Quantengruppe

In Mathematik und theoretischer Physik bezeichnet der Begriff Quantengruppe eine von mehreren Arten nichtkommutativer Algebren mit zusätzlicher Struktur. Dazu gehören Quantengruppen vom Drinfeld-Jimbo-Typ (quasitrianguläre Hopf-Algebren ), kompakte Matrix-Quantengruppen (Strukturen auf unitalen separablen C*-Algebren ) und Bicrossprodukt-Quantengruppen. Trotz ihres Namens besitzen sie selbst keine natürliche Gruppenstruktur, obwohl sie in gewisser Weise einer Gruppe „nahe“ stehen.

Der Begriff „Quantengruppe“ tauchte erstmals in der Theorie quantenintegrabler Systeme auf und wurde später von Vladimir Drinfeld und Michio Jimbo als spezielle Klasse von Hopf-Algebren formalisiert . Derselbe Begriff wird auch für andere Hopf-Algebren verwendet, die klassische Lie-Gruppen oder Lie-Algebren deformieren oder ihnen nahestehen , wie beispielsweise die von Shahn Majid kurz nach den Arbeiten von Drinfeld und Jimbo eingeführte „Bicrossproduct“-Klasse von Quantengruppen.

In Drinfelds Ansatz entstehen Quantengruppen als Hopf-Algebren , die von einem Hilfsparameter q oder h abhängen und zu universellen einhüllenden Algebren einer bestimmten Lie-Algebra werden, häufig einer halbeinfachen oder affinen , wenn q = 1 oder h = 0. Eng verwandt sind bestimmte duale Objekte, ebenfalls Hopf-Algebren und ebenfalls Quantengruppen genannt, die die Funktionenalgebra auf der entsprechenden halbeinfachen algebraischen Gruppe oder einer kompakten Lie-Gruppe deformieren .

Die Entdeckung von Quantengruppen war recht unerwartet, da man lange wusste, dass kompakte Gruppen und halbeinfache Lie-Algebren „starre“ Objekte sind, also nicht „ deformiert “ werden können. Eine der Grundideen von Quantengruppen ist, dass eine in gewisser Weise äquivalente, aber größere Struktur – eine Gruppenalgebra oder eine universelle einhüllende Algebra – „deformiert“ werden kann, obwohl die deformierte Struktur dann keine Gruppenalgebra oder einhüllende Algebra mehr ist. Genauer gesagt, kann die Deformation innerhalb der Kategorie der Hopf-Algebren erfolgen, die weder kommutativ noch kokommutativ sein müssen . Man kann sich das deformierte Objekt als eine Funktionenalgebra auf einem „nichtkommutativen Raum“ vorstellen, im Sinne der nichtkommutativen Geometrie von Alain Connes . Diese Intuition entstand jedoch erst, nachdem bestimmte Klassen von Quantengruppen ihre Nützlichkeit bei der Untersuchung der Quanten- Yang-Baxter-Gleichung und der von der Leningrader Schule ( Ludwig Faddeev , Leon Takhtajan , Evgeny Sklyanin , Nicolai Reshetikhin und Vladimir Korepin ) entwickelten Quanten-Inversstreumethode sowie in verwandten Arbeiten der japanischen Schule unter Beweis gestellt hatten. ^{[ 1 ]} Die Intuition hinter der zweiten Klasse von Quantengruppen, den Bicrossprodukt -Gruppen, war eine andere und entsprang der Suche nach selbstdualen Objekten als Ansatz zur Quantengravitation . ^{[ 2 ]}

Eine Art von Objekten, die gemeinhin als „Quantengruppe“ bezeichnet werden, trat in den Arbeiten von Vladimir Drinfeld und Michio Jimbo als Deformation der universellen einhüllenden Algebra einer halbeinfachen Lie-Algebra oder, allgemeiner, einer Kac-Moody-Algebra in der Kategorie der Hopf-Algebren auf . Die resultierende Algebra besitzt eine zusätzliche Struktur und wird dadurch zu einer quasitriangulären Hopf-Algebra .

