Mathematik und Kunst

Mathematik und Kunst sind auf vielfältige Weise miteinander verbunden. Die Mathematik selbst wurde bereits als eine von Schönheit motivierte Kunstform beschrieben . Mathematik lässt sich in Kunstformen wie Musik , Tanz , Malerei , Architektur , Bildhauerei und Textilkunst erkennen . Dieser Artikel konzentriert sich jedoch auf die Mathematik in den bildenden Künsten.

Mathematik und Kunst verbindet eine lange Geschichte. Künstler nutzten Mathematik bereits seit dem 4. Jahrhundert v. Chr., als der griechische Bildhauer Polyklet seinen Kanon verfasste und darin Proportionen für den idealen männlichen Akt vorschrieb , die vermutlich auf dem Verhältnis 1: √2 basierten . Immer wieder wird behauptet, der Goldene Schnitt habe in der antiken Kunst und Architektur Anwendung gefunden , jedoch ohne verlässliche Beweise. In der italienischen Renaissance verfasste Luca Pacioli die einflussreiche Abhandlung „De divina proportione “ (1509), illustriert mit Holzschnitten von Leonardo da Vinci , über die Verwendung des Goldenen Schnitts in der Kunst. Der italienische Maler Piero della Francesca entwickelte Euklids Ideen zur Perspektive in Abhandlungen wie „De Prospectiva Pingendi“ und in seinen Gemälden weiter. Der Kupferstecher Albrecht Dürer bezog sich in seinem Werk „Melencolia I“ mehrfach auf die Mathematik . In der Moderne nutzte der Grafiker M. C. Escher, unterstützt vom Mathematiker H. S. M. Coxeter , intensiv Parkettierungen und hyperbolische Geometrie , während die von Theo van Doesburg und Piet Mondrian angeführte De-Stijl- Bewegung geometrische Formen explizit einbezog. Die Mathematik inspirierte textile Künste wie Quilten , Stricken , Kreuzstich , Häkeln , Sticken , Weben , die Herstellung türkischer und anderer Teppiche sowie Kelims . In der islamischen Kunst finden sich Symmetrien in so unterschiedlichen Formen wie persischen Girih- und marokkanischen Zellige- Fliesen, durchbrochenen Steinschirmen der Mogulzeit ( Jali ) und den weit verbreiteten Muqarnas- Gewölben.

Die Mathematik hat die Kunst durch konzeptionelle Werkzeuge wie die lineare Perspektive , die Symmetrieanalyse und mathematische Objekte wie Polyeder und das Möbiusband direkt beeinflusst . Magnus Wenninger schuf farbenfrohe Sternpolyeder , ursprünglich als Lehrmodelle. Mathematische Konzepte wie Rekursion und logische Paradoxien finden sich in Gemälden von René Magritte und in Stichen von M. C. Escher wieder. Computerkunst verwendet häufig Fraktale , darunter die Mandelbrotmenge , und erforscht mitunter andere mathematische Objekte wie zelluläre Automaten . Der Künstler David Hockney argumentierte kontrovers, dass Künstler von der Renaissance bis heute die Camera lucida nutzten , um Szenen präzise darzustellen; der Architekt Philip Steadman vertrat eine ähnliche Ansicht und behauptete, Vermeer habe die Camera obscura in seinen detailreichen Gemälden verwendet .

Weitere Zusammenhänge umfassen die algorithmische Analyse von Kunstwerken mittels Röntgenfluoreszenzspektroskopie , die Erkenntnis, dass traditionelle Batiken aus verschiedenen Regionen Javas unterschiedliche fraktale Dimensionen aufweisen , und Anregungen für die mathematische Forschung, insbesondere Filippo Brunelleschis Perspektiventheorie, die schließlich zu Girard Desargues ’ projektiver Geometrie führte . Eine hartnäckige Ansicht, die letztlich auf dem pythagoreischen Harmoniebegriff in der Musik basiert, besagt, dass alles durch Zahlen geordnet wurde, dass Gott der Geometer der Welt ist und dass daher die Geometrie der Welt heilig ist .

Polyklet der Ältere (ca. 450–420 v. Chr.) war ein griechischer Bildhauer der Schule von Argos und ein Zeitgenosse des Phidias . Seine Werke und Statuen bestanden hauptsächlich aus Bronze und stellten Athleten dar. Laut dem Philosophen und Mathematiker Xenokrates zählt Polyklet aufgrund seiner Arbeiten am Doryphoros und der Hera -Statue im Heraion von Argos zu den bedeutendsten Bildhauern der klassischen Antike . ^{[ 3 ]} Obwohl seine Skulpturen nicht so berühmt sind wie die des Phidias, werden sie hoch geschätzt. In seinem Kanon , einer Abhandlung über die „perfekten“ Körperproportionen des männlichen Aktes, beschreibt Polyklet einen mathematischen Ansatz zur Darstellung des menschlichen Körpers. ^{[ 3 ]}

Der Kanon selbst ist verloren gegangen, aber es wird vermutet, dass Polyklet eine Folge von Proportionen verwendete , wobei jede Länge der Diagonalen eines auf dem Vorgänger gezeichneten Quadrats entspricht, 1: √2 (etwa 1:1,4142). ^{[ 4 ]}

Der Einfluss des Polyklet- Kanons auf die klassische griechische , römische und Renaissance- Skulptur ist immens , und viele Bildhauer folgten Polyklets Vorgaben. Obwohl keine Originalwerke Polyklets erhalten sind, belegen römische Kopien sein Ideal von körperlicher Perfektion und mathematischer Präzision. Einige Gelehrte argumentieren, dass pythagoreisches Gedankengut den Polyklet- Kanon beeinflusst hat . ^{[ 5 ]} Der Kanon wendet die grundlegenden mathematischen Konzepte der griechischen Geometrie an, wie Verhältnis, Proportion und Symmetrie (griechisch für „harmonische Proportionen“), und entwickelt daraus ein System, das die menschliche Gestalt durch eine Reihe kontinuierlicher geometrischer Progressionen beschreibt . ^{[ 4 ]}

In der Antike verkleinerten Maler entfernte Figuren nicht mithilfe der linearen Perspektive , sondern passten die Größe von Objekten und Figuren ihrer thematischen Bedeutung an. Im Mittelalter nutzten einige Künstler die umgekehrte Perspektive , um bestimmte Aspekte hervorzuheben. Der muslimische Mathematiker Alhazen (Ibn al-Haytham) beschrieb 1021 in seinem Werk „Das Buch der Optik“ eine Theorie der Optik , wandte sie jedoch nie auf die Kunst an. ^{[ 6 ]} Die Renaissance brachte eine Wiedergeburt der klassischen griechischen und römischen Kultur und ihrer Ideen mit sich, darunter auch das Studium der Mathematik zum Verständnis von Natur und Kunst . Zwei Hauptmotive trieben Künstler im späten Mittelalter und in der Renaissance zur Mathematik. Erstens mussten Maler herausfinden, wie sie dreidimensionale Szenen auf einer zweidimensionalen Leinwand darstellen konnten. Zweitens waren Philosophen und Künstler gleichermaßen überzeugt, dass die Mathematik das wahre Wesen der physischen Welt ausmachte und dass das gesamte Universum, einschließlich der Künste, geometrisch erklärt werden konnte. ^{[ 7 ]}

Die Grundlagen der Perspektive wurden mit Giotto (1266/67–1337) gelegt, der versuchte, mithilfe einer algebraischen Methode zur Bestimmung der Position entfernter Linien perspektivisch zu zeichnen. 1415 demonstrierten der italienische Architekt Filippo Brunelleschi und sein Freund Leon Battista Alberti in Florenz die geometrische Methode der Perspektivendarstellung. Sie verwendeten ähnliche Dreiecke nach Euklid, um die scheinbare Höhe entfernter Objekte zu ermitteln. ^{[ 8 ] [ 9 ]} Brunelleschis eigene Perspektivgemälde sind verloren gegangen, doch Masaccios Gemälde der Heiligen Dreifaltigkeit veranschaulicht seine Prinzipien. ^{[ 6 ] [ 10 ] [ 11 ]}

Der italienische Maler Paolo Uccello (1397–1475) war von der Perspektive fasziniert, wie seine Gemälde der Schlacht von San Romano (um 1435–1460) zeigen: Zerbrochene Lanzen liegen praktischerweise entlang der Perspektivlinien. ^{[ 12 ] [ 13 ]}

