Augustin-Louis Cauchy

Baron Augustin-Louis Cauchy ^{[ a ]} (21. August 1789 – 23. Mai 1857) war ein französischer Mathematiker , Ingenieur und Physiker . Er gehörte zu den Ersten, die die wichtigsten Sätze der Infinitesimalrechnung rigoros formulierten und bewiesen (und damit die reelle Analysis begründeten ), leistete Pionierarbeit auf dem Gebiet der komplexen Analysis und der Untersuchung von Permutationsgruppen in der abstrakten Algebra . Cauchy trug außerdem zu einer Reihe von Themen der mathematischen Physik bei, insbesondere zur Kontinuumsmechanik .

Als bedeutender Mathematiker übte Cauchy einen großen Einfluss auf seine Zeitgenossen und Nachfolger aus; ^{[ 4 ]} Hans Freudenthal erklärte:

Mehr Begriffe und Theoreme wurden nach Cauchy benannt als nach jedem anderen Mathematiker (allein in der Elastizitätstheorie gibt es sechzehn nach Cauchy benannte Begriffe und Theoreme). ^{[ 5 ]}

Cauchy war ein äußerst produktiver Wissenschaftler; er verfasste ungefähr achthundert Forschungsartikel und fünf vollständige Lehrbücher zu einer Vielzahl von Themen aus den Bereichen Mathematik und mathematische Physik .

Cauchy war der Sohn von Louis François Cauchy (1760–1848) und Marie-Madeleine Desestre. Er hatte zwei Brüder: Alexandre Laurent Cauchy (1792–1857), der 1847 Präsident einer Kammer des Berufungsgerichts und 1849 Richter am Kassationsgerichtshof wurde, und Eugène François Cauchy (1802–1877), einen Publizisten, der auch mehrere mathematische Werke verfasste. Schon in seiner Kindheit zeigte er ein Talent für Mathematik.

Cauchy heiratete 1818 Aloise de Bure. Sie war eine enge Verwandte des Verlegers, der die meisten Werke Cauchys veröffentlichte. Sie hatten zwei Töchter, Marie Françoise Alicia (1819) und Marie Mathilde (1823).

Cauchys Vater war ein hochrangiger Beamter der Pariser Polizei des Ancien Régime , verlor diese Position jedoch aufgrund der Französischen Revolution (14. Juli 1789), die einen Monat vor Augustin-Louis’ Geburt ausbrach. ^{[ b ]} Die Familie Cauchy überlebte die Revolution und die darauffolgende Schreckensherrschaft 1793/94 durch die Flucht nach Arcueil , wo Cauchy von seinem Vater seine erste Ausbildung erhielt. ^{[ 6 ]} Nach der Hinrichtung Robespierres 1794 konnte die Familie sicher nach Paris zurückkehren. Dort fand Louis-François Cauchy 1800 eine Stelle im öffentlichen Dienst ^{[ 7 ]} und machte rasch Karriere. Mit Napoleons Machtergreifung 1799 wurde Louis-François Cauchy weiter befördert und Generalsekretär des Senats, wo er direkt unter Laplace (der heute vor allem für seine Arbeiten zur mathematischen Physik bekannt ist) arbeitete. Der Mathematiker Lagrange war ebenfalls mit der Familie Cauchy befreundet. ^{[ 4 ]}

Auf Anraten Lagranges wurde Augustin-Louis im Herbst 1802 an der École Centrale du Panthéon , der damals besten weiterführenden Schule von Paris, aufgenommen. ^{[ 6 ]} Der Lehrplan bestand größtenteils aus klassischen Sprachen; der ehrgeizige Cauchy, ein brillanter Schüler, gewann zahlreiche Preise in Latein und den Geisteswissenschaften. Trotz dieser Erfolge entschied sich Cauchy für eine Ingenieurslaufbahn und bereitete sich auf die Aufnahmeprüfung zur École Polytechnique vor .

1805 belegte er bei dieser Prüfung den zweiten Platz unter 293 Bewerbern und wurde zugelassen. ^{[ 6 ]} Eines der Hauptziele dieser Schule war es, zukünftigen Bau- und Militäringenieuren eine hochwertige naturwissenschaftliche und mathematische Ausbildung zu bieten. Die Schule unterlag militärischer Disziplin, was Cauchy einige Anpassungsschwierigkeiten bereitete. Dennoch schloss er den Kurs 1807 im Alter von 18 Jahren ab und wechselte anschließend zur École des Ponts et Chaussées (Brücken- und Straßenbauschule). Dort schloss er sein Studium des Bauingenieurwesens mit Auszeichnung ab.

