Newtons Bewegungsgesetze

Die Newtonschen Bewegungsgesetze sind drei physikalische Gesetze , die den Zusammenhang zwischen der Bewegung eines Objekts und den auf es wirkenden Kräften beschreiben . Diese Gesetze, die die Grundlage der Newtonschen Mechanik bilden , lassen sich wie folgt zusammenfassen:

1. Ein Körper verharrt im Zustand der Ruhe oder der geradlinigen Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit, solange keine Kraft auf ihn einwirkt.
2. Zu jedem Zeitpunkt ist die resultierende Kraft auf einen Körper gleich der Beschleunigung des Körpers multipliziert mit seiner Masse oder, äquivalent dazu, der Rate, mit der sich der Impuls des Körpers mit der Zeit ändert.
3. Wenn zwei Körper Kräfte aufeinander ausüben, sind diese Kräfte gleich groß, aber entgegengesetzt gerichtet. ^{[ 1 ] [ 2 ]}

Die drei Bewegungsgesetze wurden erstmals von Isaac Newton in seinem Werk „Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica “ ( Mathematische Prinzipien der Naturphilosophie ) formuliert, das 1687 erstmals veröffentlicht wurde. ^{[ 3 ]} Newton nutzte sie, um die Bewegung vieler physikalischer Objekte und Systeme zu untersuchen und zu erklären. Seit Newton haben neue Erkenntnisse, insbesondere zum Energiebegriff, die klassische Mechanik auf seinen Grundlagen weiterentwickelt. In der Neuzeit wurden die Grenzen der Newtonschen Gesetze entdeckt; daraufhin wurden neue Theorien wie die Quantenmechanik und die Relativitätstheorie entwickelt, um die Physik von Objekten in extremeren Fällen zu beschreiben.

Newtons Gesetze werden oft anhand von Punkt- oder Teilchenmassen formuliert , also von Körpern mit vernachlässigbarem Volumen. Dies ist eine sinnvolle Näherung für reale Körper, wenn die Bewegung innerer Bestandteile vernachlässigt werden kann und der Abstand zwischen den Körpern viel größer ist als deren jeweilige Größe. Beispielsweise können Erde und Sonne näherungsweise als punktförmig betrachtet werden, wenn man die Umlaufbahn der Erde um die Sonne betrachtet. Betrachtet man jedoch die Vorgänge auf der Erdoberfläche, so ist die Erde nicht punktförmig. ^{[ Anmerkung 1 ]}

Die mathematische Beschreibung von Bewegung, die Kinematik , basiert auf der Idee, Positionen mithilfe numerischer Koordinaten anzugeben. Bewegung wird durch die zeitliche Änderung dieser Zahlen dargestellt: Die Bahn eines Körpers wird durch eine Funktion beschrieben, die jedem Wert einer Zeitvariablen die Werte aller Positionskoordinaten zuordnet. Der einfachste Fall ist eindimensional, d. h., wenn sich ein Körper nur geradlinig bewegen kann. Seine Position lässt sich dann durch eine einzelne Zahl angeben, die seine Lage relativ zu einem gewählten Bezugspunkt angibt. Beispielsweise kann ein Körper frei auf einer von links nach rechts verlaufenden Bahn gleiten. Seine Position lässt sich dann durch seinen Abstand von einem geeigneten Nullpunkt, dem Ursprung , angeben, wobei negative Zahlen Positionen links und positive Zahlen Positionen rechts bezeichnen. Ist die Position des Körpers als Funktion der Zeit gegeben durch , so ist seine mittlere Geschwindigkeit im Zeitintervall von bis gegeben durch ^{[ 6 ].} Hierbei wird traditionell der griechische Buchstabe Delta ( δ ) verwendet, um „Änderung in“ auszudrücken. Eine positive Durchschnittsgeschwindigkeit bedeutet, dass die Positionskoordinate im betrachteten Zeitintervall zunimmt, eine negative Durchschnittsgeschwindigkeit bedeutet eine Abnahme, und eine Durchschnittsgeschwindigkeit von null bedeutet, dass sich der Körper am Ende des Zeitintervalls am selben Ort befindet wie zu Beginn. Die Infinitesimalrechnung ermöglicht die Definition einer Momentangeschwindigkeit , eines Maßes für Geschwindigkeit und Bewegungsrichtung eines Körpers in einem einzelnen Moment, anstatt über ein Zeitintervall. Eine mögliche Notation für die Momentangeschwindigkeit ist, v durch das Symbol v zu ersetzen , beispielsweise v = v₀. Dies bedeutet, dass die Momentangeschwindigkeit die Ableitung der Position nach der Zeit ist. Man kann sie sich grob als das Verhältnis zwischen einer infinitesimal kleinen Positionsänderung und dem infinitesimal kleinen Zeitintervall vorstellen , in dem sie auftritt. ^{[ 7 ]} Genauer gesagt lassen sich die Geschwindigkeit und alle anderen Ableitungen mithilfe des Grenzwertbegriffs definieren . [ ^{6 ] Eine} Funktion hat den Grenzwert v₀ an einem gegebenen Eingabewert, wenn die Differenz zwischen v₀ und v₀ beliebig klein gemacht werden kann, indem man einen Eingabewert wählt, der nahe genug an v₀ liegt . Man schreibt: Die Momentangeschwindigkeit kann als Grenzwert der Durchschnittsgeschwindigkeit definiert werden, wenn das Zeitintervall gegen null strebt: Die Beschleunigung verhält sich zur Geschwindigkeit wie die Geschwindigkeit zur Position: Sie ist die Ableitung der Geschwindigkeit nach der Zeit. ^{[ Anmerkung 2 ]}${\displaystyle s(t)}$${\displaystyle t_{0}}$${\displaystyle t_{1}}$$${\displaystyle {\frac {\Delta s}{\Delta t}}={\frac {s(t_{1})-s(t_{0})}{t_{1}-t_{0}}}.}$$${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle s}$${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle \mathrm {d} }$$${\displaystyle v={\frac {\mathrm {d} s}{\mathrm {d} t}}.}$$${\displaystyle \mathrm {d} s}$${\displaystyle \mathrm {d} t}$${\displaystyle f(t)}$${\displaystyle L}$${\displaystyle t_{0}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle L}$${\displaystyle t_{0}}$$${\displaystyle \lim _{t\to t_{0}}f(t)=L.}$$$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} s}{\mathrm {d} t}}=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {s(t+\Delta t)-s(t)}{\Delta t}}.}$$Die Beschleunigung kann analog als Grenzwert definiert werden: Folglich ist die Beschleunigung die zweite Ableitung der Position, ^{[ 7 ]} oft geschrieben . $${\displaystyle a={\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {v(t+\Delta t)-v(t)}{\Delta t}}.}$$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}s}{\mathrm {d} t^{2}}}}$

Position, als Verschiebung von einem Ausgangspunkt betrachtet, ist ein Vektor : eine Größe mit Betrag und Richtung. ^{[ 9 ] : 1} Auch Geschwindigkeit und Beschleunigung sind Vektorgrößen. Die mathematischen Werkzeuge der Vektoralgebra ermöglichen die Beschreibung von Bewegungen in zwei, drei oder mehr Dimensionen. Vektoren werden oft mit einem Pfeil (z. B. ) oder in Fettdruck (z. B. ) dargestellt . Häufig werden Vektoren visuell als Pfeile repräsentiert, wobei die Richtung des Vektors der Pfeilrichtung und die Länge des Pfeils dem Betrag des Vektors entspricht. Numerisch kann ein Vektor als Liste dargestellt werden; beispielsweise könnte der Geschwindigkeitsvektor eines Körpers 3 m/s² sein, was bedeutet, dass er sich mit 3 m/s² entlang der horizontalen und 4 m/s² entlang der vertikalen Achse bewegt. Dieselbe Bewegung wird in einem anderen Koordinatensystem durch andere Zahlen dargestellt, und die Vektoralgebra ermöglicht die Umrechnung zwischen diesen Systemen. ^{[ 9 ] : 4} ${\displaystyle {\vec {s}}}$${\displaystyle {\bf {s}}}$${\displaystyle \mathbf {v} =(\mathrm {3~m/s} ,\mathrm {4~m/s} )}$

Das Studium der Mechanik wird dadurch erschwert, dass alltägliche Begriffe wie Energie in der Physik eine technische Bedeutung haben. ^{[ 10 ] [ 11 ]} Darüber hinaus sind Wörter, die im Alltag synonym sind, in der Physik nicht synonym: Kraft ist beispielsweise nicht dasselbe wie Leistung oder Druck , und Masse hat eine andere Bedeutung als Gewicht . ^{[ 12 ] [ 13 ] : 150} Der physikalische Kraftbegriff quantifiziert die alltägliche Vorstellung eines Schubs oder Zugs. Kräfte in der Newtonschen Mechanik entstehen häufig durch Seile und Schnüre, Reibung, Muskelkraft, Schwerkraft usw. Wie Verschiebung, Geschwindigkeit und Beschleunigung ist auch die Kraft eine Vektorgröße.

Jeder Körper verharrt in seinem Zustand der Ruhe oder der gleichförmigen geradlinigen Bewegung, solange er nicht durch auf ihn einwirkende Kräfte gezwungen wird, diesen Zustand zu ändern. ^{[ 14 ] : 114 [ Anmerkung 3 ]}

Newtons erstes Gesetz beschreibt das Trägheitsprinzip : Ein Körper bewegt sich von Natur aus geradlinig mit konstanter Geschwindigkeit. Seine Bewegung erhält den Zustand aufrecht, äußere Kräfte können ihn jedoch stören.

