Die Raumgruppe von hexagonalem H₂O - Eis ist P6₃ / mmc . Das erste m bezeichnet die Spiegelebene senkrecht zur c-Achse (a), das zweite m die Spiegelebenen parallel zur c-Achse (b) und c die Gleitebenen (b) und (c). Die schwarzen Kästchen umreißen die Elementarzelle.

In Mathematik , Physik und Chemie bezeichnet man als Raumgruppe die Symmetriegruppe eines sich wiederholenden Musters im Raum, üblicherweise in drei Dimensionen . [ 1 ] Die Elemente einer Raumgruppe (ihre Symmetrieoperationen ) sind die starren Transformationen des Musters, die es unverändert lassen. Üblicherweise wird der Begriff auf Gruppen angewendet, die sich in allen drei Dimensionen wiederholen, aber auch Liniengruppen und Tapetengruppen können auf dreidimensionale Anordnungen angewendet werden. Die sich in allen drei Dimensionen wiederholenden Raumgruppen werden in 219 verschiedene Typen klassifiziert, bzw. in 230 Typen, wenn chirale Kopien als unterschiedlich betrachtet werden. Raumgruppen sind diskrete kokompakte Gruppen von Isometrien eines orientierten euklidischen Raums in beliebiger Dimension. In anderen Dimensionen als drei werden sie manchmal Bieberbach -Gruppen genannt .

In der Kristallographie werden Raumgruppen auch als kristallographische oder Fedorov- Gruppen bezeichnet und stellen eine Beschreibung der Symmetrie des Kristalls dar. Es stehen umfangreiche Sammlungen dieser Informationen zur Verfügung. [ 2 ]

Geschichte

Die Raumgruppen in zwei Dimensionen sind die 17 Tapetengruppen , die seit mehreren Jahrhunderten bekannt sind, obwohl der Beweis für die Vollständigkeit der Liste erst 1891 erbracht wurde, nachdem die wesentlich schwierigere Klassifizierung der Raumgruppen weitgehend abgeschlossen war. [ 3 ]

1879 listete der deutsche Mathematiker Leonhard Sohncke die 65 Raumgruppen (Sohncke-Gruppen genannt) auf, deren Elemente die Chiralität erhalten . [ 4 ] Genauer gesagt listete er 66 Gruppen auf, doch sowohl der russische Mathematiker und Kristallograph Jewgraf Fjodorow als auch der deutsche Mathematiker Arthur Moritz Schönflies bemerkten, dass zwei davon identisch waren. Die Raumgruppen in drei Dimensionen wurden erstmals 1891 von Fjodorow (dessen Liste zwei Auslassungen (I 4 3d und Fdd2) und eine Duplizierung (Fmm2) aufwies) und kurz darauf, ebenfalls 1891, unabhängig davon von Schönflies (dessen Liste vier Auslassungen (I 4 3d, Pc, Cc, ?) und eine Duplizierung (P 4 2 1 m) aufwies). [ 5 ] [ 6 ] Die korrekte Liste der 230 Raumgruppen wurde 1892 im Briefwechsel zwischen Fedorov und Schönflies gefunden. [ 7 ] William Barlow zählte die Gruppen später mit einer anderen Methode auf, ließ dabei aber vier Gruppen aus (Fdd2, I 4 2d, P 4 2 1 d und P 4 2 1 c). [ 8 ] Eine detaillierte Beschreibung der Entdeckungsgeschichte der Raumgruppen wurde verfasst. [ 9 ]

Elemente

Die Raumgruppen im dreidimensionalen Raum setzen sich aus Kombinationen der 32 kristallographischen Punktgruppen mit den 14 Bravais-Gittern zusammen , die jeweils einem von sieben Gittersystemen angehören . Das bedeutet, dass die Wirkung eines beliebigen Elements einer gegebenen Raumgruppe als Wirkung eines Elements der entsprechenden Punktgruppe, gegebenenfalls gefolgt von einer Translation, ausgedrückt werden kann. Eine Raumgruppe ist somit eine Kombination aus der Translationssymmetrie einer Elementarzelle (einschließlich Gitterzentrierung ), den Punktgruppensymmetrieoperationen Spiegelung , Drehung und uneigentlicher Drehung (auch Rotationsinversion genannt) sowie den Symmetrieoperationen der Schraubenachse und der Gleitebene . Die Kombination all dieser Symmetrieoperationen ergibt insgesamt 230 verschiedene Raumgruppen, die alle möglichen Kristallsymmetrien beschreiben.

Die Anzahl der Replikate der asymmetrischen Einheit in einer Elementarzelle entspricht somit der Anzahl der Gitterpunkte in der Zelle multipliziert mit der Ordnung der Punktgruppe. Diese reicht von 1 im Fall der Raumgruppe P1 bis 192 für eine Raumgruppe wie Fm 3 m, der NaCl-Struktur .

Elemente, die einen Punkt fixieren

Die Elemente der Raumgruppe, die einen Punkt im Raum fixieren, sind das neutrale Element, Spiegelungen, Drehungen und uneigentliche Drehungen einschließlich der Inversionspunkte .

