text{St}}={\frac {f}{U}}C^{3},}$

Wo,

f = Meterfrequenz,

U = Durchflussrate

C = linearer Ausdehnungskoeffizient des Materials des Zählergehäuses.

Aufgrund dieser Beziehung ist Strouhal dimensionslos, obwohl für C ³ oft eine dimensionslose Näherung verwendet wird , die zu Einheiten von Impulsen/Volumen führt (dasselbe wie beim K-Faktor).

Dieser Zusammenhang zwischen Strömung und Frequenz findet sich auch in der Luftfahrt. Betrachtet man pulsierende Methan-Luft-Gleichstrom-Diffusionsflammen, so erhält man

${\displaystyle {\text{St}}={\dfrac {aw_{j}}{U_{j}}}}$,

Wo,

a = Radius der Treibstoffdüse

w = die Modulationsfrequenz

U = Austrittsgeschwindigkeit des Treibstoffstrahls

Bei einer kleinen Strouhal-Zahl (St = 0,1) bildet die Modulation eine Strömungsabweichung, die sich sehr weit stromabwärts ausbreitet. Mit zunehmender Strouhal-Zahl nähert sich die dimensionslose Frequenz der Eigenfrequenz einer flackernden Flamme an und weist schließlich eine stärkere Pulsation als die Flamme selbst auf. ^{[ 11 ]}

Bei schwimmenden oder fliegenden Tieren ist die Strouhal-Zahl definiert als

${\displaystyle {\text{St}}={\frac {f}{U}}A,}$

Wo,

f = Schwingungsfrequenz (Schwanzschlag, Flügelschlag usw.),

U = Durchflussrate

A = Spitze-zu-Spitze-Schwingungsamplitude.

Beim Fliegen oder Schwimmen von Tieren ist die Antriebseffizienz in einem engen Bereich der Strouhal-Konstanten hoch und erreicht ihren Höhepunkt im Allgemeinen im Bereich 0,2 < St < 0,4. ^{[ 12 ]} Dieser Bereich wird beim Schwimmen von Delfinen, Haien und Knochenfischen sowie beim Gleitflug von Vögeln, Fledermäusen und Insekten genutzt. ^{[ 12 ]} Bei anderen Flugformen treten jedoch andere Werte auf. ^{[ 12 ]} Intuitiv misst das Verhältnis die Steilheit der Flügelschläge, von der Seite betrachtet (z. B. bei der Annahme einer Bewegung durch ein ruhendes Fluid) – f ist die Schlagfrequenz, A die Amplitude, sodass der Zähler fA die halbe Vertikalgeschwindigkeit der Flügelspitze ist, während der Nenner V die Horizontalgeschwindigkeit ist. Daher bildet der Graph der Flügelspitze annähernd eine Sinuskurve mit einer Streckung (maximalen Steigung), die dem Doppelten der Strouhal-Konstante entspricht. ^{[ 13 ]}

Die Strouhal-Zahl wird am häufigsten zur Beurteilung oszillierender Strömungen verwendet, die durch die Bewegung eines Objekts in einem Fluid entstehen. Sie spiegelt wider, wie schwer es Tieren fällt, sich mit ihren zyklischen Vortriebsbewegungen effizient durch ein Fluid fortzubewegen. Die Zahl steht in Zusammenhang mit der Antriebseffizienz, die ihren Höchstwert zwischen … erreicht.70 %–80 % , wenn innerhalb des optimalen Strouhal-Zahlbereichs0,2 bis 0,4 . Mithilfe von Faktoren wie Schlagfrequenz, Amplitude jedes Schlags und Geschwindigkeit kann die Strouhal-Zahl die Effizienz und Wirkung der Vortriebskräfte eines Tieres in einem Fluid, beispielsweise beim Schwimmen oder Fliegen, analysieren. Der Wert repräsentiert beispielsweise die Einschränkungen für eine höhere Vortriebseffizienz, die die Bewegung beim Gleiten und die aerodynamischen Kräfte beim Schweben beeinflussen. ^{[ 14 ]}

Stärkere Reaktionskräfte und Eigenschaften, die einem Objekt entgegenwirken, wie Viskosität und Dichte, verringern die Fähigkeit eines Tieres, beim Schwimmen innerhalb des idealen Strouhal-Zahlbereichs zu bleiben. Untersuchungen an verschiedenen fliegenden und schwimmenden Arten ergaben, dass die Bewegung vieler Vogel- und Fischarten im optimalen Strouhal-Bereich liegt. ^{[ 14 ]} Die Strouhal-Zahl variiert jedoch innerhalb derselben Art stärker als zwischen verschiedenen Arten, abhängig davon, wie sie sich unter dem Einfluss aerodynamischer Kräfte eingeschränkt bewegen. ^{[ 14 ]}

Die Strouhal-Zahl ist für die Analyse des Tierflugs von großer Bedeutung, da sie auf den Stromlinien und der Geschwindigkeit des Tieres in einem Fluid basiert. Ihre Bedeutung zeigt sich am Beispiel der Alkenvögel beim Durchfliegen verschiedener Medien (Luft und Wasser). Untersuchungen an Alkenvögeln ergaben die Besonderheit, dass sie trotz ihrer im Verhältnis zur Flügelfläche hohen Masse sowohl in Luft als auch im Wasser im effizienten Bereich der Strouhal-Zahl fliegen können. ^{[ 15 ]} Diese effiziente Zwei-Medium-Bewegung der Alkenvögel entwickelte sich durch natürliche Selektion, wobei die Umwelt im Laufe der Evolution eine Rolle spielte, sodass die Tiere einen bestimmten effizienten Bereich erreichten. Die Zwei-Medium-Bewegung verdeutlicht, dass Alkenvögel je nach Flügelschlaggeschwindigkeit in den verschiedenen Fluiden zwei unterschiedliche Flugmuster aufweisen. ^{[ 15 ]} Beim Durchfliegen eines anderen Mediums muss der Vogel jedoch den Einfluss von Dichte und Viskosität des jeweiligen Fluids berücksichtigen. Darüber hinaus muss er bei horizontalen Bewegungen auch dem Auftrieb entgegenwirken.