Das moderne Verständnis von Newtons erstem Gesetz besagt, dass kein Inertialbeobachter gegenüber einem anderen bevorzugt wird. Das Konzept des Inertialbeobachters quantifiziert die alltägliche Vorstellung, keine Bewegung zu spüren. Beispielsweise ist eine Person, die am Boden steht und einen vorbeifahrenden Zug beobachtet, ein Inertialbeobachter. Wenn der Beobachter am Boden den Zug gleichmäßig und geradlinig mit konstanter Geschwindigkeit fahren sieht, ist auch ein Fahrgast im Zug ein Inertialbeobachter: Er spürt keine Bewegung. Das Prinzip von Newtons erstem Gesetz besagt, dass es unmöglich ist, zu bestimmen, welcher Inertialbeobachter sich „wirklich“ bewegt und welcher „wirklich“ stillsteht. Der Ruhezustand des einen Beobachters ist für einen anderen der Zustand gleichförmiger geradliniger Bewegung, und kein Experiment kann die eine oder andere Sichtweise als richtig oder falsch einstufen. Es gibt keinen absoluten Standard für Ruhe. ^{[ 18 ] [ 14 ] : 62–63 [ 19 ] : 7–9} Newton selbst glaubte an die Existenz eines absoluten Raums und einer absoluten Zeit , aber dass die einzigen experimentell zugänglichen Maße für Raum und Zeit relativ seien. ^{[ 20 ]}

Die Bewegungsänderung eines Objekts ist proportional zur einwirkenden Kraft und erfolgt in Richtung der geraden Linie, in der die Kraft wirkt. ^{[ 14 ] : 114}

Mit „Bewegung“ meinte Newton die Größe, die heute als Impuls bezeichnet wird . Dieser hängt von der Masse eines Körpers, seiner Bewegungsgeschwindigkeit und seiner Bewegungsrichtung ab. ^{[ 21 ]} In der modernen Notation ist der Impuls eines Körpers das Produkt aus seiner Masse und seiner Geschwindigkeit: wobei sich alle drei Größen mit der Zeit ändern können. Im Normalfall ändert sich die Masse nicht mit der Zeit, und die Ableitung wirkt nur auf die Geschwindigkeit. Die Kraft entspricht dann dem Produkt aus Masse und der zeitlichen Ableitung der Geschwindigkeit, also der Beschleunigung: ^{[ 22 ]} Da die Beschleunigung die zweite Ableitung des Ortes nach der Zeit ist, lässt sich dies auch so schreiben: $${\displaystyle \mathbf {p} =m\mathbf {v} \,,}$$${\displaystyle m}$$${\displaystyle \mathbf {F} =m{\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{\mathrm {d} t}}=m\mathbf {a} \,.}$$$${\displaystyle \mathbf {F} =m{\frac {\mathrm {d} ^{2}\mathbf {s} }{\mathrm {d} t^{2}}}.}$$

Newtons zweites Gesetz besagt in seiner modernen Form, dass die zeitliche Ableitung des Impulses die Kraft ist: ^{[ 23 ] : 4.1} Angewendet auf Systeme mit variabler Masse ist die obige Gleichung nur für eine feste Anzahl von Teilchen gültig. Die Anwendung der Ableitung wie in kann zu falschen Ergebnissen führen. ^{[ 24 ]} Beispielsweise muss der Impuls eines Wasserstrahlsystems den Impuls des ausgestoßenen Wassers beinhalten: ^{[ 25 ]}$${\displaystyle \mathbf {F} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} }{\mathrm {d} t}}\,.}$$$${\displaystyle \mathbf {F} =m{\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{\mathrm {d} t}}+\mathbf {v} {\frac {\mathrm {d} m}{\mathrm {d} t}}\ \ \mathrm {(incorrect)} }$$$${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {ext} }={\mathrm {d} \mathbf {p} \over \mathrm {d} t}-\mathbf {v} _{\mathrm {eject} }{\frac {\mathrm {d} m}{\mathrm {d} t}}.}$$

Die auf einen Körper wirkenden Kräfte addieren sich als Vektoren , daher hängt die Gesamtkraft sowohl von den Beträgen als auch von den Richtungen der einzelnen Kräfte ab. ^{[ 23 ] : 58} Wenn die resultierende Kraft auf einen Körper null ist, beschleunigt der Körper nach dem zweiten Newtonschen Gesetz nicht und befindet sich im mechanischen Gleichgewicht . Ein Zustand des mechanischen Gleichgewichts ist stabil , wenn der Körper bei geringfügigen Positionsänderungen in der Nähe dieser Gleichgewichtslage verbleibt. Andernfalls ist das Gleichgewicht instabil. ^{[ 14 ] : 121 [ 23 ] : 174}

Eine gängige visuelle Darstellung von Kräften, die zusammenwirken, ist das Freikörperdiagramm . Es veranschaulicht schematisch einen betrachteten Körper und die von außen auf ihn wirkenden Kräfte. ^{[ 26 ]} Beispielsweise kann ein Freikörperdiagramm eines Blocks auf einer schiefen Ebene die Kombination aus Gewichtskraft, Normalkraft , Reibung und Seilspannung veranschaulichen. ^{[ Anmerkung 4 ]}

Newtons zweites Gesetz wird mitunter als Definition von Kraft dargestellt, d. h., eine Kraft ist diejenige, die wirkt, wenn ein inerter Beobachter einen beschleunigten Körper wahrnimmt. Dies wird mitunter als mögliche Tautologie betrachtet – Beschleunigung impliziert Kraft, Kraft impliziert Beschleunigung. Um die Tautologie zu überwinden, könnte man auch eine Gleichung spezifizieren, die die Kraft detailliert beschreibt, ähnlich wie Newtons Gravitationsgesetz . Setzt man einen solchen Ausdruck für die Kraft in Newtons zweites Gesetz ein, lässt sich eine Gleichung mit Vorhersagekraft aufstellen. ^{[ Anmerkung 5 ]} Newtons zweites Gesetz wurde auch als Grundlage für ein Forschungsprogramm der Physik angesehen, das festlegt, dass wichtige Ziele des Fachs darin bestehen, die in der Natur wirkenden Kräfte zu identifizieren und die Bestandteile der Materie zu katalogisieren. ^{[ 14 ] : 134 [ 28 ] : 12-2} ${\displaystyle \mathbf {F} }$

Zu jeder Aktion gibt es stets eine gleich große Gegenreaktion; oder: Die Wechselwirkungen zweier Körper aufeinander sind stets gleich groß und auf entgegengesetzte Teile gerichtet. ^{[ 14 ] : 116}

Anders ausgedrückt: Übt ein Körper eine Kraft auf einen zweiten Körper aus, so übt der zweite Körper auch eine gleich große, aber entgegengesetzte Kraft auf den ersten Körper aus. Zu kurze Paraphrasen des dritten Newtonschen Gesetzes, wie etwa „Aktion gleich Reaktion “, haben Generationen von Schülern verwirrt: „Aktion“ und „Reaktion“ beziehen sich auf unterschiedliche Körper. Betrachten wir beispielsweise ein Buch, das auf einem Tisch liegt. Die Erdanziehungskraft zieht das Buch nach unten. Die „Reaktion“ auf diese „Aktion“ ist nicht die Stützkraft des Tisches, die das Buch hält, sondern die Gravitationskraft des Buches auf die Erde. ^{[ Anmerkung 6 ]}

Newtons drittes Gesetz bezieht sich auf ein fundamentaleres Prinzip, die Impulserhaltung . Diese gilt auch dann, wenn Newtons Aussage nicht zutrifft, beispielsweise wenn Kraftfelder und materielle Körper Impuls tragen (z. B. im Elektromagnetismus ) oder, bei korrekter Definition des Impulses, auch in der Quantenmechanik . ^{[ Anmerkung 7 ]} In der Newtonschen Mechanik gilt: Besitzen zwei Körper die Impulse p und p, so ist der Gesamtimpuls des Paares p = √(p₁ + p₂) und die Änderungsrate von p = √(p₁ + p₂) . Nach Newtons zweitem Gesetz ist der erste Term die Gesamtkraft auf den ersten Körper und der zweite Term die Gesamtkraft auf den zweiten Körper. Sind die beiden Körper von äußeren Einflüssen isoliert, wirkt nur die Kraft vom zweiten auf den ersten Körper und umgekehrt. Nach Newtons drittem Gesetz sind diese Kräfte gleich groß, aber entgegengesetzt gerichtet, heben sich also bei der Addition auf, und p₁ ist konstant. Alternativ folgt aus der Annahme, dass p₁ konstant ist, dass die Kräfte gleich groß, aber entgegengesetzt gerichtet sind. ${\displaystyle \mathbf {p} _{1}}$${\displaystyle \mathbf {p} _{2}}$${\displaystyle \mathbf {p} =\mathbf {p} _{1}+\mathbf {p} _{2}}$${\displaystyle \mathbf {p} }$$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} }{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} _{1}}{\mathrm {d} t}}+{\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} _{2}}{\mathrm {d} t}}.}$$${\displaystyle \mathbf {p} }$${\displaystyle \mathbf {p} }$

Verschiedene Quellen haben vorgeschlagen, andere Ideen der klassischen Mechanik in den Rang von Newtons Gesetzen zu erheben. Beispielsweise entspricht in der Newtonschen Mechanik die Gesamtmasse eines Körpers, der durch das Zusammenfügen zweier kleinerer Körper entsteht, der Summe ihrer Einzelmassen. Frank Wilczek schlug vor, diese Annahme als „Newtons nulltes Gesetz“ zu bezeichnen. ^{[ 37 ]} Ein weiterer Kandidat für ein „nulltes Gesetz“ ist die Tatsache, dass ein Körper in jedem Augenblick auf die in diesem Augenblick auf ihn einwirkenden Kräfte reagiert. ^{[ 38 ]} Ebenso wurden die Idee, dass sich Kräfte wie Vektoren addieren (oder anders ausgedrückt dem Superpositionsprinzip gehorchen ), und die Idee, dass Kräfte die Energie eines Körpers verändern, beide als „viertes Gesetz“ bezeichnet. ^{[ Anmerkung 8 ]}

Darüber hinaus gliedern einige Texte die Grundideen der Newtonschen Mechanik in verschiedene Postulate, die über die üblicherweise formulierten drei Gesetze hinausgehen, mit dem Ziel, klarer zu machen, was empirisch beobachtet wird und was per definitionem wahr ist. ^{[ 19 ] : 9 [ 27 ]}

Die Untersuchung des Verhaltens massiver Körper mithilfe der Newtonschen Gesetze wird als Newtonsche Mechanik bezeichnet. Einige Beispielprobleme der Newtonschen Mechanik sind aus konzeptionellen oder historischen Gründen besonders bemerkenswert.