Sei A = ( a _ij ) die Cartan-Matrix der Kac-Moody-Algebra und sei q ≠ 0, 1 eine komplexe Zahl. Dann ist die Quantengruppe U _q ( G ), wobei G die Lie-Algebra mit der Cartan-Matrix A ist , definiert als die unitäre assoziative Algebra mit den Erzeugern k _λ (wobei λ ein Element des Gewichtsverbandes ist , d. h. 2(λ, α _i )/(α _i , α _i ) ist eine ganze Zahl für alle i ) und e _i und f _i (für einfache Wurzeln , α _i ), die den folgenden Relationen unterliegen:

${\displaystyle {\begin{aligned}k_{0}&=1\\k_{\lambda }k_{\mu }&=k_{\lambda +\mu }\\k_{\lambda }e_{i}k_{\lambda }^{-1}&=q^{(\lambda ,\alpha _{i})}e_{i}\\k_{\lambda }f_{i}k_{\lambda }^{-1}&=q^{-(\lambda ,\alpha _{i})}f_{i}\\\left[e_{i},f_{j}\right]&=\delta _{ij}{\frac {k_{i}-k_{i}^{-1}}{q_{i}-q_{i}^{-1}}}&&k_{i}=k_{\alpha _{i}},q_{i}=q^{{\frac {1}{2}}(\alpha _{i},\alpha _{i})}\\\end{aligned}}}$

Und für i ≠ j erhalten wir die q -Serre-Relationen, welche Deformationen der Serre -Relationen sind:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=0}^{1-a_{ij}}(-1)^{n}{\frac {[1-a_{ij}]_{q_{i}}!}{[1-a_{ij}-n]_{q_{i}}![n]_{q_{i}}!}}e_{i}^{n}e_{j}e_{i}^{1-a_{ij}-n}&=0\\[6pt]\sum _{n=0}^{1-a_{ij}}(-1)^{n}{\frac {[1-a_{ij}]_{q_{i}}!}{[1-a_{ij}-n]_{q_{i}}![n]_{q_{i}}!}}f_{i}^{n}f_{j}f_{i}^{1-a_{ij}-n}&=0\end{aligned}}}$

wobei die q-Fakultät , das q-Analogon der gewöhnlichen Fakultät , rekursiv mithilfe der q-Zahl definiert wird:

${\displaystyle {\begin{aligned}{[0]}_{q_{i}}!&=1\\{[n]}_{q_{i}}!&=\prod _{m=1}^{n}[m]_{q_{i}},&&[m]_{q_{i}}={\frac {q_{i}^{m}-q_{i}^{-m}}{q_{i}-q_{i}^{-1}}}\end{aligned}}}$

Im Grenzwert für q → 1 nähern sich diese Relationen den Relationen für die universelle einhüllende Algebra U ( G ) an, wobei

${\displaystyle k_{\lambda }\to 1,\qquad {\frac {k_{\lambda }-k_{-\lambda }}{qq^{-1}}}\to t_{\lambda }}$

und t _λ ist das Element der Cartan-Unteralgebra, das ( t _λ , h ) = λ ( h ) für alle h in der Cartan-Unteralgebra erfüllt.

Es gibt verschiedene koassoziative Koprodukte, unter denen diese Algebren Hopf-Algebren sind, zum Beispiel

${\displaystyle {\begin{array}{lll}\Delta _{1}(k_{\lambda })=k_{\lambda }\otimes k_{\lambda }&\Delta _{1}(e_{i})=1\otimes e_{i}+e_{i}\otimes k_{i}&\Delta _{1}(f_{i})=k_{i}^{-1}\otimes f_{i}+f_{i}\otimes 1\\\Delta _{2}(k_{\lambda })=k_{\lambda }\otimes k_{\lambda }&\Delta _{2}(e_{i})=k_{i}^{-1}\otimes e_{i}+e_{i}\otimes 1&\Delta _{2}(f_{i})=1\otimes f_{i}+f_{i}\otimes k_{i}\\\Delta _{3}(k_{\lambda })=k_{\lambda }\otimes k_{\lambda }&\Delta _{3}(e_{i})=k_{i}^{-{\frac {1}{2}}}\otimes e_{i}+e_{i}\otimes k_{i}^{\frac {1}{2}}&\Delta _{3}(f_{i})=k_{i}^{-{\frac {1}{2}}}\otimes f_{i}+f_{i}\otimes k_{i}^{\frac {1}{2}}\end{array}}}$

wobei die Menge der Erzeuger gegebenenfalls erweitert wurde, um k _λ für λ einzuschließen , das sich als Summe eines Elements des Gewichtsgitters und eines halben Elements des Wurzelgitters ausdrücken lässt .

