Halbeinfachheit

In der Mathematik ist Halbeinfachheit ein weit verbreitetes Konzept in Disziplinen wie linearer Algebra , abstrakter Algebra , Darstellungstheorie , Kategorientheorie und algebraischer Geometrie . Ein halbeinfaches Objekt ist ein Objekt, das sich in eine Summe einfacher Objekte zerlegen lässt ; einfache Objekte sind solche, die keine nichttrivialen echten Teilobjekte enthalten. Die genauen Definitionen dieser Begriffe hängen vom Kontext ab.

Ist G beispielsweise eine endliche Gruppe , so heißt eine nichttriviale endlichdimensionale Darstellung V über einem Körper einfach , wenn sie nur die Unterdarstellungen {0} oder V enthält (diese werden auch irreduzible Darstellungen genannt ). Der Satz von Maschke besagt, dass jede endlichdimensionale Darstellung einer endlichen Gruppe eine direkte Summe einfacher Darstellungen ist (vorausgesetzt, die Charakteristik des Grundkörpers teilt nicht die Ordnung der Gruppe). Unter dieser Bedingung ist also jede endlichdimensionale Darstellung halbeinfach. Insbesondere in der Algebra und Darstellungstheorie wird „Halbeinfachheit“ auch als vollständige Reduzierbarkeit bezeichnet. Der Satz von Weyl über die vollständige Reduzierbarkeit besagt beispielsweise, dass eine endlichdimensionale Darstellung einer halbeinfachen kompakten Lie-Gruppe halbeinfach ist.

Eine quadratische Matrix (also ein linearer Operator, wobei V ein endlichdimensionaler Vektorraum ist) heißt einfach , wenn ihre einzigen invarianten linearen Unterräume unter T {0} und V sind . Ist der Körper algebraisch abgeschlossen (wie etwa die komplexen Zahlen ), so sind die einzigen einfachen Matrizen 1×1-Matrizen. Eine halbeinfache Matrix ist ähnlich einer direkten Summe einfacher Matrizen; ist der Körper algebraisch abgeschlossen, entspricht dies der Diagonalisierbarkeit . ${\displaystyle T:V\to V}$

Diese Vorstellungen von Halbeinfachheit können mithilfe der Sprache der halbeinfachen Module vereinheitlicht und auf halbeinfache Kategorien verallgemeinert werden .

Betrachtet man alle Vektorräume (über einem Körper wie den reellen Zahlen ), so sind die einfachen Vektorräume diejenigen, die keine echten nichttrivialen Unterräume enthalten. Daher sind die eindimensionalen Vektorräume die einfachen. Es ist also ein grundlegendes Ergebnis der linearen Algebra, dass jeder endlichdimensionale Vektorraum die direkte Summe einfacher Vektorräume ist; mit anderen Worten: Alle endlichdimensionalen Vektorräume sind halbeinfach.

Eine quadratische Matrix oder, äquivalent dazu, ein linearer Operator T auf einem endlichdimensionalen Vektorraum V heißt halbeinfach, wenn jeder T - invariante Unterraum einen komplementären T -invarianten Unterraum besitzt. ^{[ 1 ] [ 2 ]} Dies ist äquivalent dazu, dass das Minimalpolynom von T quadratfrei ist.

In Vektorräumen über einem algebraisch abgeschlossenen Körper F ist die Halbeinfachheit einer Matrix äquivalent zu ihrer Diagonalisierbarkeit . ^{[ 1 ]} Dies liegt daran, dass ein solcher Operator stets einen Eigenvektor besitzt; ist er zusätzlich halbeinfach, so besitzt er eine komplementäre invariante Hyperebene , die selbst einen Eigenvektor besitzt und somit per Induktion diagonalisierbar ist. Umgekehrt lassen sich diagonalisierbare Operatoren leicht als halbeinfach erkennen, da invariante Unterräume direkte Summen von Eigenräumen sind und jede Eigenbasis dieses Unterraums zu einer Eigenbasis des gesamten Raums erweitert werden kann.