Nach seinem Schulabschluss 1810 nahm Cauchy eine Stelle als junger Ingenieur in Cherbourg an, wo Napoleon einen Marinestützpunkt errichten lassen wollte. Dort blieb er drei Jahre und war unter anderem für den Bau des Ourcq-Kanals und der Saint-Cloud-Brücke sowie für Arbeiten im Hafen von Cherbourg zuständig. ^{[ 6 ]} Trotz seiner anspruchsvollen Managementtätigkeit fand er noch Zeit, drei mathematische Manuskripte anzufertigen, die er der Première Classe (Erste Klasse) des Institut de France vorlegte . ^{[ c ]} Cauchys erste beiden Manuskripte (über Polyeder ) wurden angenommen; das dritte (über Richtlinien von Kegelschnitten ) wurde abgelehnt.

Im September 1812 kehrte der 23-jährige Cauchy nach Paris zurück, nachdem er aufgrund von Überarbeitung erkrankt war. ^{[ 6 ]} Ein weiterer Grund für seine Rückkehr in die Hauptstadt war sein schwindendes Interesse an seiner Ingenieurstätigkeit. Er fühlte sich zunehmend von der abstrakten Schönheit der Mathematik angezogen; in Paris sah er deutlich bessere Chancen, eine Stelle im mathematischen Bereich zu finden. Als sich sein Gesundheitszustand 1813 besserte, entschied sich Cauchy gegen eine Rückkehr nach Cherbourg. ^{[ 6 ]} Obwohl er formal seine Ingenieursstelle behielt, wurde er vom Marineministerium zum Innenministerium versetzt. Die folgenden drei Jahre verbrachte Cauchy größtenteils unbezahlten Krankenurlaub; er nutzte diese Zeit produktiv für seine mathematischen Arbeiten (insbesondere zu den verwandten Themen symmetrische Funktionen , symmetrische Gruppen und der Theorie algebraischer Gleichungen höherer Ordnung). Er bewarb sich dreimal zwischen 1813 und 1815 um die Aufnahme in die Erste Klasse des Institut de France, scheiterte jedoch. 1815 wurde Napoleon bei Waterloo besiegt, und der neu gekrönte König Ludwig XVIII. übernahm die Restauration. Die Académie des Sciences wurde im März 1816 wiedereröffnet; Lazare Carnot und Gaspard Monge wurden aus politischen Gründen aus der Akademie ausgeschlossen, und der König ernannte Cauchy zu ihrem Nachfolger. Die Reaktion seiner Kollegen war heftig; sie empfanden seine Aufnahme in die Akademie als Skandal, und Cauchy machte sich viele Feinde in wissenschaftlichen Kreisen.

Im November 1815 bat Louis Poinsot , Dozent an der École Polytechnique, aus gesundheitlichen Gründen um Entbindung von seinen Lehrverpflichtungen. Cauchy galt zu dieser Zeit als aufstrebender Mathematiker. Einer seiner größten Erfolge war der Beweis des Fermatschen Polygonalzahlensatzes . Er gab seine Ingenieursstelle auf und erhielt einen Einjahresvertrag für Mathematikunterricht im zweiten Studienjahr der École Polytechnique. 1816 wurde diese bonapartistische, nicht-religiöse Hochschule reorganisiert, und mehrere liberale Professoren wurden entlassen; Cauchy wurde zum ordentlichen Professor befördert.

Als Cauchy 28 Jahre alt war, lebte er noch bei seinen Eltern. Sein Vater fand, es sei Zeit für eine Heirat; er fand eine passende Braut für ihn, Aloïse de Bure, die fünf Jahre jünger war als er. Die Familie de Bure war im Druck- und Buchhandel tätig und veröffentlichte die meisten Werke Cauchys. ^{[ 8 ]} Aloïse und Augustin heirateten am 4. April 1818 in einer großen römisch-katholischen Zeremonie in der Kirche Saint-Sulpice. 1819 wurde die erste Tochter des Paares, Marie Françoise Alicia, geboren, und 1823 die zweite und jüngste Tochter, Marie Mathilde. ^{[ 9 ]}

Das konservative politische Klima, das bis 1830 anhielt, kam Cauchy sehr entgegen. 1824 starb Ludwig XVIII., und sein noch konservativerer Bruder Karl X. folgte ihm auf den Thron. In diesen Jahren war Cauchy äußerst produktiv und veröffentlichte eine bedeutende mathematische Abhandlung nach der anderen. Er erhielt Lehraufträge am Collège de France und an der Faculté des sciences de Paris .

