In Mathematik und Logik ist ein Axiomensystem ein Standardtyp deduktiver logischer Struktur, der auch in der theoretischen Informatik Anwendung findet . Es besteht aus einer Menge formaler Aussagen, den Axiomen , die zur logischen Ableitung anderer Aussagen dienen . In der Mathematik werden diese logischen Konsequenzen der Axiome als Lemmata oder Theoreme bezeichnet . Eine mathematische Theorie ist ein Begriff, der ein Axiomensystem und alle daraus abgeleiteten Theoreme umfasst.

Ein Beweis innerhalb eines axiomatischen Systems ist eine Folge deduktiver Schritte, die eine neue Aussage als Konsequenz der Axiome herleitet. Das Axiomensystem selbst ist bewusst ein syntaktisches Konstrukt: Werden Axiome in natürlicher Sprache ausgedrückt , was in Büchern und Fachartikeln üblich ist, dienen die Substantive als Platzhalter . Die Verwendung eines axiomatischen Ansatzes bedeutet eine Abkehr vom informellen Denken, bei dem Substantive realweltliche semantische Werte tragen können, hin zum formalen Beweis . In einem vollständig formalen Kontext muss für die Beweise ein logisches System wie der Prädikatenkalkül verwendet werden. Die moderne Anwendung formaler axiomatischer Beweisführung unterscheidet sich von traditionellen Methoden sowohl durch den Ausschluss semantischer Überlegungen als auch durch die Spezifikation des verwendeten Logiksystems.

Die axiomatische Methode in der Mathematik

Die Reduktion eines Satzes von Aussagen auf eine bestimmte Sammlung von Axiomen bildet die Grundlage mathematischer Forschung . Diese Abhängigkeit war in der Mathematik der ersten Hälfte des 20. Jahrhunderts, einer Zeit, in die einige wichtige Meilensteine ​​der axiomatischen Methode fallen, sehr prominent und umstritten. Die Wahrscheinlichkeitsaxiome von Andrej Kolmogorow aus dem Jahr 1933 sind ein markantes Beispiel. [ 1 ] Dieser Ansatz wurde mitunter als „Formalismus“ kritisiert, da er Teile der intuitiven Arbeitsweise von Mathematikern und Anwendern der Mathematik ausblendete. Im historischen Kontext wird dieser vermeintliche Formalismus heute als Deduktivismus diskutiert , ein nach wie vor weit verbreiteter philosophischer Ansatz in der Mathematik. [ 2 ]

Zeitleiste der axiomatischen Systeme bis 1900

Im 19. Jahrhundert wurden bedeutende axiomatische Systeme entwickelt. Dazu gehörten die nichteuklidische Geometrie , Georg Cantors abstrakte Mengenlehre und Hilberts revisionistische Axiome für die euklidische Geometrie .