Darüber hinaus führt jede Hopf-Algebra zu einer anderen mit umgekehrtem Koprodukt T o Δ, wobei T durch T ( x ⊗ y ) = y ⊗ x gegeben ist , was drei weitere mögliche Versionen ergibt.

Die Koeinheit auf U _q ( A ) ist für alle diese Koprodukte gleich: ε ( k _λ ) = 1, ε ( e _i ) = ε ( f _i ) = 0, und die jeweiligen Antipoden für die obigen Koprodukte sind gegeben durch

${\displaystyle {\begin{array}{lll}S_{1}(k_{\lambda })=k_{-\lambda }&S_{1}(e_{i})=-e_{i}k_{i}^{-1}&S_{1}(f_{i})=-k_{i}f_{i}\\S_{2}(k_{\lambda })=k_{-\lambda }&S_{2}(e_{i})=-k_{i}e_{i}&S_{2}(f_{i})=-f_{i}k_{i}^{-1}\\S_{3}(k_{\lambda })=k_{-\lambda }&S_{3}(e_{i})=-q_{i}e_{i}&S_{3}(f_{i})=-q_{i}^{-1}f_{i}\end{array}}}$

Alternativ kann die Quantengruppe U _q ( G ) als eine Algebra über dem Körper C ( q ), dem Körper aller rationalen Funktionen einer Unbestimmten q über C , betrachtet werden .

Analog dazu kann die Quantengruppe U _q ( G ) als Algebra über dem Körper Q ( q ) betrachtet werden, dem Körper aller rationalen Funktionen einer Unbestimmten q über Q (siehe unten im Abschnitt über Quantengruppen bei q = 0). Das Zentrum der Quantengruppe kann durch eine Quantendeterminante beschrieben werden.

So wie es viele verschiedene Arten von Darstellungen für Kac-Moody-Algebren und ihre universellen einhüllenden Algebren gibt, so gibt es auch viele verschiedene Arten von Darstellungen für Quantengruppen.

Wie bei allen Hopf-Algebren besitzt U _q ( G ) eine adjungierte Darstellung auf sich selbst als Modul, wobei die Wirkung gegeben ist durch

${\displaystyle \mathrm {Ad} _{x}\cdot y=\sum _{(x)}x_{(1)}yS(x_{(2)}),}$

Wo

${\displaystyle \Delta (x)=\sum _{(x)}x_{(1)}\otimes x_{(2)}.}$

Eine wichtige Darstellungsart ist die Gewichtsdarstellung, und das zugehörige Modul wird Gewichtsmodul genannt. Ein Gewichtsmodul ist ein Modul mit einer Basis von Gewichtsvektoren. Ein Gewichtsvektor ist ein von Null verschiedener Vektor v, sodass k _λ · v = d _λ v für alle λ gilt , wobei d _λ komplexe Zahlen für alle Gewichte λ sind, sodass

${\displaystyle d_{0}=1,}$

${\displaystyle d_{\lambda }d_{\mu }=d_{\lambda +\mu },}$für alle Gewichte λ und μ .

Ein Gewichtsmodul heißt integrierbar, wenn die Operationen von e _{_i} und f_{_i} lokal nilpotent sind (d. h. für jeden Vektor v im Modul existiert eine positive ganze Zahl k , die möglicherweise von v abhängt , sodass für alle i gilt). Im Fall integrierbarer Moduln erfüllen die zu einem Gewichtsvektor gehörigen komplexen Zahlen d_{_λ} die Bedingung , wobei ν ein Element des Gewichtsverbandes ist und c_{_λ} komplexe Zahlen sind, sodass ${\displaystyle e_{i}^{k}.v=f_{i}^{k}.v=0}$${\displaystyle d_{\lambda }=c_{\lambda }q^{(\lambda ,\nu )}}$

• ${\displaystyle c_{0}=1,}$
• ${\displaystyle c_{\lambda }c_{\mu }=c_{\lambda +\mu },}$für alle Gewichte λ und μ ,
• ${\displaystyle c_{2\alpha _{i}}=1}$für alle i .

