Mathematik

Die Mathematik ist ein Wissensgebiet, das sich mit abstrakten Konzepten wie Zahlen, geometrischen Formen, Mengen, Funktionen und Wahrscheinlichkeiten befasst. Sie nutzt logisches Denken und Beweise, um deren Eigenschaften zu untersuchen und zu belegen, die häufig in Form von Theoremen, Formeln und Gleichungen ausgedrückt werden. Die Mathematik dient der Modellierung und Lösung von Problemen in Wissenschaft, Ingenieurwesen, Technologie, Wirtschaft und im Alltag.

Es gibt viele Bereiche der Mathematik, darunter die Zahlentheorie (die Untersuchung der ganzen Zahlen und ihrer Eigenschaften), die Algebra (die Untersuchung von Operationen und den Strukturen, die sie bilden), die Geometrie (die Untersuchung von Formen und Räumen, die sie enthalten), die Analysis (die Untersuchung der Annäherung an stetige Veränderungen) und die Mengenlehre (die gegenwärtig als Grundlage für die gesamte Mathematik dient).

Die Mathematik befasst sich mit der Beschreibung und Manipulation abstrakter Objekte . Diese sind entweder Abstraktionen der Natur oder rein abstrakte Entitäten, denen bestimmte Eigenschaften, sogenannte Axiome, zugeschrieben werden . Die Mathematik verwendet reine Vernunft , um die Eigenschaften von Objekten durch Beweise zu belegen . Diese Beweise bestehen aus einer Reihe von Anwendungen deduktiver Regeln auf bereits etablierte Ergebnisse. Diese Ergebnisse, Theoreme genannt , umfassen zuvor bewiesene Theoreme, Axiome und – im Falle von Abstraktionen der Natur – einige grundlegende Eigenschaften, die als wahre Ausgangspunkte der jeweiligen Theorie gelten. ^{[ 3 ]}

Die Mathematik ist in den Naturwissenschaften , den Ingenieurwissenschaften , der Medizin , den Finanzwissenschaften , der Informatik und den Sozialwissenschaften unerlässlich . Obwohl sie häufig zur Modellierung empirischer Phänomene eingesetzt wird, basieren ihre Ergebnisse auf deduktiven Beweisen und nicht auf Experimenten. Das Verhältnis zwischen mathematischer Wahrheit, Logik und Realität ist Gegenstand philosophischer Debatten . Einige Bereiche der Mathematik, wie die Spieltheorie , entwickeln sich in engem Zusammenhang mit ihren Anwendungen und werden oft der angewandten Mathematik zugeordnet . Andere Bereiche entstehen unabhängig von jeglichen Anwendungen, finden aber später häufig praktische Anwendung. ^{[ 4 ] [ 5 ]}

Mathematische Schriften finden sich erstmals im Alten Ägypten und Mesopotamien , doch das Konzept des Beweises und die damit verbundene mathematische Strenge haben ihren Ursprung in der altgriechischen Mathematik , wie sie beispielsweise in Euklids Elementen zum Ausdruck kommt . ^{[ 6 ]} Bis ins 16. und 17. Jahrhundert war die Mathematik primär in Geometrie und Arithmetik unterteilt, bevor sich Algebra ^{[ a ]} und Infinitesimalrechnung zu neuen Gebieten entwickelten. Seitdem hat die Wechselwirkung zwischen mathematischen Innovationen und wissenschaftlichen Entdeckungen zu einer korrelierten Steigerung der Entwicklung beider Bereiche geführt. ^{[ 7 ]} Ende des 19. Jahrhunderts führte die grundlegende Krise der Mathematik zur systematischen Anwendung der axiomatischen Methode ^{[ 8 ]} , was einen dramatischen Anstieg der Anzahl mathematischer Gebiete und ihrer Anwendungsbereiche mit sich brachte. Die aktuelle Mathematics Subject Classification (MSC) listet mehr als sechzig mathematische Gebiete erster Ebene auf. ^{[ 9 ] [ 10 ]}