Der Maler Piero della Francesca (ca. 1415–1492) verkörperte diesen neuen Gedankengang der italienischen Renaissance. Er war ein Experte für Mathematik und Geometrie und verfasste Werke zur Raumgeometrie und Perspektive , darunter „De prospectiva pingendi“ (Über die Perspektive in der Malerei) , „Trattato d’Abaco“ (Abhandlung über den Abakus) und „De quinque corporibus regularibus “ (Über die fünf regulären Körper) . ^{[ 14 ] [ 15 ] [ 16 ]} Der Historiker Vasari bezeichnet Piero in seinen „ Lebensbeschreibungen der Maler“ als den „größten Geometer seiner Zeit, vielleicht sogar aller Zeiten“. ^{[ 17 ]} Pieros Interesse an der Perspektive zeigt sich in seinen Gemälden, darunter das Polyptychon von Perugia , ^{[ 18 ]} der San-Agostino-Altar und die Geißelung Christi . Seine Arbeiten zur Geometrie beeinflussten spätere Mathematiker und Künstler, darunter Luca Pacioli mit seinem Werk „De divina proportione “ und Leonardo da Vinci . Piero studierte klassische Mathematik und die Werke des Archimedes . ^{[ 19 ]} Er wurde in Abakusschulen in kaufmännischer Arithmetik unterrichtet; seine Schriften sind wie Abakusschulbücher aufgebaut, ^{[ 20 ]} möglicherweise auch Leonardo Pisanos ( Fibonacci ) „Liber Abaci“ von 1202. Die Linearperspektive hielt gerade Einzug in die Kunstwelt. Alberti erklärte 1435 in seinem Werk „De pictura“ : „Lichtstrahlen verlaufen geradlinig von Punkten der beobachteten Szene zum Auge und bilden eine Art Pyramide mit dem Auge als Spitze.“ Ein Gemälde in Linearperspektive ist ein Querschnitt dieser Pyramide. ^{[ 21 ]}

In „De Prospectiva Pingendi“ wandelt Piero seine empirischen Beobachtungen zur Veränderung von Aspekten einer Figur in Abhängigkeit vom Blickwinkel in mathematische Beweise um. Seine Abhandlung beginnt in der Tradition Euklids: Er definiert den Punkt als „das Kleinste, was das Auge erfassen kann“. ^{[ a ] [ 7 ]} Mithilfe deduktiver Logik führt er den Leser zur perspektivischen Darstellung eines dreidimensionalen Körpers. ^{[ 22 ]}

Der Künstler David Hockney argumentierte in seinem Buch „Secret Knowledge: Rediscovering the Lost Techniques of the Old Masters“ , dass Künstler ab den 1420er Jahren begannen, eine Camera lucida zu verwenden, was zu einem sprunghaften Wandel in Präzision und Realismus führte, und dass diese Praxis von bedeutenden Künstlern wie Ingres , Van Eyck und Caravaggio fortgeführt wurde . ^{[ 23 ]} Die Kritiker sind sich uneins darüber, ob Hockney Recht hatte. ^{[ 24 ] [ 25 ]} Ähnlich argumentierte der Architekt Philip Steadman kontrovers ^{[ 26 ]} , dass Vermeer ein anderes Hilfsmittel, die Camera obscura , verwendet habe, um seine unverwechselbar beobachtenden Gemälde zu schaffen. ^{[ 27 ]}

1509 veröffentlichte Luca Pacioli (ca. 1447–1517) „De divina proportione“ über mathematische und künstlerische Proportionen , unter anderem im menschlichen Gesicht. Leonardo da Vinci (1452–1519) illustrierte den Text mit Holzschnitten regelmäßiger Körper, während er in den 1490er Jahren bei Pacioli studierte. Leonardos Zeichnungen sind vermutlich die ersten Darstellungen von Skelettkörpern. ^{[ 28 ]} Diese, wie beispielsweise das Rhombikuboktaeder , gehörten zu den ersten, die zur Veranschaulichung der Perspektive durch Überlagerung gezeichnet wurden. Das Werk erörtert die Perspektive in den Werken von Piero della Francesca , Melozzo da Forlì und Marco Palmezzano . ^{[ 29 ]} Leonardo studierte Paciolis „ Summa“ , aus der er Proportionstabellen kopierte. ^{[ 30 ]} In der Mona Lisa und im Abendmahl nutzte Leonardo die lineare Perspektive mit Fluchtpunkt , um Tiefe zu erzeugen. ^{[ 31 ]} Das Abendmahl ist im präzisen Verhältnis 12:6:4:3 komponiert, ebenso wie Raffaels Die Schule von Athen , die Pythagoras mit einer für die Pythagoreer heiligen Tafel idealer Proportionen zeigt. ^{[ 32 ] [ 33 ]} Im Vitruvianischen Menschen setzte Leonardo die Ideen des römischen Architekten Vitruv um, indem er die männliche Figur innovativ zweimal darstellte und sie sowohl in einem Kreis als auch in einem Quadrat zentrierte. ^{[ 34 ]}

Bereits im 15. Jahrhundert fand die Kurvenperspektive Eingang in Gemälde von Künstlern, die sich für Bildverzerrungen interessierten. Jan van Eycks Arnolfini-Porträt von 1434 enthält einen konvexen Spiegel mit Spiegelbildern der dargestellten Personen ^{[ 35 ]} , während Parmigianinos Selbstporträt im konvexen Spiegel (um 1523–1524) das weitgehend unverzerrte Gesicht des Künstlers im Zentrum zeigt, vor einem stark gekrümmten Hintergrund und der Hand des Künstlers am Rand ^{[ 36 ] .}

Dreidimensionale Räume lassen sich in der Kunst, wie beispielsweise im technischen Zeichnen , auch mit anderen Mitteln als der Perspektive überzeugend darstellen. Schräge Projektionen , darunter die Kavalierperspektive (die von französischen Militärmalern im 18. Jahrhundert zur Darstellung von Festungsanlagen verwendet wurde), wurden von chinesischen Künstlern vom ersten oder zweiten Jahrhundert bis ins 18. Jahrhundert kontinuierlich und weit verbreitet eingesetzt. Die Chinesen übernahmen diese Technik von Indien, welches sie wiederum vom antiken Rom erworben hatte. Schräge Projektionen finden sich auch in der japanischen Kunst, etwa in den Ukiyo-e- Gemälden von Torii Kiyonaga (1752–1815). ^{[ 37 ]}

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  Holzschnitt aus Luca Paciolis Werk „De divina proportione“ von 1509 mit einem gleichseitigen Dreieck auf einem menschlichen Gesicht
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  Die Camera lucida im Einsatz. Scientific American , 1879
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  Illustration eines Künstlers, der eine Camera obscura benutzt , 17. Jahrhundert
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  Proportion: Leonardos Vitruvianischer Mensch , um 1490
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  Brunelleschis Perspektiventheorie : Masaccios Trinità , ca.​ 1426–1428, in der Basilika Santa Maria Novella
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  Diagramm aus Leon Battista Albertis Della Pittura von 1435 , mit perspektivischen Säulen auf einem Gitter
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  Linearperspektive in Piero della Francescas Geißelung Christi , ca. 1455–1460
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  Kurvenperspektive : konvexer Spiegel in Jan van Eycks Arnolfini -Porträt , 1434
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  Parmigianino , Selbstporträt in einem konvexen Spiegel , ca. 1523–1524
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  Pythagoras mit einer Tafel der Verhältnisse, in Raffaels Die Schule von Athen , 1509
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  Schrägansicht : Eingang und Hof eines Yamen . Detail einer Schriftrolle über Suzhou von Xu Yang, im Auftrag des Qianlong-Kaisers . 18. Jahrhundert
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  Schräge Projektion : Frauen beim Spielen von Shogi , Go und Ban-sugoroku . Gemälde von Torii Kiyonaga , Japan, um 1780.