Fällt ein Körper aus der Ruhe nahe der Erdoberfläche, so erfährt er in Abwesenheit von Luftwiderstand eine konstante Beschleunigung. Dies wird als freier Fall bezeichnet . Die im freien Fall erreichte Geschwindigkeit ist proportional zur verstrichenen Zeit, und die zurückgelegte Strecke ist proportional zum Quadrat der verstrichenen Zeit. ^{[ 43 ]} Wichtig ist, dass die Beschleunigung für alle Körper unabhängig von ihrer Masse gleich ist. Dies ergibt sich aus der Kombination von Newtons zweitem Bewegungsgesetz mit seinem Gravitationsgesetz . Letzteres besagt, dass die Stärke der Gravitationskraft der Erde auf den Körper gleich der Masse des fallenden Körpers ist, wobei m die Masse der Erde, k die Newtonsche Gravitationskonstante und r der Abstand vom Erdmittelpunkt zum Ort des Körpers ist, der nahezu dem Erdradius entspricht. Setzt man dies gleich r , so kürzt sich die Masse des Körpers auf beiden Seiten der Gleichung heraus, und es bleibt eine Beschleunigung übrig, die von m , r und r abhängt und als konstant angenommen werden kann. Dieser spezielle Wert der Beschleunigung wird üblicherweise mit λ bezeichnet . $${\displaystyle F={\frac {GMm}{r^{2}}},}$$${\displaystyle m}$${\displaystyle M}$${\displaystyle G}$${\displaystyle r}$${\displaystyle ma}$${\displaystyle m}$${\displaystyle G}$${\displaystyle M}$${\displaystyle r}$${\displaystyle r}$${\displaystyle g}$$${\displaystyle g={\frac {GM}{r^{2}}}\approx \mathrm {9.8~m/s^{2}} .}$$

Wird ein Körper nicht aus der Ruhe losgelassen, sondern mit einer von null verschiedenen Geschwindigkeit nach oben und/oder horizontal geschleudert, so spricht man von einem freien Fall und damit von einer Wurfparabel . ^{[ 44 ]} Kann der Luftwiderstand vernachlässigt werden, beschreiben Wurfgeschosse parabelförmige Flugbahnen, da die Schwerkraft die vertikale, nicht aber die horizontale Bewegung des Körpers beeinflusst. Am höchsten Punkt der Flugbahn ist die vertikale Geschwindigkeit des Wurfgeschosses null, die Beschleunigung jedoch – wie zu jedem Zeitpunkt – nach unten gerichtet. Die falsche Vektorsetzung auf null ist ein häufiger Fehler unter Physikstudierenden. ^{[ 45 ]}${\displaystyle g}$

Bei einer gleichförmigen Kreisbewegung eines Körpers ändert die auf ihn wirkende Kraft die Bewegungsrichtung, nicht aber seine Geschwindigkeit. Bewegt sich ein Körper mit konstanter Geschwindigkeit auf einem Kreis mit Radius r , so hat seine Beschleunigung den Betrag g und ist zum Kreismittelpunkt gerichtet. ^{[ Anmerkung 9 ]} Die Kraft, die zur Aufrechterhaltung dieser Beschleunigung erforderlich ist – die sogenannte Zentripetalkraft –, ist daher ebenfalls zum Kreismittelpunkt gerichtet und hat den Betrag F. Viele Umlaufbahnen , wie beispielsweise die des Mondes um die Erde, lassen sich näherungsweise durch eine gleichförmige Kreisbewegung beschreiben. In solchen Fällen entspricht die Zentripetalkraft der Gravitation und hat nach dem Newtonschen Gravitationsgesetz den Betrag F = m/m , wobei m die Masse des größeren Körpers ist, um den der Körper kreist. Daher lässt sich die Masse eines Körpers aus Beobachtungen eines anderen, ihn umkreisenden Körpers berechnen. ^{[ 47 ] : 130} ${\displaystyle r}$${\displaystyle v}$$${\displaystyle a={\frac {v^{2}}{r}}}$$${\displaystyle mv^{2}/r}$${\displaystyle GMm/r^{2}}$${\displaystyle M}$

Newtons Kanonenkugel ist ein Gedankenexperiment , das zwischen Wurfparabel und gleichförmiger Kreisbewegung interpoliert. Eine Kanonenkugel, die schwach von einer hohen Klippe geworfen wird, schlägt in der gleichen Zeit auf dem Boden auf, als würde sie aus der Ruhe fallen gelassen. Der Grund dafür ist, dass die Schwerkraft den Impuls der Kugel nur nach unten beeinflusst und ihre Wirkung durch die horizontale Bewegung nicht verringert wird. Wird die Kanonenkugel mit einer höheren horizontalen Anfangsgeschwindigkeit abgeschossen, legt sie zwar eine größere Strecke zurück, schlägt aber dennoch in der gleichen Zeit auf dem Boden auf. Wird die Kanonenkugel jedoch mit einer noch höheren Anfangsgeschwindigkeit abgeschossen, spielt die Erdkrümmung eine bedeutende Rolle: Der Boden selbst krümmt sich von der fallenden Kanonenkugel weg. Eine sehr schnelle Kanonenkugel weicht mit der gleichen Geschwindigkeit von der geradlinigen Trägheitsbahn ab, mit der sich die Erde unter ihr krümmt; anders ausgedrückt: Sie befindet sich in einer Umlaufbahn (vorausgesetzt, sie wird nicht durch Luftwiderstand oder Hindernisse abgebremst). ^{[ 48 ]}

Betrachten wir einen Körper der Masse m, der sich entlang der Achse bewegen kann , und nehmen wir an, dass ein Gleichgewichtspunkt an der Position x existiert . Das heißt, an dieser Position ist die resultierende Kraft auf den Körper gleich dem Nullvektor, und nach dem zweiten Newtonschen Gesetz erfährt der Körper keine Beschleunigung. Ist die auf den Körper wirkende Kraft proportional zur Auslenkung vom Gleichgewichtspunkt und zum Gleichgewichtspunkt gerichtet, so führt der Körper eine harmonische Schwingung aus . Schreibt man die Kraft als F , so lautet das zweite Newtonsche Gesetz: Diese Differentialgleichung hat die Lösung ω = ν, wobei die Frequenz gleich ω ist und die Konstanten k und ν berechnet werden können, wenn beispielsweise die Position und die Geschwindigkeit des Körpers zu einem bestimmten Zeitpunkt, z. B. t = 0, bekannt sind . ${\displaystyle m}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x=0}$${\displaystyle x=0}$${\displaystyle F=-kx}$$${\displaystyle m{\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}=-kx\,.}$$$${\displaystyle x(t)=A\cos \omega t+B\sin \omega t\,}$$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle {\sqrt {k/m}}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle t=0}$

Ein Grund, warum der harmonische Oszillator ein konzeptionell wichtiges Beispiel ist, liegt darin, dass er eine gute Näherung für viele Systeme in der Nähe eines stabilen mechanischen Gleichgewichts darstellt. ^{[ Anmerkung 10 ]} Beispielsweise befindet sich ein Pendel in einem stabilen Gleichgewicht in der vertikalen Position: Befindet es sich dort in Ruhe, verharrt es in dieser Position; wird es leicht angestoßen, schwingt es hin und her. Vernachlässigt man Luftwiderstand und Reibung am Drehpunkt, so wirkt auf das Pendel die Schwerkraft, und das zweite Newtonsche Gesetz lautet dann: Hierbei ist l die Pendellänge und θ der Winkel zur Vertikalen. Bei kleinen Winkeln ist der Sinus von θ nahezu gleich φ (siehe Kleinwinkelnäherung ), und so vereinfacht sich dieser Ausdruck zur Gleichung für einen einfachen harmonischen Oszillator mit der Frequenz ω . $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}\theta }{\mathrm {d} t^{2}}}=-{\frac {g}{L}}\sin \theta ,}$$${\displaystyle L}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \omega ={\sqrt {g/L}}}$

Ein harmonischer Oszillator kann gedämpft werden, häufig durch Reibung oder viskosen Widerstand. In diesem Fall geht Energie aus dem Oszillator verloren und die Amplitude der Schwingungen nimmt mit der Zeit ab. Außerdem kann ein harmonischer Oszillator durch eine angelegte Kraft angeregt werden , was zum Phänomen der Resonanz führen kann . ^{[ 50 ]}

Die Newtonsche Physik betrachtet Materie als weder erzeugbar noch vernichtbar, obwohl sie umgeordnet werden kann. Es kann vorkommen, dass ein Objekt an Masse gewinnt oder verliert, weil ihm Materie hinzugefügt oder entfernt wird. In einem solchen Fall lassen sich die Newtonschen Gesetze auf die einzelnen Materieteilchen anwenden, wobei verfolgt wird, welche Teile im Laufe der Zeit zum betrachteten Objekt gehören. Wenn beispielsweise eine Rakete der Masse m, die sich mit der Geschwindigkeit v bewegt , Materie mit der Geschwindigkeit v relativ zur Rakete ausstößt, dann gilt ^{[ 24 ]} , wobei F die resultierende äußere Kraft ist (z. B. die Gravitationskraft eines Planeten). ^{[ 23 ] : 139} ${\displaystyle M(t)}$${\displaystyle \mathbf {v} (t)}$${\displaystyle \mathbf {u} }$$${\displaystyle \mathbf {F} =M{\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{\mathrm {d} t}}-\mathbf {u} {\frac {\mathrm {d} M}{\mathrm {d} t}}\,}$$${\displaystyle \mathbf {F} }$

Das Beispiel mit dem Ventilator und dem Segel wird häufig im Zusammenhang mit Newtons drittem Gesetz untersucht. ^{[ 51 ]} Dabei ist ein Ventilator an einem Wagen oder einem Segelboot befestigt und bläst auf dessen Segel. Nach dem dritten Gesetz würde man schlussfolgern, dass die Kraft der in eine Richtung wirkenden Luft die Kraft des Ventilators auf das Segel aufhebt, sodass die gesamte Konstruktion stillsteht. Da das System jedoch nicht vollständig geschlossen ist, gibt es Bedingungen, unter denen sich das Gefährt bewegt; beispielsweise, wenn das Segel so konstruiert ist, dass es den Großteil des Luftstroms zurück zum Ventilator lenkt, führt die resultierende Kraft zu einer Vorwärtsbewegung des Gefährts. ^{[ 34 ] [ 52 ]}