Datum Autor Arbeiten Kommentare
4. Jahrhundert v. Chr. bis 3. Jahrhundert v. Chr.Euklid von AlexandriaDie ElementeSie gilt als die früheste erhaltene axiomatische Darstellung der euklidischen ebenen Geometrie und umfasst auch Teile der Zahlentheorie . [ 3 ]
veröffentlicht 1677Baruch SpinozaEthica, ordine geometrisch demonstrataWie schon bei den „Principia philosophiae cartesianae“ von 1663 behauptete Spinoza auch in seiner „Ethik“ , die „geometrische Methode“ Euklids anzuwenden. Aus heutiger Sicht besteht ein eklatanter Gegensatz zwischen dem Bestreben, Aussagen durch deduktive Argumentation aus selbstverständlichen Axiomen zu beweisen, und der offensichtlichen Quelle dieser Aussagen in der Lebenserfahrung und bestenfalls einer Mischung aus Theorie und Intuition. [ 4 ]
1829Nikolai LobatschewskiО началах геометрии („Über den Ursprung der Geometrie“)Lobachevskys Arbeit gilt heute als die erste Veröffentlichung zur axiomatischen ebenen Geometrie, die ohne das Parallelenaxiom Euklids entwickelt wurde, und begründete damit das Gebiet der nichteuklidischen Geometrie .
1879Gottlob FregeBegriffschriftFrege veröffentlichte ein formales System für die Grundlagen der Mathematik. In moderner Terminologie handelte es sich um eine Prädikatenlogik zweiter Stufe [ 5 ] mit Identitätsrelation . Sie wurde in einer linearen Notation für Syntaxbäume ausgedrückt .
1882/83 bis 1890er JahreWalther von DyckAxiome für die abstrakte GruppentheorieVon Dyck gelten die heute als Standard geltenden Axiome der Gruppentheorie. [ 6 ] Aus seiner Einführung freier Gruppen geht hervor , dass er mit dem Standardbegriff der abstrakten Gruppe arbeitete . Es ist jedoch nicht ersichtlich, ob die Existenz inverser Elemente ein Axiom war: Sie würde aus der semantischen Annahme folgen, dass Gruppen Permutationsgruppen (da Permutationen definitionsgemäß invertierbar sind) oder geometrische Transformationen mit derselben Eigenschaft sind. Der damalige Diskursstil legte keinen Wert auf solche Details. James Pierpont , einer der amerikanischen Postulattheoretiker, hatte bereits 1896 ein Axiomensystem für Gruppen entwickelt. Es entspricht dem modernen Typus, obwohl die Eindeutigkeit des neutralen Elements (zum Beispiel) nicht vorausgesetzt wurde. [ 7 ]
1888Richard DedekindKonstruktion der reellen ZahlenAls Dedekind seine Konstruktion der reellen Zahlen mittels Dedekindscher Schnitte vorstellte , waren die Axiome der reellen Zahlen bereits mathematisches Allgemeingut ; eine Teilmenge davon sollte später den geordneten Körper definieren . Die weitere Voraussetzung war eine Theorie mathematischer Grenzwerte . [ 8 ] Um beispielsweise die Idee zu erfassen, dass die reelle Zahlengerade ein lineares Kontinuum bildet, musste man sich mit den historischen Zenon-Paradoxien auseinandersetzen und auch die Frage klären, warum Dezimaldarstellungen nicht eindeutig sind, sodass 0,999… = 1 gilt, indem man dies einem mathematischen Beweis unterzog . Dedekinds Modellierung der Axiome der reellen Zahlen legte diese Fragen auf eine solide Grundlage. In der Praxis konnten die mit Dedekindschen Schnitten bewiesenen Sätze, die fundamentale Ergebnisse der reellen Analysis darstellten , auch für andere Konstruktionen bewiesen werden, beispielsweise mit Cauchy-Folgen rationaler Zahlen. Mit anderen Worten: Es handelte sich um verifizierbare Axiome, wie etwa die archimedische Eigenschaft .
1889Giuseppe PeanoArithmetische Prinzipien, neue methodische DarstellungNach einigen Vorarbeiten anderer Forscher lieferten die Peano-Axiome eine axiomatische Grundlage für die arithmetischen Operationen mit natürlichen Zahlen und die mathematische Induktion , die weite Verbreitung fanden.
1898Alfred North WhiteheadAbhandlung über die universelle AlgebraWhitehead lieferte das erste axiomatische System für die Boolesche Algebra , wie sie von George Boole in seinen grundlegenden Arbeiten zur Logik und Wahrscheinlichkeit eingeführt wurde. [ 9 ]
1899David HilbertGrundlagen der GeometrieEr präsentierte die heute als Hilbertsche Axiome bekannten Begriffe , eine überarbeitete Axiomatisierung der Raumgeometrie .

Situation zu Beginn des 20. Jahrhunderts

David Hilbert war der Erste, der die axiomatische Methode explizit als Untersuchungsrahmen für die Grundlagenforschung der Mathematik einsetzte . [ 10 ] Für Hilbert war die Frage nach dem logischen Status von Cantors Mengenlehre ein zentrales Grundlagenproblem . In seiner Liste der 23 ungelösten Probleme der Mathematik aus dem Jahr 1900 führte Hilbert die Kontinuumshypothese als erstes Problem an. [ 11 ]

Hilberts sechstes Problem forderte die „Axiomatisierung aller Wissenschaftszweige, in denen die Mathematik eine wichtige Rolle spielt“. Er dachte dabei zumindest an wichtige Bereiche der mathematischen Physik und der Wahrscheinlichkeitstheorie. [ 12 ] [ 13 ] Giorgio Israel schrieb über die Auswirkungen auf die Wissenschaft:

Die von dem Mathematiker Felix Klein gegründete Göttinger Schule wandte sich unter dem Einfluss von David Hilbert der Mengenlehre, der Funktionalanalysis, der Quantenmechanik und der mathematischen Logik zu. Sie tat dies, indem sie die axiomatische Methode, die die Wissenschaft des 20. Jahrhunderts von der Wahrscheinlichkeitstheorie bis zur theoretischen Physik revolutionieren sollte, zu ihrem methodischen Prinzip machte. [ 14 ]

Israel kommentiert auch den kulturellen Widerstand, zumindest in Frankreich und Italien, gegen dieses „deutsche Modell“ und seine internationale Reichweite. [ 14 ] Auf dem ersten Internationalen Mathematikerkongress wurden die Ansichten Henri Poincarés aus Frankreich zur mathematischen Physik vorgestellt; Hilberts Liste war ein Beitrag zum zweiten Kongress. [ 15 ] Die italienische Schule der algebraischen Geometrie verfolgte in Theoriebildung und Didaktik einen anderen Ansatz in Bezug auf axiomatische Arbeit. [ 16 ]

Zeitleiste der axiomatischen Systeme ab 1901

Bis 1950 erhielt ein Großteil der reinen Mathematik allgemein anerkannte axiomatische Grundlagen. In der axiomatischen Mengenlehre existierten mehrere Systeme nebeneinander . Die Mathematik wurde fortan in einem prägnanteren, weniger ausschweifenden, wenn auch weiterhin informellen Stil verfasst.