Der Goldene Schnitt (etwa 1,618) war Euklid bekannt . ^{[ 38 ]} In der Neuzeit wurde immer wieder behauptet, der Goldene Schnitt sei von den alten Ägyptern, Griechen und anderen Völkern in Kunst und Architektur verwendet worden, ^{[ 39 ] [ 40 ] [ 41 ] [ 42 ] jedoch ohne verlässliche Beweise. [ 43 ]} Diese Behauptung beruht möglicherweise auf einer Verwechslung mit dem „Goldenen Schnitt“, der für die alten Griechen „Vermeidung von Übertreibungen in beide Richtungen“ und kein Verhältnis bedeutete. ^{[ 43 ]} Pyramidenforscher argumentieren seit dem 19. Jahrhundert auf zweifelhafter mathematischer Grundlage für die Verwendung des Goldenen Schnitts im Pyramidenbau. ^{[ b ]} Beim Parthenon , einem Tempel aus dem 5. Jahrhundert v. Chr. in Athen, wurde behauptet, der Goldene Schnitt sei in Fassade und Grundriss verwendet worden, ^{[ 47 ] [ 48 ] [ 49 ]} doch auch diese Behauptungen sind durch Messungen widerlegt. ^{[ 43 ]} Auch die Große Moschee von Kairouan in Tunesien soll nach dem Goldenen Schnitt entworfen worden sein, ^{[ 50 ]} doch findet sich dieses Verhältnis nicht in den ursprünglichen Teilen der Moschee. ^{[ 51 ]} Der Architekturhistoriker Frederik Macody Lund argumentierte 1919, dass die Kathedrale von Chartres (12. Jahrhundert), Notre-Dame de Laon (1157–1205) und Notre-Dame de Paris (1160) nach dem Goldenen Schnitt entworfen wurden, ^{[ 52 ]} und zog zur Untermauerung seiner These Richtlinien. Andere Wissenschaftler argumentieren, dass der Goldene Schnitt bis zu Paciolis Werk im Jahr 1509 Künstlern und Architekten unbekannt war. ^{[ 53 ]} So beträgt beispielsweise das Verhältnis von Höhe zu Breite der Fassade von Notre-Dame de Laon 8/5 oder 1,6, nicht 1,618. Solche Fibonacci-Verhältnisse sind vom Goldenen Schnitt nur schwer zu unterscheiden. ^{[ 54 ]} Nach Pacioli ist der Goldene Schnitt in Kunstwerken wie Leonardos Mona Lisa deutlicher erkennbar . ^{[ 55 ]}

Ein weiteres Verhältnis, die einzige andere morphische Zahl, ^{[ 56 ]} wurde 1928 von dem niederländischen Architekten Hans van der Laan als plastische Zahl ^{[ c ]} bezeichnet (ursprünglich auf Französisch „le nombre radiant “ genannt). ^{[ 57 ]} Ihr Wert ist die Lösung der kubischen Gleichung

${\displaystyle x^{3}=x+1\,}$,

eine irrationale Zahl, die ungefähr 1,325 beträgt. Laut dem Architekten Richard Padovan weist diese charakteristische Verhältnisse auf .3/4und​​1/7⁠ , die die Grenzen der menschlichen Wahrnehmung bei der Beziehung zwischen physikalischen Größen festlegen. Van der Laan verwendete diese Verhältnisse beim Entwurf der Abteikirche St. Benedictusberg in den Niederlanden im Jahr 1967. ^{[ 57 ]}

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  Die Basis-Hypotenuse-Verhältnisse (b:a) der Cheopspyramide könnten sein: 1:φ ( Kepler-Dreieck ), 3:5 ( 3-4-5-Dreieck ) oder 1:4/π.
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  Vermutete Verhältnisse: Notre-Dame von Laon
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  Goldene Rechtecke, die auf die Mona Lisa projiziert wurden
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  Die 1967 von Hans van der Laan entworfene Abteikirche St. Benedictusberg weist plastische Proportionen auf.

Planare Symmetrien werden seit Jahrtausenden in Kunstwerken wie Teppichen , Gittern, Textilien und Fliesen genutzt. ^{[ 59 ] [ 60 ] [ 61 ] [ 62 ]}

Viele traditionelle Teppiche, ob Flor- oder Flachgewebe- Kelims , sind in ein Mittelfeld und eine Bordüre unterteilt. Beide können symmetrisch sein, wobei diese Symmetrien bei handgewebten Teppichen oft durch kleine Details, Mustervariationen und Farbnuancen des Webers leicht unterbrochen werden. ^{[ 59 ]} Bei Kelims aus Anatolien sind die verwendeten Motive in der Regel symmetrisch. Auch die allgemeine Anordnung ist meist symmetrisch, beispielsweise Streifen, abwechselnd Streifen und Motivreihen oder dichte Anordnungen annähernd sechseckiger Motive. Das Feld ist üblicherweise wie eine Tapete mit einer Tapetengruppe wie PMM gestaltet, während die Bordüre als Fries der Friesgruppen PM11, PMM2 oder PMA2 ausgeführt sein kann . Türkische und zentralasiatische Kelims weisen oft drei oder mehr Bordüren in verschiedenen Friesgruppen auf. Die Weber beabsichtigten zweifellos Symmetrie, ohne deren mathematische Grundlagen explizit zu kennen. ^{[ 59 ]} Der Mathematiker und Architekturtheoretiker Nikos Salingaros vermutet, dass die „kraftvolle Präsenz“ ^{[ 58 ]} (ästhetische Wirkung) eines „großartigen Teppichs“ ^{[ 58 ]} , wie beispielsweise der besten Konya-Zwei-Medaillon-Teppiche des 17. Jahrhunderts, durch mathematische Techniken entsteht, die mit den Theorien des Architekten Christopher Alexander verwandt sind . Zu diesen Techniken gehören das Verbinden von Gegensätzen; kontrastierende Farbwerte; die geometrische Differenzierung von Bereichen, sei es durch komplementäre Formen oder durch den Ausgleich der Richtung spitzer Winkel; die Schaffung von Komplexität im kleinen Maßstab (von der Knotenebene aufwärts) und sowohl kleiner als auch großer Symmetrie; sowie die Wiederholung von Elementen in einer Hierarchie unterschiedlicher Maßstäbe (mit einem Verhältnis von etwa 2,7 zwischen den Ebenen). Salingaros argumentiert, dass „alle gelungenen Teppiche mindestens neun der oben genannten zehn Regeln erfüllen“ und schlägt vor, dass es möglich sein könnte, aus diesen Regeln eine Metrik zu entwickeln. ^{[ 58 ]}

Aufwendige Gittermuster finden sich in der indischen Jali- Kunst, die aus Marmor gehauen wird und Gräber und Paläste schmückt. ^{[ 60 ]} Chinesische Gittermuster, die stets eine gewisse Symmetrie aufweisen, sind in 14 der 17 Tapetengruppen vertreten; sie besitzen häufig Spiegel-, Doppelspiegel- oder Rotationssymmetrie. Einige weisen ein zentrales Medaillon auf, andere einen Bordürenrand innerhalb einer Friesgruppe. ^{[ 63 ]} Viele chinesische Gittermuster wurden von Daniel S. Dye mathematisch analysiert; er identifiziert Sichuan als Zentrum dieser Kunstform. ^{[ 64 ]}

Symmetrien spielen in der Textilkunst eine wichtige Rolle, beispielsweise beim Quilten ^{[ 61 ]} , Stricken ^{[ 65 ]} , Kreuzstich , Häkeln ^{[ 66 ]} , Sticken ^{[ 67 ] [ 68 ]} und Weben ^{[ 69 ]} . Sie können rein dekorativ sein oder Statussymbole darstellen. ^{[ 70 ]} Rotationssymmetrie findet sich in kreisförmigen Strukturen wie Kuppeln ; diese sind mitunter aufwendig innen und außen mit symmetrischen Mustern verziert, wie beispielsweise die Scheich-Lotfollah-Moschee in Isfahan aus dem Jahr 1619. ^{[ 71 ]} Stickereien und Spitzenarbeiten wie Tischdecken und Tischsets, die mit Klöppelspitzen oder durch Occhi-Technik hergestellt werden, weisen eine Vielzahl von Spiegel- und Rotationssymmetrien auf , die mathematisch untersucht werden. ^{[ 72 ]}

Die islamische Kunst nutzt Symmetrien in vielen ihrer Kunstformen, insbesondere in den Girih- Fliesen. Diese bestehen aus fünf Fliesenformen: einem regelmäßigen Zehneck, einem länglichen Sechseck, einer Fliege, einer Raute und einem regelmäßigen Fünfeck. Alle Seiten dieser Fliesen sind gleich lang, und alle Winkel sind Vielfache von 36° (π/5 Radiant ), wodurch fünf- und zehnfache Symmetrien entstehen. Die Fliesen sind mit Bändern (Girih) verziert , die in der Regel deutlicher sichtbar sind als die Fliesenränder. Im Jahr 2007 argumentierten die Physiker Peter Lu und Paul Steinhardt , dass Girih quasikristallinen Penrose-Parkettierungen ähnelten . ^{[ 73 ]} Aufwendige geometrische Zellige -Fliesen sind ein charakteristisches Element der marokkanischen Architektur. ^{[ 62 ]} Die Muqarnas- Gewölbe sind dreidimensional, wurden aber zweidimensional mit Zeichnungen geometrischer Zellen entworfen. ^{[ 74 ]}