Im Juli 1830 fand in Frankreich die Julirevolution statt. Karl X. floh aus dem Land und wurde von Louis Philippe I. abgelöst . In der Nähe von Cauchys Pariser Wohnung kam es zu Unruhen, an denen uniformierte Studenten der École Polytechnique aktiv teilnahmen.

Diese Ereignisse markierten einen Wendepunkt in Cauchys Leben und eine Unterbrechung seiner mathematischen Produktivität. Erschüttert vom Sturz der Regierung und erfüllt von tiefem Hass auf die an die Macht gekommenen Liberalen, verließ Cauchy Frankreich und ging ins Ausland, wobei er seine Familie zurückließ. ^{[ 10 ]} Er verbrachte kurze Zeit in Freiburg in der Schweiz, wo er sich entscheiden musste, ob er den erforderlichen Treueeid auf das neue Regime leisten sollte. Er weigerte sich und verlor daraufhin alle seine Ämter in Paris, mit Ausnahme seiner Mitgliedschaft in der Akademie, für die kein Eid erforderlich war. 1831 ging Cauchy in die italienische Stadt Turin , und nach einiger Zeit nahm er dort ein Angebot des Königs von Sardinien (der Turin und die umliegende Region Piemont regierte) für einen eigens für ihn geschaffenen Lehrstuhl für theoretische Physik an. Er lehrte 1832–1833 in Turin. Im Jahr 1831 wurde er zum ausländischen Mitglied der Königlich Schwedischen Akademie der Wissenschaften gewählt und im folgenden Jahr zum ausländischen Ehrenmitglied der Amerikanischen Akademie der Künste und Wissenschaften . ^{[ 11 ]}

Im August 1833 verließ Cauchy Turin und ging nach Prag , um der wissenschaftliche Hauslehrer des dreizehnjährigen Herzogs von Bordeaux, Henri d’Artois (1820–1883), des im Exil lebenden Kronprinzen und Enkels von Karl X., zu werden. ^{[ 12 ]} Als Professor an der École Polytechnique war Cauchy ein notorisch schlechter Dozent gewesen, der ein Verständnisniveau voraussetzte, das nur wenige seiner besten Studenten erreichten, und seine ihm zur Verfügung stehende Zeit mit zu viel Stoff vollstopfte. Henri d’Artois hatte weder Interesse noch Talent für Mathematik oder Naturwissenschaften. Obwohl Cauchy seine Aufgabe sehr ernst nahm, ging er dabei äußerst ungeschickt vor und zeigte überraschend wenig Autorität gegenüber Henri d’Artois. Während seiner Zeit als Bauingenieur war Cauchy einmal kurzzeitig für die Reparatur einiger Pariser Abwasserkanäle zuständig gewesen, und er beging den Fehler, dies seinem Schüler zu erzählen; Mit großem Groll verbreitete Henri d’Artois das Gerücht, Cauchy habe seine Karriere in den Pariser Abwasserkanälen begonnen. Cauchys Tätigkeit als Tutor dauerte bis zu Henri d’Artois’ achtzehntem Geburtstag im September 1838. ^{[ 10 ]} Cauchy forschte in diesen fünf Jahren kaum, während Henri d’Artois eine lebenslange Abneigung gegen Mathematik entwickelte. Cauchy wurde zum Baron ernannt , ein Titel, auf den er großen Wert legte.

Im Jahr 1834 zogen seine Frau und seine beiden Töchter nach Prag, und Cauchy wurde nach vier Jahren im Exil mit seiner Familie wiedervereint.

Cauchy kehrte Ende 1838 nach Paris und an seine Position an der Akademie der Wissenschaften zurück. ^{[ 10 ]} Er konnte seine Lehrpositionen nicht wiedererlangen, da er sich weiterhin weigerte, einen Treueeid zu leisten.

