Halbvereinfachte Darstellung

In der Mathematik , insbesondere in der Darstellungstheorie , ist eine halbeinfache Darstellung (auch vollständig reduzierbare Darstellung genannt) eine lineare Darstellung einer Gruppe oder einer Algebra , die sich direkt aus einfachen Darstellungen (auch irreduzible Darstellungen genannt ) zusammensetzen lässt. ^{[ 1 ]} Sie ist ein Beispiel für den allgemeinen mathematischen Begriff der Halbeinfachheit . ^{[ 2 ] [ 3 ]}

Viele Darstellungen, die in Anwendungen der Darstellungstheorie vorkommen, sind halbeinfach oder können durch halbeinfache Darstellungen approximiert werden. Ein halbeinfacher Modul über einer Algebra über einem Körper ist ein Beispiel für eine halbeinfache Darstellung. Umgekehrt ist eine halbeinfache Darstellung einer Gruppe G über einem Körper k ein halbeinfacher Modul über der Gruppenalgebra k [ G ].

Sei V eine Darstellung einer Gruppe G ; oder allgemeiner sei V ein Vektorraum mit einer Menge linearer Endomorphismen, die auf ihm wirken. Ein Vektorraum, auf dem eine Menge linearer Endomorphismen wirkt, heißt im Allgemeinen einfach (oder irreduzibel), wenn die einzigen invarianten Unterräume dieser Operatoren der Nullraum und der Vektorraum selbst sind; eine halbeinfache Darstellung ist dann die direkte Summe einfacher Darstellungen in diesem Sinne. ^{[ 1 ]}

Folgende Ausdrücke sind gleichwertig: ^{[ 4 ]}

1. V ist als Darstellung halbeinfach.
2. V ist eine Summe einfacher Teildarstellungen .
3. Jede Teildarstellung W von V besitzt eine komplementäre Darstellung : eine Teildarstellung W ' , sodass .${\displaystyle V=W\oplus W'}$

Die Äquivalenz der obigen Bedingungen kann anhand des folgenden Lemmas bewiesen werden , das auch von eigenständigem Interesse ist:

Beweis des Lemmas : Sei eine einfache Darstellung. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit können wir annehmen, dass es sich um Unterdarstellungen handelt; d. h., wir können annehmen, dass die direkte Summe intern ist. Betrachten wir nun die Familie aller möglichen direkten Summen mit verschiedenen Teilmengen . Wir ordnen diese partiell, indem wir sagen, dass die direkte Summe über K kleiner als die direkte Summe über J ist, falls . Nach dem Lemma von Zorn können wir ein maximales finden, sodass . Wir behaupten, dass . Per Definition ist , daher müssen wir nur zeigen, dass . Wenn eine echte Unterdarstellung von ist, dann existiert ein , sodass . Da einfach (irreduzibel) ist, gilt . Dies widerspricht der Maximalität von , also wie behauptet. Daher ist ein Schnitt von p .${\displaystyle V=\bigoplus _{i\in I}V_{i}}$${\displaystyle V_{i}}$${\displaystyle V_{i}}$${\displaystyle V_{J}:=\bigoplus _{i\in J}V_{i}\subset V}$${\displaystyle J\subset I}$${\displaystyle K\subset J}$${\displaystyle J\subset I}$${\displaystyle \operatorname {ker} p\cap V_{J}=0}$${\displaystyle V=\operatorname {ker} p\oplus V_{J}}$${\displaystyle \operatorname {ker} p\cap V_{J}=0}$${\displaystyle V=\operatorname {ker} p+V_{J}}$${\displaystyle \operatorname {ker} p+V_{J}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle k\in IJ}$${\displaystyle V_{k}\not \subset \operatorname {ker} p+V_{J}}$${\displaystyle V_{k}}$${\displaystyle V_{k}\cap (\operatorname {ker} p+V_{J})=0}$${\displaystyle J}$${\displaystyle V=\operatorname {ker} p\oplus V_{J}}$${\displaystyle W\simeq V/\operatorname {ker} p\simeq V_{J}\to V}$${\displaystyle \square }$