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  Hotamis-Kelims (Detail), Zentralanatolien , frühes 19. Jahrhundert
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  Detail eines Brokatstoffs aus der Ming-Dynastie mit einem abgeschrägten hexagonalen Gittermuster
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  Jaali- Marmorgitter am Grab von Salim Chishti , Fatehpur Sikri , Indien
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  Symmetrien : Florentiner Bargello-Muster -Wandteppicharbeit
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  Decke der Scheich-Lotfollah-Moschee , Isfahan , 1619
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  Rotationssymmetrie in der Spitze : Klöppelarbeit
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  Girih-Fliesen : Muster in großem und kleinem Maßstab auf einem Zwickel des Darb-i-Imam -Schreins, Isfahan, 1453
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  Tessellationen : Zellige- Mosaikfliesen in der Madrasa Bou Inania , Fes , Marokko
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  Die komplexe Geometrie und die Fliesenmuster des Muqarnas- Gewölbes in der Scheich-Lotfollah-Moschee in Isfahan
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  Architektonischer Plan eines Muqarnas-Viertelgewölbes. Topkapı-Schriftrolle
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  Tupa-Inka- Tunika aus Peru , 1450–1540, ein andines Textil, das einen hohen Rang kennzeichnet ^{[ 70 ]}

Die platonischen Körper und andere Polyeder sind ein wiederkehrendes Motiv in der westlichen Kunst. Sie finden sich beispielsweise in einem Marmormosaik mit dem kleinen Sterndodekaeder , das Paolo Uccello zugeschrieben wird und sich im Boden des Markusdoms in Venedig befindet; ^{[ 12 ]} in Leonardo da Vincis Diagrammen regelmäßiger Polyeder, die er als Illustrationen für Luca Paciolis Buch „Der göttliche Schnitt“ von 1509 anfertigte ; ^{[ 12 ]} als gläsernes Rhombikuboktaeder in Jacopo de Barbaris Porträt von Pacioli aus dem Jahr 1495; ^{[ 12 ]} im abgestumpften Polyeder (und verschiedenen anderen mathematischen Objekten) in Albrecht Dürers Kupferstich „Melencolia I“ ; ^{[ 12 ]} und in Salvador Dalís Gemälde „Das letzte Abendmahl“, in dem Christus und seine Jünger in einem riesigen Dodekaeder dargestellt sind . ^{[ 75 ]}

Albrecht Dürer (1471–1528) war ein deutscher Renaissance- Kupferstecher , der mit seinem 1525 erschienenen Werk „ Underweysung der Messung“ (Unterweisung in der Messung) wichtige Beiträge zur Literatur über Polyeder leistete. Das Buch sollte die Themen Linearperspektive , Geometrie in der Architektur , platonische Körper und regelmäßige Polygone behandeln . Dürer wurde vermutlich während seiner Italienreisen von den Werken Luca Paciolis und Piero della Francescas beeinflusst . ^{[ 76 ]} Obwohl die Beispiele für Perspektive in der „Underweysung der Messung“ unausgereift sind und Ungenauigkeiten enthalten, findet sich darin eine detaillierte Auseinandersetzung mit Polyedern. Dürer führte auch als Erster die Idee von Polyedernetzen in Textform ein – Polyeder, die zum Drucken flach auseinandergefaltet wurden. ^{[ 77 ]} 1528 veröffentlichte Dürer ein weiteres einflussreiches Buch über menschliche Proportionen mit dem Titel „Vier Bücher von menschlicher Proportion“. ^{[ 78 ]}

Dürers bekannter Kupferstich „Melencolia I“ zeigt einen frustrierten Denker, der neben einem abgestumpften dreieckigen Trapezoid und einem magischen Quadrat sitzt . ^{[ 1 ]} Diese beiden Objekte und der Kupferstich als Ganzes wurden in der Moderne häufiger interpretiert als der Inhalt fast jedes anderen Druckwerks, ^{[ 1 ] [ 79 ] [ 80 ]} darunter ein zweibändiges Buch von Peter-Klaus Schuster ^{[ 81 ]} und eine einflussreiche Diskussion in Erwin Panofskys Dürer-Monographie. ^{[ 1 ] [ 82 ]}

Salvador Dalís Gemälde „Corpus Hypercubus“ von 1954 stellt das Kreuz Christi auf einzigartige Weise als entfaltetes dreidimensionales Netz eines Hyperwürfels , auch Tesserakt genannt , dar: Die Entfaltung eines Tesserakts in diese acht Würfel ist analog zur Entfaltung der Seiten eines Würfels zu einem Kreuz aus sechs Quadraten und repräsentiert hier die göttliche Perspektive mit einem vierdimensionalen regelmäßigen Polyeder. ^{[ 83 ] [ 84 ]} Das Gemälde zeigt die Figur Christi vor dem Tesserakt; normalerweise wäre er mit Nägeln am Kreuz befestigt dargestellt, doch im Gemälde sind keine Nägel zu sehen. Stattdessen befinden sich vier kleine Würfel vor seinem Körper, an den Ecken des vordersten der acht Tesseraktwürfel. Der Mathematiker Thomas Banchoff erklärt, Dalí habe versucht, die dreidimensionale Welt zu überwinden, während die Dichterin und Kunstkritikerin Kelly Grovier sagt: „Das Gemälde scheint die Verbindung zwischen der Spiritualität der Erlösung durch Christus und der Materialität geometrischer und physikalischer Kräfte hergestellt zu haben. Es scheint die Kluft zu überbrücken, die viele als Trennung zwischen Wissenschaft und Religion empfinden.“ ^{[ 85 ]}

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  Die erste gedruckte Illustration eines Rhombikuboktaeders von Leonardo da Vinci , veröffentlicht in De Divina Proportione , 1509
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  Ikosaeder als Teil des Denkmals für Baruch Spinoza , Amsterdam

Traditionelle indonesische Wachsresist- Batikmuster auf Stoff kombinieren gegenständliche Motive (wie Blumen und Pflanzen) mit abstrakten und teils chaotischen Elementen. Dazu gehören Ungenauigkeiten beim Auftragen des Wachsresists und zufällige Variationen durch Risse im Wachs. Batikmuster weisen eine fraktale Dimension zwischen 1 und 2 auf, die je nach regionalem Stil variiert. Beispielsweise hat die Batik aus Cirebon eine fraktale Dimension von 1,1; die Batiken aus Yogyakarta und Surakarta (Solo) in Zentraljava eine fraktale Dimension von 1,2 bis 1,5; und die Batiken aus Lasem an der Nordküste Javas und aus Tasikmalaya in Westjava eine fraktale Dimension zwischen 1,5 und 1,7. ^{[ 86 ]}

Die Drip-Painting- Werke des modernen Künstlers Jackson Pollock zeichnen sich ebenfalls durch ihre fraktale Dimension aus. Sein Werk „Number 14“ von 1948 weist eine küstenlinienartige Dimension von 1,45 auf, während seine späteren Gemälde zunehmend höhere fraktale Dimensionen und dementsprechend komplexere Muster aufweisen. Eines seiner letzten Werke, „Blue Poles“ , entstand in sechs Monaten und besitzt eine fraktale Dimension von 1,72. ^{[ 87 ]}

Der Astronom Galileo Galilei schrieb in seinem Werk „Il Saggiatore“ , dass „[das Universum] in der Sprache der Mathematik geschrieben ist , und seine Zeichen sind Dreiecke, Kreise und andere geometrische Figuren.“ ^{[ 88 ]} Künstler, die die Natur erforschen wollen, müssen nach Galileis Ansicht zunächst die Mathematik vollständig verstehen. Mathematiker wiederum haben versucht, Kunst durch die Linse der Geometrie und Rationalität zu interpretieren und zu analysieren. Der Mathematiker Felipe Cucker meint, dass die Mathematik, insbesondere die Geometrie, eine Quelle von Regeln für „regelgeleitetes künstlerisches Schaffen“ sei, wenn auch nicht die einzige. ^{[ 89 ]} Einige der vielen Aspekte dieser komplexen Beziehung ^{[ 90 ]} werden im Folgenden beschrieben.