Von besonderem Interesse sind Darstellungen mit höchstem Gewicht und die zugehörigen Moduln mit höchstem Gewicht. Ein Modul mit höchstem Gewicht ist ein Modul, das von einem Gewichtsvektor v erzeugt wird und der Bedingung k _λ · v = d _λ v für alle Gewichte μ sowie e _i · v = 0 für alle i unterliegt . Analog kann eine Quantengruppe eine Darstellung mit niedrigstem Gewicht und ein Modul mit niedrigstem Gewicht besitzen, d. h. ein Modul, das von einem Gewichtsvektor v erzeugt wird und der Bedingung k _λ · v = d _λ v für alle Gewichte λ sowie f _i · v = 0 für alle i unterliegt .

Ein Vektor v hat das Gewicht ν , wenn für alle λ im Gewichtsverband gilt: ${\displaystyle k_{\lambda }\cdot v=q^{(\lambda ,\nu )}v}$

Ist G eine Kac-Moody-Algebra, so sind in jeder irreduziblen Darstellung von U(G ) mit _höchstem Gewicht ν die Vielfachheiten der Gewichte gleich ihren Vielfachheiten in einer irreduziblen Darstellung von U ( G ) mit gleichem höchsten Gewicht. Ist das höchste Gewicht dominant und ganzzahlig (ein Gewicht μ ist dominant und ganzzahlig, wenn μ für alle i eine nichtnegative ganze Zahl ist ), so ist das Gewichtsspektrum der irreduziblen Darstellung invariant unter der Weylgruppe von G , und die Darstellung ist integrierbar. ${\displaystyle 2(\mu ,\alpha _{i})/(\alpha _{i},\alpha _{i})}$

Umgekehrt gilt: Wenn ein Modul höchsten Gewichts integrierbar ist, dann erfüllt sein Vektor höchsten Gewichts v die Bedingung , wobei c _λ · v = d _λ v komplexe Zahlen sind, sodass ${\displaystyle k_{\lambda }\cdot v=c_{\lambda }q^{(\lambda ,\nu )}v}$

• ${\displaystyle c_{0}=1,}$
• ${\displaystyle c_{\lambda }c_{\mu }=c_{\lambda +\mu },}$für alle Gewichte λ und μ ,
• ${\displaystyle c_{2\alpha _{i}}=1}$für alle i ,

und ν ist dominant und ganzzahlig.

Wie bei allen Hopf-Algebren ist das Tensorprodukt zweier Moduln wieder ein Modul. Für ein Element x aus U q (G) und Vektoren v und w in den jeweiligen Moduln gilt x ⋅ ( v ⊗ w ) = Δ( x ) ⋅ ( v ⊗ w ), sodass im Fall des Koprodukts Δ 1  gilt :${\displaystyle k_{\lambda }\cdot (v\otimes w)=k_{\lambda }\cdot v\otimes k_{\lambda }.w}$${\displaystyle e_{i}\cdot (v\otimes w)=k_{i}\cdot v\otimes e_{i}\cdot w+e_{i}\cdot v\otimes w}$${\displaystyle f_{i}\cdot (v\otimes w)=v\otimes f_{i}\cdot w+f_{i}\cdot v\otimes k_{i}^{-1}\cdot w.}$

Der oben beschriebene integrierbare Modul mit dem höchsten Gewicht ist ein Tensorprodukt eines eindimensionalen Moduls (auf dem k _λ = c _λ für alle λ und e _i = f _i = 0 für alle i gilt) und eines Moduls mit dem höchsten Gewicht, der von einem Vektor v ₀ ungleich Null erzeugt wird , wobei für alle Gewichte λ und für alle i gilt . ${\displaystyle k_{\lambda }\cdot v_{0}=q^{(\lambda ,\nu )}v_{0}}$${\displaystyle e_{i}\cdot v_{0}=0}$

Im speziellen Fall, dass G eine endlichdimensionale Lie-Algebra ist (als Spezialfall einer Kac-Moody-Algebra), dann sind auch die irreduziblen Darstellungen mit dominanten ganzzahligen höchsten Gewichten endlichdimensional.