Das Energiekonzept wurde nach Newton entwickelt, ist aber heute ein untrennbarer Bestandteil der sogenannten „Newtonschen“ Physik. Energie lässt sich grob in kinetische Energie , bedingt durch die Bewegung eines Körpers, und potenzielle Energie , bedingt durch die Position eines Körpers relativ zu anderen, unterteilen. Thermische Energie , die durch Wärmefluss transportierte Energie, ist eine Form kinetischer Energie, die nicht mit der makroskopischen Bewegung von Objekten, sondern mit den Bewegungen der Atome und Moleküle, aus denen sie bestehen, verbunden ist. Gemäß dem Energieerhaltungssatz verrichtet eine Kraft, die auf einen Körper wirkt, während sich dieser entlang der Wirkungsrichtung der Kraft bewegt, Arbeit an dem Körper. Die verrichtete Arbeit entspricht der Änderung der kinetischen Energie des Körpers. ^{[ Anmerkung 11 ]} In vielen relevanten Fällen ist die von einer Kraft verrichtete Nettoarbeit, wenn sich ein Körper auf einer geschlossenen Bahn bewegt – also von einem Punkt aus eine bestimmte Bahn beschreibt und zum Ausgangspunkt zurückkehrt –, null. In diesem Fall lässt sich die Kraft durch den Gradienten einer Funktion, dem sogenannten Skalarpotential , ausdrücken : ^{[ 46 ] : 303} Dies gilt für viele Kräfte, darunter die Schwerkraft, jedoch nicht für Reibung; tatsächlich lässt sich fast jedes Problem in einem Mechaniklehrbuch, das keine Reibung beinhaltet, auf diese Weise darstellen. ^{[ 49 ] : 19} Die Möglichkeit, die Kraft so auszudrücken, lässt sich mit dem Energieerhaltungssatz erklären . Ohne Reibung, die die Energie eines Körpers in Wärme umwandelt, wandelt sich die Energie des Körpers zwischen potenzieller und (nicht-thermischer) kinetischer Energie um, wobei die Gesamtmenge konstant bleibt. Jede Zunahme kinetischer Energie, die auftritt, wenn die resultierende Kraft auf den Körper diesen beschleunigt, muss mit einem Verlust an potenzieller Energie einhergehen. Die resultierende Kraft auf den Körper wird also durch die Art und Weise bestimmt, wie die potenzielle Energie abnimmt. $${\displaystyle \mathbf {F} =-\mathbf {\nabla } U\,.}$$

Ein starrer Körper ist ein Objekt, dessen Größe nicht vernachlässigbar ist und das seine Form über die Zeit beibehält. In der Newtonschen Mechanik wird die Bewegung eines starren Körpers oft durch die Aufteilung in die Bewegung seines Massenschwerpunkts und die Bewegung um diesen Massenschwerpunkt verstanden.

Wesentliche Aspekte der Bewegung eines ausgedehnten Körpers lassen sich verstehen, indem man sich die Masse dieses Körpers in einem einzigen Punkt, dem Massenschwerpunkt, konzentriert vorstellt. Die Lage des Massenschwerpunkts hängt von der Verteilung der Masse des Körpers ab. Bei einer Ansammlung punktförmiger Objekte mit Massen an den Positionen liegt der Massenschwerpunkt bei , wobei die Gesamtmasse der Ansammlung ist. Ohne eine resultierende äußere Kraft bewegt sich der Massenschwerpunkt mit konstanter Geschwindigkeit geradlinig. Dies gilt beispielsweise für die Kollision zweier Körper. ^{[ 55 ]} Ist die resultierende äußere Kraft ungleich null, ändert der Massenschwerpunkt seine Geschwindigkeit, als wäre er ein Punktkörper der Masse . Dies folgt aus der Tatsache, dass die inneren Kräfte innerhalb der Ansammlung – die Kräfte, die die Objekte aufeinander ausüben – gemäß Newtons drittem Gesetz paarweise im Gleichgewicht sind. In einem System aus zwei Körpern, von denen einer wesentlich massereicher ist als der andere, fällt der Massenschwerpunkt annähernd mit der Position des massereicheren Körpers zusammen. ^{[ 19 ] : 22–24} ${\displaystyle m_{1},\ldots ,m_{N}}$${\displaystyle \mathbf {r} _{1},\ldots ,\mathbf {r} _{N}}$$${\displaystyle \mathbf {R} =\sum _{i=1}^{N}{\frac {m_{i}\mathbf {r} _{i}}{M}},}$$${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$

Wendet man Newtons Gesetze auf rotierende, ausgedehnte Körper an, so ergeben sich neue Größen, die den in den ursprünglichen Gesetzen verwendeten Größen analog sind. Das Analogon zur Masse ist das Trägheitsmoment , das Gegenstück zum Impuls ist der Drehimpuls und das Gegenstück zur Kraft ist das Drehmoment .

Der Drehimpuls wird bezüglich eines Bezugspunktes berechnet. ^{[ 56 ]} Ist der Verschiebungsvektor von einem Bezugspunkt zu einem Körper gegeben durch und besitzt der Körper den Impuls , so ist der Drehimpuls des Körpers bezüglich dieses Punktes, unter Verwendung des Vektorprodukts , gegeben durch . Die zeitliche Ableitung des Drehimpulses ergibt . Der erste Term verschwindet, da und in dieselbe Richtung zeigen. Der verbleibende Term ist das Drehmoment . Ist das Drehmoment null, so ist der Drehimpuls konstant, genau wie der Impuls konstant ist, wenn die Kraft null ist. ^{[ 19 ] : 14–15} Das Drehmoment kann auch dann verschwinden, wenn die Kraft ungleich null ist, falls sich der Körper im Bezugspunkt befindet ( ) oder wenn Kraft und Verschiebungsvektor entlang derselben Linie verlaufen. ${\displaystyle \mathbf {r} }$${\displaystyle \mathbf {p} }$$${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} .}$$$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} }{\mathrm {d} t}}=\left({\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}\right)\times \mathbf {p} +\mathbf {r} \times {\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} }{\mathrm {d} t}}=\mathbf {v} \times m\mathbf {v} +\mathbf {r} \times \mathbf {F} .}$$${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle m\mathbf {v} }$$${\displaystyle \mathbf {\tau } =\mathbf {r} \times \mathbf {F} .}$$${\displaystyle \mathbf {r} =0}$${\displaystyle \mathbf {F} }$${\displaystyle \mathbf {r} }$

Der Drehimpuls einer Ansammlung von Punktmassen und somit eines ausgedehnten Körpers ergibt sich durch Addition der Beiträge aller Punkte. Dies ermöglicht es, die Rotation eines Körpers um eine Achse zu charakterisieren, indem die Drehimpulse seiner einzelnen Teile addiert werden. Das Ergebnis hängt von der gewählten Achse, der Form des Körpers und der Rotationsgeschwindigkeit ab. ^{[ 19 ] : 28}

Newtons Gravitationsgesetz besagt, dass jeder Körper jeden anderen Körper entlang der Verbindungsgeraden anzieht. Die Stärke dieser Anziehungskraft ist proportional zum Produkt ihrer Massen und umgekehrt proportional zum Quadrat ihres Abstands. Die Bestimmung der Form der Bahnen, die durch dieses Gravitationsgesetz entstehen, ist als Kepler-Problem bekannt . Dieses Problem lässt sich auf verschiedene Weisen lösen, beispielsweise durch den Nachweis der Konstanz des Laplace-Runge-Lenz-Vektors ^{[ 57 ]} oder durch Anwendung einer Dualitätstransformation auf einen zweidimensionalen harmonischen Oszillator ^{[ 58 ]} . Unabhängig vom Lösungsweg ergeben sich Bahnen, die Kegelschnitte sind , also Ellipsen (einschließlich Kreise), Parabeln oder Hyperbeln . Die Exzentrizität der Bahn und damit die Art des Kegelschnitts wird durch die Energie und den Drehimpuls des umlaufenden Körpers bestimmt. Die Planeten besitzen nicht genügend Energie, um der Sonne zu entkommen, daher sind ihre Umlaufbahnen annähernd Ellipsen; da die Planeten sich gegenseitig anziehen, sind die tatsächlichen Umlaufbahnen nicht exakt Kegelschnitte.

Wird eine dritte Masse hinzugefügt, geht das Kepler-Problem in das Dreikörperproblem über, das im Allgemeinen keine exakte, geschlossene Lösung besitzt . Das heißt, es gibt keine Möglichkeit, ausgehend von den durch die Newtonschen Gesetze implizierten Differentialgleichungen, nach einer endlichen Folge mathematischer Standardoperationen Gleichungen zu erhalten, die die Bewegung der drei Körper über die Zeit beschreiben. ^{[ 59 ] [ 60 ]} Numerische Methoden können angewendet werden, um nützliche, wenn auch approximative Ergebnisse für das Dreikörperproblem zu erzielen. ^{[ 61 ]} Die Positionen und Geschwindigkeiten der Körper können in Variablen im Computerspeicher gespeichert werden; mithilfe der Newtonschen Gesetze wird berechnet, wie sich die Geschwindigkeiten über ein kurzes Zeitintervall ändern, und aus den Geschwindigkeiten lassen sich die Positionsänderungen über dieses Zeitintervall berechnen. Dieser Prozess wird wiederholt , um die Trajektorien der Körper näherungsweise zu berechnen. Generell gilt: Je kürzer das Zeitintervall, desto genauer die Approximation. ^{[ 62 ]}

Newtons Bewegungsgesetze lassen die Möglichkeit von Chaos zu . ^{[ 63 ] [ 64 ]} Das heißt, qualitativ gesprochen können physikalische Systeme, die Newtons Gesetzen gehorchen, eine empfindliche Abhängigkeit von ihren Anfangsbedingungen aufweisen: Eine geringfügige Änderung der Position oder Geschwindigkeit eines Teils eines Systems kann dazu führen, dass sich das gesamte System innerhalb kurzer Zeit radikal anders verhält. Bekannte Beispiele hierfür sind das Dreikörperproblem, das Doppelpendel , dynamisches Billard und das Fermi-Pasta-Ulam-Tsingou-Problem .