Vor der Renaissance wurde die Mathematik in zwei Hauptbereiche unterteilt: die Arithmetik , die sich mit dem Studium und der Manipulation von Zahlen befasste, und die Geometrie , die sich mit dem Studium von Formen befasste. ^{[ 11 ]} Einige Arten von Pseudowissenschaften , wie Numerologie und Astrologie , wurden damals nicht klar von der Mathematik unterschieden. ^{[ 12 ]}

Mit Beginn der Renaissance gewannen zwei weitere Bereiche an Bedeutung. Neue mathematische Notationen führten zur modernen Algebra , die, grob gesagt, mit der Untersuchung und Manipulation algebraischer Ausdrücke beginnt . Die Analysis , bestehend aus den beiden Teilgebieten Differentialrechnung und Integralrechnung , entstand aus der Geometrie, entwickelte sich aber zur Untersuchung stetiger Funktionen , welche die typischerweise nichtlinearen Beziehungen zwischen veränderlichen Größen, dargestellt durch Variablen, modellieren . Diese Einteilung in vier Hauptgebiete – Arithmetik, Geometrie, Algebra und Analysis ^{[ 13 ]} – blieb bis zum Ende des 19. Jahrhunderts bestehen. Andere Gebiete, die zuvor von Mathematikern untersucht wurden, wie die Himmelsmechanik und die Festkörpermechanik , werden heute der Physik zugeordnet. ^{[ 14 ]} Die Kombinatorik wird seit einem Großteil der aufgezeichneten Geschichte erforscht, entwickelte sich aber erst im 17. Jahrhundert zu einem eigenständigen Zweig der Mathematik. ^{[ 15 ]}

Ende des 19. Jahrhunderts führte die Grundlagenkrise der Mathematik und die systematische Anwendung der axiomatischen Methode zu einer Vielzahl neuer mathematischer Gebiete. ^{[ 16 ] [ 8 ]} Die Mathematik-Fachklassifikation von 2020 umfasst nicht weniger als 63 Gebiete der ersten Ebene. ^{[ 10 ]} Einige dieser Gebiete entsprechen der älteren Einteilung, wie beispielsweise die Zahlentheorie (die moderne Bezeichnung für höhere Arithmetik ) und die Geometrie. Mehrere andere Gebiete der ersten Ebene tragen den Begriff „Geometrie“ im Namen oder werden allgemein als Teil der Geometrie betrachtet. Algebra und Analysis erscheinen nicht als Gebiete der ersten Ebene, sondern sind in mehrere Gebiete der ersten Ebene aufgeteilt. Weitere Gebiete der ersten Ebene entstanden im Laufe des 20. Jahrhunderts oder wurden zuvor nicht als Mathematik betrachtet, wie etwa mathematische Logik und Grundlagen der Mathematik . ^{[ 9 ]}

Number theory evolved from the manipulation of numbers, that is, natural numbers${\displaystyle (\mathbb {N} ),}$ and later expanded to integers${\displaystyle (\mathbb {Z} )}$ and rational numbers${\displaystyle (\mathbb {Q} ).}$ Number theory was once called arithmetic, but nowadays this term is mostly used for numerical calculations.^[17] The study of numbers arguably dates back to ancient Babylon and probably China, but developed into a distinct discipline in Ancient Greece. Two prominent early number theorists were Euclid and Diophantus of Alexandria.^[18] The modern study of number theory in its abstract form is largely attributed to Pierre de Fermat and Leonhard Euler. The field came to full fruition with the contributions of Adrien-Marie Legendre and Carl Friedrich Gauss.^[19]

Many easily stated number problems have solutions that require sophisticated methods, often from across mathematics. A prominent example is Fermat's Last Theorem. This conjecture was stated in 1637 by Pierre de Fermat, but it was proved only in 1994 by Andrew Wiles, who used tools including scheme theory from algebraic geometry, category theory, and homological algebra.^[20] Another example is Goldbach's conjecture, which asserts that every even integer greater than 2 is the sum of two prime numbers. Stated in 1742 by Christian Goldbach, it remains unproven despite considerable effort.^[21]

Number theory includes several subareas, including analytic number theory, algebraic number theory, geometry of numbers (method oriented), Diophantine analysis, and transcendence theory (problem oriented).^[9]