Um die Bedeutung der Strouhal-Zahl in verschiedenen Maßstäben zu bestimmen, kann man eine Skalenanalyse durchführen – eine vereinfachte Methode zur Untersuchung des Einflusses von Faktoren in Abhängigkeit von einem bestimmten Maßstab. Im Kontext der Mikro- und Nanorobotik ist die Größe der relevante Faktor bei der Skalenanalyse.

Die Skalenanalyse der Strouhal-Zahl ermöglicht die Untersuchung des Zusammenhangs zwischen Masse und Trägheitskräften in Abhängigkeit von der Größe. Ausgehend von ihrer ursprünglichen, nicht abgeleiteten Form können wir dann jeden Term mit der Größe in Beziehung setzen und beobachten, wie sich das Verhältnis mit der Größe ändert. ${\displaystyle {\tfrac {mU^{2}}{FL}}}$

Da m die Masse, V das Volumen und ρ die Dichte ist, sehen wir, dass die Masse direkt mit der Größe zusammenhängt, da das Volumen proportional zur Länge (L) ist. Setzen wir das Volumen auf ρ , so können wir Masse und Größe direkt wie folgt in Beziehung setzen: ${\displaystyle m=V\rho }$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle L^{3}}$

${\displaystyle m\approx L^{3}}$Die

Die charakteristische Geschwindigkeit ( U ) ist abhängig von der relativen Entfernung, die mit der Größe skaliert. ${\displaystyle {\tfrac {\text{distance}}{\text{time}}}}$

${\displaystyle U^{2}\approx L^{2}}$Die

Die resultierenden äußeren Kräfte ( F ) skalieren mit Masse und Beschleunigung gemäß der Formel F = 1/(2π) . Die Beschleunigung ist gegeben durch F = 1/(2π) , daher gilt F = 1/(2π). Die Masse-Größen-Beziehung wurde als F = 1/(2π) ermittelt , sodass unter Berücksichtigung aller drei Beziehungen F = 1/(2π) gilt. ${\displaystyle F=m\cdot a}$${\displaystyle {\tfrac {\text{distance}}{{\text{time}}^{2}}}}$${\displaystyle a\approx L}$${\displaystyle m\approx L^{3}}$

${\displaystyle F\approx L^{4}}$Die

Die Länge ( L ) bezeichnet bereits die Größe und bleibt L .

Wenn wir all das zusammenfassen, erhalten wir

${\displaystyle {\dfrac {mU^{2}}{FL}}\approx {\dfrac {L^{3}L^{2}}{L^{4}L}}\approx {\dfrac {L^{5}}{L^{5}}}\approx L^{0}=1}$Die

Da die Strouhal-Zahl die Masse mit den Trägheitskräften in Beziehung setzt, ist dies zu erwarten, da diese beiden Faktoren proportional zur Größe skalieren und ihre Bedeutung für das Verhalten des Körpers in der zyklischen Bewegung des Fluids weder zu- noch abnimmt.

Die Skalierungsbeziehung zwischen der Richardson-Zahl und der Strouhal-Zahl wird durch die Gleichung dargestellt: ^{[ 16 ]}

${\displaystyle {\text{St}}_{l}=b{\text{Ri}}_{l}^{a}}$,

wobei a und b Konstanten sind, die von der Bedingung abhängen.

Für runde Helium-Auftriebsstrahlen und -fahnen: ^{[ 16 ]}

${\displaystyle {\text{St}}_{D}\sim {\text{Ri}}_{D}^{0.38}}$Die

Wann , ${\displaystyle {\text{Ri}}<100}$

${\displaystyle {\text{St}}_{D}=0.8{\text{Ri}}_{D}^{0.38}}$Die

Wann , ${\displaystyle 100<{\text{Ri}}<500}$

${\displaystyle {\text{St}}_{D}=2.1{\text{Ri}}_{D}^{0.28}}$Die

Für ebene Auftriebsstrahlen und -fahnen: ^{[ 16 ]}

${\displaystyle {\text{St}}_{W}=0.55{\text{Ri}}_{W}^{0.45}}$Die

Für formunabhängige Skalierung: ^{[ 16 ]}

${\displaystyle {\text{St}}_{Rh}=e^{-1}{\text{Ri}}_{Rh}^{\tfrac {2}{5}}}$

Bei der Suche nach der idealen Methode zur Entwicklung eines Körpers, der sich durch ein Fluid bewegt, müssen die Strouhal-Zahl und die Reynolds-Zahl berücksichtigt werden. Der Zusammenhang zwischen diesen Größen wird durch Lighthills Theorie des länglichen Körpers beschrieben, welche die Reaktionskräfte eines sich durch ein Fluid bewegenden Körpers mit seinen Trägheitskräften verknüpft. ^{[ 17 ]} Es wurde festgestellt, dass die Strouhal-Zahl von der dimensionslosen Lighthill-Zahl abhängt, welche wiederum mit der Reynolds-Zahl zusammenhängt. Der Wert der Strouhal-Zahl nimmt mit steigender Reynolds-Zahl ab und mit steigender Lighthill-Zahl zu. ^{[ 17 ]}

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