Im August 1839 wurde im Bureau des Longitudes eine Stelle frei . Dieses Büro wies einige Ähnlichkeiten mit der Akademie auf; so hatte es beispielsweise das Recht, seine Mitglieder zu kooptieren. Man ging außerdem davon aus, dass die Mitglieder des Büros den Treueeid „vergessen“ konnten, obwohl sie – anders als die Akademiker – formell dazu verpflichtet waren. Das Bureau des Longitudes war eine 1795 gegründete Organisation, die das Problem der Positionsbestimmung auf See lösen sollte – hauptsächlich der Längenkoordinate , da die Breitengradbestimmung leicht anhand des Sonnenstands erfolgen kann. Da man annahm, dass die Position auf See am besten durch astronomische Beobachtungen bestimmt werden könne, hatte sich das Büro zu einer Organisation entwickelt, die einer Akademie der astronomischen Wissenschaften ähnelte.

Im November 1839 wurde Cauchy in das Bureau gewählt und musste feststellen, dass die Eidesleistung nicht so einfach zu umgehen war. Ohne seinen Eid verweigerte der König die Bestätigung seiner Wahl. Vier Jahre lang befand sich Cauchy in der Lage, gewählt, aber nicht bestätigt zu sein; folglich war er kein formelles Mitglied des Bureau, erhielt keine Vergütung, durfte nicht an Sitzungen teilnehmen und keine Abhandlungen einreichen. Dennoch weigerte sich Cauchy weiterhin, Eide zu leisten; er fühlte sich jedoch loyal genug, um seine Forschung der Himmelsmechanik zu widmen . 1840 präsentierte er der Akademie ein Dutzend Abhandlungen zu diesem Thema. Er beschrieb und illustrierte die Darstellung von Zahlen mit Vorzeichen , eine Neuerung, die 1727 in England von John Colson vorgestellt worden war . Die verwirrende Zusammensetzung des Bureau dauerte bis Ende 1843 an, als Cauchy durch Poinsot ersetzt wurde.

Im gesamten 19. Jahrhundert war das französische Bildungswesen von der Trennung von Kirche und Staat geprägt. Nachdem die katholische Kirche die Kontrolle über das öffentliche Schulwesen verloren hatte, strebte sie danach, einen eigenen Bildungszweig zu etablieren und fand in Cauchy einen treuen und angesehenen Verbündeten. Er stellte sein Ansehen und sein Wissen der École Normale Écclésiastique , einer von Jesuiten geführten Schule in Paris, zur Verfügung, die Lehrer für ihre Kollegien ausbildete. Er war an der Gründung des Institut Catholique beteiligt . Ziel dieses Instituts war es, den Folgen des Fehlens einer katholischen Universitätsbildung in Frankreich entgegenzuwirken. Diese Aktivitäten machten Cauchy bei seinen Kollegen, die im Allgemeinen die Ideale der Aufklärung der Französischen Revolution unterstützten, nicht beliebt. Als 1843 ein Lehrstuhl für Mathematik am Collège de France frei wurde, bewarb sich Cauchy darum, erhielt aber nur drei von 45 Stimmen.

1848 floh König Louis-Philippe nach England. Der Treueeid wurde abgeschafft, und der Weg zu einer akademischen Anstellung war für Cauchy frei. Am 1. März 1849 wurde er an der Faculté de Sciences als Professor für mathematische Astronomie wieder eingesetzt. Nach den politischen Wirren des Jahres 1848 entschied sich Frankreich für die Republik unter dem Vorsitz Napoleons III . Anfang 1852 krönte sich der Präsident zum Kaiser von Frankreich und nahm den Namen Napoleon III . an .

In bürokratischen Kreisen kam die Idee auf, dass es sinnvoll wäre, von allen Staatsbeamten, einschließlich Universitätsprofessoren, wieder einen Treueeid zu verlangen. Diesmal konnte ein Kabinettsminister den Kaiser überzeugen, Cauchy vom Eid zu befreien. 1853 wurde Cauchy zum internationalen Mitglied der American Philosophical Society gewählt . ^{[ 13 ]} Cauchy blieb bis zu seinem Tod im Alter von 67 Jahren Professor an der Universität. Er empfing die Sterbesakramente und starb am 23. Mai 1857 um 4 Uhr morgens an einer Bronchialerkrankung. ^{[ 10 ]}

Sein Name ist einer der 72 Namen, die auf dem Eiffelturm eingraviert sind .