Andererseits geriet Hilberts Ansatz, die axiomatische Methode als fundamental anzusehen, in die Kritik. Ein Teil von L. E. J. Brouwers Kritik an Hilberts Gesamtprogramm führte zu einer Axiomatisierung der intuitionistischen Aussagenlogik durch Arend Heyting [ 17 ] . Dies ermöglichte es, den Konstruktivismus in der Mathematik mit dem Deduktivismus durch einen Austausch des logischen Kalküls unter dem Namen Brouwer-Heyting-Kolmogorov-Interpretation zu versöhnen .

Datum Autor Arbeiten Kommentare
1908 bis 1922Ernst Zermelo und Abraham FraenkelZermelo-Fraenkel-MengenlehreAufbauend auf der Zermelo-Mengenlehre von 1908 lieferte die Zermelo-Fraenkel-Theorie (ZF-Theorie) eine axiomatische Grundlage für die Mengenlehre mit einem präzisierten Axiomensystem (unter Beschränkung auf die Prädikatenlogik erster Stufe ). Mit dem zusätzlichen Auswahlaxiom bildete die ZFC-Theorie eine Arbeitsgrundlage für weite Teile der klassischen Mathematik. [ 18 ]
1910Ernst SteinitzAlgebraische Theorie des KörpersSteinitz gab unter dem Einfluss der Einführung der p-adischen Zahlen durch Kurt Hensel eine axiomatische Theorie des Körperbegriffs in der abstrakten Algebra. [ 19 ]
1911 bis 1913Alfred North Whitehead und Bertrand RussellPrincipia Mathematica (3 Bde.)Eine Arbeit, die sich dem Prinzip der axiomatischen Formalisierung der Mathematik widmet und die Paradoxien der Mengenlehre mithilfe einer eigenwilligen Version der Typentheorie (der verzweigten Typentheorie ) behandelt. Das System beinhaltet nicht das Extensionalitätsaxiom . [ 20 ] [ 21 ]
1913Hermann WeylDie Idee der Riemannschen Fläche [ 22 ]Weyl gab dem Riemannschen Flächenbegriff der komplexen Analysis eine axiomatische Behandlung, indem er ihn als eine komplexe Mannigfaltigkeit der Dimension eins in Bezug auf Umgebungssysteme definierte . [ 23 ]
1914Felix HausdorffGrundzüge der MengenlehreDas Buch enthielt Axiome für das, was heute als Hausdorffscher topologischer Raum bezeichnet wird , und baute auf Weyls Verwendung von Nachbarschaften auf. [ 23 ]
1915Maurice Fréchetabstrakte Maße auf MaßräumenDie Ideen des Lebesgue-Maßes und des zugehörigen Integrals, die zuerst auf der reellen Zahlengeraden und in euklidischen Räumen eingeführt wurden, wurden axiomatisch auf Mengensysteme angewendet . [ 24 ]
1920Stefan Banachvollständiger normierter VektorraumDer heute als Banachraum bekannte Raum ist der klassische Rahmen für die Funktionalanalysis ; ursprünglich wurde ein reeller Vektorraum angenommen. [ 25 ]
1921John Maynard KeynesEine Abhandlung über WahrscheinlichkeitKeynes' Werk ordnete die Wahrscheinlichkeitstheorie der Logik unter, beeinflusst von den Principia Mathematica . Es lieferte eine axiomatische Behandlung von Wahrscheinlichkeitsinterpretationen .
1921Emmy NoetherIdealtheorie in Ringbereichen [ 26 ]Noethers Arbeit führte die aufsteigende Kettenbedingung für Ideale als Axiom in kommutativen Ringen ein und begründete damit eine Unterklasse, die heute als noethersche Ringe bekannt ist . Sie ermöglichte einen direkten induktiven Beweis des Hilbertschen Basissatzes . Sie gilt außerdem als Beginn einer neuen Ära in der abstrakten Algebra. [ 27 ] [ 28 ]
1923Norbert WienerWiener-VerfahrenWiener konstruierte ein Maß, das ein stochastisches Prozessmodell der Brownschen Bewegung definiert . [ 29 ]
1932Oswald Veblen und JHC WhiteheadGrundlagen der Differentialgeometrie (1932)Die Arbeit lieferte die allgemein anerkannte axiomatische Definition der Differentialmannigfaltigkeit [ 30 ] , abgesehen von gewissen Problemen mit den Trennungsaxiomen .
1932John von NeumannMathematische Grundlagen der Quantenmechanik , Dirac-von-Neumann-AxiomeEin Beitrag zur mathematischen Formulierung der Quantenmechanik , der auf eine Arbeit von von Neumann aus dem Jahr 1927 zurückgeht und eine Axiomatisierung der Gründungswerke der Quantenmechanik vorschlägt , formal nach dem Vorbild der Notation von Paul Dirac . Er verwendete abstrakte Hilbertraummethoden und unbeschränkte Operatoren . [ 31 ]
1933Andrej KolmogorovWahrscheinlichkeitsaxiomeKolmogorows Arbeit ordnete die mathematische Wahrscheinlichkeit faktisch der Maßtheorie unter , ließ deren Interpretation aber offen. Sie baute daher Erwartungswerte auf dem Lebesgue-Integral auf . [ 32 ] Seit Georg Bohlmann zu Beginn des Jahrhunderts gab es zahlreiche axiomatische Formulierungen. Entscheidend war, die Wahrscheinlichkeit per Definition als σ-additive Mengenfunktion festzulegen . [ 33 ]
1945Samuel Eilenberg und Norman SteenrodEilenberg-Steenrod-AxiomeEs handelte sich um ein axiomatisches System für die Homologietheorie in der algebraischen Topologie , das die Entwicklungen seit Noethers Forderung widerspiegelte, Homologieklassen nach abstrakten algebraischen Prinzipien zu organisieren. [ 27 ]
1945–1950Laurent SchwartzTheorie der DistributionenUnter Verwendung der Dualität für topologische Vektorräume von Testfunktionen lieferte Schwartz eine einheitliche axiomatische Behandlung der Dirac-Delta-Funktion und einer Reihe anderer formaler Operatormethoden sowie die geometrische Stromtheorie . [ 34 ]