Übersetzungen

Die Translationen bilden eine normale abelsche Untergruppe vom Rang 3, den sogenannten Bravais-Verband (benannt nach dem französischen Physiker Auguste Bravais ). Es gibt 14 mögliche Typen von Bravais-Verbänden. Der Quotient der Raumgruppe nach dem Bravais-Verband ist eine endliche Gruppe und eine der 32 möglichen Punktgruppen .

Gleitflugzeuge

Eine Gleitebene entsteht durch Spiegelung an einer Ebene, gefolgt von einer Translation parallel zu dieser Ebene. Sie wird mit a , b oder c bezeichnet , je nachdem, entlang welcher Achse die Gleitbewegung erfolgt. Es gibt außerdem die n- Gleitebene, die entlang der Hälfte einer Flächendiagonale verläuft, und die d- Gleitebene, die ein Viertel einer Flächen- oder Raumdiagonale der Elementarzelle darstellt. Letztere wird als Diamantgleitebene bezeichnet, da sie in der Diamantstruktur vorkommt . In 17 Raumgruppen treten die Gleitbewegungen aufgrund der Zentrierung der Zelle gleichzeitig in zwei zueinander senkrechten Richtungen auf, d. h. dieselbe Gleitebene kann als b oder c , a oder b , a oder c bezeichnet werden . Beispielsweise könnte die Gruppe Abm2 auch Acm2 und die Gruppe Ccca auch Cccb genannt werden. 1992 wurde vorgeschlagen, für solche Ebenen das Symbol e zu verwenden . Die Symbole für fünf Raumgruppen wurden modifiziert.

Raumgruppe Nr.3941646768
Neues Symbol Aem2Aea2CmceCmmeCcce
Altes Symbol Abm2Aba2CMCACmmaCCCA

Schraubenachsen

Eine Schraubenachse ist eine Drehung um eine Achse, gefolgt von einer Translation entlang der Achsenrichtung. Diese Drehungen werden durch eine Zahl n beschrieben, die angibt, wie viele Umdrehungen für eine vollständige Drehung nötig sind (z. B. bedeutet 3 eine Drehung um jeweils ein Drittel der Achse). Der Translationsgrad wird als Index hinzugefügt und gibt an, wie weit die Translation entlang der Achse erfolgt, ausgedrückt als Anteil des Gittervektors. So ist 2 1 eine zweifache Drehung, gefolgt von einer Translation um ⁠1/2des Gittervektors.

Allgemeine Formel

Die allgemeine Formel für die Wirkung eines Elements einer Raumgruppe lautet:

y = M . x + D

Dabei ist M die Matrix, D der Vektor und das Element transformiert Punkt x in Punkt y . Allgemein gilt: D = D ( Gitter ) + D ( M ) , wobei D ( M ) eine eindeutige Funktion von M ist, die für die Einheitsmatrix M den Wert null annimmt . Die Matrizen M bilden eine Punktgruppe , die eine Basis der Raumgruppe darstellt. Das Gitter muss unter dieser Punktgruppe symmetrisch sein, die Kristallstruktur selbst jedoch nicht unbedingt symmetrisch bezüglich dieser Punktgruppe an einem bestimmten Punkt (d. h. ohne Translation). Beispielsweise besitzt die kubische Diamantstruktur keinen Punkt, auf den die kubische Punktgruppe anwendbar ist.

Die Gitterdimension kann kleiner als die Gesamtdimension sein, was zu einer „subperiodischen“ Raumgruppe führt. Für (Gesamtdimension, Gitterdimension):

Chiralität

Die 65 „Sohncke“-Raumgruppen, die keine Spiegel, Inversionspunkte, uneigentlichen Drehungen oder Gleitebenen enthalten, ergeben chirale Kristalle, die nicht mit ihrem Spiegelbild identisch sind; Raumgruppen hingegen, die mindestens eines dieser Elemente enthalten, ergeben achirale Kristalle. Achirale Moleküle können mitunter chirale Kristalle bilden, chirale Moleküle bilden jedoch in einer der Raumgruppen, die dies ermöglichen, stets chirale Kristalle.

Unter den 65 Sohncke-Gruppen befinden sich 22, die in 11 enantiomorphen Paaren auftreten.

Kombinationen

In einer Raumgruppe sind nur bestimmte Kombinationen von Symmetrieelementen möglich. Translationen sind stets vorhanden, und die Raumgruppe P1 besitzt nur Translationen und das neutrale Element. Das Vorhandensein von Spiegelungen impliziert Gleitebenen, und das Vorhandensein von Drehachsen impliziert Schraubenachsen; die Umkehrungen gelten jedoch nicht. Eine Inversion und eine Spiegelung implizieren zweizählige Schraubenachsen usw.

Notation

Es gibt mindestens zehn Methoden zur Benennung von Raumgruppen. Einige dieser Methoden können derselben Raumgruppe mehrere verschiedene Namen zuweisen, sodass es insgesamt viele Tausend verschiedene Namen gibt.