Im Falle eines Tensorprodukts von Moduln mit höchstem Gewicht ist seine Zerlegung in Untermoduln die gleiche wie beim Tensorprodukt der entsprechenden Moduln der Kac-Moody-Algebra (die höchsten Gewichte sind gleich, ebenso ihre Vielfachheiten).

Streng genommen ist die Quantengruppe U _q ( G ) nicht quasitriangulär, kann aber als „beinahe quasitriangulär“ betrachtet werden, da eine unendliche formale Summe existiert, die die Rolle einer R -Matrix spielt . Diese unendliche formale Summe lässt sich durch die Generatoren e _i und f _i sowie die Cartan-Generatoren t _λ ausdrücken , wobei k _λ formal mit q ^{t _λ} identifiziert wird . Die unendliche formale Summe ist das Produkt zweier Faktoren,

${\displaystyle q^{\eta \sum _{j}t_{\lambda _{j}}\otimes t_{\mu _{j}}}}$

und eine unendliche formale Summe, wobei λ _j eine Basis für den Dualraum zur Cartan-Unteralgebra ist, μ _j die duale Basis ist und η = ±1.

Die formale unendliche Summe, die die Rolle der R -Matrix spielt , hat eine wohldefinierte Wirkung auf das Tensorprodukt zweier irreduzibler Moduln höchsten Gewichts sowie auf das Tensorprodukt zweier Moduln niedrigsten Gewichts. Genauer gesagt: Wenn v das Gewicht α und w das Gewicht β hat , dann

${\displaystyle q^{\eta \sum _{j}t_{\lambda _{j}}\otimes t_{\mu _{j}}}\cdot (v\otimes w)=q^{\eta (\alpha ,\beta )}v\otimes w,}$

und die Tatsache, dass es sich bei den Moduln entweder um beide Moduln mit dem höchsten Gewicht oder um beide Moduln mit dem niedrigsten Gewicht handelt, reduziert die Wirkung des anderen Faktors auf v ⊗ W auf eine endliche Summe.

Genauer gesagt: Wenn V ein Modul höchsten Gewichts ist, dann hat die formale unendliche Summe R eine wohldefinierte und invertierbare Wirkung auf V ⊗ V , und dieser Wert von R (als Element von End( V ⊗ V )) erfüllt die Yang-Baxter-Gleichung und erlaubt es uns daher, eine Darstellung der Zopfgruppe zu bestimmen und Quasi-Invarianten für Knoten , Verschlingungen und Zöpfe zu definieren .

Masaki Kashiwara hat das Grenzverhalten von Quantengruppen für q → 0 untersucht und eine besonders gutartige Basis gefunden, die er Kristallbasis nennt .

Bei der Beschreibung endlicher Quotienten von Quantengruppen wie dem obigen U _q ( g ) für q ⁿ = 1 wurden beträchtliche Fortschritte erzielt; man betrachtet üblicherweise die Klasse der punktierten Hopf-Algebren , was bedeutet, dass alle einfachen linken oder rechten Komoduln 1-dimensional sind und somit die Summe aller ihrer einfachen Unterkoalgebren eine Gruppenalgebra bildet, die als Koradikal bezeichnet wird :

• Im Jahr 2002 schlossen H.-J. Schneider und N. Andruskiewitsch ^{[ 3 ]} ihre Klassifizierung der punktierten Hopf-Algebren mit einer abelschen Koradikalgruppe (ausgenommen Primzahlen 2, 3, 5, 7) ab, insbesondere da sich die obigen endlichen Quotienten von U _q ( g ) in E ′s (Borel-Teil), duale F ′s und K ′s (Cartan-Algebra) zerlegen, genau wie gewöhnliche halbeinfache Lie-Algebren :

${\displaystyle \left({\mathfrak {B}}(V)\otimes k[\mathbf {Z} ^{n}]\otimes {\mathfrak {B}}(V^{*})\right)^{\sigma }}$