Situation Mitte des 20. Jahrhunderts

Drei herausragende Merkmale der Mathematik im Jahr 1950 waren:

Axiomatik à la Bourbaki

Bourbakis Ziel war eine umfassende Darstellung der Mathematik, die (a) axiomatisch sein und auf einer reduzierten logischen Grundlage der Mengenlehre basieren sollte; (b) in der Tradition Hilberts und der Göttinger Schule stehen, jedoch unter Ausschluss der Bedürfnisse der Physik und Informatik; (c) eine französische Rezeption der aktuellen Entwicklungen darstellen sollte. Die ersten Arbeiten entstanden in einer scharfen Reaktion junger Türken auf Édouard Goursats „ Cours d’analyse mathématique“ , ein Standardwerk der klassischen Analysis vom Beginn des 20. Jahrhunderts, und zugunsten von Bartel Leendert van der Waerdens „ Moderne Algebra“ zur abstrakten Algebra aus den frühen 1930er Jahren . [ 35 ]

Eine 1950 unter Pseudonym veröffentlichte Arbeit von Jean Dieudonné erläuterte Bourbakis Haltung zur axiomatischen Methode. [ 36 ] [ 37 ] Der Hauptvorteil axiomatischen Arbeitens liegt demnach in der Ausarbeitung mathematischer Formen oder Strukturen ; diese hat Vorrang vor der Grundlagenarbeit und der Klärung von Schlussfolgerungen . Dieudonnés Ausführungen waren ein Produkt seiner Zeit, eine Abkehr von Hilberts Ansätzen und stellten noch keine Annäherung an die Strukturtheorie im Sinne der Morphismen der Kategorientheorie dar . [ 37 ]

Zeitleiste der abstrakten Varietäten

Für seinen Beweis der Riemannschen Vermutung für Kurven über endlichen Körpern nutzte Weil die Jacobi-Matrix einer Kurve und einige Ergebnisse der Schnitttheorie . Da er über einem Körper der Charakteristik p und nicht über den komplexen Zahlen arbeitete , erforderte die Übertragung der klassischen Ergebnisse rein algebraische Beweise. Darüber hinaus verwendete er eine Konstruktion der Jacobi-Matrix als „abstrakte Varietät“: ein intrinsisches mathematisches Objekt und keine projektive algebraische Varietät in einem komplexen projektiven Raum .