Nummer
Die Internationale Union für Kristallographie veröffentlicht Tabellen aller Raumgruppentypen und vergibt für jeden eine eindeutige Nummer von 1 bis 230. Die Nummerierung ist willkürlich, außer dass Gruppen mit demselben Kristallsystem oder derselben Punktgruppe fortlaufende Nummern erhalten.
Internationale Symbolnotation
Hermann-Mauguin-Notation
Die Hermann-Mauguin-Notation (oder internationale Notation) beschreibt das Gitter und einige Erzeuger der Gruppe. Sie hat eine Kurzform, das internationale Kurzsymbol (IK) , das in der Kristallographie am häufigsten verwendet wird und üblicherweise aus vier Symbolen besteht. Das erste Symbol beschreibt die Zentrierung des Bravais-Gitters ( P , A , C , I , R oder F ). Die nächsten drei Symbole beschreiben die jeweils prominenteste Symmetrieoperation, die bei Projektion entlang einer der Hochsymmetrierichtungen des Kristalls sichtbar wird. Diese Symbole entsprechen denen der Punktgruppen , ergänzt um Gleitebenen und die oben beschriebene Schraubenachse. Beispielsweise ist die Raumgruppe von Quarz P3₁21 . Sie zeigt eine primitive Zentrierung des Motivs (d. h. einmal pro Elementarzelle) mit einer dreizähligen Schraubenachse und einer zweizähligen Drehachse. Das Kristallsystem ist nicht explizit angegeben , obwohl es für jede Raumgruppe eindeutig ist (im Fall von P3₁21 ist es trigonal ).
Im internationalen Kurzsymbol bezeichnet das erste Symbol (in diesem Beispiel 3 1 ) die Symmetrie entlang der Hauptachse (c-Achse bei trigonalen Strukturen), das zweite (hier 2) entlang der Achsen von untergeordneter Bedeutung (a und b) und das dritte Symbol die Symmetrie in einer anderen Richtung. Im trigonalen Fall existiert außerdem die Raumgruppe P3 1 12. In dieser Raumgruppe verlaufen die zweizähligen Achsen nicht entlang der a- und b-Achse, sondern in einer um 30° gedrehten Richtung.
Die internationalen Symbole und internationalen Kurzsymbole für einige der Raumfahrtgruppen wurden zwischen 1935 und 2002 leicht verändert, sodass mehrere Raumfahrtgruppen 4 verschiedene internationale Symbole verwenden.

Die Blickrichtungen der 7 Kristallsysteme sind wie folgt dargestellt.

Symbolposition Triclinic Monoklin Orthorhombisch Tetragonal Dreieckig Sechseckig Kubisch
1 — B A C C C A
2 — B A A A [111]
3 — C [110] [210] [210] [110]
Hall-Notation
Raumgruppennotation mit explizitem Ursprung. Rotations-, Translations- und Achsenrichtungssymbole sind klar getrennt, und Inversionszentren sind explizit definiert. Aufbau und Format der Notation machen sie besonders geeignet für die computergestützte Generierung von Symmetrieinformationen. Beispielsweise besitzt die Gruppe 3 drei Hall-Symbole: P 2y (P 1 2 1), P 2 (P 1 1 2) und P 2x (P 2 1 1). [ 10 ]
Schönflies-Notation
Die Raumgruppen mit der jeweiligen Punktgruppe werden mit 1, 2, 3, ... (in der gleichen Reihenfolge wie ihre internationale Nummer) nummeriert. Diese Nummer wird als hochgestellter Index an das Schönflies-Symbol der Punktgruppe angehängt. Beispielsweise haben die Raumgruppen 3 bis 5 mit der Punktgruppe C₂ das Schönflies-Symbol C₂ .1 2, C2 2, C3 2Die
Fedorov -Notation
Shubnikow -Symbol
Bezeichnung des Strukturberichts
Eine verwandte Notation für Kristallstrukturen, die einem Buchstaben und einem Index zugeordnet sind:
Symbol Bedeutung
A Elemente (monoatomar)
B AB-Verbindungen.
C AB 2 Verbindungen.
D A m B n Verbindungen.
E Komplexere Verbindungen.
F
...
K
L Legierungen
O Organische Verbindungen
S Silikate
Manche Strukturbezeichnungen teilen sich dieselben Raumgruppen. Beispielsweise ist die Raumgruppe 225 A1 , B1 und C1 . Die Raumgruppe 221 ist Ah und B2 . [ 11 ] Kristallographen verwenden die Strukturbericht-Notation jedoch nicht zur Beschreibung der Raumgruppe, sondern zur Beschreibung einer spezifischen Kristallstruktur (z. B. Raumgruppe + Atomanordnung (Motiv)).
Orbifold-Notation (2D)
Fibrifold-Notation (3D)
Beschreibt die Orbifaltigkeit , die durch den Quotienten des euklidischen Raums nach der Raumgruppe gegeben ist, anstatt der Erzeuger der Raumgruppe. Sie wurde von Conway und Thurston eingeführt und findet außerhalb der Mathematik kaum Verwendung. Manche Raumgruppen besitzen mehrere verschiedene Fibrifaltigkeiten und somit auch mehrere verschiedene Fibrifaltigkeitssymbole.
Coxeter-Notation
Räumliche und punktförmige Symmetriegruppen, dargestellt als Modifikationen der reinen Spiegelungs- Coxeter-Gruppen .
Geometrische Notation
Eine Notation der geometrischen Algebra . [ 12 ]

Klassifizierungssysteme

Es gibt (mindestens) zehn verschiedene Möglichkeiten, Raumgruppen in Klassen einzuteilen. Die Beziehungen zwischen einigen dieser Klassen werden in der folgenden Tabelle beschrieben. Jedes Klassifizierungssystem ist eine Verfeinerung der darunter stehenden. Um eine der hier gegebenen Erklärungen zu verstehen, ist es möglicherweise notwendig, die nächste zu verstehen.