Beachten Sie, dass wir nicht auf die Menge abbilden können , sodass . Der Grund dafür ist, dass es vorkommen kann – und häufig vorkommt –, dass ein Unterraum von ist und dennoch . Betrachten wir beispielsweise , und als drei verschiedene Geraden durch den Ursprung in . Als explizites Gegenbeispiel sei die Algebra der 2×2- Matrizen und die reguläre Darstellung von . Wir setzen und und . Dann sind , und irreduzible -Moduln und . Sei die natürliche Surjektion. Dann ist und . In diesem Fall gilt , aber da diese Summe nicht direkt ist. ${\displaystyle J}$${\displaystyle i}$${\displaystyle \ker(p)\cap V_{i}=0}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y\oplus Z}$${\displaystyle X\cap Y=0=X\cap Z}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle A=\operatorname {Mat} _{2}F}$${\displaystyle V=A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle V_{1}={\Bigl \{}{\begin{pmatrix}a&0\\b&0\end{pmatrix}}{\Bigr \}}}$${\displaystyle V_{2}={\Bigl \{}{\begin{pmatrix}0&c\\0&d\end{pmatrix}}{\Bigr \}}}$${\displaystyle W={\Bigl \{}{\begin{pmatrix}c&c\\d&d\end{pmatrix}}{\Bigr \}}}$${\displaystyle V_{1}}$${\displaystyle V_{2}}$${\displaystyle W}$${\displaystyle A}$${\displaystyle V=V_{1}\oplus V_{2}}$${\displaystyle p:V\to V/W}$${\displaystyle \operatorname {ker} p=W\neq 0}$${\displaystyle V_{1}\cap \operatorname {ker} p=0=V_{2}\cap \operatorname {ker} p}$${\displaystyle W\simeq V_{1}\simeq V_{2}}$${\displaystyle V\neq \operatorname {ker} p\oplus V_{1}\oplus V_{2}}$

Beweis der Äquivalenzen ^{[ 6 ]} : Sei p die natürliche Surjektion . Da V halbeinfach ist, zerfällt p und ist daher durch einen Schnitt isomorph zu einer Unterdarstellung, die komplementär zu W ist . ${\displaystyle 1.\Rightarrow 3.}$${\displaystyle V\to V/W}$${\displaystyle V/W}$

${\displaystyle 3.\Rightarrow 2.}$Wir stellen zunächst fest, dass jede von Null verschiedene Teildarstellung W eine einfache Teildarstellung besitzt. Reduzieren wir W auf eine (von Null verschiedene) zyklische Teildarstellung, so können wir annehmen, dass sie endlich erzeugt ist. Dann besitzt sie eine maximale Teildarstellung U. Nach Bedingung 3. gilt für ein . Nach dem Modulgesetz folgt daraus . Dann ist eine einfache Teildarstellung von W (einfach aufgrund der Maximalität). Dies beweist die Beobachtung. Sei nun die Summe aller einfachen Teildarstellungen, die nach 3. eine komplementäre Darstellung besitzt . Wenn , dann enthält nach der vorherigen Beobachtung eine einfache Teildarstellung und somit , was Unsinn ist. Daher gilt . ${\displaystyle V=U\oplus U'}$${\displaystyle U'}$${\displaystyle W=U\oplus (W\cap U')}$${\displaystyle (W\cap U')\simeq W/U}$${\displaystyle W}$${\displaystyle W'}$${\displaystyle W'\neq 0}$${\displaystyle W'}$${\displaystyle W\cap W'\neq 0}$${\displaystyle W'=0}$

${\displaystyle 2.\Rightarrow 1.}$[ ^{7 ]} Die Implikation ist eine direkte Verallgemeinerung einer grundlegenden Tatsache der linearen Algebra, dass eine Basis aus einem Erzeugendensystem eines Vektorraums extrahiert werden kann. Das heißt, wir können die folgende etwas präzisere Aussage beweisen ^:

• Wenn es sich um eine Summe einfacher Teildarstellungen handelt, kann aus der Summe eine halbeinfache Zerlegung , eine Teilmenge , extrahiert werden.${\displaystyle V=\sum _{i\in I}V_{i}}$${\displaystyle V=\bigoplus _{i\in I'}V_{i}}$${\displaystyle I'\subset I}$