Die Geometrie ist einer der ältesten Zweige der Mathematik. Sie begann mit empirischen Rezepten für geometrische Formen wie Linien , Winkel und Kreise , die hauptsächlich für die Bedürfnisse der Vermessung und Architektur entwickelt wurden , hat sich aber seither in viele weitere Teilgebiete ausgedehnt. ^{[ 22 ]}

Eine grundlegende Neuerung war die Einführung des Beweisbegriffs durch die alten Griechen . Dieser besagt, dass jede Behauptung bewiesen werden muss. So genügt es beispielsweise nicht, durch Messung festzustellen, dass etwa zwei Längen gleich sind; ihre Gleichheit muss durch Schlussfolgerungen aus zuvor anerkannten Ergebnissen ( Theoremen ) und einigen grundlegenden Aussagen bewiesen werden . Die grundlegenden Aussagen selbst bedürfen keines Beweises, da sie entweder selbstverständlich sind ( Postulate ) oder zur Definition des Untersuchungsgegenstands gehören ( Axiome ). Dieses Prinzip, das für die gesamte Mathematik grundlegend ist, wurde zuerst für die Geometrie ausgearbeitet und um 300 v. Chr. von Euklid in seinem Werk „ Elemente“ systematisiert . ^{[ 23 ] [ 24 ]}

Die daraus resultierende euklidische Geometrie ist die Untersuchung von Formen und deren Anordnungen, die aus Linien, Flächen und Kreisen in der euklidischen Ebene ( ebene Geometrie ) und im dreidimensionalen euklidischen Raum konstruiert werden . ^{[ b ] [ 22 ]}

Die euklidische Geometrie wurde bis ins 17. Jahrhundert unverändert in ihren Methoden und ihrem Anwendungsbereich weiterentwickelt. Dann führte René Descartes die sogenannten kartesischen Koordinaten ein . Dies bedeutete einen grundlegenden Paradigmenwechsel : Anstatt reelle Zahlen als Längen von Liniensegmenten zu definieren (siehe Zahlengerade ), ermöglichte sie die Darstellung von Punkten mithilfe ihrer Koordinaten , die Zahlen sind. Algebra (und später die Analysis) kann somit zur Lösung geometrischer Probleme herangezogen werden. Die Geometrie spaltete sich in zwei neue Teilgebiete auf: die synthetische Geometrie , die rein geometrische Methoden verwendet, und die analytische Geometrie , die Koordinaten systematisch einsetzt. ^{[ 25 ]}

Die analytische Geometrie ermöglicht die Untersuchung von Kurven, die nicht mit Kreisen und Geraden in Zusammenhang stehen. Solche Kurven lassen sich als Graphen von Funktionen definieren , deren Untersuchung zur Differentialgeometrie führte. Sie können auch als implizite Gleichungen , oft Polynomgleichungen, definiert werden (woraus die algebraische Geometrie entstand ). Die analytische Geometrie erlaubt zudem die Betrachtung euklidischer Räume höherer Dimensionen als drei. ^{[ 22 ]}

Im 19. Jahrhundert entdeckten Mathematiker nichteuklidische Geometrien , die dem Parallelenaxiom nicht gehorchen . Indem sie die Gültigkeit dieses Axioms in Frage stellten, wurde diese Entdeckung als Teil von Russells Paradoxon betrachtet, das die fundamentale Krise der Mathematik offenbarte . Dieser Aspekt der Krise wurde durch die Systematisierung der axiomatischen Methode und die Erkenntnis gelöst, dass die Gültigkeit der gewählten Axiome kein mathematisches Problem darstellt. ^{[ 26 ] [ 8 ]} Die axiomatische Methode ermöglicht wiederum die Untersuchung verschiedener Geometrien, die entweder durch Änderung der Axiome oder durch die Betrachtung von Eigenschaften gewonnen werden, die sich unter bestimmten Transformationen des Raumes nicht ändern . ^{[ 27 ]}