Cauchys Genie zeigte sich in seiner einfachen Lösung des Apollonius-Problems – der Beschreibung eines Kreises , der drei gegebene Kreise berührt –, die er 1805 entdeckte, in seiner Verallgemeinerung der Eulerschen Formel für Polyeder im Jahr 1811 und in mehreren anderen eleganten Problemen. Besonders bedeutend ist seine Abhandlung über Wellenausbreitung , die 1816 mit dem Grand Prix der Französischen Akademie der Wissenschaften ausgezeichnet wurde. Cauchys Schriften umfassten bedeutende Themen. In der Reihentheorie entwickelte er den Konvergenzbegriff und entdeckte viele der grundlegenden Formeln für q-Reihen . In der Zahlentheorie und der Theorie komplexer Größen definierte er als Erster komplexe Zahlen als Paare reeller Zahlen. Er schrieb außerdem über die Gruppen- und Substitutionstheorie, die Funktionentheorie, Differentialgleichungen und Determinanten. ^{[ 4 ]}

In der Lichttheorie arbeitete er an Fresnels Wellentheorie sowie an der Dispersion und Polarisation des Lichts. Er leistete auch Beiträge zur Mechanik , indem er das Prinzip der Kontinuität der Materie durch den Begriff der Stetigkeit geometrischer Verschiebungen ersetzte. ^{[ 14 ]} Er verfasste Arbeiten über das Gleichgewicht von Stäben und elastischen Membranen sowie über Wellen in elastischen Medien. Er führte eine symmetrische 3×3- Zahlenmatrix ein , die heute als Cauchy-Spannungstensor bekannt ist . ^{[ 15 ]} Auf dem Gebiet der Elastizitätstheorie begründete er die Spannungstheorie , und seine Ergebnisse sind beinahe so bedeutend wie die von Siméon Poisson . ^{[ 4 ]}

Zu seinen weiteren bedeutenden Beiträgen zählt, dass er als Erster den Fermatschen Polygonalzahlsatz bewies .

Cauchy ist vor allem für seine eigenständige Entwicklung der komplexen Funktionentheorie bekannt . Der erste von Cauchy bewiesene Schlüsselsatz, heute als Cauchyscher Integralsatz bekannt , lautete wie folgt:

${\displaystyle \oint _{C}f(z)dz=0,}$

wobei f ( z ) eine komplexwertige Funktion ist, die holomorph auf und innerhalb der nicht-selbstschneidenden geschlossenen Kurve C (Kontur) in der komplexen Ebene ist . Das Konturintegral wird entlang der Kontur C berechnet . Die Grundlagen dieses Satzes finden sich bereits in einer Arbeit, die der 24-jährige Cauchy am 11. August 1814 der Académie des Sciences (damals noch „Erste Klasse des Instituts“ genannt) vorstellte. Der vollständige Satz wurde 1825 formuliert. ^{[ 16 ]}

1826 gab Cauchy eine formale Definition des Residuums einer Funktion. ^{[ 17 ]} Dieses Konzept betrifft Funktionen mit Polen – isolierten Singularitäten, d. h. Punkten, an denen eine Funktion gegen plus oder minus unendlich strebt. Lässt sich die komplexwertige Funktion f ( z ) in der Umgebung einer Singularität a wie folgt entwickeln :

${\displaystyle f(z)=\varphi (z)+{\frac {B_{1}}{za}}+{\frac {B_{2}}{(za)^{2}}}+\cdots +{\frac {B_{n}}{(za)^{n}}},\quad B_{i},z,a\in \mathbb {C} ,}$

Wenn φ( z ) analytisch ist (d. h. wohldefiniert und ohne Singularitäten), dann hat f einen Pol n -ter Ordnung im Punkt a . Ist n = 1, so nennt man den Pol einfach. Der Koeffizient B₁ wird von Cauchy als Residuum der Funktion f in a bezeichnet . Ist f in a nicht singulär, _so ist das Residuum von f in a null . Offensichtlich ist das Residuum im Fall eines einfachen Pols gleich …

${\displaystyle {\underset {z=a}{\mathrm {Res} }}f(z)=\lim _{z\rightarrow a}(za)f(z),}$

wobei wir B ₁ durch die moderne Notation des Restes ersetzt haben.