(Kristallographische) Raumgruppentypen (230 in drei Dimensionen)
Zwei Raumgruppen, die als Untergruppen der Gruppe der affinen Raumtransformationen betrachtet werden , haben denselben Raumgruppentyp, wenn sie bis auf eine affine Raumtransformation , die die Orientierung erhält, identisch sind . So ändert beispielsweise eine Winkeländerung zwischen Translationsvektoren den Raumgruppentyp nicht, solange keine Symmetrie hinzugefügt oder entfernt wird. Eine formalere Definition verwendet die Konjugation (siehe Symmetriegruppe ). In drei Dimensionen existiert für 11 der affinen Raumgruppen keine chiralitätserhaltende (d. h. orientierungserhaltende) Abbildung von der Gruppe auf ihr Spiegelbild. Unterscheidet man also Gruppen von ihren Spiegelbildern, so lassen sich diese jeweils in zwei Fälle unterteilen (z. B. P4₁ und P4₃ ) . Anstelle der 54 affinen Raumgruppen, die die Chiralität erhalten, gibt es daher 54 + 11 = 65 Raumgruppentypen, die die Chiralität erhalten (die Sohncke-Gruppen ). Bei den meisten chiralen Kristallen gehören die beiden Enantiomorphe zur selben kristallographischen Raumgruppe, wie beispielsweise P2 1 3 für FeSi , während andere, wie Quarz, zu zwei enantiomorphen Raumgruppen gehören. [ 13 ]
Affine Raumgruppentypen (219 in drei Dimensionen)
Zwei Raumgruppen, die als Untergruppen der Gruppe der affinen Raumtransformationen betrachtet werden, besitzen denselben affinen Raumgruppentyp, wenn sie bis auf eine affine Transformation identisch sind, selbst wenn diese die Orientierung umkehrt. Der affine Raumgruppentyp wird durch die zugrundeliegende abstrakte Gruppe der Raumgruppe bestimmt. In drei Dimensionen erhalten 54 der affinen Raumgruppentypen die Chiralität und führen zu chiralen Kristallen. Die beiden Enantiomere eines chiralen Kristalls besitzen dieselbe affine Raumgruppe.
Arithmetische Kristallklassen (73 in drei Dimensionen)
Manchmal werden sie auch Z-Klassen genannt. Diese werden durch die Punktgruppe und deren Wirkung auf die Translationsuntergruppe bestimmt. Anders ausgedrückt: Die arithmetischen Kristallklassen entsprechen den Konjugationsklassen endlicher Untergruppen der allgemeinen linearen Gruppe GL<sub> n</sub> ( Z ) über den ganzen Zahlen. Eine Raumgruppe heißt symmorph (oder zerfallend ), wenn es einen Punkt gibt, sodass alle Symmetrien das Produkt einer diesen Punkt fixierenden Symmetrie und einer Translation sind. Äquivalent dazu ist eine Raumgruppe symmorph, wenn sie das semidirekte Produkt ihrer Punktgruppe mit ihrer Translationsuntergruppe ist. Es gibt 73 symmorphe Raumgruppen, genau eine in jeder arithmetischen Kristallklasse. Außerdem gibt es 157 nicht-symmorphe Raumgruppentypen mit unterschiedlicher Anzahl in den arithmetischen Kristallklassen.

Arithmetische Kristallklassen lassen sich als unterschiedliche Orientierungen der Punktgruppen im Gitter interpretieren, wobei die Matrixkomponenten der Gruppenelemente ganzzahlige Koeffizienten im Gitterraum aufweisen müssen. Dies lässt sich im zweidimensionalen Fall der Tapetengruppe recht einfach veranschaulichen . Einige Punktgruppen besitzen Spiegelungen, und die Spiegelungslinien können entlang der Gitterrichtungen, in der Mitte zwischen ihnen oder beides verlaufen.

  • Keine: C 1 : p1; C 2 : p2; C 3 : p3; C 4 : p4; C 6 : p6
  • Entlang: D 1 : pm, pg; D 2 : pmm, pmg, pgg; D 3 : p31m
  • Zwischen: D 1 : cm; D 2 : cmm; D 3 : p3m1
  • Beide: D 4 : p4m, p4g; D 6 : p6m
(geometrische) Kristallklassen (32 in drei Dimensionen) Bravais-Herden (14 in drei Dimensionen)
Manchmal auch Q-Klassen genannt. Die Kristallklasse einer Raumgruppe wird durch ihre Punktgruppe bestimmt: den Quotienten der Translationsuntergruppe, die auf dem Gitter wirkt. Zwei Raumgruppen gehören genau dann zur selben Kristallklasse, wenn ihre Punktgruppen, die Untergruppen von GL<sub> n</sub> ( Z ) sind, in der größeren Gruppe GL <sub>n</sub> ( Q ) konjugiert sind. Diese werden durch den zugrunde liegenden Bravais-Gittertyp bestimmt.

