Bandbegrenzung

Bandbegrenzung ist das Verfahren, bei dem die Energie eines Signals außerhalb eines bestimmten Frequenzbereichs reduziert wird , sodass nur der gewünschte Teil des Signalspektrums erhalten bleibt. Diese Technik ist in der Signalverarbeitung und Kommunikation unerlässlich , um klare und effektive Signale zu gewährleisten. Sie hilft beispielsweise, Interferenzen zwischen Hochfrequenzsignalen , wie sie in Radio- oder Fernsehsendungen verwendet werden, zu vermeiden und Aliasing- Verzerrungen (eine Fehlerart) bei der Digitalisierung von Signalen für die digitale Signalverarbeitung zu reduzieren .

Ein bandbegrenztes Signal ist ein Signal , das streng genommen außerhalb eines bestimmten Frequenzbereichs keine Energie besitzt . In der Praxis spricht man von einem bandbegrenzten Signal, wenn die Energie jenseits dieses Bereichs so gering ist, dass sie für einen bestimmten Zweck, wie beispielsweise Audioaufnahmen oder Funkübertragungen, vernachlässigt werden kann. Solche Signale können entweder zufällig (unvorhersehbar, auch stochastisch genannt ) oder nicht-zufällig (vorhersagbar, auch deterministisch genannt ) sein.

Mathematisch gesehen hängt ein bandbegrenztes Signal mit seiner Fourier-Reihe oder Fourier-Transformationsdarstellung zusammen . Ein allgemeines Signal benötigt einen unendlichen Frequenzbereich in einer kontinuierlichen Fourier-Reihe, um vollständig beschrieben zu werden. Reicht jedoch ein endlicher Bereich aus, spricht man von einem bandbegrenzten Signal. Das bedeutet, dass seine Fourier-Transformation oder Spektraldichte – die den Frequenzgehalt des Signals darstellt – einen „begrenzten Träger“ hat, d. h. außerhalb eines begrenzten Frequenzbereichs auf null abfällt.

Theoretisch müsste sich ein bandbegrenztes Signal zeitlich von minus unendlich bis plus unendlich erstrecken und dabei zumindest gelegentlich Bereiche mit Werten ungleich Null aufweisen, was in der Praxis nicht der Fall ist (siehe weiter unten).

Ein bandbegrenztes Signal lässt sich aus seinen Abtastwerten perfekt rekonstruieren, wenn die Abtastrate – also wie oft das Signal gemessen wird – mehr als doppelt so groß ist wie die Bandbreite des Signals (der Frequenzbereich, den es enthält). Diese minimale Rate wird Nyquist-Rate genannt und ist ein zentraler Begriff des Nyquist-Shannon-Abtasttheorems , das sicherstellt, dass beim Abtasten keine Information verloren geht.

In der Realität sind die meisten Signale nicht perfekt bandbegrenzt, und Signale, die uns wichtig sind – wie Audio- oder Radiowellen – weisen oft unerwünschte Energie außerhalb des gewünschten Frequenzbereichs auf. Um dies zu beheben, verwenden digitale Signalverarbeitungswerkzeuge , die Abtastraten erfassen oder ändern, Bandbegrenzungsfilter, um Aliasing (eine Verzerrung, bei der hohe Frequenzen als niedrigere erscheinen) zu reduzieren. Diese Filter müssen sorgfältig ausgelegt werden, da sie die Amplitude und Phase des Signals im Frequenzbereich (seine Stärke und sein zeitliches Verhalten über verschiedene Frequenzen) sowie seine Eigenschaften im Zeitbereich (seine zeitliche Veränderung) verändern.

Ein Beispiel für ein einfaches deterministisches bandbegrenztes Signal ist eine Sinusfunktion der Form . Wird dieses Signal mit einer Abtastrate abgetastet, sodass wir die Abtastwerte für alle ganzen Zahlen erhalten , können wir es vollständig aus diesen Abtastwerten rekonstruieren. Analog dazu sind Summen von Sinusfunktionen mit unterschiedlichen Frequenzen und Phasen ebenfalls auf die höchste ihrer Frequenzen bandbegrenzt. ${\displaystyle x(t)=\sin(2\pi ft+\theta ).}$${\displaystyle f_{s}={\tfrac {1}{T}}>2f}$${\displaystyle x(nT),}$${\displaystyle n}$${\displaystyle x(t)}$

Das Signal, dessen Fouriertransformierte in der Abbildung dargestellt ist, ist ebenfalls bandbegrenzt. Angenommen, es handelt sich um ein Signal, dessen Fouriertransformierte den Betrag von in der Abbildung zeigt. Die höchste Frequenzkomponente in ist . Daraus ergibt sich die Nyquist-Frequenz zu . ${\displaystyle x(t)}$${\displaystyle X(f),}$${\displaystyle x(t)}$${\displaystyle B.}$