Im Jahr 1831 reichte Cauchy während seines Aufenthalts in Turin zwei Arbeiten bei der Turiner Akademie der Wissenschaften ein. In der ersten ^{[ 18 ]} schlug er die Formel vor, die heute als Cauchysche Integralformel bekannt ist .

${\displaystyle f(a)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}{\frac {f(z)}{za}}dz,}$

wobei f ( z ) analytisch auf C und innerhalb des von der Kontur C begrenzten Bereichs ist und die komplexe Zahl a irgendwo in diesem Bereich liegt. Das Konturintegral wird gegen den Uhrzeigersinn berechnet. Offensichtlich besitzt der Integrand einen einfachen Pol bei z = a . In der zweiten Arbeit ^{[ 19 ]} präsentierte er den Residuensatz .

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}f(z)dz=\sum _{k=1}^{n}{\underset {z=a_{k}}{\mathrm {Res} }}f(z),}$

Die Summe erstreckt sich über alle n Pole von f ( z ) auf und innerhalb der Kontur C. Diese Ergebnisse von Cauchy bilden noch heute den Kern der komplexen Funktionentheorie, wie sie Physikern und Elektrotechnikern gelehrt wird. Lange Zeit ignorierten Cauchys Zeitgenossen seine Theorie, da sie diese für zu kompliziert hielten. Erst in den 1840er Jahren erfuhr die Theorie Beachtung, wobei Pierre Alphonse Laurent neben Cauchy als erster Mathematiker einen wesentlichen Beitrag leistete (seine Arbeit über die heute als Laurent-Reihen bekannten Funktionen wurde 1843 veröffentlicht).

In seinem Buch „Cours d’analyse“ betonte Cauchy die Wichtigkeit von Strenge in der Analysis. Strenge bedeutete in diesem Fall die Ablehnung des Allgemeinheitsprinzips der Algebra (früherer Autoren wie Euler und Lagrange) und dessen Ersetzung durch Geometrie und Infinitesimalrechnung . ^{[ 20 ]} Judith Grabiner schrieb, Cauchy sei „der Mann gewesen, der ganz Europa die strenge Analysis lehrte“. ^{[ 21 ]} Das Buch gilt häufig als die erste Quelle, in der Ungleichungen und Argumente in die Analysis eingeführt wurden. Cauchy definierte hier Stetigkeit wie folgt: Die Funktion f(x) ist zwischen den gegebenen Grenzen stetig bezüglich x, wenn zwischen diesen Grenzen eine infinitesimal kleine Änderung der Variablen stets eine infinitesimal kleine Änderung der Funktion selbst bewirkt.${\displaystyle \delta -\varepsilon }$

M. Barany behauptet, die École habe die Einbeziehung infinitesimaler Methoden gegen Cauchys besseres Wissen vorgeschrieben. ^{[ 22 ]} Gilain merkt an, dass Cauchy, als der Teil des Lehrplans, der der Analyse Algébrique gewidmet war , 1825 gekürzt wurde, darauf bestand, das Thema stetiger Funktionen (und damit auch Infinitesimale) an den Anfang der Differentialrechnung zu stellen. ^{[ 23 ]} Laugwitz (1989) und Benis-Sinaceur (1973) weisen darauf hin, dass Cauchy noch 1853 Infinitesimale in seinen eigenen Forschungen verwendete.

Cauchy gab eine explizite Definition des Infinitesimals als Folge, die gegen null strebt. Es existiert eine umfangreiche Literatur zu Cauchys Begriff der „infinitesimal kleinen Größen“, die argumentiert, dass diese von den üblichen „epsilontischen“ Definitionen bis hin zu Konzepten der Nichtstandardanalysis führen . Es herrscht Einigkeit darüber, dass Cauchy die wichtigen Ideen, die die genaue Bedeutung der von ihm verwendeten infinitesimal kleinen Größen verdeutlichen, ausließ oder implizit ließ. ^{[ 24 ]}