Diese entsprechen Konjugationsklassen von Gitterpunktgruppen in GL n ( Z ), wobei die Gitterpunktgruppe die Gruppe der Symmetrien des zugrunde liegenden Gitters ist, die einen Punkt des Gitters fixieren, und die Punktgruppe enthält.

Kristallsysteme (7 in drei Dimensionen) Gittersysteme (7 in drei Dimensionen)
Kristallsysteme sind eine spezielle Modifikation der Gittersysteme, um sie mit der Klassifizierung nach Punktgruppen kompatibel zu machen. Sie unterscheiden sich von Kristallfamilien dadurch, dass die hexagonale Kristallfamilie in zwei Untergruppen, die trigonalen und hexagonalen Kristallsysteme, unterteilt wird. Das trigonale Kristallsystem ist größer als das rhomboedrische Gittersystem, das hexagonale Kristallsystem kleiner als das hexagonale Gittersystem; die übrigen Kristall- und Gittersysteme sind identisch. Das Gittersystem einer Raumgruppe wird durch die Konjugationsklasse der Gitterpunktgruppe (einer Untergruppe von GL<sub> n</sub> ( Z )) in der größeren Gruppe GL <sub>n</sub> ( Q ) bestimmt. Im dreidimensionalen Raum kann die Gitterpunktgruppe eine der sieben verschiedenen Ordnungen 2, 4, 8, 12, 16, 24 oder 48 aufweisen. Die hexagonale Kristallfamilie wird in zwei Untergruppen unterteilt, die als rhomboedrische und hexagonale Gittersysteme bezeichnet werden.
Kristallfamilien (6 in drei Dimensionen)
Die Punktgruppe einer Raumgruppe bestimmt nicht eindeutig ihr Gittersystem, da zwei Raumgruppen mit derselben Punktgruppe gelegentlich unterschiedlichen Gittersystemen angehören können. In solchen Fällen entstehen Kristallfamilien durch die Verschmelzung der beiden Gittersysteme. Die Kristallfamilie einer Raumgruppe wird somit entweder durch ihr Gittersystem oder durch ihre Punktgruppe bestimmt. Im dreidimensionalen Raum verschmelzen lediglich das hexagonale und das rhomboedrische Gittersystem zur hexagonalen Kristallfamilie. Die sechs Kristallfamilien im dreidimensionalen Raum heißen triklin, monoklin, orthorhombisch, tetragonal, hexagonal und kubisch. Kristallfamilien werden häufig in populärwissenschaftlichen Büchern über Kristalle verwendet, wo sie mitunter auch als Kristallsysteme bezeichnet werden.

Eine weitere Klassifizierung der Raumgruppen ist die sogenannte Fibrifold-Notation , die sich nach den Fibrifold- Strukturen auf dem entsprechenden Orbifold richtet . Die 219 affinen Raumgruppen werden in reduzible und irreduzible Gruppen unterteilt. Die reduziblen Gruppen lassen sich in 17 Klassen einteilen, die den 17 Tapetengruppen entsprechen, während die verbleibenden 35 irreduziblen Gruppen mit den kubischen Gruppen identisch sind und separat klassifiziert werden. [ 14 ]

In anderen Dimensionen

Bieberbachs Theoreme

In n Dimensionen ist eine affine Raumgruppe, auch Bieberbach -Gruppe genannt, eine diskrete Untergruppe von Isometrien des n- dimensionalen euklidischen Raums mit einem kompakten Fundamentalbereich. Biberbach bewies, dass die Translationsuntergruppe einer solchen Gruppe n linear unabhängige Translationen enthält und eine freie abelsche Untergruppe von endlichem Index ist. Sie ist zudem die eindeutige maximale normale abelsche Untergruppe. Weiterhin zeigte er, dass es in jeder Dimension n nur endlich viele Möglichkeiten für die Isomorphieklasse der zugrundeliegenden Gruppe einer Raumgruppe gibt und dass die Wirkung der Gruppe auf den euklidischen Raum bis auf Konjugation durch affine Transformationen eindeutig ist. [ 15 ] [ 16 ] Dies beantwortet einen Teil von Hilberts achtzehntem Problem . Umgekehrt wurde gezeigt, dass jede Gruppe, die die Erweiterung von Z<sup> n</sup> durch eine endliche, treu wirkende Gruppe ist , eine affine Raumgruppe ist . [ 17 ] Die Kombination dieser Ergebnisse zeigt, dass die Klassifizierung von Raumgruppen in n Dimensionen bis auf Konjugation durch affine Transformationen im Wesentlichen dasselbe ist wie die Klassifizierung von Isomorphieklassen für Gruppen, die Erweiterungen von Z n durch eine endliche Gruppe sind, die treu wirkt.