${\displaystyle R_{N}=2B\,}$

oder das Doppelte der höchsten Frequenzkomponente im Signal, wie in der Abbildung dargestellt. Gemäß dem Abtasttheorem ist es möglich, mithilfe der Abtastwerte eine vollständige und exakte Rekonstruktion durchzuführen.${\displaystyle x(t)\ }$

${\displaystyle x(nT)=x\left({n \over f_{s}}\right)}$für alle ganzen Zahlen und${\displaystyle n\,}$${\displaystyle T\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {1 \over f_{s}}}$

solange

${\displaystyle f_{s}>R_{N}\,}$

Die Rekonstruktion eines Signals aus seinen Abtastwerten kann mithilfe der Whittaker-Shannon-Interpolationsformel erfolgen .

Ein bandbegrenztes Signal kann nicht gleichzeitig zeitlich begrenzt sein. Genauer gesagt: Eine Funktion und ihre Fouriertransformierte können nicht beide einen endlichen Träger haben , es sei denn, sie ist identisch null. Dieser Sachverhalt lässt sich mithilfe der komplexen Analysis und der Eigenschaften der Fouriertransformation beweisen.

Angenommen, es existiert ein Signal f(t) mit endlichem Träger in beiden Definitionsbereichen, das nicht identisch null ist. Wir tasten es schneller als die Nyquist-Frequenz ab und berechnen die zugehörige Fourier-Transformation und die diskrete Fourier-Transformation (DTFT). Gemäß den Eigenschaften der DTFT gilt: , wobei die zur Diskretisierung verwendete Frequenz ist . Ist f bandbegrenzt, ist außerhalb eines bestimmten Intervalls null. Für ausreichend großes wird daher auch in einigen Intervallen null, da sich die einzelnen Träger von in der Summe nicht überlappen. Laut Definition der DTFT ist eine Summe trigonometrischer Funktionen . Da f(t) zeitlich begrenzt ist, ist diese Summe endlich, sodass tatsächlich ein trigonometrisches Polynom ist . Alle trigonometrischen Polynome sind holomorph auf der gesamten komplexen Ebene , und es gibt einen einfachen Satz der komplexen Analysis, der besagt, dass alle Nullstellen einer nicht-konstanten holomorphen Funktion isoliert sind . Dies widerspricht jedoch unserer früheren Feststellung, dass Intervalle voller Nullen existieren, da Punkte in solchen Intervallen nicht isoliert sind. Somit ist das einzige zeit- und bandbreitenbegrenzte Signal eine konstante Null. ${\displaystyle FT(f)=F_{1}(w)}$${\displaystyle DTFT(f)=F_{2}(w)}$${\displaystyle F_{2}(w)=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }F_{1}(w+nf_{x})}$${\displaystyle f_{x}}$${\displaystyle F_{1}}$${\displaystyle f_{x}}$${\displaystyle F_{2}}$${\displaystyle F_{1}}$${\displaystyle F_{2}}$${\displaystyle F_{2}}$${\displaystyle F_{2}}$${\displaystyle F_{2}}$

Eine wichtige Konsequenz dieses Ergebnisses ist, dass es in der Praxis unmöglich ist, ein wirklich bandbegrenztes Signal zu erzeugen, da dessen Übertragung unendlich viel Zeit in Anspruch nehmen würde. Alle realen Signale sind notwendigerweise zeitlich begrenzt , was bedeutet, dass sie nicht bandbegrenzt sein können . Dennoch ist das Konzept eines bandbegrenzten Signals eine nützliche Idealisierung für theoretische und analytische Zwecke. Darüber hinaus lässt sich ein bandbegrenztes Signal mit beliebiger Genauigkeit annähern.

Ein ähnlicher Zusammenhang zwischen Zeitdauer und Frequenzbandbreite bildet auch die mathematische Grundlage für die Unschärferelation in der Quantenmechanik . In diesem Kontext wird die „Breite“ von Funktionen im Zeit- und Frequenzbereich mit einem varianzähnlichen Maß bewertet. Quantitativ besagt die Unschärferelation, dass für jede reelle Wellenform folgende Bedingung gilt:

${\displaystyle W_{B}T_{D}\geq 1}$

Wo

${\displaystyle W_{B}}$ist ein (geeignet gewähltes) Maß für die Bandbreite (in Hertz), und

${\displaystyle T_{D}}$ist ein (geeignet gewähltes) Zeitdauermaß (in Sekunden).

In der Zeit-Frequenz-Analyse werden diese Grenzen als Gabor-Grenze bezeichnet und als Grenze für die gleichzeitig erreichbare Zeit-Frequenz-Auflösung interpretiert .

• Bandpassfilter
• Bandsperrfilter

• William McC. Siebert (1986). Schaltungen, Signale und Systeme . Cambridge, MA: MIT Press.