Kodimension

In der Mathematik ist die Kodimension ein grundlegendes geometrisches Konzept, das auf Unterräume in Vektorräumen , auf Untermannigfaltigkeiten in Mannigfaltigkeiten und auf geeignete Teilmengen algebraischer Varietäten Anwendung findet .

Bei affinen und projektiven algebraischen Varietäten entspricht die Kodimension der Höhe des definierenden Ideals . Daher wird die Höhe eines Ideals oft als seine Kodimension bezeichnet.

Das duale Konzept ist die relative Dimension .

Kodimension ist ein relativer Begriff: Sie ist nur für ein Objekt innerhalb eines anderen definiert. Es gibt keine „Kodimension eines Vektorraums (isoliert)“, sondern nur die Kodimension eines Vektorunterraums .

Ist W ein linearer Unterraum eines endlichdimensionalen Vektorraums V , so ist die Kodimension von W in V die Differenz zwischen den Dimensionen: ^{[ 1 ]}

${\displaystyle \operatorname {codim} (W)=\dim(V)-\dim(W).}$

Sie ist das Komplement der Dimension von W, da sie zusammen mit der Dimension von W die Dimension des umgebenden Raums V ergibt:

${\displaystyle \dim(W)+\operatorname {codim} (W)=\dim(V).}$

Analog dazu ist die Kodimension von N in M , wenn N eine Untermannigfaltigkeit oder Untervarietät in M ​​ist

${\displaystyle \operatorname {codim} (N)=\dim(M)-\dim(N).}$

So wie die Dimension einer Untermannigfaltigkeit die Dimension des Tangentialbündels ist (die Anzahl der Dimensionen, die man auf der Untermannigfaltigkeit verschieben kann ), ist die Kodimension die Dimension des Normalenbündels (die Anzahl der Dimensionen, die man von der Untermannigfaltigkeit weg verschieben kann ).

Allgemeiner gilt: Ist W ein linearer Unterraum eines (möglicherweise unendlichdimensionalen) Vektorraums V , so ist die Kodimension von W in V die Dimension (möglicherweise unendlich) des Quotientenraums V / W , der abstrakter als Kokern der Inklusion bezeichnet wird. Für endlichdimensionale Vektorräume stimmt dies mit der vorherigen Definition überein.

${\displaystyle \operatorname {codim} (W)=\dim(V/W)=\dim \operatorname {coker} (W\to V)=\dim(V)-\dim(W),}$

und ist dual zur relativen Dimension als der Dimension des Kerns .

Endlich-kodimensionale Unterräume unendlichdimensionaler Räume sind oft nützlich bei der Untersuchung topologischer Vektorräume .

_{Die grundlegende Eigenschaft} der Kodimension liegt in ihrer Beziehung zum Schnitt : Wenn W₁ _die Kodimension k₁ und W₂ _die Kodimension k₂ hat , dann gilt für ihren Schnitt U mit der Kodimension j _:

max( k ₁ , k ₂ ) ≤ j ≤ k ₁ + k ₂ .

Tatsächlich kann j jeden ganzzahligen Wert in diesem Bereich annehmen. Diese Aussage ist verständlicher als die Übersetzung in Dimensionen, da die rechte Seite einfach die Summe der Kodimensionen ist. In Worten:

Kodimensionen (höchstens) addieren .

Wenn sich die Unterräume oder Untermannigfaltigkeiten transversal schneiden (was im Allgemeinen vorkommt ), addieren sich die Kodimensionen exakt.

Diese Aussage wird als Dimensionszählung bezeichnet , insbesondere in der Schnitttheorie .

Im Hinblick auf den Dualraum wird deutlich, warum sich Dimensionen addieren. Die Unterräume lassen sich durch das Verschwinden einer bestimmten Anzahl linearer Funktionale definieren . Sind diese linear unabhängig , entspricht ihre Anzahl der Kodimension. Daher ist U definiert als die Vereinigung der Mengen linearer Funktionale, die W_{_i} definieren . Diese Vereinigung kann eine gewisse lineare Abhängigkeit hervorrufen : Die möglichen Werte von j drücken diese Abhängigkeit aus, wobei die Summe auf der rechten Seite den Fall ohne Abhängigkeit darstellt. Diese Definition der Kodimension anhand der Anzahl der Funktionen, die zur Bildung eines Unterraums benötigt werden, lässt sich auf Situationen erweitern, in denen sowohl der umgebende Raum als auch der Unterraum unendlichdimensional sind.

Anders ausgedrückt, und dies ist grundlegend für jede Schnittmengentheorie , betrachten wir die Vereinigung einer bestimmten Anzahl von Nebenbedingungen . Dabei gilt es, zwei Phänomene zu beobachten:

1. Die beiden Arten von Nebenbedingungen sind möglicherweise nicht unabhängig;
2. Die beiden Arten von Einschränkungen sind möglicherweise nicht miteinander kompatibel.

Das erste dieser Prinzipien wird oft als Prinzip der Zählbeschränkungen ausgedrückt : Wenn wir eine Anzahl N von Parametern anpassen müssen (d. h. wir haben N Freiheitsgrade ) und eine Beschränkung bedeutet, dass wir einen Parameter „verbrauchen“ müssen, um sie zu erfüllen, dann ist die Kodimension der Lösungsmenge höchstens die Anzahl der Beschränkungen. Wir erwarten keine Lösung zu finden, wenn die vorhergesagte Kodimension, d. h. die Anzahl der unabhängigen Beschränkungen, N überschreitet (im Fall der linearen Algebra gibt es immer eine triviale Nullvektorlösung , die daher ausgeschlossen wird ) .

Die zweite Frage ist geometrischer Natur und basiert auf dem Modell paralleler Geraden . Sie kann für lineare Probleme mit Methoden der linearen Algebra und für nichtlineare Probleme im projektiven Raum über dem Körper der komplexen Zahlen diskutiert werden .

Die Kodimension hat auch in der geometrischen Topologie eine klare Bedeutung : Auf einer Mannigfaltigkeit ist die Kodimension 1 die Dimension der topologischen Trennung durch eine Untermannigfaltigkeit, während die Kodimension 2 die Dimension der Verzweigung und der Knotentheorie darstellt . Tatsächlich kann die Theorie hochdimensionaler Mannigfaltigkeiten, die in Dimension 5 und höher beginnt, alternativ auch in Kodimension 3 beginnen, da höhere Kodimensionen das Phänomen der Knoten vermeiden. Da die Theorie der chirurgischen Eingriffe die Arbeit bis zur mittleren Dimension erfordert, hat die mittlere Dimension ab Dimension 5 eine Kodimension größer als 2, wodurch Knoten vermieden werden.

Dieser Witz ist nicht unbegründet: Die Untersuchung von Einbettungen in Kodimension 2 ist Knotentheorie und schwierig, während die Untersuchung von Einbettungen in Kodimension 3 oder höher mit den Mitteln der hochdimensionalen geometrischen Topologie zugänglich und daher wesentlich einfacher ist.

• Glossar der Differentialgeometrie und Topologie

• „Codimension“ , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
• Roman, Stephen (2008), Höhere Lineare Algebra , Graduate Texts in Mathematics (3. Aufl.), Springer, ISBN 978-0-387-72828-5