Newtons Gesetze lassen sich auf Fluide anwenden , indem man ein Fluid als aus infinitesimalen Teilen zusammengesetzt betrachtet, von denen jeder Kräfte auf benachbarte Teile ausübt. Die Eulersche Impulsgleichung ist eine an die Fluiddynamik angepasste Formulierung des zweiten Newtonschen Gesetzes. ^{[ 65 ] [ 66 ]} Ein Fluid wird durch ein Geschwindigkeitsfeld beschrieben, d. h. durch eine Funktion , die jedem Punkt in Raum und Zeit einen Geschwindigkeitsvektor zuordnet. Ein kleines Objekt, das von der Fluidströmung mitgerissen wird, kann seine Geschwindigkeit aus zwei Gründen ändern: erstens, weil sich das Geschwindigkeitsfeld an seinem Ort mit der Zeit ändert, und zweitens, weil es sich zu einem neuen Ort bewegt, an dem das Geschwindigkeitsfeld einen anderen Wert aufweist. Wendet man das zweite Newtonsche Gesetz auf einen infinitesimalen Teil eines Fluids an, so besteht die Beschleunigung aus zwei Termen, deren Kombination als totale oder materielle Ableitung bezeichnet wird . Die Masse eines infinitesimalen Teils hängt von der Fluiddichte ρ ab , und es wirkt eine resultierende Kraft auf ihn, wenn sich der Fluiddruck von einer Seite zur anderen ändert. Demnach ergibt sich ρ = ρ₀ + ρ₁ + ρ₁, wobei ρ die Dichte, ρ₁ der Druck und ρ₁ eine äußere Kraft wie die Gravitation darstellt. Die Berücksichtigung der Viskosität führt dazu , dass die Euler-Gleichung in eine Navier-Stokes-Gleichung übergeht : wobei die kinematische Viskosität ist . ^{[ 65 ]}${\displaystyle \mathbf {v} (\mathbf {x} ,t)}$${\displaystyle \mathbf {a} }$${\displaystyle \mathbf {a} =\mathbf {F} /m}$$${\displaystyle {\frac {\partial v}{\partial t}}+(\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {v} )\mathbf {v} =-{\frac {1}{\rho }}\mathbf {\nabla } P+\mathbf {f} ,}$$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle P}$${\displaystyle \mathbf {f} }$$${\displaystyle {\frac {\partial v}{\partial t}}+(\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {v} )\mathbf {v} =-{\frac {1}{\rho }}\mathbf {\nabla } P+\nu \nabla ^{2}\mathbf {v} +\mathbf {f} ,}$$${\displaystyle \nu }$

Mathematisch ist es möglich, dass sich eine Ansammlung von Punktmassen, die sich gemäß den Newtonschen Gesetzen bewegen, so heftig voneinander wegschleudert, dass sie in endlicher Zeit ins Unendliche fliegen. ^{[ 67 ]} Dieses unphysikalische Verhalten, bekannt als „Nichtkollisionssingularität“ ^{[ 60 ],} setzt voraus, dass die Massen punktförmig sind und sich beliebig nahe kommen können, sowie dass es in der Newtonschen Physik keine relativistische Geschwindigkeitsbegrenzung gibt . ^{[ 68 ]}

Es ist noch nicht bekannt, ob die Euler- und Navier-Stokes-Gleichungen ein analoges Verhalten aufweisen, bei dem anfänglich glatte Lösungen in endlicher Zeit „explodieren“. Die Frage nach der Existenz und Glattheit von Navier-Stokes-Lösungen ist eines der Millennium-Probleme . ^{[ 69 ]}

Die klassische Mechanik lässt sich mathematisch auf vielfältige Weise formulieren, neben der „Newtonschen“ Beschreibung (die selbstverständlich Beiträge anderer vor und nach Newton enthält). Der physikalische Gehalt dieser verschiedenen Formulierungen ist derselbe wie bei der Newtonschen, sie liefern jedoch unterschiedliche Erkenntnisse und ermöglichen verschiedene Arten von Berechnungen. So verdeutlicht beispielsweise die Lagrange-Mechanik den Zusammenhang zwischen Symmetrien und Erhaltungssätzen und ist nützlich für die Berechnung der Bewegung eingeschränkter Körper, etwa einer Masse, die sich entlang einer gekrümmten Bahn oder auf der Oberfläche einer Kugel bewegt. ^{[ 19 ] : 48} Die Hamilton-Mechanik ist für die statistische Physik geeignet , ^{[ 70 ] [ 71 ] : 57} führt zu weiteren Erkenntnissen über Symmetrien ^{[ 19 ] : 251} und kann zu anspruchsvollen Techniken der Störungstheorie weiterentwickelt werden . ^{[ 19 ] : 284} Aufgrund der Breite dieser Themen beschränkt sich die Diskussion hier auf kurze Darstellungen, wie sie Newtons Bewegungsgesetze neu formulieren.

Die Lagrange-Mechanik unterscheidet sich von der Newtonschen Formulierung dadurch, dass sie ganze Trajektorien gleichzeitig betrachtet, anstatt die Bewegung eines Körpers zu einem einzelnen Zeitpunkt vorherzusagen. ^{[ 19 ] : 109} In der Lagrange-Mechanik ist es üblich, die Position mit und die Geschwindigkeit mit zu bezeichnen . Das einfachste Beispiel ist ein massives Punktteilchen, dessen Lagrange-Funktion als Differenz zwischen seiner kinetischen und potenziellen Energie geschrieben werden kann: wobei die kinetische Energie und die potenzielle Energie eine Funktion der Position ist . Der physikalische Weg, den das Teilchen zwischen einem Anfangs- und einem Endpunkt zurücklegt, ist der Weg, für den das Integral der Lagrange-Funktion „stationär“ ist. Das heißt, der physikalische Weg hat die Eigenschaft, dass kleine Störungen des Weges das Integral der Lagrange-Funktion in erster Näherung nicht verändern. Die Variationsrechnung liefert die mathematischen Werkzeuge zur Bestimmung dieses Weges. ^{[ 46 ] : 485} Die Anwendung der Variationsrechnung zur Bestimmung der Bahn führt zur Euler-Lagrange-Gleichung für das Teilchen. Die Auswertung der partiellen Ableitungen der Lagrange-Funktion ergibt eine Umformulierung des zweiten Newtonschen Gesetzes. Die linke Seite ist die zeitliche Ableitung des Impulses, die rechte Seite die Kraft, ausgedrückt durch die potenzielle Energie. ^{[ 9 ] : 737} ${\displaystyle q}$${\displaystyle {\dot {q}}}$$${\displaystyle L(q,{\dot {q}})=T-V,}$$$${\displaystyle T={\frac {1}{2}}m{\dot {q}}^{2}}$$${\displaystyle V(q)}$${\displaystyle q_{i}}$${\displaystyle q_{f}}$$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}\right)={\frac {\partial L}{\partial q}}.}$$$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}(m{\dot {q}})=-{\frac {\mathrm {d} V}{\mathrm {d} q}},}$$

Landau und Lifshitz argumentieren, dass die Lagrange-Formulierung den begrifflichen Gehalt der klassischen Mechanik verständlicher macht als der Ausgangspunkt, nämlich Newtons Gesetze. ^{[ 29 ]} Die Lagrange-Mechanik bietet einen geeigneten Rahmen für den Beweis des Noether-Theorems , welches Symmetrien und Erhaltungssätze miteinander verknüpft. ^{[ 72 ]} Die Impulserhaltung lässt sich durch Anwendung des Noether-Theorems auf eine Lagrange-Funktion für ein Mehrteilchensystem herleiten; somit ist Newtons drittes Gesetz ein Theorem und keine Annahme. ^{[ 19 ] : 124}

In der Hamiltonschen Mechanik wird die Dynamik eines Systems durch eine Funktion, den sogenannten Hamiltonoperator, beschrieben, der in vielen relevanten Fällen der Gesamtenergie des Systems entspricht. ^{[ 9 ] : 742} Der Hamiltonoperator ist eine Funktion der Positionen und Impulse aller Körper des Systems und kann auch explizit von der Zeit abhängen. Die zeitlichen Ableitungen der Positions- und Impulsvariablen ergeben sich aus den partiellen Ableitungen des Hamiltonoperators, die mithilfe der Hamiltonschen Gleichungen hergeleitet werden . ^{[ 19 ] : 203} Das einfachste Beispiel ist eine Punktmasse, die sich unter dem Einfluss eines Potentials geradlinig bewegt. Setzt man für die Positionskoordinate und für den Impuls des Körpers, so lautet der Hamiltonoperator: In diesem Beispiel lauten die Hamiltonschen Gleichungen: und . Durch Auswertung dieser partiellen Ableitungen erhält man für die erste Gleichung: , was die bekannte Aussage bestätigt, dass der Impuls eines Körpers das Produkt aus seiner Masse und seiner Geschwindigkeit ist. Die zeitliche Ableitung des Impulses lautet: , was, wenn man die negative Ableitung des Potentials mit der Kraft gleichsetzt, erneut dem zweiten Newtonschen Gesetz entspricht. ^{[ 63 ] [ 9 ] : 742} ${\displaystyle m}$${\displaystyle q}$${\displaystyle p}$$${\displaystyle {\mathcal {H}}(p,q)={\frac {p^{2}}{2m}}+V(q).}$$$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} q}{\mathrm {d} t}}={\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial p}}}$$$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} p}{\mathrm {d} t}}=-{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial q}}.}$$$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} q}{\mathrm {d} t}}={\frac {p}{m}},}$$$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} p}{\mathrm {d} t}}=-{\frac {\mathrm {d} V}{\mathrm {d} q}},}$$

Wie in der Lagrange-Formulierung lässt sich auch in der Hamiltonschen Mechanik die Impulserhaltung mithilfe des Noether-Theorems herleiten, wodurch Newtons drittes Gesetz zu einer hergeleiteten und nicht zu einer vorausgesetzten Erkenntnis wird. ^{[ 19 ] : 251}

Zu den Vorschlägen zur Reform des Standardlehrplans für die Einführung in die Physik gehört einer, der das Konzept der Energie vor dem der Kraft lehrt, im Wesentlichen eine „einführende Hamiltonsche Mechanik“. ^{[ 73 ] [ 74 ]}