Der Mathematiker Jerry P. King beschreibt Mathematik als Kunst und erklärt, dass „die Schlüssel zur Mathematik Schönheit und Eleganz sind und nicht Langeweile und Fachjargon“, und dass Schönheit die treibende Kraft mathematischer Forschung sei. ^{[ 91 ]} King zitiert den 1940 erschienenen Aufsatz „A Mathematician’s Apology“ des Mathematikers G. H. Hardy . Darin erörtert Hardy, warum er zwei Theoreme der klassischen Mathematik für erstklassig hält: Euklids Beweis, dass es unendlich viele Primzahlen gibt , und den Beweis, dass die Quadratwurzel aus 2 irrational ist . King bewertet letzteren anhand von Hardys Kriterien für mathematische Eleganz : „ Ernsthaftigkeit, Tiefe, Allgemeingültigkeit, Unerwartetheit, Unvermeidlichkeit und Ökonomie “ (Kings Hervorhebung) und beschreibt den Beweis als „ästhetisch ansprechend“. ^{[ 92 ]} Der ungarische Mathematiker Paul Erdős stimmte zwar zu, dass die Mathematik Schönheit besitze, hielt die Gründe dafür aber für unerklärlich: „Warum sind Zahlen schön? Das ist, als würde man fragen, warum Beethovens Neunte Symphonie schön ist. Wenn man es selbst nicht erkennt, kann es einem auch niemand erklären. Ich weiß, dass Zahlen schön sind.“ ^{[ 93 ]}

Mathematik lässt sich in vielen Künsten erkennen, wie etwa in Musik , Tanz , ^{[ 94 ]} Malerei , Architektur und Bildhauerei . Jede dieser Kunstformen ist eng mit der Mathematik verbunden. ^{[ 95 ]} Im Bereich der bildenden Kunst liefert die Mathematik Künstlern Werkzeuge, wie beispielsweise die Regeln der linearen Perspektive nach Brook Taylor und Johann Lambert oder die Methoden der darstellenden Geometrie , die heute in der Softwaremodellierung von Körpern Anwendung finden und auf Albrecht Dürer und Gaspard Monge zurückgehen . ^{[ 96 ]} Künstler von Luca Pacioli im Mittelalter bis hin zu Leonardo da Vinci und Albrecht Dürer in der Renaissance haben mathematische Ideen für ihre künstlerische Arbeit genutzt und weiterentwickelt. ^{[ 95 ] [ 97 ]} Die Verwendung der Perspektive begann, trotz einiger Anfänge in der Architektur des antiken Griechenlands, mit italienischen Malern wie Giotto im 13. Jahrhundert; Regeln wie der Fluchtpunkt wurden erstmals um 1413 von Brunelleschi formuliert ^{[ 6 ],} dessen Theorie Leonardo da Vinci und Dürer beeinflusste. Isaac Newtons Arbeit über das optische Spektrum beeinflusste Goethes Farbenlehre und in der Folge Künstler wie Philipp Otto Runge , J. M. W. Turner ^{[ 98 ]} , die Präraffaeliten und Wassily Kandinsky ^{[ 99 ] [ 100 ]} . Künstler analysieren mitunter auch die Symmetrie einer Szene ^{[ 101 ]} . Werkzeuge können von Mathematikern, die sich mit Kunst auseinandersetzen, oder von Künstlern, die sich von der Mathematik inspirieren lassen, wie M. C. Escher (inspiriert von H. S. M. Coxeter ) und dem Architekten Frank Gehry , angewendet werden. Letzterer argumentierte etwas zurückhaltender, dass computergestütztes Design ihm eine völlig neue Ausdrucksweise ermöglichte ^{[ 102 ] .}

Der Künstler Richard Wright argumentiert, dass konstruierbare mathematische Objekte entweder als Prozesse zur Simulation von Phänomenen oder als Werke der Computerkunst betrachtet werden können . Er untersucht das Wesen des mathematischen Denkens und stellt fest, dass Fraktale Mathematikern bereits ein Jahrhundert lang bekannt waren, bevor sie als solche anerkannt wurden. Wright schlussfolgert, dass es angemessen sei, mathematische Objekte allen Methoden zu unterziehen, die dazu dienen, „Kulturgüter wie Kunst, die Spannung zwischen Objektivität und Subjektivität, ihre metaphorischen Bedeutungen und den Charakter von Repräsentationssystemen zu erfassen“. Als Beispiele führt er ein Bild aus der Mandelbrot-Menge , ein durch einen zellulären Automaten generiertes Bild und ein computergeneriertes Bild an und erörtert anhand des Turing-Tests , ob algorithmische Produkte Kunst sein können. ^{[ 103 ]} Sasho Kalajdzievskis „ Math and Art: An Introduction to Visual Mathematics“ verfolgt einen ähnlichen Ansatz und betrachtet geeignete Themen der visuellen Mathematik wie Parkettierungen, Fraktale und hyperbolische Geometrie. ^{[ 104 ]}

Zu den ersten Werken der Computerkunst zählt Desmond Paul Henrys „Drawing Machine 1“, eine analoge Maschine, die auf einem Bombenzielcomputer basierte und 1962 ausgestellt wurde. ^{[ 105 ] [ 106 ]} Die Maschine war in der Lage, komplexe, abstrakte, asymmetrische, kurvenförmige, aber repetitive Linienzeichnungen zu erzeugen. ^{[ 105 ] [ 107 ]} In jüngerer Zeit schuf Hamid Naderi Yeganeh Formen, die an reale Objekte wie Fische und Vögel erinnern. Er verwendete dafür Formeln, die sukzessive variiert wurden, um Kurvenscharen oder schräge Linien zu zeichnen. ^{[ 108 ] [ 109 ] [ 110 ]} Künstler wie Mikael Hvidtfeldt Christensen schaffen generative oder algorithmische Kunst, indem sie Skripte für ein Softwaresystem wie Structure Synth schreiben : Der Künstler steuert das System, um eine gewünschte Kombination mathematischer Operationen auf einen ausgewählten Datensatz anzuwenden. ^{[ 111 ] [ 112 ]}

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  Mathematische Skulptur von Bathsheba Grossman , 2007
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  Fraktale Skulptur: 3D Fraktal 03/H/dd von Hartmut Skerbisch , 2003
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  Fibonacci-Wort : Detail eines Kunstwerks von Samuel Monnier, 2009
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  Computergeneriertes Bild, erstellt von Desmond Paul Henrys „Zeichenmaschine 1“, ausgestellt 1962
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  Ein Vogel im Flug , von Hamid Naderi Yeganeh , 2016, konstruiert mit einer Familie mathematischer Kurven.

Henri Poincarés Werk „Wissenschaft und Hypothese“ wurde von den Kubisten , darunter Pablo Picasso und Jean Metzinger, viel gelesen . ^{[ 114 ] [ 115 ]} Da Poincaré mit Bernhard Riemanns Arbeiten zur nichteuklidischen Geometrie bestens vertraut war, wusste er genau, dass die euklidische Geometrie nur eine von vielen möglichen geometrischen Konfigurationen darstellt und keine absolute, objektive Wahrheit ist. Die mögliche Existenz einer vierten Dimension inspirierte Künstler, die klassische Renaissance-Perspektive zu hinterfragen : Die nichteuklidische Geometrie wurde zu einer gültigen Alternative. ^{[ 116 ] [ 117 ] [ 118 ]} Die Vorstellung, dass sich Malerei mathematisch in Farbe und Form ausdrücken lässt, trug zum Kubismus bei, jener Kunstrichtung, die zur abstrakten Kunst führte . ^{[ 119 ]} Metzinger schrieb 1910: „[Picasso] entwirft eine freie, bewegliche Perspektive, aus der der geniale Mathematiker Maurice Princet eine ganze Geometrie abgeleitet hat.“ ^{[ 120 ]} Später schrieb Metzinger in seinen Memoiren:

Maurice Princet war oft bei uns… als Künstler konzipierte er die Mathematik, als Ästhetiker beschwor er n- dimensionale Kontinua herauf. Er liebte es, die Künstler für die neuen Raumauffassungen zu begeistern , die Schlegel und einige andere eröffnet hatten . Das gelang ihm. ^{[ 121 ]}

Der Impuls, Lehr- oder Forschungsmodelle mathematischer Formen zu erstellen, führt naturgemäß zur Entstehung von Objekten mit Symmetrien und überraschenden oder ansprechenden Formen. Einige dieser Objekte inspirierten Künstler wie die Dadaisten Man Ray ^{[ 122 ]} , Marcel Duchamp ^{[ 123 ]} und Max Ernst [ ^{124 ] [ 125 ] sowie ,} nach Man Ray, Hiroshi Sugimoto ^{[ 126 ]} .