Für einen festen Ring R heißt ein nichttrivialer R -Modul M einfach, wenn er außer 0 und M keine Untermoduln besitzt . Ein R -Modul M heißt halbeinfach, wenn jeder R - Untermodul von M ein direkter Summand von M ist ( der triviale Modul 0 ist halbeinfach, aber nicht einfach). Ein R -Modul M heißt genau dann halbeinfach, wenn er die direkte Summe einfacher Moduln ist (der triviale Modul ist die leere direkte Summe). Schließlich heißt R ein halbeinfacher Ring, wenn er als R- Modul halbeinfach ist . Dies ist äquivalent zu der Forderung, dass jeder endlich erzeugte R -Modul M halbeinfach ist. ^{[ 3 ]}

Beispiele für halbeinfache Ringe sind Körper und allgemeiner endliche direkte Produkte von Körpern. Für eine endliche Gruppe G besagt der Satz von Maschke , dass der Gruppenring R [ G ] über einem Ring R genau dann halbeinfach ist, wenn R halbeinfach ist und | G | in R invertierbar ist . Da die Modultheorie von R [ G ] mit der Darstellungstheorie von G auf R- Moduln übereinstimmt , stellt diese Tatsache eine wichtige Dichotomie dar, die die modulare Darstellungstheorie – d. h. den Fall, dass | G | die Charakteristik von R teilt – schwieriger macht als den Fall, dass | G | die Charakteristik nicht teilt, insbesondere wenn R ein Körper der Charakteristik Null ist. Nach dem Satz von Artin-Wedderburn ist ein unitärer artinscher Ring R genau dann halbeinfach, wenn er isomorph zu D ist , wobei D ein Schiefkörper und D der Ring der n × n- Matrizen mit Einträgen in D ist . ${\displaystyle M_{n_{1}}(D_{1})\times M_{n_{2}}(D_{2})\times \cdots \times M_{n_{r}}(D_{r})}$${\displaystyle D_{i}}$${\displaystyle M_{n}(D)}$

Ein Operator T ist im obigen Sinne halbeinfach genau dann, wenn die von den Potenzen (d. h. Iterationen) von T innerhalb des Endomorphismenrings von V erzeugte Unteralgebra halbeinfach ist. ${\displaystyle F[T]\subseteq \operatorname {End} _{F}(V)}$

Wie oben erwähnt, ist die Theorie der halbeinfachen Ringe wesentlich einfacher als die der allgemeinen Ringe. Zum Beispiel ist jede kurze exakte Sequenz

${\displaystyle 0\to M'\to M\to M''\to 0}$

Die Moduln eines halbeinfachen Rings müssen zerfallen, d. h. . Aus homologischer Algebra bedeutet dies, dass es keine nichttrivialen Erweiterungen gibt . Der Ring Z der ganzen Zahlen ist nicht halbeinfach: Z ist nicht die direkte Summe von nZ und Z / n .${\displaystyle M\cong M'\oplus M''}$

Viele der oben genannten Vorstellungen von Halbeinfachheit lassen sich durch das Konzept einer halbeinfachen Kategorie C wiederfinden . Kurz gesagt, eine Kategorie ist eine Menge von Objekten und Abbildungen zwischen solchen Objekten, wobei die Abbildungen zwischen den Objekten eine den Objekten inhärente Struktur bewahren. Beispielsweise bilden R -Moduln und R -lineare Abbildungen zwischen ihnen für jeden Ring R eine Kategorie .

Eine abelsche Kategorie ^{[ 4 ]} C heißt halbeinfach, wenn es eine Familie einfacher Objekte gibt , d. h. solcher Objekte, die außer dem Nullobjekt 0 und sich selbst kein Unterobjekt haben , sodass jedes Objekt X die direkte Summe (d. h. das Koprodukt oder äquivalent das Produkt) endlich vieler einfacher Objekte ist. Aus dem Lemma von Schur folgt , dass der Endomorphismenring${\displaystyle X_{\alpha }\in C}$${\displaystyle X_{\alpha }}$

${\displaystyle \operatorname {End} _{C}(X)=\operatorname {Hom} _{C}(X,X)}$

In einer halbeinfachen Kategorie ist ein Produkt von Matrixringen über Teilungsringen, d.h. halbeinfach.