Die Hamilton-Jacobi-Gleichung liefert eine weitere Formulierung der klassischen Mechanik, die sie mathematisch analog zur Wellenoptik macht . ^{[ 19 ] : 284 [ 75 ]} Auch diese Formulierung verwendet Hamilton-Funktionen, jedoch anders als die oben beschriebene. Die Bahnen von Körpern oder Körpergruppen werden aus einer Funktion von Ort und Zeit abgeleitet . Der Hamilton-Operator ist in die Hamilton-Jacobi-Gleichung, eine Differentialgleichung für , integriert . Körper bewegen sich im Laufe der Zeit so, dass ihre Trajektorien senkrecht zu den Flächen konstanter verlaufen , analog zur Ausbreitung eines Lichtstrahls senkrecht zu seiner Wellenfront. Am einfachsten lässt sich dies für den Fall einer einzelnen Punktmasse ausdrücken, wobei eine Funktion ist und sich die Punktmasse in die Richtung bewegt, in der sich am stärksten ändert. Anders ausgedrückt: Der Impuls der Punktmasse ist der Gradient von : Die Hamilton-Jacobi-Gleichung für eine Punktmasse lautet: Der Zusammenhang zu den Newtonschen Gesetzen lässt sich erkennen, wenn man eine Punktmasse betrachtet, die sich in einem zeitunabhängigen Potential bewegt. In diesem Fall lautet die Hamilton-Jacobi-Gleichung: Durch Gradientenbildung auf beiden Seiten erhält man: Vertauscht man die Reihenfolge der partiellen Ableitungen auf der linken Seite und wendet die Potenz- und Kettenregel auf den ersten Term auf der rechten Seite an, so erhält man: Fasst man die Terme zusammen, die vom Gradienten von abhängen , so ergibt sich eine weitere Umformulierung des zweiten Newtonschen Gesetzes. ^{[ 76 ]} Der Ausdruck in Klammern ist, wie bereits erwähnt, eine totale oder materielle Ableitung ^{[ 77 ]} , wobei der erste Term angibt, wie sich die differenzierte Funktion an einem festen Ort mit der Zeit ändert, und der zweite Term beschreibt, wie ein sich bewegendes Teilchen unterschiedliche Werte dieser Funktion erfährt, während es sich von Ort zu Ort bewegt. ${\displaystyle S(\mathbf {q} _{1},\mathbf {q} _{2},\ldots ,t)}$${\displaystyle \mathbf {q} _{i}}$${\displaystyle t}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S(\mathbf {q} ,t)}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$$${\displaystyle \mathbf {v} ={\frac {1}{m}}\mathbf {\nabla } S.}$$$${\displaystyle -{\frac {\partial S}{\partial t}}=H\left(\mathbf {q} ,\mathbf {\nabla } S,t\right).}$$${\displaystyle V(\mathbf {q} )}$$${\displaystyle -{\frac {\partial S}{\partial t}}={\frac {1}{2m}}\left(\mathbf {\nabla } S\right)^{2}+V(\mathbf {q} ).}$$$${\displaystyle -\mathbf {\nabla } {\frac {\partial S}{\partial t}}={\frac {1}{2m}}\mathbf {\nabla } \left(\mathbf {\nabla } S\right)^{2}+\mathbf {\nabla } V.}$$$${\displaystyle -{\frac {\partial }{\partial t}}\mathbf {\nabla } S={\frac {1}{m}}\left(\mathbf {\nabla } S\cdot \mathbf {\nabla } \right)\mathbf {\nabla } S+\mathbf {\nabla } V.}$$${\displaystyle S}$$${\displaystyle \left[{\frac {\partial }{\partial t}}+{\frac {1}{m}}\left(\mathbf {\nabla } S\cdot \mathbf {\nabla } \right)\right]\mathbf {\nabla } S=-\mathbf {\nabla } V.}$$$${\displaystyle \left[{\frac {\partial }{\partial t}}+{\frac {1}{m}}\left(\mathbf {\nabla } S\cdot \mathbf {\nabla } \right)\right]=\left[{\frac {\partial }{\partial t}}+\mathbf {v} \cdot \mathbf {\nabla } \right]={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}.}$$

In der statistischen Physik wendet die kinetische Gastheorie die Newtonschen Bewegungsgesetze auf große Teilchenzahlen (typischerweise in der Größenordnung der Avogadro-Konstante ) an. Die kinetische Theorie erklärt beispielsweise den Druck , den ein Gas auf den Behälter ausübt, als Summe vieler Atomstöße, von denen jeder einen winzigen Impuls überträgt. ^{[ 71 ] : 62}

Die Langevin-Gleichung ist ein Spezialfall des zweiten Newtonschen Gesetzes, angepasst für die Beschreibung eines kleinen Objekts, das stochastisch von noch kleineren Objekten getroffen wird. ^{[ 78 ] : 235} Sie lässt sich wie folgt schreiben: Hierbei ist ein Widerstandskoeffizient und eine Kraft, die von Moment zu Moment zufällig variiert und die Nettoauswirkung der Kollisionen mit den umgebenden Partikeln darstellt. Sie wird zur Modellierung der Brownschen Bewegung verwendet . ^{[ 79 ]}$${\displaystyle m\mathbf {a} =-\gamma \mathbf {v} +\mathbf {\xi } \,}$$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \mathbf {\xi } }$

Newtons drei Gesetze können auf Phänomene im Zusammenhang mit Elektrizität und Magnetismus angewendet werden , allerdings gibt es dabei Feinheiten und Einschränkungen.

Das Coulombsche Gesetz für die elektrische Kraft zwischen zwei ruhenden, elektrisch geladenen Körpern hat eine sehr ähnliche mathematische Form wie Newtons Gravitationsgesetz: Die Kraft ist proportional zum Produkt der Ladungen, umgekehrt proportional zum Quadrat des Abstands zwischen ihnen und wirkt entlang der Verbindungslinie. Die Coulombsche Kraft, die eine Ladung auf eine andere ausübt, ist betragsmäßig gleich der Kraft, die auf eine andere Ladung wirkt , und sie ist genau entgegengesetzt gerichtet. Das Coulombsche Gesetz steht somit im Einklang mit Newtons drittem Gesetz. ^{[ 80 ]}${\displaystyle q_{1}}$${\displaystyle q_{2}}$${\displaystyle q_{2}}$${\displaystyle q_{1}}$

Der Elektromagnetismus betrachtet Kräfte als Wirkung von Feldern auf Ladungen. Das Lorentz-Kraftgesetz liefert einen Ausdruck für die Kraft auf einen geladenen Körper, der in das zweite Newtonsche Gesetz eingesetzt werden kann, um dessen Beschleunigung zu berechnen. ^{[ 81 ] : 85} Gemäß dem Lorentz-Kraftgesetz erfährt ein geladener Körper in einem elektrischen Feld eine Kraft in Richtung dieses Feldes, die proportional zu seiner Ladung und zur Stärke des elektrischen Feldes ist. Zusätzlich erfährt ein sich bewegender geladener Körper in einem Magnetfeld eine Kraft, die ebenfalls proportional zu seiner Ladung ist und senkrecht sowohl zum Feld als auch zur Bewegungsrichtung des Körpers wirkt. Mithilfe des Vektorprodukts …${\displaystyle q}$$${\displaystyle \mathbf {F} =q\mathbf {E} +q\mathbf {v} \times \mathbf {B} .}$$

Verschwindet das elektrische Feld ( ), so wirkt die Kraft senkrecht zur Bewegungsrichtung der Ladung, genau wie im oben beschriebenen Fall der gleichförmigen Kreisbewegung, und die Ladung kreist (oder allgemeiner bewegt sie sich spiralförmig ) um die Magnetfeldlinien mit der Zyklotronfrequenz . ^{[ 78 ] : 222} Die Massenspektrometrie funktioniert, indem sie elektrische und/oder magnetische Felder auf bewegte Ladungen anlegt und die resultierende Beschleunigung misst, woraus sich mithilfe des Lorentz-Kraftgesetzes das Verhältnis von Masse zu Ladung ergibt . ^{[ 82 ]}${\displaystyle \mathbf {E} =0}$${\displaystyle \omega =qB/m}$

Ansammlungen geladener Körper gehorchen nicht immer dem dritten Newtonschen Gesetz: Der Impuls eines Körpers kann sich ändern, ohne dass sich der Impuls eines anderen entsprechend ändert. Diese Diskrepanz lässt sich durch den Impuls des elektromagnetischen Feldes selbst erklären. Der Impuls pro Volumeneinheit des elektromagnetischen Feldes ist proportional zum Poynting-Vektor . ^{[ 83 ] : 184 [ 84 ]}

Zwischen Elektromagnetismus und Newtons erstem Gesetz besteht ein subtiler konzeptioneller Konflikt: Maxwells Theorie des Elektromagnetismus sagt voraus, dass sich elektromagnetische Wellen im Vakuum mit konstanter, bestimmter Geschwindigkeit ausbreiten. Daher scheinen einige Inertialbeobachter einen privilegierten Status gegenüber anderen zu haben, nämlich jene, die die Lichtgeschwindigkeit messen und den von den Maxwell-Gleichungen vorhergesagten Wert ermitteln. Anders ausgedrückt: Licht liefert einen absoluten Geschwindigkeitsstandard, doch das Trägheitsprinzip besagt, dass es keinen solchen Standard geben sollte. Diese Spannung wird in der speziellen Relativitätstheorie aufgelöst, die die Begriffe von Raum und Zeit so revidiert, dass alle Inertialbeobachter in der Lichtgeschwindigkeit im Vakuum übereinstimmen. ^{[ Anmerkung 12 ]}

In der speziellen Relativitätstheorie verliert die von Wilczek als „Newtons nulltes Gesetz“ bezeichnete Regel ihre Gültigkeit: Die Masse eines zusammengesetzten Objekts ist nicht einfach die Summe der Massen seiner einzelnen Bestandteile. ^{[ 87 ] : 33} Newtons erstes Gesetz, die Trägheitsbewegung, bleibt weiterhin gültig. Auch eine Form von Newtons zweitem Gesetz, wonach Kraft die Änderungsrate des Impulses ist, gilt weiterhin, ebenso wie die Impulserhaltung. Die Definition des Impulses wird jedoch modifiziert. Eine Konsequenz daraus ist, dass ein Körper umso schwerer zu beschleunigen ist, je schneller er sich bewegt, und dass er daher, egal wie viel Kraft angewendet wird, nicht auf Lichtgeschwindigkeit beschleunigt werden kann. Je nach Problemstellung kann der Impuls in der speziellen Relativitätstheorie als dreidimensionaler Vektor dargestellt werden, wobei m die Ruhemasse des Körpers und α der Lorentzfaktor ist , der von der Geschwindigkeit des Körpers abhängt. Alternativ können Impuls und Kraft als Vierervektoren dargestellt werden . ^{[ 88 ] : 107} ${\displaystyle \mathbf {p} =m\gamma \mathbf {v} }$${\displaystyle m}$${\displaystyle \gamma }$