Man Ray fotografierte einige der mathematischen Modelle im Institut Henri Poincaré in Paris, darunter das „Objet mathematique “ (Mathematisches Objekt). Er bemerkte, dass es sich dabei um Enneper-Flächen mit konstanter negativer Krümmung handelte , die von der Pseudosphäre abgeleitet waren . Diese mathematische Grundlage war ihm wichtig, da sie es ihm erlaubte, die Abstraktion des Objekts zu widerlegen und stattdessen zu behaupten, es sei so real wie das Urinal, das Duchamp zu einem Kunstwerk gemacht hatte. Man Ray gab zu, dass ihm die Formel des Objekts (der Enneper-Fläche) „nichts sagte, aber die Formen selbst waren so vielfältig und authentisch wie alles in der Natur“. Er verwendete seine Fotografien der mathematischen Modelle als Figuren in seinen Serien zu Shakespeares Stücken, wie beispielsweise in seinem Gemälde „Antonius und Cleopatra“ von 1934 . ^{[ 127 ]} Der Kunstjournalist Jonathan Keats argumentiert in ForbesLife , dass Man Ray „die elliptischen Paraboloiden und Kegelschnitte im selben sinnlichen Licht wie seine Bilder von Kiki de Montparnasse “ fotografierte und „die kühlen Berechnungen der Mathematik auf geniale Weise nutzte, um die Topologie des Begehrens zu enthüllen“. ^{[ 128 ]} Bildhauer des 20. Jahrhunderts wie Henry Moore , Barbara Hepworth und Naum Gabo ließen sich von mathematischen Modellen inspirieren. ^{[ 129 ]} Moore schrieb über seine 1938 entstandene Skulptur „Mutter und Kind an Fäden“ : „Zweifellos war das Science Museum die Quelle meiner Fadenfiguren  … Ich war fasziniert von den mathematischen Modellen, die ich dort sah … Es war nicht die wissenschaftliche Untersuchung dieser Modelle, sondern die Möglichkeit, wie durch einen Vogelkäfig durch die Fäden zu blicken und eine Form in einer anderen zu erkennen, die mich begeisterte.“ ^{[ 130 ]}

Die Künstler Theo van Doesburg und Piet Mondrian gründeten die De-Stijl- Bewegung, deren Ziel es war, „ein visuelles Vokabular aus elementaren geometrischen Formen zu etablieren, das für alle verständlich und auf jede Disziplin anwendbar ist.“ ^{[ 131 ] [ 132 ]} Viele ihrer Werke bestehen sichtbar aus linierten Quadraten und Dreiecken, mitunter auch aus Kreisen. De-Stijl-Künstler arbeiteten in den Bereichen Malerei, Möbeldesign, Innenarchitektur und Architektur. ^{[ 131 ]} Nach der Auflösung von De Stijl gründete van Doesburg die Avantgarde- Bewegung Art Concret . Seine 1929–1930 entstandene Arithmetische Komposition , eine Serie von vier schwarzen Quadraten diagonal auf einem quadratischen Hintergrund, beschrieb er als „eine kontrollierbare Struktur, eine definierte Fläche ohne Zufallselemente oder individuelle Laune“, die dennoch „nicht ohne Geist, nicht ohne das Universelle und nicht … leer ist, da alles, was dem inneren Rhythmus entspricht, vorhanden ist“. Die Kunstkritikerin Gladys Fabre bemerkt, dass in dem Gemälde zwei Entwicklungen wirksam sind, nämlich die zunehmenden schwarzen Quadrate und die abwechselnden Hintergründe. ^{[ 133 ]}

Die Mathematik der Parkettierung , der Polyeder, der Raumgestaltung und der Selbstreferenz lieferte dem Grafiker M. C. Escher (1898–1972) ein lebenslanges Material für seine Holzschnitte. ^{[ 134 ] [ 135 ]} In der Alhambra-Skizze zeigte Escher, dass Kunst mit Polygonen oder regelmäßigen Formen wie Dreiecken, Quadraten und Sechsecken geschaffen werden kann. Escher verwendete unregelmäßige Polygone beim Parkettieren der Ebene und nutzte häufig Spiegelungen, Gleitspiegelungen und Verschiebungen , um weitere Muster zu erzeugen. Viele seiner Werke enthalten unmögliche Konstruktionen aus geometrischen Objekten, die einen Widerspruch zwischen perspektivischer Projektion und Dreidimensionalität aufwerfen, aber dennoch dem menschlichen Auge gefallen. Eschers „Auf- und Abstieg “ basiert auf der „ unmöglichen Treppe “ des Mediziners Lionel Penrose und seines Sohnes, des Mathematikers Roger Penrose . ^{[ 136 ] [ 137 ] [ 138 ]}

Einige von Eschers zahlreichen Parkettierungszeichnungen wurden durch Gespräche mit dem Mathematiker H. S. M. Coxeter über hyperbolische Geometrie inspiriert . ^{[ 139 ]} Escher interessierte sich besonders für fünf spezifische Polyeder, die in seinem Werk häufig vorkommen. Die platonischen Körper – Tetraeder, Würfel, Oktaeder, Dodekaeder und Ikosaeder – treten in „Ordnung und Chaos“ und „Vier reguläre Körper“ besonders deutlich hervor . ^{[ 140 ]} Diese sternförmigen Figuren befinden sich oft innerhalb einer anderen Figur, was den Blickwinkel und die Anordnung der Polyeder zusätzlich verzerrt und ein facettenreiches perspektivisches Kunstwerk entstehen lässt. ^{[ 141 ]}

Die visuelle Komplexität mathematischer Strukturen wie Parkettierungen und Polyeder hat eine Vielzahl mathematischer Kunstwerke inspiriert. Stewart Coffin fertigt Polyederpuzzles aus seltenen und schönen Hölzern; George W. Hart beschäftigt sich mit der Theorie der Polyeder und schafft von ihnen inspirierte Skulpturen; Magnus Wenninger fertigt besonders schöne Modelle komplexer Sternpolyeder an . ^{[ 142 ]}

Die verzerrten Perspektiven der Anamorphose werden in der Kunst seit dem 16. Jahrhundert erforscht, als Hans Holbein der Jüngere 1533 in sein Gemälde „ Die Gesandten“ einen stark verzerrten Schädel einarbeitete . Viele Künstler seither, darunter Escher, haben sich anamorphotischer Tricks bedient. ^{[ 143 ]}

Die Mathematik der Topologie hat zahlreiche Künstler der Moderne inspiriert. Der Bildhauer John Robinson (1935–2007) schuf Werke wie „Gordian Knot“ und „Bands of Friendship“ , die die Knotentheorie in polierter Bronze darstellen. ^{[ 7 ]} Weitere Werke Robinsons erforschen die Topologie von Tori . „Genesis“ basiert auf Borromäischen Ringen – einem Satz von drei Kreisen, von denen keine zwei aneinandergrenzen und deren Gesamtstruktur nicht zerbrechlich ist. ^{[ 144 ]} Der Bildhauer Helaman Ferguson schafft komplexe Flächen und andere topologische Objekte . ^{[ 145 ]} Seine Werke sind visuelle Darstellungen mathematischer Objekte; „The Eightfold Way“ basiert auf der projektiven speziellen linearen Gruppe PSL(2,7) , einer endlichen Gruppe mit 168 Elementen. ^{[ 146 ] [ 147 ]} Auch die Bildhauerin Bathsheba Grossman orientiert sich in ihren Arbeiten an mathematischen Strukturen. ^{[ 148 ] [ 149 ]} Der Künstler Nelson Saiers integriert mathematische Konzepte und Theoreme in seine Kunst, von Topoi und Schemata bis hin zum Vierfarbensatz und der Irrationalität von π . ^{[ 150 ]}

Ein geisteswissenschaftliches Forschungsprojekt untersucht die Verbindungen zwischen Mathematik und Kunst anhand des Möbiusbandes , Flexagonen , Origami und Panoramafotografie . ^{[ 151 ]}

Mathematische Objekte wie die Lorenz-Mannigfaltigkeit und die hyperbolische Ebene wurden mithilfe von Textilkunst, unter anderem Häkeln, gestaltet. ^{[ d ] [ 153 ]} Die amerikanische Weberin Ada Dietz veröffentlichte 1949 die Monographie „Algebraic Expressions in Handwoven Textiles“ , in der sie Webmuster auf Basis der Entwicklung multivariater Polynome definierte . ^{[ 154 ]} Die Mathematikerin Daina Taimiņa demonstrierte 2001 Eigenschaften der hyperbolischen Ebene durch Häkeln. ^{[ 155 ]} Dies inspirierte Margaret und Christine Wertheim, ein Korallenriff zu häkeln , das aus zahlreichen Meerestieren wie Nacktschnecken besteht , deren Formen auf hyperbolischen Ebenen basieren. ^{[ 156 ]} Der Mathematiker J. C. P. Miller nutzte den zellulären Automaten Rule 90 , um Wandteppiche zu entwerfen , die sowohl Bäume als auch abstrakte Dreiecksmuster darstellen. ^{[ 157 ]}„ Mathekniticians “ ^{[ 158 ]} Pat Ashforth und Steve Plummer verwenden gestrickte Versionen mathematischer Objekte wie Hexaflexagone in ihrem Unterricht, obwohl sich ihr Menger-Schwamm als zu schwierig zum Stricken erwies und stattdessen aus Kunststoffgewebe gefertigt wurde. ^{[ 159 ] [ 160 ]} Ihr Projekt „Mathghans“ (Afghans for Schools) führte das Stricken in den britischen Mathematik- und Technologielehrplan ein. ^{[ 161 ] [ 162 ]}