Wie im Beweis des Lemmas können wir eine maximale direkte Summe finden , die aus einigen 's besteht. Nun gilt für jedes i in I aus Gründen der Einfachheit entweder oder . Im zweiten Fall widerspricht die direkte Summe der Maximalität von W. Daher gilt .${\displaystyle W}$${\displaystyle V_{i}}$${\displaystyle V_{i}\subset W}$${\displaystyle V_{i}\cap W=0}$${\displaystyle W\oplus V_{i}}$${\displaystyle V_{i}\subset W}$${\displaystyle \square }$

Eine endlichdimensionale unitäre Darstellung (d. h. eine Darstellung, die über eine unitäre Gruppe faktorisiert ) ist ein grundlegendes Beispiel für eine halbeinfache Darstellung. Eine solche Darstellung ist halbeinfach, da, wenn W eine Unterdarstellung ist, das orthogonale Komplement von W eine komplementäre Darstellung ist ^{[ 8 ],} denn wenn und , dann gilt für jedes w in W, da W G -invariant ist , und somit . ${\displaystyle v\in W^{\bot }}$${\displaystyle g\in G}$${\displaystyle \langle \pi (g)v,w\rangle =\langle v,\pi (g^{-1})w\rangle =0}$${\displaystyle \pi (g)v\in W^{\bot }}$

Gegeben sei beispielsweise eine stetige, endlichdimensionale komplexe Darstellung einer endlichen oder kompakten Gruppe G. Mithilfe des Mittelwertarguments lässt sich ein Skalarprodukt auf V definieren, das G- invariant ist : d. h. , was bedeutet, dass ein unitärer Operator und somit eine unitäre Darstellung ist. ^{[ 8 ]} Daher ist jede endlichdimensionale, stetige komplexe Darstellung von G halbeinfach. ^{[ 9 ]} Für eine endliche Gruppe ist dies ein Spezialfall des Satzes von Maschke , der besagt, dass eine endlichdimensionale Darstellung einer endlichen Gruppe G über einem Körper k mit Charakteristik , die die Ordnung von G nicht teilt, halbeinfach ist. ^{[ 10 ] [ 11 ]}${\displaystyle \pi :G\to GL(V)}$${\displaystyle \langle \,,\rangle }$${\displaystyle \langle \pi (g)v,\pi (g)w\rangle =\langle v,w\rangle }$${\displaystyle \pi (g)}$${\displaystyle \pi }$

Nach dem Satz von Weyl über die vollständige Reduzierbarkeit ist jede endlichdimensionale Darstellung einer halbeinfachen Lie-Algebra über einem Körper der Charakteristik Null halbeinfach. ^{[ 12 ]}

Gegeben sei ein linearer Endomorphismus T eines Vektorraums V. Dann ist V als Darstellung von T halbeinfach (d. h. T ist ein halbeinfacher Operator ) genau dann, wenn das Minimalpolynom von T separabel ist, d. h. ein Produkt von verschiedenen irreduziblen Polynomen. ^{[ 13 ]}

Gegeben eine endlichdimensionale Darstellung V , besagt der Satz von Jordan-Hölder , dass es eine Filtration durch Unterdarstellungen gibt, sodass jeder aufeinanderfolgende Quotient eine einfache Darstellung ist. Dann ist der zugehörige Vektorraum eine halbeinfache Darstellung , die als assoziierte halbeinfache Darstellung bezeichnet wird und bis auf einen Isomorphismus eindeutig durch V bestimmt ist . ^{[ 14 ]}${\displaystyle V=V_{0}\supset V_{1}\supset \cdots \supset V_{n}=0}$${\displaystyle V_{i}/V_{i+1}}$${\displaystyle \operatorname {gr} V:=\bigoplus _{i=0}^{n-1}V_{i}/V_{i+1}}$

Eine Darstellung einer unipotenten Gruppe ist im Allgemeinen nicht halbeinfach. Sei G die Gruppe der reellen Matrizen ; sie operiert auf G auf natürliche Weise und macht V zu einer Darstellung von G. Ist W eine eindimensionale Unterdarstellung von V , so zeigt eine einfache Rechnung, dass sie vom Vektor W aufgespannt werden muss . Das heißt, es gibt genau drei G -Unterdarstellungen von V ; insbesondere ist V nicht halbeinfach (da eine eindeutige eindimensionale Unterdarstellung keine komplementäre Darstellung besitzt). ^{[ 15 ]}${\displaystyle G}$${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&a\\0&1\end{bmatrix}}}$${\displaystyle V=\mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle {\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}}$