Hier ist V , wie in der klassischen Theorie, ein geflochtener Vektorraum der Dimension n, der von den E ′s aufgespannt wird, und σ (eine sogenannte Kozyklus-Drehung) erzeugt die nichttriviale Verknüpfung zwischen E ′s und F ′s. Im Gegensatz zur klassischen Theorie können mehr als zwei verknüpfte Komponenten auftreten. Die Rolle der Quanten-Borel-Algebra übernimmt eine Nichols-Algebra des geflochtenen Vektorraums.${\displaystyle {\mathfrak {B}}(V)}$

• Ein entscheidender Bestandteil war I. Heckenbergers Klassifizierung endlicher Nichols-Algebren für abelsche Gruppen anhand verallgemeinerter Dynkin-Diagramme . ^{[ 4 ]} Bei Vorhandensein kleiner Primzahlen treten einige exotische Beispiele auf, wie etwa ein Dreieck (siehe auch die Abbildung eines Dynkin-Diagramms vom Rang 3).

• Schneider und Heckenberger ^{[ 5 ]} haben unterdessen allgemein die Existenz eines arithmetischen Wurzelsystems auch im nichtabelschen Fall bewiesen, welches eine PBW-Basis erzeugt , wie sie von Kharcheko im abelschen Fall gezeigt wurde (ohne die Annahme endlicher Dimension). Dies lässt sich ^{[ 6 ]} auf spezielle Fälle U _{_q} ( g ) anwenden und erklärt beispielsweise die numerische Übereinstimmung zwischen bestimmten Koidealunteralgebren dieser Quantengruppen und der Ordnung der Weylgruppe der Lie-Algebra g .

S. L. Woronowicz führte kompakte Matrix-Quantengruppen ein. Kompakte Matrix-Quantengruppen sind abstrakte Strukturen, deren „stetige Funktionen“ durch Elemente einer C*-Algebra gegeben sind . Die Geometrie einer kompakten Matrix-Quantengruppe ist ein Spezialfall der nichtkommutativen Geometrie .

Die stetigen komplexwertigen Funktionen auf einem kompakten Hausdorffschen topologischen Raum bilden eine kommutative C*-Algebra. Nach dem Satz von Gelfand ist eine kommutative C*-Algebra isomorph zur C*-Algebra der stetigen komplexwertigen Funktionen auf einem kompakten Hausdorffschen topologischen Raum, und der topologische Raum ist bis auf Homöomorphie eindeutig durch die C*-Algebra bestimmt .

Für eine kompakte topologische Gruppe G existiert ein C*-Algebra-Homomorphismus Δ: C ( G ) → C ( G ) ⊗ C ( G ) (wobei C ( G ) ⊗ C ( G ) das C*-Algebra-Tensorprodukt ist - die Vervollständigung des algebraischen Tensorprodukts von C ( G ) und C ( G )), sodass Δ( f )( x , y ) = f ( xy ) für alle f ∈ C ( G ) und für alle x , y ∈ G (wobei ( f ⊗ g )( x , y ) = f ( x ) g ( y ) für alle f , g ∈ C ( G ) und alle x , y ∈ G ). Es existiert auch eine lineare multiplikative Abbildung κ : C ( G ) → C ( G ), sodass κ ( f )( x ) = f ( x ⁻¹ ) für alle f ∈ C ( G ) und alle x ∈ G gilt. Streng genommen ist C ( G ) dadurch keine Hopf-Algebra, es sei denn, G ist endlich. Andererseits kann eine endlichdimensionale Darstellung von G verwendet werden, um eine *-Unteralgebra von C ( G ) zu erzeugen, die ebenfalls eine Hopf-*-Algebra ist. Genauer gesagt: Ist eine n- dimensionale Darstellung von G , dann gilt für alle i , j u_{_ij} ∈ C ( G ) und ${\displaystyle g\mapsto (u_{ij}(g))_{i,j}}$

${\displaystyle \Delta (u_{ij})=\sum _{k}u_{ik}\otimes u_{kj}.}$

Daraus folgt, dass die von u _{_ij} für alle i, j und κ ( u_{_ij} ) für alle i, j erzeugte *-Algebra eine Hopf-*-Algebra ist: Die Koeinheit ist durch ε( u_{_ij}) = δ_{_ij} für alle i, j bestimmt (wobei δ_{_ij} das Kronecker-Delta ist ), die Antipode ist κ , und die Einheit ist gegeben durch