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  Vom vierdimensionalen Raum zum Kubismus : Esprit Jouffrets Traité élémentaire de géométrie à quatre Dimensions aus dem Jahr 1903 . ^{[ 163 ] [ e ]}
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  De Stijl : Theo van Doesburgs geometrische Komposition I (Stillleben) , 1916
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  Pädagogik für die Kunst: Magnus Wenninger mit einigen seiner sternförmigen Polyeder , 2009
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  Ein gehäkelter Möbiusband -Schal , 2007
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  Anamorphose : Die Gesandten von Hans Holbein dem Jüngeren , 1533, mit stark verzerrtem Schädel im Vordergrund
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  Gehäkeltes Korallenriff : Zahlreiche Tiere wurden von Margaret und Christine Wertheim als hyperbolische Ebenen mit variierenden Parametern modelliert . Föhr-Riff , Tübingen, 2013

Modellierung ist längst nicht die einzige Möglichkeit, mathematische Konzepte zu veranschaulichen. Giottos Stefaneschi-Triptychon von 1320 illustriert Rekursion in Form einer Mise en abyme ; das Mittelbild des Triptychons zeigt unten links die kniende Figur des Kardinals Stefaneschi, der das Triptychon als Opfergabe emporhält. ^{[ 165 ]} Giorgio de Chiricos metaphysische Gemälde , wie etwa sein Großes Metaphysisches Interieur von 1917 , untersuchen die Frage nach den Repräsentationsebenen in der Kunst, indem sie Gemälde in Gemälden darstellen. ^{[ 166 ]}

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  Die Vorderseite von Giottos Stefaneschi -Triptychon aus dem Jahr 1320 veranschaulicht die Rekursion .
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  Detail von Kardinal Stefaneschi, der das Triptychon hält

Kunst kann logische Paradoxien veranschaulichen, wie etwa einige Gemälde des Surrealisten René Magritte , die als semiotische Witze über die Vermischung von Ebenen interpretiert werden können. In „La condition humaine“ (1933) stellt Magritte eine Staffelei (auf der Leinwand) dar, die nahtlos den Blick durch ein Fenster trägt, welches im Gemälde von „echten“ Vorhängen eingerahmt wird. ^{[ 167 ]} Frühere Künstler wie Rembrandt hatten sich bereits mit der Frage der Rahmung auseinandergesetzt, beispielsweise in seinem Gemälde „ Die Heilige Familie mit Vorhang“ von 1646. Dieses Werk zeigt sowohl die Szene als auch ihren Rahmen (Holz und Vorhang) und führt so eine Vermischung von Realität und deren Darstellung ein. ^{[ 168 ]} Alberti verglich in seiner Diskussion über Perspektive Gemälde mit offenen Fenstern zu den dargestellten Szenen. ^{[ 169 ] [ 168 ]} In „La condition humaine“ steigert Magritte, wie der Kunsthistoriker András Rényi es ausdrückt, „die subversive Kraft der ikonischen Differenz, die sich bereits bei Rembrandt manifestiert, und spitzt sie zu einem offenen Paradoxon zu.“ ^{[ 168 ]} Rényi zufolge ist der daraus resultierende visuelle Witz der eigentliche Zweck des Gemäldes; er untergräbt die Malerei selbst. Er bemerkt, dass „ La condition humaine “ eher ein gemaltes, meta-malerisches Philosophem als ein malerisches Werk sei. ^{[ 168 ]}

Rembrandts Gemälde „ Die Heilige Familie mit Vorhang “ von 1646 zeigt sowohl die Szene als auch ihren Rahmen (Holz und Vorhang) und führt so zu einer gewissen Verschmelzung von Realität und deren Darstellung. ^{[ 168 ]}

Semiotischer Witz: René Magrittes Gemälde „La condition humaine“ von 1933 fördert die Vermischung von Szene und Bildausschnitt und führt so zu einem visuellen Paradoxon. ^{[ 167 ]}

Ein anderer Ansatz zur Auseinandersetzung mit mathematischen Paradoxien findet sich in Eschers „ Galerie der Druckgrafik “ (1956). Diese zeigt eine verzerrte Stadt, die eine Galerie enthält, welche wiederum das Bild rekursiv enthält, und so weiter bis ins Unendliche . ^{[ 167 ]} Magritte nutzte Kugeln und Quader, um die Realität auf andere Weise zu verzerren. In seinem Werk „ Kopfrechnen“ von 1931 malte er sie neben eine Ansammlung von Häusern , als wären es Bauklötze für Kinder, nur in Hausgröße. ^{[ 170 ]} Der Guardian bemerkte, dass das „unheimliche Spielzeugstadtbild“ die Übernahme „gemütlicher traditioneller Formen“ durch die Moderne voraussagte, aber auch mit der menschlichen Neigung spielte, in der Natur nach Mustern zu suchen . ^{[ 171 ]}

Salvador Dalís letztes Gemälde, „Der Schwalbenschwanz “ (1983), war Teil einer Serie, die von René Thoms Katastrophentheorie inspiriert war . ^{[ 173 ]} Der spanische Maler und Bildhauer Pablo Palazuelo (1916–2007) konzentrierte sich auf die Erforschung der Form. Er entwickelte einen Stil, den er als die Geometrie des Lebens und die Geometrie der gesamten Natur beschrieb. In Werken wie „Angular I“ und „Automnes“ , die aus einfachen geometrischen Formen mit detaillierter Musterung und Farbgebung bestanden, drückte Palazuelo geometrische Transformationen aus. ^{[ 7 ]}

Der Künstler Adrian Gray praktiziert Steinbalance und nutzt dabei Reibung und Schwerpunkt, um eindrucksvolle und scheinbar unmögliche Kompositionen zu schaffen. ^{[ 174 ]}

Künstler nehmen Geometrie jedoch nicht unbedingt wörtlich. Wie Douglas Hofstadter in seiner 1980 erschienenen Betrachtung über das menschliche Denken, Gödel, Escher, Bach , am Beispiel der Mathematik der Kunst schreibt: „Der Unterschied zwischen einer Escher-Zeichnung und nichteuklidischer Geometrie besteht darin, dass sich bei letzterer verständliche Interpretationen für die undefinierten Begriffe finden lassen, was zu einem verständlichen Gesamtsystem führt, während das Endergebnis bei ersterer nicht mit der eigenen Weltanschauung vereinbar ist, egal wie lange man die Bilder betrachtet.“ Hofstadter erörtert die scheinbar paradoxe Lithografie „Print Gallery“ von M. C. Escher; sie zeigt eine Küstenstadt mit einer Kunstgalerie, die wiederum ein Gemälde der Küstenstadt zu beherbergen scheint, wodurch eine „seltsame Schleife oder verschlungene Hierarchie“ zwischen den Realitätsebenen im Bild entsteht. Der Künstler selbst, so Hofstadter, ist nicht zu sehen; seine Realität und seine Beziehung zur Lithografie sind nicht paradox. ^{[ 172 ]} Die zentrale Leere des Bildes hat auch das Interesse der Mathematiker Bart de Smit und Hendrik Lenstra geweckt , die vermuten, dass sie eine durch den Droste-Effekt erzeugte Kopie von sich selbst enthalten könnte, gedreht und verkleinert; dies wäre ein weiteres Beispiel für Rekursion, das über die von Hofstadter festgestellte hinausgeht. ^{[ 175 ] [ 176 ]}

Die algorithmische Analyse von Bildern von Kunstwerken, beispielsweise mittels Röntgenfluoreszenzspektroskopie , kann Aufschluss über die Kunst geben. Solche Techniken können Bilder in Farbschichten sichtbar machen, die später vom Künstler übermalt wurden; sie helfen Kunsthistorikern, sich ein Kunstwerk vorzustellen, bevor es Risse bekam oder verblasste; sie helfen, eine Kopie von einem Original zu unterscheiden oder den Pinselstrich eines Meisters von dem seiner Lehrlinge zu differenzieren. ^{[ 177 ] [ 178 ]}