Die Zerlegung einer halbeinfachen Darstellung in einfache Darstellungen, die sogenannte halbeinfache Zerlegung, muss nicht eindeutig sein; beispielsweise sind einfache Darstellungen einer trivialen Darstellung eindimensionale Vektorräume, und eine halbeinfache Zerlegung entspricht somit der Wahl einer Basis des Darstellungsvektorraums. ^{[ 16 ]} Die isotypische Zerlegung hingegen ist ein Beispiel für eine eindeutige Zerlegung. ^{[ 17 ]}

Für eine endlichdimensionale halbeinfache Darstellung V über einem algebraisch abgeschlossenen Körper gilt jedoch, dass die Anzahl der einfachen Darstellungen bis auf einen Isomorphismus, die in der Zerlegung von V auftreten , (1) eindeutig ist und (2) die Darstellung bis auf einen Isomorphismus vollständig bestimmt; ^{[ 18 ]} dies ist eine Folge des Lemmas von Schur . Gegeben sei eine endlichdimensionale halbeinfache Darstellung V über einem algebraisch abgeschlossenen Körper: Per Definition ist sie eine direkte Summe einfacher Darstellungen. Gruppiert man in der Zerlegung die einfachen Darstellungen, die bis auf einen Isomorphismus zueinander isomorph sind, so erhält man eine Zerlegung (die nicht notwendigerweise eindeutig ist): ^{[ 18 ]}

${\displaystyle V\simeq \bigoplus _{i}V_{i}^{\oplus m_{i}}}$

wobei einfache, zueinander nicht isomorphe Darstellungen sind und positive ganze Zahlen sind . Nach dem Lemma von Schur gilt: ${\displaystyle V_{i}}$${\displaystyle m_{i}}$

${\displaystyle m_{i}=\dim \operatorname {Hom} _{\text{equiv}}(V_{i},V)=\dim \operatorname {Hom} _{\text{equiv}}(V,V_{i})}$,

wobei sich auf die äquivarianten linearen Abbildungen bezieht . Außerdem bleibt jede Abbildung unverändert, wenn durch eine andere einfache, zu isomorphe Darstellung ersetzt wird . Somit sind die ganzen Zahlen unabhängig von den gewählten Zerlegungen; sie sind die Vielfachheiten einfacher Darstellungen in V , bis auf Isomorphie . ^{[ 19 ]}${\displaystyle \operatorname {Hom} _{\text{equiv}}}$${\displaystyle m_{i}}$${\displaystyle V_{i}}$${\displaystyle V_{i}}$${\displaystyle m_{i}}$${\displaystyle V_{i}}$

Im Allgemeinen wird die Komposition einer endlichdimensionalen Darstellung einer Gruppe G über einem Körper k als Charakter von bezeichnet . ^{[ 20 ]} Wenn halbeinfach ist mit der obigen Zerlegung, dann ist die Spur die Summe der Spuren von mit Vielfachheiten und somit als Funktionen auf G.${\displaystyle \pi :G\to GL(V)}$${\displaystyle \chi _{V}:G\,{\overset {\pi }{\to }}\,GL(V)\,{\overset {\operatorname {tr} }{\to }}\,k}$${\displaystyle (\pi ,V)}$${\displaystyle (\pi ,V)}$${\displaystyle V\simeq \bigoplus _{i}V_{i}^{\oplus m_{i}}}$${\displaystyle \operatorname {tr} (\pi (g))}$${\displaystyle \pi (g):V_{i}\to V_{i}}$

${\displaystyle \chi _{V}=\sum _{i}m_{i}\chi _{V_{i}}}$

wo sind die Charaktere von . Wenn G eine endliche Gruppe oder allgemeiner eine kompakte Gruppe ist und eine unitäre Darstellung mit dem durch das Mittelungsargument gegebenen Skalarprodukt ist, besagen die Schur-Orthogonalitätsrelationen : ^{[ 21 ]} die irreduziblen Charaktere (Charaktere einfacher Darstellungen) von G sind eine orthonormale Teilmenge des Raums der komplexwertigen Funktionen auf G und somit . ${\displaystyle \chi _{V_{i}}}$${\displaystyle V_{i}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle m_{i}=\langle \chi _{V},\chi _{V_{i}}\rangle }$