Zu den heutigen Teilgebieten der Geometrie gehören: ^{[ 9 ]}

• Die im 16. Jahrhundert von Girard Desargues eingeführte projektive Geometrie erweitert die euklidische Geometrie um Schnittpunkte paralleler Geraden im Unendlichen . Dies vereinfacht viele Aspekte der klassischen Geometrie, indem die Behandlung von sich schneidenden und parallelen Geraden vereinheitlicht wird.
• Affine Geometrie , die Untersuchung von Eigenschaften, die mit Parallelität zusammenhängen und unabhängig vom Längenbegriff sind.
• Differentialgeometrie ist die Lehre von Kurven, Flächen und deren Verallgemeinerungen, die mithilfe differenzierbarer Funktionen definiert werden .
• Mannigfaltigkeitstheorie , die Untersuchung von Formen, die nicht notwendigerweise in einen größeren Raum eingebettet sind.
• Riemannsche Geometrie , die Untersuchung von Abstandseigenschaften in gekrümmten Räumen.
• Algebraische Geometrie , die Lehre von Kurven, Flächen und deren Verallgemeinerungen, die mithilfe von Polynomen definiert werden .
• Topologie ist die Lehre von den Eigenschaften, die unter stetigen Deformationen erhalten bleiben .
  • Algebraische Topologie , die Anwendung algebraischer Methoden in der Topologie, hauptsächlich homologischer Algebra .
• Diskrete Geometrie , die Untersuchung endlicher Konfigurationen in der Geometrie.
• Die konvexe Geometrie ist die Lehre von konvexen Mengen , deren Bedeutung sich aus ihren Anwendungen in der Optimierung ergibt .
• Komplexe Geometrie , die Geometrie, die durch Ersetzen reeller Zahlen durch komplexe Zahlen entsteht .

Algebra ist die Kunst, Gleichungen und Formeln zu manipulieren. Diophant (3. Jahrhundert) und al-Chwarizmi (9. Jahrhundert) gelten als die beiden wichtigsten Begründer der Algebra. ^{[ 29 ] [ 30 ]} Diophant löste Gleichungen mit unbekannten natürlichen Zahlen, indem er neue Beziehungen herleitete, bis er die Lösung fand. ^{[ 31 ]} Al-Chwarizmi führte systematische Methoden zur Transformation von Gleichungen ein, beispielsweise das Verschieben eines Terms von einer Seite der Gleichung auf die andere. ^{[ 32 ]} Der Begriff Algebra leitet sich vom arabischen Wort al-jabr ab , was „die Wiedervereinigung zerbrochener Teile“ bedeutet. Al-Chwarizmi verwendete dieses Wort auch zur Benennung einer dieser Methoden im Titel seiner Hauptabhandlung . ^{[ 33 ] [ 34 ]}

Die Algebra entwickelte sich erst mit François Viète (1540–1603) zu einem eigenständigen Gebiet , der die Verwendung von Variablen zur Darstellung unbekannter oder unbestimmter Zahlen einführte. ^{[ 35 ]} Variablen ermöglichen es Mathematikern, die Operationen zu beschreiben, die mit den dargestellten Zahlen durchgeführt werden müssen, und zwar mithilfe mathematischer Formeln . ^{[ 36 ]}

Bis ins 19. Jahrhundert bestand die Algebra hauptsächlich aus der Untersuchung linearer Gleichungen (heute lineare Algebra ) und Polynomgleichungen mit einer Unbekannten , die als algebraische Gleichungen bezeichnet wurden (ein Begriff, der trotz möglicher Mehrdeutigkeit noch immer verwendet wird). Im Laufe des 19. Jahrhunderts begannen Mathematiker, Variablen zur Darstellung anderer Dinge als Zahlen zu verwenden (wie Matrizen , modulare ganze Zahlen und geometrische Transformationen ), auf die Verallgemeinerungen arithmetischer Operationen oft anwendbar sind. ^{[ 37 ]} Das Konzept der algebraischen Struktur befasst sich damit. Es besteht aus einer Menge unbestimmter Elemente, Operationen, die auf die Elemente der Menge angewendet werden, und Regeln, denen diese Operationen folgen müssen. Der Anwendungsbereich der Algebra erweiterte sich somit um die Untersuchung algebraischer Strukturen. Dieses Objekt der Algebra wurde moderne Algebra oder abstrakte Algebra genannt, wie ^es durch den Einfluss und die Werke von Emmy Noether [ ^{38 ]} etabliert und durch Van der Waerdens Buch Moderne Algebra popularisiert wurde .