Der Dadaist Max Ernst malte im 20. Jahrhundert Lissajous-Figuren, indem er einen durchlöcherten Farbeimer über eine Leinwand schwang. Er ließ sich 1942 in New York beim Malen dieser mathematischen Figuren fotografieren. Den Farbeimer hängte er an einer Schnur, die wiederum an zwei Punkten an einer Stange befestigt war. Er ließ den Eimer frei über ein quadratisches Blatt Papier schwingen, während er, im Anzug mit Krawatte, daneben saß und den Vorgang beobachtete. ^{[ 179 ] [ f ]} Ernst war der Erste, der diese halbautomatische ^{[ 180 ]} Form der Tropfmalerei (auch „Oszillation“ ^{[ 180 ]} genannt ) einführte und popularisierte. ^{[ 181 ]} Er wandte die Technik im Laufe seiner künstlerischen Laufbahn auf zahlreiche Gemälde an, darunter seine Werke „The Bewildered Planet“ , „Surrealism and Painting“ und „Young Man Intrigued by the Flight of a Non-Euclidean Fly“ von 1942 sowie sein Werk „Green Zone“ von 1970. ^{[ 182 ] [ 183 ]} Lissajous-Figuren tauchten später wiederholt in der frühen Computerkunst auf . ^{[ 182 ]} Ernsts Verwendung der mathematischen Technik beeinflusste wahrscheinlich Jackson Pollocks Dripping-Painting-Stil. ^{[ 184 ]} Pollocks Gemälde weisen eine deutliche fraktale Dimension ^{[ 185 ]} kontrollierten Chaos auf . ^{[ 186 ]}

Der Informatiker Neil Dodgson untersuchte, ob sich Bridget Rileys Streifenbilder mathematisch charakterisieren ließen. Er kam zu dem Schluss, dass zwar der Abstand zwischen den Bildern eine gewisse Charakterisierung ermöglichte und die globale Entropie bei einigen Gemälden funktionierte, die Autokorrelation jedoch versagte, da Rileys Muster unregelmäßig waren. Die lokale Entropie erwies sich als am besten geeignet und korrelierte gut mit der Beschreibung des Kunstkritikers Robert Kudielka. ^{[ 187 ]}

Der 1933 von dem amerikanischen Mathematiker George Birkhoff entwickelte ästhetische Maßstab bietet eine quantitative Metrik zur Messung der ästhetischen Qualität eines Kunstwerks. Er versucht nicht, die Konnotationen eines Werkes, wie etwa die Bedeutung eines Gemäldes, zu erfassen, sondern beschränkt sich auf die „Ordnungselemente“ einer polygonalen Figur. Birkhoff kombiniert zunächst fünf dieser Elemente (als Summe): das Vorhandensein einer vertikalen Symmetrieachse; das Vorhandensein eines optischen Gleichgewichts; die Anzahl der Rotationssymmetrien; die Tapetenähnlichkeit der Figur; und das Vorhandensein von unerwünschten Merkmalen, wie beispielsweise zwei zu nahe beieinander liegende Eckpunkte. Diese Metrik, O , nimmt Werte zwischen −3 und 7 an. Die zweite Metrik, C , zählt die Elemente der Figur, bei einem Polygon die Anzahl der verschiedenen Geraden, die mindestens eine seiner Seiten enthalten. Birkhoff definiert sein ästhetisches Schönheitsmaß eines Objekts als O/C . Dies kann als ein Gleichgewicht zwischen dem Vergnügen, das der Anblick des Objekts bereitet, und dem Aufwand, der nötig ist, um es zu erfassen, interpretiert werden. Birkhoffs Vorschlag wurde auf verschiedene Weise kritisiert, nicht zuletzt wegen des Versuchs, Schönheit in eine Formel zu pressen, doch er selbst hat dies nie behauptet. ^{[ 188 ]}

Die Kunst hat mitunter die Entwicklung der Mathematik angeregt, so etwa Brunelleschis Theorie der Perspektive in Architektur und Malerei, die einen Forschungszyklus auslöste, der zu den Arbeiten von Brook Taylor und Johann Heinrich Lambert über die mathematischen Grundlagen der Perspektivzeichnung ^{[ 189 ]} und schließlich zur Mathematik der projektiven Geometrie von Girard Desargues und Jean-Victor Poncelet ^{[ 190 ]} führte .

Die japanische Papierfaltkunst Origami wurde von Tomoko Fusé mathematisch neu interpretiert. Sie verwendete Modulen , kongruente Papierstücke wie Quadrate und faltete diese zu Polyedern oder Parkettierungen. ^{[ 191 ]} Bereits 1893 nutzte T. Sundara Rao in seinen „Geometric Exercises in Paper Folding“ das Papierfalten , um geometrische Beweise zu veranschaulichen. ^{[ 192 ]} Die Mathematik des Papierfaltens wurde im Satz von Maekawa [ ^{193 ] ,} im Satz von Kawasaki [ ^{194 ]} und in den Huzita-Hatori ^- Axiomen ^{[ 195 ]} untersucht .

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  Anregung zur projektiven Geometrie : Albertis Diagramm, das einen perspektivisch als Ellipse dargestellten Kreis zeigt . Della Pittura , 1435–1436
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  Mathematisches Origami : „Spring Into Action“ von Jeff Beynon, gefertigt aus einem einzigen Papierrechteck. ^{[ 196 ]}

Optische Täuschungen wie die Fraser-Spirale verdeutlichen eindrucksvoll die Grenzen der menschlichen visuellen Wahrnehmung und erzeugen, was der Kunsthistoriker Ernst Gombrich als „verblüffenden Trick“ bezeichnete. Die schwarz-weißen Seile, die Spiralen zu bilden scheinen , sind in Wirklichkeit konzentrische Kreise . Die Op-Art, auch bekannt als optische Kunst, nutzte solche Effekte in der Mitte des 20. Jahrhunderts , um den Eindruck von Bewegung und flackernden oder vibrierenden Mustern zu erzeugen, wie sie in den Werken von Künstlern wie Bridget Riley , Spyros Horemis ^{[ 197 ]} und Victor Vasarely ^{[ 198 ]} zu sehen sind .

Eine Kunstrichtung des antiken Griechenlands und der Neuzeit sieht Gott als den Geometer der Welt und somit die Geometrie der Welt als heilig. Der Glaube, dass Gott das Universum nach einem geometrischen Plan erschaffen hat, ist uralt. Plutarch schrieb diese Vorstellung Platon zu und sagte: „Platon sagte, Gott geometrisiere unaufhörlich“ ( Convivialium disputationum , liber 8,2). Dieses Bild hat das westliche Denken seither geprägt. Das platonische Konzept wiederum leitet sich von einer pythagoreischen Vorstellung von Harmonie in der Musik ab, in der die Töne in perfekten Proportionen angeordnet waren, entsprechend der Länge der Saiten der Leier; die Pythagoreer vertraten sogar die Ansicht, dass alles nach Zahlen geordnet sei. Ebenso bestimmen im platonischen Denken die regelmäßigen oder platonischen Körper die Proportionen in Natur und Kunst. ^{[ 199 ] [ 200 ]} Eine Illustration im Codex Vindobonensis aus dem 13. Jahrhundert zeigt Gott, wie er das Universum mit einem Zirkel zeichnet. Dies könnte sich auf einen Vers im Alten Testament beziehen: „Als er die Himmel schuf, war ich da; als er den Zirkel auf die Oberfläche der Tiefe setzte“ (Sprüche 8,27). ^{[ 201 ]} Im Jahr 1596 modellierte der Mathematiker und Astronom Johannes Kepler das Universum als eine Menge ineinander verschachtelter platonischer Körper und bestimmte die relativen Größen der Planetenbahnen. ^{[ 201 ]} William Blakes Gemälde „ Der Alte der Tage“ ( das Urizen , Blakes Verkörperung von Vernunft und Gesetz, darstellt ) und sein Porträt des Physikers Isaac Newton , nackt, gebückt und mit einem Zirkel zeichnend, verwenden die Symbolik des Zirkels, um konventionelle Vernunft und Materialismus als engstirnig zu kritisieren. ^{[ 202 ] [ 203 ]} Salvador Dalís Kreuzigungsgemälde (Corpus Hypercubus) von 1954 stellt das Kreuz als Hyperwürfel dar und repräsentiert so die göttliche Perspektive in vier statt der üblichen drei Dimensionen. ^{[ 84 ]} In Dalís Abendmahl ( Das Sakrament des Letzten Abendmahls ) von 1955 sind Christus und seine Jünger in einem riesigen Dodekaeder abgebildet . ^{[ 204 ]}

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  Gott, der Geometer. Codex Vindobonensis , ca. 1220
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  Die Schöpfung mit dem Pantokrator . Bibel des Heiligen Ludwig , ca. 1220–1240
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  Johannes Keplers platonisches Körpermodell der Planetenabstände im Sonnensystem aus Mysterium Cosmographicum , 1596
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  William Blakes „ Der Alte der Tage“ , 1794
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  William Blakes Newton , um 1800

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