Es gibt eine eindeutige Zerlegung einer halbeinfachen Darstellung, die als isotypische Zerlegung der Darstellung bezeichnet wird. Per Definition ist die isotypische Komponente vom Typ S einer Darstellung V einer einfachen Darstellung S die Summe aller zu S isomorphen Teildarstellungen von V ; ^{[ 17 ]} beachte, dass die Komponente auch isomorph zur direkten Summe einer Wahl von zu S isomorphen Teildarstellungen ist (die Komponente ist also eindeutig, die Summanden jedoch nicht notwendigerweise).

Dann ist die isotypische Zerlegung einer halbeinfachen Darstellung V die (eindeutige) direkte Summenzerlegung: ^{[ 17 ] [ 22 ]}

${\displaystyle V=\bigoplus _{\lambda \in {\widehat {G}}}V^{\lambda }}$

wobei die Menge der Isomorphieklassen einfacher Darstellungen von G ist und die isotypische Komponente von V vom Typ S für ein ist . ${\displaystyle {\widehat {G}}}$${\displaystyle V^{\lambda }}$${\displaystyle S\in \lambda }$

Die isotypische Gewichtskomponente eines Lie -Algebra-Moduls ist die Summe aller Untermoduln, die isomorph zum Modul mit dem höchsten Gewicht sind . ${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \lambda }$

• Ein endlichdimensionaler Modul einer reduktiven Lie-Algebra (oder der entsprechenden Lie-Gruppe ) kann in irreduzible Untermoduln zerlegt werden.${\displaystyle V}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle V=\bigoplus _{i=1}^{N}V_{i}}$Die

• Jede endlichdimensionale irreduzible Darstellung von wird (bis auf Isomorphie) eindeutig durch ihr höchstes Gewicht identifiziert.${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle \forall i\in \{1,\ldots ,N\}\,\exists \lambda \in P({\mathfrak {g}}):V_{i}\simeq M_{\lambda }}$, wobei das Modul mit dem höchsten Gewicht bezeichnet .${\displaystyle M_{\lambda }}$${\displaystyle \lambda }$

• Bei der Zerlegung von kann eine bestimmte Isomorphieklasse mehr als einmal auftreten, daher${\displaystyle V}$

${\displaystyle V\simeq \bigoplus _{\lambda \in P({\mathfrak {g}})}(\bigoplus _{i=1}^{d_{\lambda }}M_{\lambda })}$Die

Dies definiert die isotypische Gewichtskomponente von : wobei maximal ist. ${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle V}$${\displaystyle \lambda (V):=\bigoplus _{i=1}^{d_{\lambda }}V_{i}\simeq \mathbb {C} ^{d_{\lambda }}\otimes M_{\lambda }}$${\displaystyle d_{\lambda }}$

Sei der Raum der homogenen Polynome dritten Grades über den komplexen Zahlen in den Variablen . Dann wirkt auf durch Permutation der drei Variablen. Dies ist eine endlichdimensionale komplexe Darstellung einer endlichen Gruppe und somit halbeinfach. Daher lässt sich diese 10-dimensionale Darstellung in drei isotypische Komponenten zerlegen, von denen jede einer der drei irreduziblen Darstellungen von entspricht . Insbesondere enthält drei Kopien der trivialen Darstellung, eine Kopie der Vorzeichendarstellung und drei Kopien der zweidimensionalen irreduziblen Darstellung von . Beispielsweise ist der Spann von und isomorph zu . Dies lässt sich leichter zeigen, indem man diesen zweidimensionalen Unterraum als schreibt. ${\displaystyle V}$${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3}}$${\displaystyle S_{3}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle S_{3}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle W}$${\displaystyle S_{3}}$${\displaystyle x_{1}^{2}x_{2}-x_{2}^{2}x_{1}+x_{1}^{2}x_{3}-x_{2}^{2}x_{3}}$${\displaystyle x_{2}^{2}x_{3}-x_{3}^{2}x_{2}+x_{2}^{2}x_{1}-x_{3}^{2}x_{1}}$${\displaystyle W}$