Newtons drittes Gesetz muss in der speziellen Relativitätstheorie modifiziert werden. Das dritte Gesetz beschreibt die Kräfte zwischen zwei Körpern im selben Moment. Ein zentrales Merkmal der speziellen Relativitätstheorie ist die Relativität der Gleichzeitigkeit. Ereignisse, die relativ zu einem Beobachter gleichzeitig stattfinden, können relativ zu einem anderen Beobachter zu unterschiedlichen Zeitpunkten eintreten. Daher sind Aktion und Reaktion im Bezugssystem eines bestimmten Beobachters möglicherweise nicht exakt entgegengesetzt, und der Gesamtimpuls der wechselwirkenden Körper ist unter Umständen nicht erhalten. Die Impulserhaltung wird wiederhergestellt, indem der im Feld, das die Wechselwirkung der Körper beschreibt, gespeicherte Impuls berücksichtigt wird. ^{[ 89 ] [ 90 ]}

Die Newtonsche Mechanik ist eine gute Näherung für die spezielle Relativitätstheorie, wenn die Geschwindigkeiten klein im Vergleich zur Lichtgeschwindigkeit sind. ^{[ 91 ] : 131}

Die allgemeine Relativitätstheorie ist eine Gravitationstheorie, die über die Newtonsche Theorie hinausgeht. In der allgemeinen Relativitätstheorie wird die Gravitationskraft der Newtonschen Mechanik als Krümmung der Raumzeit neu interpretiert . Eine gekrümmte Bahn, wie eine Umlaufbahn, die in der Newtonschen Mechanik der Gravitationskraft zugeschrieben wird, ist nicht das Ergebnis einer Kraft, die einen Körper von einer idealen geradlinigen Bahn ablenkt, sondern vielmehr der Versuch des Körpers, frei durch einen Hintergrund zu fallen, der selbst durch die Anwesenheit anderer Massen gekrümmt ist. Ein unter Physikern sprichwörtlicher Ausspruch von John Archibald Wheeler fasst die Theorie treffend zusammen: „Die Raumzeit sagt der Materie, wie sie sich bewegen soll; die Materie sagt der Raumzeit, wie sie sich krümmen soll.“ ^{[ 92 ] [ 93 ]} Wheeler selbst betrachtete diese Wechselbeziehung als eine moderne, verallgemeinerte Form des dritten Newtonschen Gesetzes. ^{[ 92 ]} Die Beziehung zwischen Materieverteilung und Raumzeitkrümmung wird durch die Einsteinschen Feldgleichungen beschrieben , deren Formulierung die Tensorrechnung erfordert. ^{[ 87 ] : 43 [ 94 ]}

Die Newtonsche Gravitationstheorie stellt eine gute Näherung für die Vorhersagen der allgemeinen Relativitätstheorie dar, wenn die Gravitationseffekte schwach sind und sich Objekte langsam im Vergleich zur Lichtgeschwindigkeit bewegen. ^{[ 85 ] : 327 [ 95 ]}

Die Quantenmechanik ist eine physikalische Theorie, die ursprünglich entwickelt wurde, um mikroskopische Phänomene zu verstehen: das Verhalten von Molekülen, Atomen oder subatomaren Teilchen. Vereinfacht gesagt: Je kleiner ein System ist, desto wichtiger ist ein adäquates mathematisches Modell, das Quanteneffekte berücksichtigt. Die konzeptionelle Grundlage der Quantenphysik unterscheidet sich grundlegend von der der klassischen Physik . Anstatt Größen wie Ort, Impuls und Energie als Eigenschaften eines Objekts zu betrachten , untersucht man, welches Ergebnis bei einer Messung einer bestimmten Art auftreten könnte. Die Quantenmechanik ermöglicht es dem Physiker, die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, mit der eine bestimmte Messung ein bestimmtes Ergebnis liefert. ^{[ 96 ] [ 97 ]} Der Erwartungswert einer Messung ist der Mittelwert der möglichen Ergebnisse, gewichtet mit ihren jeweiligen Eintrittswahrscheinlichkeiten. ^{[ 98 ]}

Das Ehrenfest-Theorem stellt eine Verbindung zwischen quantenmechanischen Erwartungswerten und dem zweiten Newtonschen Gesetz her. Diese Verbindung ist jedoch notwendigerweise ungenau, da sich die Quantenphysik fundamental von der klassischen Physik unterscheidet. In der Quantenphysik werden Ort und Impuls durch mathematische Größen, sogenannte hermitesche Operatoren , repräsentiert. Die Bornsche Regel dient zur Berechnung der Erwartungswerte einer Orts- oder Impulsmessung. Diese Erwartungswerte ändern sich im Allgemeinen mit der Zeit; das heißt, je nachdem, zu welchem ​​Zeitpunkt beispielsweise eine Ortsmessung durchgeführt wird, variieren die Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen möglichen Ergebnisse. Vereinfacht ausgedrückt besagt das Ehrenfest-Theorem, dass die Gleichungen, die die zeitliche Änderung dieser Erwartungswerte beschreiben, eine Form aufweisen, die an das zweite Newtonsche Gesetz erinnert. Je ausgeprägter jedoch die Quanteneffekte in einer gegebenen Situation sind, desto schwieriger ist es, aus dieser Ähnlichkeit sinnvolle Schlussfolgerungen zu ziehen. ^{[ Anmerkung 13 ]}

Die in Newtons Bewegungsgesetzen verwendeten Konzepte – Masse, Geschwindigkeit, Impuls, Kraft – haben ihre Vorläufer in früheren Arbeiten, und der Inhalt der Newtonschen Physik wurde nach Newtons Zeit weiterentwickelt. Newton verband das Wissen über Himmelsbewegungen mit der Untersuchung von Ereignissen auf der Erde und zeigte, dass eine einzige Theorie der Mechanik beides umfassen kann. ^{[ 101 ]}

Die Physik wird oft auf Aristoteles zurückgeführt , doch die Geschichte der zugrundeliegenden Konzepte ist durch verschiedene Faktoren verschleiert. Eine exakte Entsprechung zwischen aristotelischen und modernen Konzepten lässt sich nicht einfach herstellen: Aristoteles unterschied nicht klar zwischen Geschwindigkeit und Kraft, verwendete denselben Begriff für Dichte und Viskosität und verstand Bewegung stets als Bewegung durch ein Medium, nicht durch den Raum. Zudem lassen sich einige Konzepte, die oft als „aristotelisch“ bezeichnet werden, besser seinen Nachfolgern und Kommentatoren zuschreiben. ^{[ 102 ]} Diese Kommentatoren stellten fest, dass die aristotelische Physik Schwierigkeiten hatte, die Wurfparabel zu erklären. ^{[ Anmerkung 14 ]} Aristoteles teilte die Bewegung in zwei Arten ein: „natürliche“ und „gewaltsame“. Die „natürliche“ Bewegung fester Materie auf der Erde war das Fallen nach unten, während eine „gewaltsame“ Bewegung einen Körper seitwärts bewegen konnte. Darüber hinaus benötigte eine „gewaltsame“ Bewegung in der aristotelischen Physik eine unmittelbare Ursache; ohne diese Ursache würde ein Körper zu seinem „natürlichen“ Verhalten zurückkehren. Doch der Speer bewegt sich weiter, nachdem er die Hand des Werfers verlassen hat. Aristoteles schloss daraus, dass die Luft um den Speer herum die Fähigkeit besitzen müsse, ihn vorwärts zu bewegen.

Johannes Philoponos , ein byzantinischer griechischer Denker des 6. Jahrhunderts, hielt dies für absurd: Dasselbe Medium, die Luft, sollte sowohl Bewegung ermöglichen als auch hemmen. Wäre Aristoteles’ Idee richtig, so Philoponos, würden Armeen ihre Waffen durch Blasen mit Blasebälgen abfeuern. Philoponos argumentierte, dass die Bewegung eines Körpers ihm eine Eigenschaft, den Impetus , verleihe, die im Körper selbst enthalten sei. Solange dieser Impetus aufrechterhalten werde, bewege sich der Körper weiter. ^{[ 104 ] : 47} In den folgenden Jahrhunderten wurden verschiedene Versionen der Impetustheorie von Gelehrten wie Nur ad-Din al-Bitruji , Avicenna , Abu'l-Barakāt al-Baghdādī , Johannes Buridan und Albrecht von Sachsen weiterentwickelt . Rückblickend kann die Idee des Impetus als Vorläufer des modernen Konzepts des Impulses betrachtet werden. ^{[ Anmerkung 15 ]} Die Vorstellung, dass sich Objekte aufgrund einer Art Impuls bewegen, ist bei vielen Studenten der Einführungskurse in Physik weiterhin verbreitet. ^{[ 106 ]}

Der französische Philosoph René Descartes führte den Begriff der Trägheit in seinen „Naturgesetzen“ in seinem Werk „ Die Welt “ ( Traité du monde et de la lumière ), das er zwischen 1629 und 1633 verfasste, ein. Descartes vertrat jedoch ein heliozentrisches Weltbild, das 1633 einen heftigen Konflikt zwischen Galileo Galilei und der römisch-katholischen Inquisition auslöste . Descartes war sich dieser Kontroverse bewusst und wollte sich nicht einmischen. Sein Werk wurde erst 1664, zehn Jahre nach seinem Tod, veröffentlicht. ^{[ 107 ]}

Das moderne Konzept der Trägheit wird Galilei zugeschrieben. Basierend auf seinen Experimenten schloss er, dass das „natürliche“ Verhalten eines sich bewegenden Körpers darin besteht, sich so lange weiterzubewegen, bis etwas anderes auf ihn einwirkt. In „ Zwei neue Wissenschaften “ (1638) schrieb Galilei: ^{[ 108 ] [ 109 ]}

Stellen Sie sich ein beliebiges Teilchen vor, das reibungsfrei auf einer horizontalen Ebene projiziert wird; dann wissen wir aus den Ausführungen auf den vorangegangenen Seiten, dass sich dieses Teilchen auf derselben Ebene mit einer gleichförmigen und unaufhörlichen Bewegung fortbewegen wird, vorausgesetzt, die Ebene hat keine Begrenzungen.