Eine Generation später, mit der Veröffentlichung des Lehrbuchs „Algebraische Geometrie“ von Robin Hartshorne , erhielt der Begriff „abstrakte Varietät“ eine Standarddefinition innerhalb der Schematheorie . [ 38 ]

Datum Autor Arbeiten Kommentare
1882Richard Dedekind und Heinrich Martin WeberTheorie der algebraischen Funktionen einer VeränderlichenFür eine irreduzible algebraische Kurve C , definiert über den komplexen Zahlen, und ihren Funktionenkörper F betrachteten Dedekind und Weber einen Unterring R , sodass F der Quotientenkörper von C ist . Die Untersuchung der Ideale in R lieferte die Punkte von C bis auf endlich viele Ausnahmen. Dieser Ansatz eignete sich, um den Satz von Riemann-Roch zu beweisen . [ 39 ]
1910Ernst Steinitzalgebraischer AbschlussJeder Körper K besitzt einen algebraischen Abschluss, einen im Wesentlichen eindeutigen Körper, der aus allen Nullstellen aller Polynome in einer Variablen mit Koeffizienten in K besteht . [ 40 ] Der Inhalt des Fundamentalsatzes der Algebra besagt, dass die komplexen Zahlen den algebraischen Abschluss der reellen Zahlen bilden. Die algebraische Geometrie über einem beliebigen Körper K kann als Untersuchung der Lösungsmengen in seinem algebraischen Abschluss für Systeme von Polynomen in beliebiger Anzahl von Variablen verstanden werden.
ca. 1911–1921Heinrich Kornblum (1890–1914), Emil Artinlokale Zeta-FunktionenNachdem Kornblum in seiner Dissertation über ein Polynomring-Analogon des Dirichletschen Satzes über arithmetische Folgen das Analogon der Nichtverschwindung einer L-Funktion verwendet hatte , diskutierte Artin in seiner Dissertation „ Quadratische Körper im Gebiete der höheren Kongruenzen“ über hyperelliptische Kurven über einem endlichen Körper die erzeugende Funktion, die heute als lokale Zetafunktion einer Varietät über einem endlichen Körper bezeichnet wird. [ 41 ] Als rationale Funktion besaß sie offensichtliche Pole; ihre Nullstellen wurden, analog zur Riemannschen Vermutung , zu einem Forschungsthema .
1931Friedrich Karl SchmidtFunktionalgleichung für die lokale Zetafunktion von KurvenWeil bemerkte, dass sowohl Schmidts Arbeit, in der der Satz von Riemann-Roch zur Beweisführung eines Analogons der Riemannschen Funktionalgleichung angewendet wurde , als auch Hasses Satz über elliptische Kurven eine direkte Erweiterung der Dedekind-Weber-Grundlagen nutzten. Sie betrachteten den algebraischen Abschluss eines endlichen Körpers als Konstantenkörper. [ 42 ]
1932Wolfgang KrullAllgemeine Bewertungstheorie [ 43 ]Krull formulierte Axiome für den Bewertungsbegriff . Die Menge der Bewertungen des Funktionenkörpers einer algebraischen Varietät steht in Zusammenhang mit der birationalen Geometrie der Varietät; nur im Fall von Kurven ist die Beziehung zu Punkten der Varietät direkt. Die auf Bewertungen aufbauende Terminologie der Stellen wurde von den Geometern Oscar Zariski und Shreeram Abhyankar verwendet . [ 44 ] Zariski gab an, dass seine Arbeit ab den 1930er Jahren von der Arbeit von Dedekind und Weber beeinflusst wurde. [ 39 ]
1941André Weilabstrakte VarietätenWeil, der im Frühjahr 1941 in Princeton war, benötigte für seinen Beweis der Riemannschen Vermutung für Kurven über endlichen Körpern eine vollständige Grundlage und griff dabei auf die Jacobische Varietät über dem algebraischen Abschluss zurück. Später bemerkte er, dass die Algebraiker der Schule von Emmy Noether der birationalen Sichtweise der italienischen Geometer zu nahe standen: Sein Bedürfnis wurde durch den birationalen Ansatz zu Jacobischen Varietäten mittels symmetrischer Produkte nicht erfüllt . Er verwendete ein „Stück“ der Jacobischen Varietät mit ihrer additiven Struktur als „abstrakte“ Varietät. Er stellte dann fest, dass diese Idee bereits von Francesco Severi in „Trattato di geometria algebrica: pt. 1. Geometria delle serie lineari“ (1926), S. 283–284, angedeutet worden war. [ 45 ]
1944Oscar ZariskiZariskis abstrakte Riemannsche Fläche (Mannigfaltigkeit)Die Zariski-Topologie , die für affine Räume die algebraischen Mengen zu abgeschlossenen Mengen macht , entstand um 1941 nach einem Vortrag Zariskis auf einem Kolloquium in Princeton . [ 46 ] Nachdem sie einige Jahre lang als mathematisches Allgemeingut galt, veröffentlichte Zariski ein verwandtes Ergebnis für Bewertungsringe. Für einen Körper K und einen Unterring A betrachtete Zariski die Menge der Bewertungsringe in K , die A enthalten und deren Quotientenkörper gleich K ist . Diese Teilmengen aller solcher Bewertungsringe in K bildeten die Basis offener Mengen für eine Topologie; und Zariski bewies in geometrischen Fällen, dass der Raum der Bewertungsringe dadurch quasikompakt wird (d. h. nicht in allgemeinen Hausdorff-Räumen, aber mit der offenen Überdeckungseigenschaft kompakter Räume ). [ 47 ]
1942–1944André WeilDiagramme für abstrakte VarietätenNach eigenen Angaben verfasste Weil Kapitel VII seiner „ Grundlagen der algebraischen Geometrie“ , das einige Jahre später veröffentlicht wurde, unter bestimmten Arbeitsannahmen. Er übernahm die von ihm so genannte kartographische Methode , wie sie von Weyl, Hausdorff sowie Veblen und Whitehead angewendet worden war; die Zariski-Topologie, die für Varietäten noch nicht veröffentlicht und mit der birationalen Geometrie verbunden war, nutzte er nicht. Die Schnittzahl definierte er nur lokal. [ 48 ]
ca. 1954Claude ChevalleySchemas (Mark I)Chevalley entwickelte ein grundlegendes Konzept, das aus einer Menge lokaler Ringe besteht , wie beispielsweise den lokalen Ringen, die mit Bewertungen assoziiert sind. [ 49 ] Er hielt darüber 1954 in Japan einen Vortrag. [ 50 ] Mit der Einführung der Garbentheorie konnte man diesen Raum als Ringraum betrachten . Diese Definition war jedoch vorläufig.
ca. 1956Alexander GrothendieckSchematheorieMit der Definition eines Schemas als Ringraum, in dem jeder Punkt eine Umgebung der Form Spec( A ) besitzt, wobei A ein kommutativer Ring und Spec das Spektrum eines kommutativen Rings mit den Primidealen als Punkten bezeichnet, wurde ein neuer Ansatz für die axiomatischen, abstrakten Grundlagen der algebraischen Geometrie geschaffen . Grothendieck arbeitete 1956 im Seminar von Chevalley an der Theorie für noethersche Ringe. Die Theorie wurde in der Buchreihe „ Éléments de géométrie algébrique“ weiterentwickelt , die von Grothendieck und Dieudonné gemeinsam verfasst und 1958 begonnen wurde . [ 51 ]