${\displaystyle 1=\sum _{k}u_{1k}\kappa (u_{k1})=\sum _{k}\kappa (u_{1k})u_{k1}.}$

Als Verallgemeinerung wird eine kompakte Matrix-Quantengruppe als ein Paar ( C , u ) definiert, wobei C eine C*-Algebra und u eine Matrix mit Einträgen in C ist , sodass ${\displaystyle u=(u_{ij})_{i,j=1,\dots ,n}}$

• Die *-Unteralgebra C ₀ , von C , die von den Matrixelementen von u erzeugt wird , ist dicht in C ;

• Es existiert ein C*-Algebra-Homomorphismus namens Komultiplikation Δ: C → C ⊗ C (wobei C ⊗ C das C*-Algebra-Tensorprodukt ist – die Vervollständigung des algebraischen Tensorprodukts von C und C ), sodass für alle i, j gilt:

${\displaystyle \Delta (u_{ij})=\sum _{k}u_{ik}\otimes u_{kj}}$

• Es existiert eine lineare antimultiplikative Abbildung κ: C ₀ → C ₀ (die Umkehrabbildung), sodass κ ( κ ( v *)*) = v für alle v ∈ C ₀ und

${\displaystyle \sum _{k}\kappa (u_{ik})u_{kj}=\sum _{k}u_{ik}\kappa (u_{kj})=\delta _{ij}I,}$

wobei I das neutrale Element von C ist . Da κ antimultiplikativ ist, gilt κ ( vw ) = κ ( w ) κ ( v ) für alle v , w in C ₀ .

Als Folge der Stetigkeit ist die Komultiplikation auf C koassoziativ.

Im Allgemeinen ist C keine Bialgebra, und C ₀ ist eine Hopf *-Algebra.

Informell kann C als die *-Algebra der stetigen komplexwertigen Funktionen über der kompakten Matrix-Quantengruppe betrachtet werden, und u kann als eine endlichdimensionale Darstellung der kompakten Matrix-Quantengruppe betrachtet werden.

Eine Darstellung der kompakten Matrixquantengruppe ist gegeben durch eine Kodarstellung der Hopf*-Algebra (eine Kodarstellung einer kounitalen koassoziativen Koalgebra A ist eine quadratische Matrix mit Einträgen in A (also gehört v zu M( n , A )), sodass ${\displaystyle v=(v_{ij})_{i,j=1,\dots ,n}}$

${\displaystyle \Delta (v_{ij})=\sum _{k=1}^{n}v_{ik}\otimes v_{kj}}$

für alle i , j und ε ( v _ij ) = δ _ij für alle i, j ). Darüber hinaus heißt eine Darstellung v unitär, wenn die Matrix für v unitär ist (oder äquivalent dazu, wenn κ( v _ij ) = v* _ij für alle i , j ).

Ein Beispiel für eine kompakte Matrixquantengruppe ist SU _μ (2), wobei der Parameter μ eine positive reelle Zahl ist. Somit gilt SU _μ (2) = (C(SU _μ (2)), u ), wobei C(SU _μ (2)) die von α und γ erzeugte C*-Algebra ist.

${\displaystyle \gamma \gamma ^{*}=\gamma ^{*}\gamma ,}$

${\displaystyle \alpha \gamma =\mu \gamma \alpha ,}$

${\displaystyle \alpha \gamma ^{*}=\mu \gamma ^{*}\alpha ,}$

${\displaystyle \alpha \alpha ^{*}+\mu \gamma ^{*}\gamma =\alpha ^{*}\alpha +\mu ^{-1}\gamma ^{*}\gamma =I,}$

Und

${\displaystyle u=\left({\begin{matrix}\alpha &\gamma \\-\gamma ^{*}&\alpha ^{*}\end{matrix}}\right),}$

so dass die Komultiplikation durch ∆(α) = α ⊗ α − γ ⊗ γ*, ∆(γ) = α ⊗ γ + γ ⊗ α* und die Gegenverse durch κ(α) = α*, κ(γ) = −μ ⁻¹ γ, κ(γ*) = −μγ* bestimmt ist, κ(α*) = α. Beachten Sie, dass u eine Darstellung ist, aber keine einheitliche Darstellung. u ist äquivalent zur einheitlichen Darstellung