Für die Bieberbachschen Sätze ist es unerlässlich, dass die Gruppe als Isometrie operiert; die Sätze lassen sich nicht auf diskrete kokompakte Gruppen affiner Transformationen des euklidischen Raums verallgemeinern. Ein Gegenbeispiel liefert die dreidimensionale Heisenberg-Gruppe der ganzen Zahlen, die durch Translationen auf der Heisenberg-Gruppe der reellen Zahlen operiert, welche mit dem dreidimensionalen euklidischen Raum identifiziert wird. Dies ist eine diskrete kokompakte Gruppe affiner Transformationen des Raums, enthält aber keine Untergruppe Z<sub> 3</sub> .

Klassifizierung in kleinen Dimensionen

Diese Tabelle gibt die Anzahl der Raumgruppentypen in kleinen Dimensionen an, einschließlich der Anzahl verschiedener Raumgruppenklassen. Die Anzahl der enantiomorphen Paare ist in Klammern angegeben.

Abmessungen Kristallfamilien, OEIS- Sequenz A004032Kristallsysteme, OEIS- Sequenz A004031Bravais-Gitter, OEIS- Sequenz A256413Abstrakte kristallographische Punktgruppen, OEIS- Sequenz A006226Geometrische Kristallklassen, Q-Klassen, kristallographische Punktgruppen, OEIS- Sequenz A004028Arithmetische Kristallklassen, Z-Klassen, OEIS- Sequenz A004027Affine Raumgruppentypen, OEIS -Sequenz A004029Kristallographische Raumgruppentypen, OEIS- Sequenz A006227
0 [ a ]1 1 1 1 1 1 1 1
1 [ b ]1 1 1 2 2 2 2 2
2 [ c ]4 4 5 9 10 13 17 17
3 [ d ]6 7 14 18 32 73 219 (+11) 230
4 [ e ]23 (+6) 33 (+7) 64 (+10) 118 227 (+44) 710 (+70) 4783 (+111) 4894
5 [ f ]32 59 189 239 955 6079 222018 (+79) 222097
6 [ g ]91 251 841 1594 7103 85308 (+?) 28927915 (+?) ?
  1. ^ Triviale Gruppe
  2. ^ Die eine ist die Gruppe der ganzen Zahlen, die andere die unendliche Diedergruppe ; siehe Symmetriegruppen in einer Dimension .
  3. ^ Diese 2D-Raumgruppen werden auch Tapetengruppen oder Ebenengruppen genannt .
  4. In drei Dimensionen existieren 230 kristallographische Raumgruppen, von denen 219 affine Raumgruppen sind, da einige von ihrem Spiegelbild abweichen. Diese Unterschiede werden als Enantiomorphie bezeichnet (z. B. P3₁12 und P3₂12 ). Üblicherweise bezieht sich der Begriff „Raumgruppe“ auf die dreidimensionalste Struktur. Die Raumgruppen wurden unabhängig voneinander von mehreren Forschern nummeriert. [ 8 ] [ 5 ] [ 18 ]
  5. Die 4894 vierdimensionalen Gruppen wurden im Laufe der Zeit nummeriert (und korrigiert); ursprünglich wurden 4895 aufgeführt, da eine enantiomorphe Gruppe zu viel vorhanden war . [ 19 ] [ 20 ]
  6. ^ Zuerst wurde die fünfte Dimension gezählt. [ 21 ] Später wurden die Enantiomere gezählt. [ 22 ]
  7. Die Zählung der Dimension 6 wurde zuerst abgeschlossen; später wurden die korrigierten Zahlen gefunden. [ 21 ] [ 23 ] Die ursprünglich veröffentlichte Zahl von 826 Gittertypen in [ 24 ] wurde auf 841 korrigiert. [ 25 ] [ 26 ]

Magnetische Gruppen und Zeitumkehr

Neben kristallographischen Raumgruppen existieren auch magnetische Raumgruppen (auch Zweifarben- oder Shubnikov -Gruppen genannt). Diese Symmetrien enthalten ein Element namens Zeitumkehr. Sie behandeln die Zeit als zusätzliche Dimension, und die Gruppenelemente können die Zeitumkehr als Spiegelung an dieser Dimension beinhalten. Sie sind wichtig für magnetische Strukturen mit geordneten ungepaarten Spins, d. h. ferro- , ferri- oder antiferromagnetische Strukturen, wie sie mittels Neutronenbeugung untersucht werden . Das Zeitumkehrelement kehrt einen magnetischen Spin um, während die übrige Struktur unverändert bleibt, und kann mit einer Reihe anderer Symmetrieelemente kombiniert werden. Einschließlich der Zeitumkehr existieren 1651 magnetische Raumgruppen in 3D. [ 27 ] Es ist auch möglich, magnetische Versionen für andere Gesamt- und Gitterdimensionen zu konstruieren. [ 28 ] [ 29 ] [ 30 ] Friesgruppen sind magnetische 1D-Liniengruppen und Schichtgruppen sind magnetische Tapetengruppen, und die axialen 3D-Punktgruppen sind magnetische 2D-Punktgruppen. Anzahl der ursprünglichen und magnetischen Gruppen nach (Gesamt-, Gitter-)Dimension: [ 31 ] [ 32 ]