Darüber hinaus ist ein Ring R genau dann halbeinfach, wenn die Kategorie der endlich erzeugten R -Moduln halbeinfach ist.

Ein Beispiel aus der Hodge-Theorie ist die Kategorie der polarisierbaren reinen Hodge-Strukturen , d. h. reiner Hodge-Strukturen mit einer geeigneten positiv definiten Bilinearform . Das Vorhandensein dieser sogenannten Polarisation bewirkt, dass die Kategorie der polarisierbaren Hodge-Strukturen halbeinfach ist. ^{[ 5 ]} Ein weiteres Beispiel aus der algebraischen Geometrie ist die Kategorie der reinen Motive glatter projektiver Varietäten über einem Körper k modulo einer geeigneten Äquivalenzrelation . Wie von Grothendieck vermutet und von Jannsen gezeigt wurde , ist diese Kategorie genau dann halbeinfach, wenn die Äquivalenzrelation eine numerische Äquivalenz ist . [ 6 ^{] Diese Tatsache} ist ein konzeptioneller Eckpfeiler der Motivtheorie. ${\displaystyle \operatorname {Mot} (k)_{\sim }}$${\displaystyle \sim }$

Halbeinfache abelsche Kategorien entstehen auch durch eine Kombination einer t -Struktur und einer (geeignet verwandten) Gewichtsstruktur auf einer triangulierten Kategorie . ^{[ 7 ]}

Man kann fragen, ob die Kategorie der endlichdimensionalen Darstellungen einer Gruppe oder einer Lie-Algebra halbeinfach ist, d. h., ob sich jede endlichdimensionale Darstellung als direkte Summe irreduzibler Darstellungen zerlegen lässt. Die Antwort lautet im Allgemeinen nein. Zum Beispiel ist die Darstellung von gegeben durch ${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle \Pi (x)={\begin{pmatrix}1&x\\0&1\end{pmatrix}}}$

ist keine direkte Summe von irreduziblen Elementen. ^{[ 8 ]} (Es gibt genau einen nichttrivialen invarianten Unterraum, die Hülle des ersten Basiselements, .) Ist hingegen kompakt , so besitzt jede endlichdimensionale Darstellung von ein Skalarprodukt bezüglich , das unitär ist. Dies zeigt, dass sich als Summe von irreduziblen Elementen zerlegen lässt. ^{[ 9 ]} Ist analog eine komplexe halbeinfache Lie-Algebra, so ist jede endlichdimensionale Darstellung von eine Summe von irreduziblen Elementen. ^{[ 10 ]} Weyls ursprünglicher Beweis hierfür nutzte den unitären Trick : Jedes solche ist die Komplexifizierung der Lie-Algebra einer einfach zusammenhängenden kompakten Lie-Gruppe . Da einfach zusammenhängend ist, besteht eine Bijektion zwischen den endlichdimensionalen Darstellungen von und von . ^{[ 11 ]} Somit ist das eben erwähnte Ergebnis über Darstellungen kompakter Gruppen anwendbar. Es ist auch möglich, die Halbeinfachheit von Darstellungen direkt mit algebraischen Mitteln zu beweisen, wie in Abschnitt 10.3 von Halls Buch. ${\displaystyle e_{1}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \Pi }$${\displaystyle G}$${\displaystyle \Pi }$${\displaystyle \Pi }$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle K}$${\displaystyle K}$${\displaystyle K}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Siehe auch: Kategorie Fusion (die halbeinfach sind).

• Eine halbeinfache Lie-Algebra ist eine Lie-Algebra, die eine direkte Summe einfacher Lie-Algebren ist.
• Eine halbeinfache algebraische Gruppe ist eine lineare algebraische Gruppe, deren Radikal der neutralen Komponente trivial ist.
• Halbeinfache Algebra
• Halbvereinfachte Darstellung

• Hall, Brian C. (2015), Lie-Gruppen, Lie-Algebren und Darstellungen: Eine elementare Einführung , Graduate Texts in Mathematics, Bd. 222 (2. Aufl.), Springer

• MathOverflow : Sind abelsche nicht-ausgeartete Tensorkategorien halbeinfach?
• Halbeinfache Kategorie im n- Labor