Axiomatische QFT

Plausible Axiome für die Quantenfeldtheorie, die Wightman-Axiome , wurden von Arthur Wightman eingeführt . Der Bedarf an nicht-trivialen Beispielen für diese Axiome führte zur konstruktiven Quantenfeldtheorie , die durch die Arbeiten von Arthur Jaffe und Oscar Lanford in von Wightman Mitte der 1960er Jahre betreuten Doktorarbeiten angestoßen wurde. [ 52 ]

Diskussion axiomatischer Systeme

In der Mathematik bezeichnet Axiomatisierung den Prozess, bei dem ein Wissensbestand rückwärts zu seinen Axiomen entwickelt wird. Dabei wird ein System von Aussagen ( Axiomen ) formuliert, das eine Reihe grundlegender Begriffe miteinander verknüpft, sodass sich aus diesen Aussagen deduktiv ein konsistenter Satz von Propositionen ableiten lässt . Der Beweis jeder Proposition sollte sich prinzipiell auf diese Axiome zurückführen lassen. Axiomatisierung beinhaltet typischerweise Entscheidungen, und sobald eine Theorie axiomatisch ist, kann die Menge der Axiome geändert werden, ohne die impliziten mathematischen Ergebnisse zu beeinträchtigen.

Axiome und Postulate

In der altgriechischen Logik wurde ein Gegensatz zwischen Axiomen und Postulaten erkannt (wobei „Postulat“ allerdings ein aus dem Mittellateinischen stammender englischer Begriff ist). Dieser Gegensatz spiegelte, wenngleich er nicht konsequent angewendet wurde, die Auffassung wider, dass Axiome über grundlegende , allgemein anerkannte Begriffe sprachen , während Postulate als „Anfragen“ oder „Forderungen“ für Argumentationszwecke verstanden wurden . Aristoteles vertrat eine minimalistische Auffassung von Postulaten. [ 53 ]

Seit Booles Arbeiten in den 1840er Jahren wurde in der Tradition der Logikalgebra die Logik selbst ausschließlich aus Postulaten entwickelt. Gegen Ende des 19. Jahrhunderts wurde die minimalistische Sichtweise so verstanden, dass sie die Untersuchung der Unabhängigkeit der Axiome implizierte. Auch mathematische Eleganz spielte eine Rolle. [ 54 ] Friedrich Schur kritisierte die mangelnde Unabhängigkeit der Hilbertschen Geometrieaxiome in den Grundlagen der Geometrie . [ 55 ]

Zeitlicher Ablauf der Postulationsanalyse

Postulationsanalyse ist laut Susan Stebbing das, was „beim Aufbau eines deduktiven Systems “ verwendet wird. [ 56 ] Der Begriff wird für die Korrektur oder Anpassung axiomatischer Systeme verwendet. Axiome können dem System hinzugefügt oder daraus entfernt, verstärkt oder abgeschwächt werden. Auch der für die Deduktion verwendete logische Kalkül kann geändert werden.