Galilei erkannte, dass bei einem Wurf die Erdanziehungskraft die vertikale, nicht aber die horizontale Bewegung beeinflusst. ^{[ 110 ]} Allerdings entsprach Galileis Trägheitsbegriff nicht exakt dem, was später in Newtons erstem Gesetz formuliert wurde. Galilei ging davon aus, dass ein Körper, der sich trägheitsmäßig über eine lange Strecke bewegt, der Erdkrümmung folgt. Diese Vorstellung wurde von Isaac Beeckman , Descartes und Pierre Gassendi korrigiert , die erkannten, dass Trägheitsbewegung eine geradlinige Bewegung sein sollte. ^{[ 111 ]} Descartes veröffentlichte seine Naturgesetze (Bewegungsgesetze) mit dieser Korrektur 1644 in den „Principia Philosophiae “ ( Principia Philosophiae ), wobei der heliozentrische Aspekt abgeschwächt wurde. ^{[ 112 ] [ 107 ]}

Erstes Naturgesetz: Jedes Ding bleibt, wenn es sich selbst überlassen wird, im selben Zustand; so bewegt sich also jeder Körper so lange, bis ihn etwas daran hindert.

Zweites Naturgesetz: Jeder sich bewegende Körper bewegt sich, wenn er sich selbst überlassen wird, geradlinig; daher neigt jeder Körper, der sich im Kreis bewegt, dazu, sich vom Mittelpunkt des Kreises weg zu bewegen.

Nach Angaben des amerikanischen Philosophen Richard J. Blackwell hatte der niederländische Wissenschaftler Christiaan Huygens im Jahr 1656 seine eigene, prägnante Version des Gesetzes ausgearbeitet. ^{[ 113 ]} Sie wurde erst 1703, acht Jahre nach seinem Tod, im ersten Absatz von De Motu Corporum ex Percussione veröffentlicht .

Hypothese I: Jeder Körper, der sich bereits in Bewegung befindet, wird sich weiterhin mit der gleichen Geschwindigkeit und geradlinig bewegen, solange er nicht behindert wird.

Laut Huygens war dieses Gesetz unter anderem bereits Galilei und Descartes bekannt. ^{[ 113 ]}

Christiaan Huygens stellte in seinem Werk „Horologium Oscillatorium “ (1673) die Hypothese auf, dass „Körper durch die Wirkung der Schwerkraft, gleich welcher Art, durch eine Bewegung bewegt werden, die sich sowohl aus einer gleichförmigen Bewegung in die eine oder andere Richtung als auch aus einer durch die Schwerkraft bedingten Abwärtsbewegung zusammensetzt.“ Newtons zweites Gesetz verallgemeinerte diese Hypothese von der Schwerkraft auf alle Kräfte. ^{[ 114 ]}

Ein wichtiges Merkmal der Newtonschen Physik ist, dass Kräfte auch über eine Distanz wirken können , ohne dass ein physischer Kontakt erforderlich ist. ^{[ Anmerkung 16 ]} Beispielsweise ziehen sich Sonne und Erde gravitativ an, obwohl sie Millionen von Kilometern voneinander entfernt sind. Dies steht im Gegensatz zu der unter anderem von Descartes vertretenen Vorstellung, dass die Gravitation der Sonne die Planeten in ihrer Umlaufbahn hält, indem sie diese in einem Strudel aus transparenter Materie, dem Äther , kreisen lässt . ^{[ 121 ]} Newton erwog zwar ätherische Erklärungen der Kräfte, verwarf sie aber letztlich. ^{[ 119 ]} Die Erforschung des Magnetismus durch William Gilbert und andere schuf einen Präzedenzfall für die Betrachtung immaterieller Kräfte. ^{[ 119 ]} Da Newton keine quantitativ zufriedenstellende Erklärung seines Gravitationsgesetzes mithilfe eines Äthermodells finden konnte, erklärte er schließlich: „ Ich stelle keine Hypothesen auf .“ Ob ein Modell wie Descartes’ Wirbel den Theorien der Bewegung und Gravitation in den Principia zugrunde liegen könnte oder nicht , die erste Grundlage für deren Beurteilung müssen die erfolgreichen Vorhersagen sein, die sie gemacht haben. ^{[ 122 ]} Und tatsächlich ist seit Newtons Zeit jeder Versuch, ein solches Modell zu entwickeln, gescheitert .

Johannes Kepler vermutete, dass Gravitationskräfte wechselseitig seien – dass beispielsweise der Mond die Erde und die Erde den Mond anzieht –, argumentierte aber nicht, dass solche Kräftepaare gleich groß und entgegengesetzt seien. ^{[ 123 ]} In seinen „Prinzipien der Philosophie “ (1644) führte Descartes die Idee ein, dass bei einer Kollision zwischen Körpern eine „Bewegungsgröße“ unverändert bleibt. Descartes definierte diese Größe etwas ungenau, indem er die Produkte aus Geschwindigkeit und „Größe“ jedes Körpers addierte, wobei „Größe“ für ihn sowohl Volumen als auch Oberfläche umfasste. ^{[ 124 ]} Descartes betrachtete das Universum zudem als Plenum , also als mit Materie gefüllt, sodass jede Bewegung voraussetzte, dass ein Körper bei seiner Bewegung ein Medium verdrängte.

In den 1650er Jahren untersuchte Huygens Stöße zwischen harten Kugeln und leitete daraus ein Prinzip ab, das heute als Impulserhaltungssatz bekannt ist. ^{[ 125 ] [ 126 ]} Christopher Wren leitete später dieselben Regeln für elastische Stöße ab wie Huygens, und John Wallis wandte den Impulserhaltungssatz auf inelastische Stöße an . Newton zitierte die Arbeiten von Huygens, Wren und Wallis, um die Gültigkeit seines dritten Newtonschen Gesetzes zu untermauern. ^{[ 127 ]}

Newton gelangte schrittweise zu seinen drei Gesetzen. In einem 1684 an Huygens gerichteten Manuskript führte er vier Gesetze auf: das Trägheitsprinzip, die Änderung der Bewegung durch Kraft, eine Aussage über die Relativbewegung, die heute als Galilei-Invarianz bezeichnet würde , und die Regel, dass Wechselwirkungen zwischen Körpern die Bewegung ihres Massenschwerpunkts nicht verändern. In einem späteren Manuskript fügte Newton ein Gesetz von Aktion und Reaktion hinzu und erklärte, dass dieses Gesetz und das Gesetz über den Massenschwerpunkt einander implizieren. Die Darstellung in den Principia, bestehend aus drei Hauptgesetzen und weiteren Aussagen, die zu Folgerungen wurden, legte Newton vermutlich im Jahr 1685 fest. ^{[ 128 ]}

Newton formulierte sein zweites Gesetz, indem er sagte, dass die Kraft auf einen Körper proportional zu seiner Bewegungsänderung bzw. seinem Impuls ist. Als er die Principia verfasste, hatte er bereits die Infinitesimalrechnung entwickelt (die er als „ Wissenschaft der Fluxionen “ bezeichnete), verwendete sie in den Principia jedoch nicht explizit, möglicherweise weil er geometrische Argumente in der Tradition Euklids für strenger hielt. ^{[ 130 ] : 15 [ 131 ]} Folglich drückt die Principia die Beschleunigung nicht als zweite Ableitung der Position aus und gibt somit auch nicht das zweite Gesetz in dieser Form an . Diese Form des zweiten Gesetzes wurde (für den Spezialfall konstanter Kraft) mindestens schon 1716 von Jakob Hermann formuliert ; Leonhard Euler nutzte sie in den 1740er Jahren als Grundprämisse. ^{[ 132 ]} Euler leistete Pionierarbeit auf dem Gebiet der Theorie starrer Körper ^{[ 133 ]} und begründete die Grundlagen der Fluiddynamik. ^{[ 134 ]} Pierre-Simon Laplaces fünfbändiges Werk „ Traité de mécanique céleste “ (1798–1825) verzichtete auf die Geometrie und entwickelte die Mechanik ausschließlich durch algebraische Ausdrücke, wobei er Fragen beantwortete, die die „Principia“ offengelassen hatten, wie beispielsweise eine vollständige Theorie der Gezeiten . ^{[ 135 ]}${\displaystyle F=ma}$

Der Energiebegriff wurde in der nach-Newtonschen Zeit zu einem zentralen Bestandteil der Newtonschen Mechanik. Huygens' Lösung des Stoßes harter Kugeln zeigte, dass in diesem Fall nicht nur der Impuls, sondern auch die kinetische Energie erhalten bleibt (genauer gesagt, eine Größe, die wir im Nachhinein als die Hälfte der gesamten kinetischen Energie identifizieren können). Die Frage, was bei allen anderen Prozessen, wie inelastischen Stößen und durch Reibung verlangsamten Bewegungen, erhalten bleibt, wurde erst im 19. Jahrhundert geklärt. Debatten zu diesem Thema überschnitten sich mit philosophischen Auseinandersetzungen zwischen den metaphysischen Ansichten Newtons und Leibniz', und Varianten des Begriffs „Kraft“ wurden mitunter verwendet, um das zu bezeichnen, was wir heute als Energiearten bezeichnen würden. So schrieb beispielsweise Émilie du Châtelet 1742 : „Tote Kraft besteht in einer einfachen Bewegungstendenz: wie sie eine Feder beim Entspannen aufweist; lebendige Kraft ist diejenige, die ein Körper besitzt, wenn er sich tatsächlich bewegt.“ In der modernen Terminologie entsprechen „tote Kraft“ und „lebendige Kraft“ potenzieller bzw. kinetischer Energie. ^{[ 136 ]} Der Energieerhaltungssatz wurde erst dann als universelles Prinzip etabliert, als man erkannte, dass die Energie mechanischer Arbeit in Wärme umgewandelt werden kann. ^{[ 137 ] [ 138 ]} Mit dieser soliden Grundlage des Energiebegriffs konnten die Newtonschen Gesetze in Formulierungen der klassischen Mechanik abgeleitet werden, die die Energie in den Vordergrund stellen, wie beispielsweise in den oben beschriebenen Lagrange- und Hamilton-Formulierungen.

Moderne Darstellungen der Newtonschen Gesetze verwenden die Vektorrechnung, ein Gebiet, das erst im späten 19. und frühen 20. Jahrhundert entwickelt wurde. Die Vektoralgebra, deren Pioniere Josiah Willard Gibbs und Oliver Heaviside waren, entwickelte sich aus dem früheren System der Quaternionen von William Rowan Hamilton und ersetzte dieses weitgehend . ^{[ 139 ] [ 140 ]}

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