Bestimmte algebraische Strukturen besitzen in vielen Bereichen der Mathematik nützliche und oft grundlegende Eigenschaften. Ihre Untersuchung hat sich zu eigenständigen Teilgebieten der Algebra entwickelt und umfasst unter anderem: ^{[ 9 ]}

• Gruppentheorie
• Feldtheorie
• Vektorräume , deren Untersuchung im Wesentlichen der linearen Algebra entspricht
• Ringtheorie
• Die kommutative Algebra , die sich mit kommutativen Ringen befasst , umfasst die Untersuchung von Polynomen und ist ein grundlegender Bestandteil der algebraischen Geometrie.
• homologische Algebra
• Lie-Algebra und Lie- Gruppentheorie
• Die Boolesche Algebra wird häufig zur Untersuchung der logischen Struktur von Computern verwendet.

Die Untersuchung algebraischer Strukturen als mathematische Objekte ist das Ziel der universellen Algebra und der Kategorientheorie . ^{[ 39 ]} Letztere ist auf jede mathematische Struktur anwendbar (nicht nur auf algebraische). Ursprünglich wurde sie zusammen mit der homologischen Algebra eingeführt, um die algebraische Untersuchung nicht-algebraischer Objekte wie topologischer Räume zu ermöglichen ; dieses spezielle Anwendungsgebiet wird als algebraische Topologie bezeichnet . ^{[ 40 ]}

Die Infinitesimalrechnung, früher auch als Infinitesimalrechnung bezeichnet, wurde im 17. Jahrhundert unabhängig voneinander und gleichzeitig von den Mathematikern Newton und Leibniz eingeführt . ^{[ 41 ]} Sie befasst sich im Wesentlichen mit den Beziehungen zwischen Variablen, die stetig voneinander abhängen. Im 18. Jahrhundert erweiterte Euler die Infinitesimalrechnung durch die Einführung des Funktionsbegriffs und zahlreicher weiterer Ergebnisse. ^{[ 42 ]} Heutzutage bezeichnet „Infinitesimalrechnung“ hauptsächlich die elementaren Grundlagen dieser Theorie, während für fortgeschrittenere Bereiche üblicherweise der Begriff „Analysis“ verwendet wird. ^{[ 43 ]}

Die Analysis wird weiter unterteilt in reelle Analysis , in der Variablen reelle Zahlen repräsentieren , und komplexe Analysis , in der Variablen komplexe Zahlen repräsentieren . Die Analysis umfasst viele Teilgebiete, die auch in anderen Bereichen der Mathematik Anwendung finden, darunter: ^{[ 9 ]}

• Mehrdimensionale Analysis
• Funktionalanalyse , wobei Variablen unterschiedliche Funktionen darstellen
• Integration , Maßtheorie und Potentialtheorie , die alle eng mit der Wahrscheinlichkeitstheorie auf einem Kontinuum verwandt sind
• Gewöhnliche Differentialgleichungen
• Partielle Differentialgleichungen
• Numerische Analysis , die sich hauptsächlich mit der Berechnung von Lösungen gewöhnlicher und partieller Differentialgleichungen befasst, die in vielen Anwendungen auftreten.

Die diskrete Mathematik befasst sich allgemein mit einzelnen, abzählbaren mathematischen Objekten. Ein Beispiel hierfür ist die Menge aller ganzen Zahlen. ^{[ 44 ]} Da die Untersuchungsobjekte diskret sind, lassen sich die Methoden der Analysis und der Differential- und Integralrechnung nicht direkt anwenden. ^{[ c ]} Algorithmen – insbesondere ihre Implementierung und Rechenkomplexität – spielen in der diskreten Mathematik eine wichtige Rolle. ^{[ 45 ]}

Der Vierfarbensatz und die optimale Kugelpackung waren zwei bedeutende Probleme der diskreten Mathematik, die in der zweiten Hälfte des 20. Jahrhunderts gelöst wurden. ^{[ 46 ]} Das P-versus-NP-Problem , das bis heute ungelöst ist, ist ebenfalls wichtig für die diskrete Mathematik, da seine Lösung potenziell Auswirkungen auf eine Vielzahl rechenintensiver Probleme hätte. ^{[ 47 ]}