Gesamtabmessungen​ Gitterdimension​ Gewöhnliche Gruppen Magnetische Gruppen
Name Symbol Zählen Symbol Zählen
0 0 Nulldimensionale Symmetriegruppe G 01 G1 02
1 0 Eindimensionale PunktgruppenG 102 G1 105
1 Eindimensionale diskrete SymmetriegruppenG 12 G1 17
2 0 Zweidimensionale PunktgruppenG 2010 G1 2031
1 Frieze-GruppenG 217 G1 2131
2 HintergrundbildgruppenG 217 G1 280
3 0 Dreidimensionale PunktgruppenG 3032 G1 30122
1 StangengruppenG 3175 G1 31394
2 EbenengruppenG 3280 G1 32528
3 Dreidimensionale RaumgruppenG 3230 G1 31651
4 0 Vierdimensionale Punktgruppen G 40271 G1 401202
1 G 41343
2 G 421091
3 G 431594
4 Vierdimensionale diskrete Symmetriegruppen G 44894 G1 462227

Tabelle der Raumgruppen in 2 Dimensionen (Tapetengruppen)

Tabelle der Tapetengruppen anhand der Klassifizierung der zweidimensionalen Raumgruppen:

Geometrische Klasse, Punktgruppe
  • Arithmetik
  • Klasse
Tapetengruppen (Zellendiagramm)
Int'lSchön.OrbifoldCox.Ord.
1C 1(1)[ ] +1 Keiner p1 (1)
2C 2(22)[2] +2 Keiner S. 2 (2222)
MD 1(*)[ ]2 Entlang pm (**)Seite (××)
2 mmD 2(*22)[2]4 Entlang pmm (*2222)pmg (22*)
MD 1(*)[ ]2 Zwischen cm (*×)
2 mmD 2(*22)[2]4 Zwischen cmm (2*22)pgg (22×)
4C 4(44)[4] +4 Keiner S. 4 (442)
4 mmD 4(*44)[4]8 Beide p4m (*442)p4g (4*2)
3C 3(33)[3] +3 Keiner S. 3 (333)
3 mD 3(*33)[3]6 Zwischen p3m1 (*333)p31m (3*3)
6C 6(66)[6] +6 Keiner S. 6 (632)
6 mmD 6(*66)[6]12 Beide p6m (*632)

Für jede geometrische Klasse gibt es folgende mögliche arithmetische Klassen:

  • Keine: keine Spiegellinien
  • Entlang: Spiegellinien entlang der Gitterrichtungen
  • Zwischen: Spiegellinien, die sich genau in der Mitte zwischen den Gitterrichtungen befinden
  • Beides: Spiegellinien sowohl entlang als auch zwischen Gitterrichtungen