${\displaystyle W_{1}=\{a(x_{1}^{2}x_{2}+x_{1}^{2}x_{3})+b(x_{2}^{2}x_{1}+x_{2}^{2}x_{3})+c(x_{3}^{2}x_{1}+x_{3}^{2}x_{2})\mid a+b+c=0\}}$Die

Eine weitere Kopie kann in ähnlicher Form verfasst werden: ${\displaystyle W}$

${\displaystyle W_{2}=\{a(x_{2}^{2}x_{1}+x_{3}^{2}x_{1})+b(x_{1}^{2}x_{2}+x_{3}^{2}x_{2})+c(x_{1}^{2}x_{3}+x_{2}^{2}x_{3})\mid a+b+c=0\}}$Die

Das gilt auch für den dritten:

${\displaystyle W_{3}=\{ax_{1}^{3}+bx_{2}^{3}+cx_{3}^{3}\mid a+b+c=0\}}$Die

Dann ist die isotypische Komponente des Typs in . ${\displaystyle W_{1}\oplus W_{2}\oplus W_{3}}$${\displaystyle W}$${\displaystyle V}$

In der Fourier-Analysis zerlegt man eine (gute) Funktion in den Grenzwert ihrer Fourier-Reihe. Analog dazu kann eine Darstellung selbst nicht halbeinfach sein, aber die Vervollständigung (im geeigneten Sinne) einer halbeinfachen Darstellung darstellen. Der grundlegendste Fall hierfür ist der Satz von Peter-Weyl , der die links- (oder rechts-) reguläre Darstellung einer kompakten Gruppe in den Hilbertraum der direkten Summe aller einfachen unitären Darstellungen zerlegt. Als Folgerung [ ^{23 ] existiert} eine natürliche Zerlegung für den Hilbertraum der (Klassen von) quadratintegrierbaren Funktionen auf einer kompakten Gruppe G : ${\displaystyle W=L^{2}(G)}$

${\displaystyle W\simeq {\widehat {\bigoplus _{[(\pi ,V)]}}}V^{\oplus \dim V}}$

wobei die Vervollständigung der direkten Summe bedeutet und die direkte Summe über alle Isomorphieklassen einfacher endlichdimensionaler unitärer Darstellungen von G läuft . ^{[ Anmerkung 1 ]} Hierbei ist zu beachten, dass jede einfache unitäre Darstellung (bis auf einen Isomorphismus) in der Summe mit der Vielfachheit der Dimension der Darstellung auftritt. ${\displaystyle {\widehat {\bigoplus }}}$${\displaystyle (\pi ,V)}$

Wenn die Gruppe G eine endliche Gruppe ist, ist der Vektorraum einfach die Gruppenalgebra von G , und die Vervollständigung ist trivial. Der Satz besagt also einfach, dass ${\displaystyle W=\mathbb {C} [G]}$

${\displaystyle \mathbb {C} [G]=\bigoplus _{[(\pi ,V)]}V^{\oplus \dim V}.}$

Das heißt, jede einfache Darstellung von G erscheint in der regulären Darstellung mit einer Vielfachheit, die der Dimension der Darstellung entspricht. ^{[ 24 ]} Dies ist eine der Standardfakten in der Darstellungstheorie endlicher Gruppen (und ist wesentlich einfacher zu beweisen).

Wenn die Gruppe G die Kreisgruppe ist , entspricht der Satz genau der klassischen Fourier-Analyse. ^{[ 25 ]}${\displaystyle S^{1}}$

In der Quantenmechanik und Teilchenphysik lässt sich der Drehimpuls eines Objekts durch komplexe Darstellungen der Rotationsgruppe SO(3) beschreiben , die alle halbeinfach sind. ^{[ 26 ]} Aufgrund des Zusammenhangs zwischen SO(3) und SU(2) wird der nicht-relativistische Spin eines Elementarteilchens durch komplexe Darstellungen von SU(2) und der relativistische Spin durch komplexe Darstellungen von SL ₂ ( C ) beschrieben , die ebenfalls alle halbeinfach sind. ^{[ 26 ]} Bei der Drehimpulskopplung entstehen Clebsch -Gordan-Koeffizienten aus den Multiplizitäten irreduzibler Darstellungen, die bei der halbeinfachen Zerlegung eines Tensorprodukts irreduzibler Darstellungen auftreten. ^{[ 27 ]}