Datum Autor Arbeiten Kommentare
4. Jahrhundert v. Chr. bis 3. Jahrhundert v. Chr.Euklid von AlexandriaDie ElementeDer von Euklid verwendete griechische Begriff war αἰτήματα (aitēmata). [ 53 ] Die gängige englische Übersetzung lautet „Postulat“. [ 57 ]
1882Moritz PaschPaschs AxiomPasch führte ein Axiom der ebenen Geometrie ein, das zwar nicht von Euklid bewiesen, aber stillschweigend von ihm verwendet wurde. [ 58 ] Es war keine Folge der euklidischen Axiome, d. h. es war unabhängig von Euklids System.
Tätigkeitszeitraum: 1890–1930Amerikanische SchulePostulattheorieAbrams schrieb: „Die Mathematik in den Vereinigten Staaten begann sich in Richtung einer nach innen gerichteten Betrachtungsweise und theoretischen Strenge zu entwickeln, wie sie sich bereits seit dem frühen 19. Jahrhundert in Ländern wie Frankreich und Deutschland herausgebildet hatte.“ Die Postulattheorie spielte in dieser besonderen Strömung der amerikanischen reinen Mathematik eine wichtige Rolle . [ 59 ] Scanlan verweist auf die „Standards für die Axiomatisierung mathematischer Theorien“ dieser Schule sowie auf ihre Arbeiten zu „ metatheoretischen Eigenschaften wie Unabhängigkeit , Vollständigkeit und Konsistenz “. E. V. Huntington und Oswald Veblen waren repräsentative Vertreter dieser Schule. Zusammen mit E. H. Moore und Robert Lee Moore trugen sie maßgeblich zur internationalen Entwicklung der axiomatischen Mathematik bei. [ 60 ] [ 61 ]
1904Oswald Veblenkategoriale TheorieVeblen nannte eine Theorie kategorisch, wenn sie im Wesentlichen nur ein Modell besitzt. [ 62 ]
1910Axel ThueDie Lösung eines Spezialfalles eines allgemeinen logischen ProblemsEr führte das Wortproblem für eine Gleichungstheorie ein , einen Aspekt der universellen Algebra. [ 63 ] [ 64 ]
1915Leopold LöwenheimÜber Möglichkeiten im RelativkalkülErste Form dessen, was heute als Satz von Löwenheim-Skolem bekannt ist , ein wichtiger Schritt zur Isolierung der Rolle in den Grundlagenarbeiten der Prädikatenlogik erster Stufe . Seine Arbeit wurde in den 1920er Jahren von Thoralf Skolem präzisiert und gestärkt. [ 65 ]
1926Adolf LindenbaumLindenbaum-Tarski-AlgebraLindenbaums Arbeit führte zur algebraischen Logik . [ 66 ]
1933Alfred TarskiDefinition von WahrheitTarskis Ansatz, der klar zwischen einer „Objektsprache“ und der zu ihrer Beschreibung verwendeten Metasprache unterscheidet, führte zu einer Modelltheorie, die auf der Wahrheitsdefinition mittels struktureller Induktion über Terme der Prädikatenlogik erster Stufe basiert. [ 67 ]
1935Garrett BirkhoffHSP-TheoremBirkhoff begründete die universelle Algebra neu und orientierte sich dabei bewusst am Titel von Whiteheads Buch aus der vorherigen Generation, das sich um das Konzept der „Varietäten der Algebra“ drehte. Bei älteren Beispielen wie der Booleschen Algebra und den Quaternionen lagen die Motivationen in den freien Algebren und in Anwendungen aus der Ordnungstheorie , wie etwa dem modularen Verband , den Øystein Ore im Kontext von Noethers Schule der abstrakten Algebra nutzte . [ 68 ]
1950er JahreTarski-Schule in Berkeleyklassische ModelltheorieDie Modelltheorie, die maßgeblich von Schülern Tarskis an der University of California, Berkeley ab 1942 entwickelt wurde, nutzte frühere Arbeiten, um eine prinzipiengeleitete Semantik für axiomatische Systeme innerhalb der mathematischen Logik zu entwickeln . [ 69 ]
2024Terence TaoGleichungstheorien-Projekt [ 70 ]Ein Projekt zur vollständigen Kalibrierung von Theorien in Gleichungslogik für ein Magma , wobei die binäre Operation maximal viermal verwendet wird. Eine partielle Ordnung der Theorien bewirkt T ≤ U, wenn T alle von U implizierten Theoreme impliziert . Ziel des Projekts war es, alle Fälle von ≤ zu bestimmen, um ein genaues Hasse-Diagramm der partiellen Ordnung zu erstellen. In einigen Fällen wurde Beweisassistenzsoftware verwendet. Das Projekt wurde im April 2025 abgeschlossen. [ 71 ]

