Galois-Erweiterung

In der Mathematik ist eine Galois-Erweiterung eine algebraische Körpererweiterung E / F , die normal und separabel ist ; ^{[ 1 ]} oder äquivalent dazu: E / F ist algebraisch, und der durch die Automorphismengruppe Aut( E / F ) fixierte Körper ist genau der Basiskörper F. Die Bedeutung einer Galois-Erweiterung liegt darin, dass sie eine Galoisgruppe besitzt und den Fundamentalsatz der Galoistheorie erfüllt . ^{[ a ]}

Ein Ergebnis von Emil Artin erlaubt die Konstruktion von Galois-Erweiterungen wie folgt: Ist E ein gegebener Körper und G eine endliche Gruppe von Automorphismen von E mit festem Körper F , so ist E / F eine Galois-Erweiterung. ^{[ 2 ]}

Die Eigenschaft einer Erweiterung, Galois zu sein, verhält sich gut in Bezug auf Körperkomposition und Schnittmenge . ^{[ 3 ]}

Ein wichtiger Satz von Emil Artin besagt, dass für eine endliche Erweiterung jede der folgenden Aussagen äquivalent zu der Aussage ist, dass sie Galois ist: ${\displaystyle E/F,}$${\displaystyle E/F}$

• ${\displaystyle E/F}$ist eine normale Erweiterung und eine trennbare Erweiterung .
• ${\displaystyle E}$ist ein Zerfällungskörper eines separablen Polynoms mit Koeffizienten in${\displaystyle F.}$
• ${\displaystyle |\!\operatorname {Aut} (E/F)|=[E:F],}$Das heißt, die Anzahl der Automorphismen entspricht dem Grad der Erweiterung.

Andere gleichwertige Aussagen sind:

• Jedes irreduzible Polynom in mit mindestens einer Wurzel in zerfällt über und ist separierbar.${\displaystyle F[x]}$${\displaystyle E}$${\displaystyle E}$
• ${\displaystyle |\!\operatorname {Aut} (E/F)|\geq [E:F],}$Das heißt, die Anzahl der Automorphismen ist mindestens so groß wie der Grad der Erweiterung.
• ${\displaystyle F}$ist der Fixkörper einer Untergruppe von${\displaystyle \operatorname {Aut} (E).}$
• ${\displaystyle F}$ist das feste Feld von${\displaystyle \operatorname {Aut} (E/F).}$
• Es besteht eine Eins-zu-Eins- Korrespondenz zwischen Teilgebieten von und Untergruppen von${\displaystyle E/F}$${\displaystyle \operatorname {Aut} (E/F).}$

Eine unendliche Körpererweiterung heißt Galois-Gruppe genau dann, wenn sie die Vereinigung endlicher Galois-Teilerweiterungen ist, die durch eine (unendliche) Indexmenge indiziert werden , d. h. und die Galois-Gruppe ein inverser Limes ist , wobei das inverse System durch Körperinklusion geordnet ist . ^{[ 4 ]}${\displaystyle E/F}$${\displaystyle E}$${\displaystyle E_{i}/F}$${\displaystyle I}$${\displaystyle E=\bigcup _{i\in I}E_{i}}$${\displaystyle \operatorname {Aut} (E/F)=\varprojlim _{i\in I}{\operatorname {Aut} (E_{i}/F)}}$${\displaystyle E_{i}\subset E_{j}}$

Es gibt zwei grundlegende Wege, Beispiele für Galois-Erweiterungen zu konstruieren.

• Sei ein beliebiger Körper , eine beliebige endliche Untergruppe von , und sei der feste Körper.${\displaystyle E}$${\displaystyle \operatorname {Aut} (E)}$${\displaystyle F}$
• Sei ein beliebiger Körper , ein beliebiges separables Polynom in und sei sein Zerfällungskörper .${\displaystyle F}$${\displaystyle F[x]}$${\displaystyle E}$

Die Addition der Quadratwurzel aus 2 an den Körper der rationalen Zahlen ergibt eine Galois-Erweiterung, während die Addition der Kubikwurzel aus 2 eine Nicht-Galois-Erweiterung liefert. Beide Erweiterungen sind separabel, da sie die Charakteristik Null besitzen . Die erste ist der Zerfällungskörper von ; die zweite besitzt einen normalen Abschluss , der die komplexen Kubikwurzeln der Einheit enthält , und ist daher kein Zerfällungskörper. Tatsächlich besitzt sie außer der Identität keinen Automorphismus, da sie in den reellen Zahlen enthalten ist und nur eine reelle Wurzel hat. Weitere Beispiele finden sich auf der Seite zum Fundamentalsatz der Galoistheorie . ${\displaystyle x^{2}-2}$${\displaystyle x^{3}-2}$

Ein algebraischer Abschluss eines beliebigen Körpers ist genau dann ein Galoiskörper über , wenn ein perfekter Körper ist . ${\displaystyle {\bar {K}}}$${\displaystyle K}$${\displaystyle K}$${\displaystyle K}$