Tabelle der Raumgruppen in 3 Dimensionen

Nr.
PunktgruppeWeltraumgruppen (internationales Kurzsymbol)
Int'lSchön.OrbifoldCox.Ord.
1
1C 111[  ] +1 P1
2 1C i1×[2 + ,2 + ]2 P 1
3–5
2C 222[2] +2
  • P2, P2 1
  • C2
6–9 MC s*11[  ]2
  • PM, PC
  • Cm, Cc
10–15 2/mC 2h2*[2,2 + ]4
  • P2/m, P2 1 /m
  • C2/m, P2/c, P2 1 /c
  • C2/c
16–24
222D 2222[2,2] +4
  • P222, P222 1 , P2 1 2 1 2, P2 1 2 1 2 1
  • C222 1 , C222
  • F222
  • I222, I2 1 2 1 2 1
25–46 mm²C 2v*22[2]4
  • Pmm2, Pmc2 1 , Pcc2, Pma2, Pca2 1 , Pnc2, Pmn2 1 , Pba2, Pna2 1 , Pnn2
  • Cmm2, Cmc2 1 , Ccc2, Amm2, Aem2, Ama2, Aea2
  • Fmm2, Fdd2
  • Imm2, Iba2, Ima2
47–74 mmmD 2h*222[2,2]8
  • Pmmm, Pnnn, Pccm, Pban, Pmma, Pnna, Pmna, Pcca, Pbam, Pccn, Pbcm, Pnnm, Pmmn, Pbcn, Pbca, Pnma
  • Cmcm, Cmce, Cmmm, Cccm, Cmme, Ccce
  • Fmmm, Fddd
  • Immm, Ibam, Ibca, Imma
75–80
4C 444[4] +4 P4, P4 1 , P4 2 , P4 3 , I4, I4 1
81–82 4S 42×[2 + ,4 + ]4 P 4 , I 4
83–88 4/mC 4h4*[2,4 + ]8
  • P4/m, P4 2 /m, P4/n, P4 2 /n
  • I4/m, I4 1 /a
89–98 422D 4224[2,4] +8
  • P422, P42 1 2, P4 1 22, P4 1 2 1 2, P4 2 22, P4 2 2 1 2, P4 3 22, P4 3 2 1 2
  • I422, I4 1 22
99–110 4 mmC 4V*44[4]8
  • P4mm, P4bm, P4 2 cm, P4 2 nm, P4cc, P4nc, P4 2 mc, P4 2 bc
  • I4mm, I4cm, I4 1 md, I4 1 cd
111–122 4 2mD 2d2*2[2 + ,4]8
  • P 4 2m, P 4 2c, P 4 2 1m , P 4 2 1c , P 4 m2, P 4 c2, P 4 b2, P 4 n2
  • I 4 m2, I 4 c2, I 4 2m, I 4 2d
123–142 4/mmmD 4h*224[2,4]16
  • P4/mmm, P4/mcc, P4/nbm, P4/nnc, P4/mbm, P4/mnc, P4/nmm, P4/ncc, P4²/ mmc , P4² / mcm, P4² /nbc, P4²/nnm, P4² / mbc , P4² / mnm , P4² / nmc, P4² / ncm
  • I4/mmm, I4/mcm, I4 1 /amd, I4 1 /acd
143–146
3C 333[3] +3
  • P3, P3 1 , P3 2
  • R3
147–148 3S 63×[2 + ,6 + ]6 P 3 , R 3
149–155 32D 3223[2,3] +6
  • P312, P321, P3 1 12, P3 1 21, P3 2 12, P3 2 21
  • R32
156–161 3 mC 3V*33[3]6
  • P3m1, P31m, P3c1, P31c
  • R3m, R3c
162–167 3 mD 3d2*3[2 + ,6]12
  • P 3 1m, P 3 1c, P 3 m1, P 3 c1
  • R 3 m, R 3 c
168–173
6C 666[6] +6 P6, P6 1 , P6 5 , P6 2 , P6 4 , P6 3
174 6C 3h3*[2,3 + ]6 P 6
175–176 6/mC 6h6*[2,6 + ]12 P6/m, P6 3 /m
177–182 622D 6226[2,6] +12 P622, P6 1 22, P6 5 22, P6 2 22, P6 4 22, P6 3 22
183–186 6 mmC 6V*66[6]12 P6mm, P6cc, P6 3 cm, P6 3 mc
187–190 6 m2D 3h*223[2,3]12 P 6 m2, P 6 c2, P 6 2m, P 6 2c
191–194 6/mmmD 6h*226[2,6]24 P6/mmm, P6/mcc, P6 3 /mcm, P6 3 /mmc
195–199
23T332[3,3] +12
  • P23, F23, I23
  • P2 1 3, I2 1 3
200–206 m 3T h3*2[3 + ,4]24 Pm 3 , Pn 3 , Fm 3 , Fd 3 , Im 3 , Pa 3 , Ia 3
207–214 432O432[3,4] +24
  • P432, P4 2 32
  • F432, F4 1 32
  • I432
  • P4 3 32, P4 1 32, I4 1 32
215–220 4,3 mT d*332[3,3]24
  • P 4 3m, F 4 3m, I 4 3m
  • P 4 3n, F 4 3c, I 4 3d
221–230 m 3 mOh​*432[3,4]48
  • Pm 3 m, Pn 3 n, Pm 3 n, Pn 3 m
  • Fm 3 m, Fm 3 c, Fd 3 m, Fd 3 c
  • Im 3 m, Ia 3 d

Anmerkung: Eine e- Ebene ist eine Doppelgleitebene mit Gleitbewegungen in zwei verschiedene Richtungen. Sie kommt in sieben orthorhombischen, fünf tetragonalen und fünf kubischen Raumgruppen vor, die alle ein zentriertes Gitter besitzen. Die Verwendung des Symbols e wurde um das Jahr 2002 offiziell. [ 2 ]

Das Kristallgitter lässt sich wie folgt bestimmen. Ist das Kristallsystem nicht trigonal, so ist das Kristallgitter vom gleichen Typ. Ist das Kristallsystem trigonal, so ist das Kristallgitter hexagonal, es sei denn, die Raumgruppe gehört zu den sieben rhomboedrischen Raumgruppen, deren Name mit R beginnt. (Der Begriff „rhomboedrisches System“ wird manchmal auch als alternative Bezeichnung für das gesamte trigonale System verwendet.) Das hexagonale Kristallgitter ist größer als das hexagonale Kristallsystem und besteht aus dem hexagonalen Kristallsystem sowie den 18 Raumgruppen des trigonalen Kristallsystems, mit Ausnahme der sieben, deren Namen mit R beginnen.

Das Bravais-Gitter einer Raumgruppe wird durch das Gittersystem und den Anfangsbuchstaben ihres Namens bestimmt. Bei nicht-rhomboedrischen Gruppen ist dies P, I, F, A oder C, je nach Kontext für das Hauptgitter, das raumzentrierte Gitter, das flächenzentrierte Gitter, das A-flächenzentrierte Gitter oder das C-flächenzentrierte Gitter. Es gibt sieben rhomboedrische Raumgruppen mit dem Anfangsbuchstaben R.

Ableitung der Kristallklasse aus der Raumgruppe

  1. Lassen Sie die Sorte Bravais weg.
  2. Alle Symmetrieelemente mit Translationskomponenten werden in ihre jeweiligen Symmetrieelemente ohne Translationssymmetrie umgewandelt (Gleitebenen werden in einfache Spiegelebenen umgewandelt; Schraubenachsen werden in einfache Drehachsen umgewandelt).
  3. Rotationsachsen, Rotations-Inversionsachsen und Spiegelebenen bleiben unverändert.

Referenzen

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