Eigenschaften

Vier wichtige Eigenschaften eines Axiomensystems sind Konsistenz, relative Konsistenz, Vollständigkeit und Unabhängigkeit. Ein Axiomensystem heißt konsistent , wenn es widerspruchsfrei ist . Das heißt, es ist unmöglich, sowohl eine Aussage als auch deren Negation aus den Axiomen des Systems abzuleiten. [ 72 ] Konsistenz ist eine zentrale Voraussetzung für die meisten Axiomensysteme, da Widersprüche den Beweis jeder beliebigen Aussage ermöglichen würden ( Explosionsprinzip ). Relative Konsistenz kommt zum Tragen, wenn die Konsistenz eines Axiomensystems nicht bewiesen werden kann. In manchen Fällen lässt sich jedoch zeigen, dass ein Axiomensystem A konsistent ist, wenn ein anderes Axiomensystem B konsistent ist. [ 72 ]

In einem axiomatischen System heißt ein Axiom unabhängig , wenn es nicht aus anderen Axiomen des Systems bewiesen oder widerlegt werden kann. Ein System heißt unabhängig, wenn jedes seiner zugrunde liegenden Axiome unabhängig ist. [ 72 ] Im Gegensatz zur Konsistenz ist Unabhängigkeit in vielen Fällen keine notwendige Voraussetzung für ein funktionierendes axiomatisches System – obwohl sie in der Regel angestrebt wird, um die Anzahl der Axiome im System zu minimieren.

Ein axiomatisches System heißt vollständig, wenn sich aus jeder Aussage entweder die Aussage selbst oder ihre Negation aus den Axiomen des Systems ableiten lässt, d. h. jede Aussage kann mithilfe der Axiome als wahr oder falsch bewiesen werden. [ 72 ] [ 73 ] Es ist jedoch zu beachten, dass es in manchen Fällen unentscheidbar sein kann , ob eine Aussage bewiesen werden kann oder nicht.

Axiome und Modelle

Ein Modell für ein Axiomensystem ist eine formale Struktur , die den undefinierten Begriffen des Systems eine Bedeutung zuweist, die mit den im System definierten Relationen übereinstimmt. Besitzt ein Axiomensystem ein Modell, so gelten die Axiome als erfüllt . [ 74 ] Die Existenz eines Modells, das ein Axiomensystem erfüllt, beweist die Konsistenz des Systems. [ 75 ]

Modelle können auch verwendet werden, um die Unabhängigkeit eines Axioms im System zu zeigen. Durch die Konstruktion eines Modells für ein Teilsystem (ohne ein bestimmtes Axiom) lässt sich zeigen, dass das ausgelassene Axiom unabhängig ist, wenn seine Korrektheit nicht notwendigerweise aus dem Teilsystem folgt. [ 74 ]

Zwei Modelle heißen isomorph , wenn zwischen ihren Elementen eine bijektive Zuordnung gefunden werden kann, die ihre Beziehung erhält. [ 76 ] Ein axiomatisches System, in dem jedes Modell zu einem anderen isomorph ist, wird als kategorial bezeichnet. Dieser Begriff sollte jedoch nicht mit der Kategorientheorie verwechselt werden . Die Kategorizität gewährleistet die Vollständigkeit eines Systems, die Umkehrung gilt jedoch nicht: Vollständigkeit garantiert nicht die Kategorizität eines Systems, da sich zwei Modelle in Eigenschaften unterscheiden können, die nicht durch die Semantik des Systems ausgedrückt werden können.

Unvollständigkeit

Ist das formale System unvollständig , lässt sich nicht jeder Beweis auf die Axiome des zugehörigen Systems zurückführen. Beispielsweise kann eine zahlentheoretische Aussage in der Sprache der Arithmetik (d. h. der Sprache der Peano-Axiome) formuliert werden, und es kann ein Beweis gegeben werden, der auf Topologie oder komplexe Analysis zurückgreift . Es ist möglicherweise nicht unmittelbar ersichtlich, ob sich ein weiterer Beweis finden lässt, der sich ausschließlich aus den Peano-Axiomen ableitet.

Siehe auch

Referenzen

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Weiterführende Literatur