Womersley-Nummer

Die Womersley-Zahl ( oder ) ist eine dimensionslose Kennzahl in der Biofluidmechanik und Biofluiddynamik . Sie beschreibt dimensionslos die Pulsationsfrequenz der Strömung in Abhängigkeit von viskosen Effekten . Benannt ist sie nach John R. Womersley (1907–1958) für seine Arbeiten zur Blutströmung in Arterien . ^{[ 1 ]} Die Womersley-Zahl ist wichtig, um die dynamische Ähnlichkeit bei der Skalierung eines Experiments zu gewährleisten. Ein Beispiel hierfür ist die Vergrößerung des Gefäßsystems für experimentelle Untersuchungen. Die Womersley-Zahl ist auch wichtig, um die Dicke der Grenzschicht zu bestimmen und zu prüfen, ob Einlaufeffekte vernachlässigt werden können. ${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle {\text{Wo}}}$

Das Quadrat dieser Zahl wird auch als Stokes-Zahl bezeichnet , , aufgrund der Pionierarbeit, die Sir George Stokes zum zweiten Stokes-Problem geleistet hat . ${\displaystyle {\text{Stk}}={\text{Wo}}^{2}}$

Die Womersley-Zahl, üblicherweise mit bezeichnet , ist definiert durch die Beziehung , wobei eine geeignete Längenskala (z. B. der Radius eines Rohres), die Kreisfrequenz der Schwingungen und , , die kinematische Viskosität , die Dichte bzw. die dynamische Viskosität des Fluids sind. ^{[ 2 ]} Die Womersley-Zahl wird üblicherweise in der potenzlosen Form geschrieben. ${\displaystyle \alpha }$$${\displaystyle \alpha ^{2}={\frac {\text{transient inertial force}}{\text{viscous force}}}={\frac {\rho \omega U}{\mu UL^{-2}}}={\frac {\omega L^{2}}{\mu \rho ^{-1}}}={\frac {\omega L^{2}}{\nu }}\,,}$$${\displaystyle L}$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \nu }$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \mu }$$${\displaystyle \alpha =L\left({\frac {\omega \rho }{\mu }}\right)^{\frac {1}{2}}\,.}$$

Im Herz-Kreislauf-System sind Pulsationsfrequenz, Dichte und dynamische Viskosität konstant. Die charakteristische Länge , die im Falle des Blutflusses dem Gefäßdurchmesser entspricht, ändert sich jedoch zwischen Aorta und feinen Kapillaren um drei Größenordnungen. Die Womersley-Zahl ändert sich daher aufgrund der unterschiedlichen Gefäßgrößen im gesamten Gefäßsystem. Die Womersley-Zahl des menschlichen Blutflusses kann wie folgt abgeschätzt werden: ${\displaystyle \alpha =L\left({\frac {\omega \rho }{\mu }}\right)^{\frac {1}{2}}\,.}$

Nachfolgend eine Liste der geschätzten Womersley-Zahlen in verschiedenen menschlichen Blutgefäßen:

Schiff	Durchmesser (m)	${\displaystyle \alpha }$
Aorta	0,025	13,83
Arterie	0,004	2.21
Arteriole	3 × 10 −5	0,0166
Kapillar	8 × 10 −6	4,43 × 10 −3
Venule	2 × 10 −5	0,011
Venen	0,005	2,77
Hohlvene	0,03	16.6

Es kann auch mithilfe der dimensionslosen Reynolds-Zahl (Re) und der Strouhal-Zahl (St) ausgedrückt werden: $${\displaystyle \alpha =\left(2\pi \,\mathrm {Re} \,\mathrm {St} \right)^{1/2}\,.}$$

Die Womersley-Zahl tritt bei der Lösung der linearisierten Navier-Stokes-Gleichungen für oszillatorische Strömung (angenommen laminar und inkompressibel) in einem Rohr auf. Sie beschreibt das Verhältnis der transienten oder oszillatorischen Trägheitskraft zur Scherkraft. Ist die Womersley-Zahl klein (1 oder kleiner), bedeutet dies, dass die Pulsationsfrequenz so niedrig ist, dass sich während jedes Zyklus ein parabolisches Geschwindigkeitsprofil ausbilden kann. Die Strömung ist dann nahezu phasengleich mit dem Druckgradienten und lässt sich mit dem momentanen Druckgradienten näherungsweise durch das Gesetz von Poiseuille beschreiben. Ist die Womersley-Zahl groß (10 oder größer), bedeutet dies, dass die Pulsationsfrequenz so hoch ist, dass das Geschwindigkeitsprofil relativ flach oder kegelförmig ist und die mittlere Strömung dem Druckgradienten um etwa 90 Grad nacheilt. Zusammen mit der Reynolds-Zahl bestimmt die Womersley-Zahl die dynamische Ähnlichkeit. ^{[ 3 ]}${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \alpha }$

Die mit der transienten Beschleunigung verbundene Grenzschichtdicke verhält sich umgekehrt proportional zur Womersley-Zahl. Dies lässt sich erkennen, wenn man die Stokes-Zahl als Quadratwurzel der Womersley-Zahl betrachtet. ^{[ 4 ]} Dabei ist eine charakteristische Länge. ${\displaystyle \delta }$$${\displaystyle \delta =\left(L/\alpha \right)=\left({\frac {L}{\sqrt {\mathrm {Wo} }}}\right),}$$${\displaystyle L}$

In einem Strömungsverteilungsnetzwerk, das von einem großen Rohr zu vielen kleinen Rohren verläuft (z. B. einem Blutgefäßnetz), sind Frequenz, Dichte und dynamische Viskosität (üblicherweise) im gesamten Netzwerk gleich, während sich die Rohrradien ändern. Daher ist die Womersley-Zahl in großen Gefäßen groß und in kleinen Gefäßen klein. Mit abnehmendem Gefäßdurchmesser bei jeder Verzweigung wird die Womersley-Zahl schnell sehr klein. Auf Höhe der terminalen Arterien nähert sich die Womersley-Zahl dem Wert 1. In den Arteriolen, Kapillaren und Venolen ist die Womersley-Zahl kleiner als eins. In diesen Bereichen spielt die Trägheitskraft eine geringere Rolle, und die Strömung wird durch das Gleichgewicht von viskosen Spannungen und dem Druckgradienten bestimmt. Dies wird als Mikrozirkulation bezeichnet . ^{[ 4 ]}

Einige typische Werte für die Womersley-Zahl im Herz-Kreislauf-System eines Hundes bei einer Herzfrequenz von 2 Hz sind: ^{[ 4 ]}

• Aufsteigende Aorta – 13,2
• Absteigende Aorta – 11,5
• Bauchaorta – 8
• Femoralarterie – 3,5
• Halsschlagader – 4,4
• Arteriolen – 0,04
• Kapillaren – 0,005
• Venules – 0,035
• Untere Hohlvene – 8,8
• Hauptpulmonalarterie – 15

Es wurde argumentiert, dass universelle biologische Skalierungsgesetze (Potenzgesetzbeziehungen, die die Variation von Größen wie Stoffwechselrate, Lebensdauer, Länge usw. mit der Körpermasse beschreiben) eine Folge des Bedürfnisses nach Energieminimierung, der fraktalen Natur von Gefäßnetzwerken und des Übergangs von hohem zu niedrigem Womersley-Zahl-Fluss beim Übergang von großen zu kleinen Gefäßen sind. ^{[ 5 ]}