${\displaystyle v=\left({\begin{matrix}\alpha &{\sqrt {\mu }}\gamma \\-{\frac {1}{\sqrt {\mu }}}\gamma ^{*}&\alpha ^{*}\end{matrix}}\right).}$

Äquivalent dazu ist SU _μ (2) = (C(SU _μ (2)), w ), wobei C(SU _μ (2)) die von α und β erzeugte C*-Algebra ist, unter der Nebenbedingung

${\displaystyle \beta \beta ^{*}=\beta ^{*}\beta ,}$

${\displaystyle \alpha \beta =\mu \beta \alpha ,}$

${\displaystyle \alpha \beta ^{*}=\mu \beta ^{*}\alpha ,}$

${\displaystyle \alpha \alpha ^{*}+\mu ^{2}\beta ^{*}\beta =\alpha ^{*}\alpha +\beta ^{*}\beta =I,}$

Und

${\displaystyle w=\left({\begin{matrix}\alpha &\mu \beta \\-\beta ^{*}&\alpha ^{*}\end{matrix}}\right),}$

so dass die Komultiplikation durch ∆(α) = α ⊗ α − μβ ⊗ β*, Δ(β) = α ⊗ β + β ⊗ α* bestimmt wird und die Gegenverse durch κ(α) = α*, κ(β) = −μ ⁻¹ β, κ(β*) = −μβ*, κ(α*) = α bestimmt wird. Beachten Sie, dass w eine einheitliche Darstellung ist. Die Erkenntnisse können durch Gleichsetzung identifiziert werden . ${\displaystyle \gamma ={\sqrt {\mu }}\beta }$

Wenn μ = 1, dann ist SU _μ (2) gleich der Algebra C (SU(2)) der Funktionen auf der konkreten kompakten Gruppe SU(2).

Während kompakte Matrix-Pseudogruppen typischerweise Varianten von Drinfeld-Jimbo-Quantengruppen in einer dualen Funktionenalgebra-Formulierung mit zusätzlicher Struktur darstellen, bilden die Bikreuzprodukt-Pseudogruppen eine eigenständige zweite Familie von Quantengruppen, die als Deformationen auflösbarer, nicht halbeinfacher Lie-Gruppen zunehmend an Bedeutung gewinnen. Sie sind mit Lie-Zerlegungen von Lie-Algebren oder lokalen Faktorisierungen von Lie-Gruppen assoziiert und können als Kreuzprodukt oder Mackey-Quantisierung eines Faktors auf den anderen für die Algebra und analog für das Koprodukt Δ betrachtet werden, wobei der zweite Faktor auf den ersten zurückwirkt.

Das einfachste nichttriviale Beispiel entspricht zwei Kopien von R, die lokal aufeinander wirken, und führt zu einer Quantengruppe (hier in algebraischer Form angegeben) mit Erzeugern p , K , K ^{− 1} und dem Koprodukt

${\displaystyle [p,K]=hK(K-1)}$

${\displaystyle \Delta p=p\otimes K+1\otimes p}$

${\displaystyle \Delta K=K\otimes K}$

wobei h der Deformationsparameter ist.

Diese Quantengruppe wurde mit einem vereinfachten Modell der Planck-Skala-Physik verknüpft, das die Bornsche Reziprozität implementiert , wenn man sie als Deformation der Heisenberg-Algebra der Quantenmechanik betrachtet. Ausgehend von einer beliebigen kompakten reellen Form einer halbeinfachen Lie-Algebra g zerfällt deren Komplexifizierung zu einer reellen Lie-Algebra doppelter Dimension in g und eine bestimmte auflösbare Lie-Algebra (die Iwasawa-Zerlegung ). Dies liefert eine kanonische Bicrossprodukt-Quantengruppe, die zu g assoziiert ist . Für su (2) erhält man eine Quantengruppendeformation der euklidischen Bewegungsgruppe E(3) in drei Dimensionen.

• Hopf-Algebra
• Lie-Bialgebra
• Poisson-Lie-Gruppe
• Quantenaffine Algebra

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