Er war der Erste, der Taylors Theorem streng bewies und dabei seine bekannte Form des Restglieds etablierte. ^{[ 4 ]} Für seine Studenten an der École Polytechnique verfasste er ein Lehrbuch ^{[ 25 ]} (siehe Abbildung), in dem er die grundlegenden Theoreme der Analysis so streng wie möglich entwickelte. In diesem Buch gab er die notwendige und hinreichende Bedingung für die Existenz eines Grenzwerts in der noch heute gebräuchlichen Form an. Auch Cauchys bekanntes Kriterium für absolute Konvergenz, das Cauchysche Kondensationskriterium , stammt aus diesem Buch. 1829 definierte er in einem weiteren Lehrbuch erstmals eine komplexe Funktion einer komplexen Variablen. ^{[ 26 ]} Trotz dieser Leistungen verwendete Cauchy in seinen Forschungsarbeiten oft intuitive, nicht strenge Methoden; ^{[ 27 ]} so wurde eines seiner Theoreme von Abel einem „Gegenbeispiel“ ausgesetzt , das später durch die Einführung des Begriffs der gleichmäßigen Stetigkeit behoben wurde .

In einer 1855, zwei Jahre vor seinem Tod, veröffentlichten Arbeit erörterte Cauchy einige Theoreme, von denen eines dem „ Argumentationsprinzip “ in vielen modernen Lehrbüchern der komplexen Analysis ähnelt. In modernen Lehrbüchern der Regelungstechnik wird das Cauchysche Argumentationsprinzip häufig zur Herleitung des Nyquist-Stabilitätskriteriums verwendet, welches zur Vorhersage der Stabilität von Verstärkern und Regelsystemen mit negativer Rückkopplung dient . Cauchys Werk hat somit einen starken Einfluss sowohl auf die reine Mathematik als auch auf die praktische Ingenieurwissenschaft.

Cauchy war sehr produktiv; in der Anzahl seiner Veröffentlichungen stand er nur Leonhard Euler nach . Es dauerte fast ein Jahrhundert, bis all seine Schriften in 27 großen Bänden zusammengetragen waren.

• Oeuvres complètes von Augustin Cauchy veröffentlicht unter der Leitung der Wissenschaftlichen Akademie der Wissenschaften und unter der Schirmherrschaft von M. le ministre de l'Instruction publique (27 Bände) bei der Wayback Machine (archiviert am 24. Juli 2007) (Paris: Gauthier-Villars et fils, 1882–1974)
• Gesamtwerk von Augustin Cauchy . Académie des sciences (Frankreich). 1882–1938 – über Ministère de l'éducation nationale.

Seine größten Beiträge zur mathematischen Wissenschaft liegen in den von ihm eingeführten strengen Methoden; diese sind hauptsächlich in seinen drei großen Abhandlungen verkörpert:

• „Analyse Algébrique“ . Cours d'analyse de l'École Royale Polytechnique . Paris: L'Imprimerie Royale, Debure frères, Libraires du Roi und de la Bibliothèque du Roi . 1821. online im Internet Archive .
• Le Calcul infinitésimal (1823)
• Lektionen zu den Anwendungen der Infinitesimalrechnung ; La géométrie (1826–1828) ^{[ 4 ]}

Zu seinen weiteren Werken gehören:

• Mémoire sur les intégrales définies, prises entre des limites imaginaires [ Ein Memorandum über bestimmte Integrale zwischen imaginären Grenzen ] (auf Französisch). Eingereicht bei der Académie des Sciences am 28. Februar: Paris, De Bure frères. 1825.{{cite book}}CS1 Wartung: Standort ( Link )
• Übungen zur Mathematik . Paris. 1826.
• Übungen zur Mathematik . Bd. Seconde Année. Paris. 1827.
• Leçons sur le calcul différentiel . Paris: De Bure frères. 1829.
• Sur la mecanique celeste et sur un nouveau calcul qui s'applique a un grand nombre de questions diverses etc [ Über die Himmelsmechanik und eine neue Berechnung, die auf eine große Anzahl verschiedener Fragen anwendbar ist ] (in Französisch). Vorgelegt der Akademie der Wissenschaften von Turin, 11. Oktober 1831.{{cite book}}CS1 Wartung: Standort ( Link )
• Exercices d'analyse et de physique mathematique (Band 1)
• Exercices d'analyse et de physique mathematique (Band 2)
• Exercices d'analyse et de physique mathematique (Band 3)
• Exercices d'analyse et de physique mathematique (Band 4) (Paris: Bachelier, 1840–1847)
• Analyze algèbrique (Imprimerie Royale, 1821)
• Nouveaux exercices de mathématiques (Paris: Gauthier-Villars, 1895)
• Kurse der Mechanik (für die École Polytechnique)
• Höhere Algebra (für die Faculté des sciences de Paris )
• Mathematische Physik (für das Collège de France).
• Merken Sie sich die Verwendung symbolischer Gleichungen in der Infinitesimalrechnung und in der Enddifferenzrechnung von CR Ac ad. Wissenschaft. Paris, t. XVII, 449–458 (1843) gilt als Urheber der Operationsrechnung .

Augustin-Louis Cauchy wuchs im Haus eines überzeugten Royalisten auf. Deshalb floh sein Vater während der Französischen Revolution mit der Familie nach Arcueil . Ihr Leben dort war offenbar hart; Augustin-Louis' Vater, Louis François, berichtete, dass sie sich in dieser Zeit von Reis, Brot und Zwieback ernährten. Ein Absatz aus einem undatierten Brief von Louis François an seine Mutter in Rouen lautet: ^{[ 28 ]}

Wir hatten nie mehr als ein halbes Pfund (230 g) Brot – und manchmal nicht einmal das. Dazu gab es noch die wenigen Zwiebacke und Reis, die uns zugeteilt wurden. Ansonsten kommen wir ganz gut zurecht, was das Wichtigste ist und zeigt, dass Menschen mit wenig auskommen können. Ich sollte Ihnen vielleicht noch erzählen, dass ich für den Brei meiner Kinder noch etwas feines Mehl habe, aus Weizen, den ich auf meinem eigenen Land angebaut habe. Ich hatte drei Scheffel, und ich habe auch noch ein paar Pfund Kartoffelstärke . Sie ist schneeweiß und auch sehr gut, besonders für kleine Kinder. Auch sie stammt von meinem eigenen Land. ^{[ 29 ]}

Jedenfalls erbte er den unerschütterlichen Royalismus seines Vaters und weigerte sich daher nach dem Sturz Karls X., irgendeiner Regierung einen Eid zu leisten.

Er war ein ebenso überzeugter Katholik und Mitglied der Vinzenzgemeinschaft . ^{[ 30 ]} Er pflegte auch Verbindungen zum Jesuitenorden und verteidigte diesen an der Akademie, obwohl dies politisch unklug war. Sein Eifer für den Glauben mag dazu geführt haben, dass er sich während Charles Hermites Krankheit um ihn kümmerte und Hermite zum katholischen Glauben bekehrte. Er inspirierte Cauchy auch dazu, sich während der Großen Hungersnot in Irland für die Iren einzusetzen .

Sein Royalismus und sein religiöser Eifer machten ihn umstritten und führten zu Schwierigkeiten mit seinen Kollegen. Er fühlte sich aufgrund seines Glaubens ungerecht behandelt, seine Gegner hingegen warfen ihm vor, absichtlich zu provozieren, indem er Menschen in religiösen Angelegenheiten beschimpfte oder die Jesuiten nach ihrer Auflösung verteidigte. Niels Henrik Abel nannte ihn einen „verrückten Katholiken“ ^{[ 31 ]} und fügte hinzu, er sei „wahnsinnig und man könne nichts gegen ihn tun“, lobte ihn aber gleichzeitig als Mathematiker. Cauchys Ansichten waren unter Mathematikern äußerst unpopulär, und als Guglielmo Libri Carucci dalla Sommaja vor ihm den Lehrstuhl für Mathematik übernahm, sahen er und viele andere in seinen Ansichten die Ursache. Als Libri des Bücherdiebstahls beschuldigt wurde, ersetzte man ihn durch Joseph Liouville anstelle von Cauchy, was zu einem Bruch zwischen Liouville und Cauchy führte. Ein weiterer Streit mit politischen Untertönen betraf Jean-Marie Constant Duhamel und eine Behauptung über inelastische Stöße. Später bewies Jean-Victor Poncelet , dass Cauchy sich irrte.

• O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. , "Augustin-Louis Cauchy" , MacTutor History of Mathematics Archive , Universität St Andrews
• Augustin-Louis Cauchy beim Mathematik-Genealogie-Projekt
• Augustin-Louis Cauchy – Cauchys Leben von Robin Hartshorne