Die diskrete Mathematik umfasst: ^{[ 9 ]}

• Kombinatorik ist die Kunst, mathematische Objekte aufzuzählen, die bestimmte Bedingungen erfüllen. Ursprünglich waren diese Objekte Elemente oder Teilmengen einer gegebenen Menge ; mittlerweile ist der Begriff auf verschiedene Objekte erweitert, wodurch eine enge Verbindung zwischen Kombinatorik und anderen Bereichen der diskreten Mathematik entsteht. Die diskrete Geometrie beispielsweise umfasst das Zählen von Konfigurationen geometrischer Formen .
• Graphentheorie und Hypergraphen
• Codierungstheorie , einschließlich fehlerkorrigierender Codes und ein Teilgebiet der Kryptographie
• Matroidtheorie​
• Diskrete Geometrie
• Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen
• Spieltheorie (obwohl auch kontinuierliche Spiele untersucht werden, sind die meisten gebräuchlichen Spiele, wie Schach und Poker, diskret).
• Diskrete Optimierung , einschließlich kombinatorischer Optimierung , ganzzahliger Programmierung und Constraint-Programmierung

Die beiden Gebiete der mathematischen Logik und der Mengenlehre gehören seit dem Ende des 19. Jahrhunderts zur Mathematik. ^{[ 48 ] [ 49 ]} Vor dieser Zeit wurden Mengen nicht als mathematische Objekte betrachtet, und die Logik , obwohl sie für mathematische Beweise verwendet wurde, gehörte zur Philosophie und wurde nicht speziell von Mathematikern studiert. ^{[ 50 ]}

Vor Cantors Untersuchung unendlicher Mengen zögerten Mathematiker, tatsächlich unendliche Mengen zu betrachten, und sahen die Unendlichkeit als Ergebnis endloser Aufzählung . Cantors Arbeit stieß bei vielen Mathematikern auf Ablehnung, nicht nur weil sie tatsächlich unendliche Mengen untersuchte ^{[ 51 ]} , sondern auch weil sie zeigte, dass dies – gemäß Cantors Diagonalargument – ​​unterschiedliche Größen der Unendlichkeit impliziert . Dies führte zur Kontroverse um Cantors Mengenlehre ^{[ 52 ]} . Zur gleichen Zeit kamen verschiedene Bereiche der Mathematik zu dem Schluss, dass die bisherigen intuitiven Definitionen der grundlegenden mathematischen Objekte nicht ausreichten, um mathematische Strenge zu gewährleisten ^{[ 53 ]} .

Dies wurde zur grundlegenden Krise der Mathematik. ^{[ 54 ]} In der klassischen Mathematik wurde sie schließlich durch die Systematisierung der axiomatischen Methode innerhalb einer formalisierten Mengenlehre gelöst . Vereinfacht gesagt, wird jedes mathematische Objekt durch die Menge aller ähnlichen Objekte und deren Eigenschaften definiert. ^{[ 16 ]} In der Peano-Arithmetik beispielsweise werden die natürlichen Zahlen durch „Null ist eine Zahl“, „Jede Zahl hat einen eindeutigen Nachfolger“, „Jede Zahl außer Null hat einen eindeutigen Vorgänger“ und einige Schlussfolgerungsregeln definiert. ^{[ 55 ]} Diese mathematische Abstraktion von der Realität findet ihren Ursprung in der modernen Philosophie des Formalismus , die um 1910 von David Hilbert begründet wurde. ^{[ 56 ]}

Die „Natur“ der so definierten Objekte ist ein philosophisches Problem, das Mathematiker den Philosophen überlassen, auch wenn viele Mathematiker Meinungen dazu haben und ihre – mitunter als „Intuition“ bezeichnete – Meinung in ihre Studien und Beweise einbeziehen. Dieser Ansatz erlaubt es, „Logiken“ (d. h. Mengen zulässiger Schlussregeln), Theoreme, Beweise usw. als mathematische Objekte zu betrachten und Theoreme über diese zu beweisen. Gödels Unvollständigkeitssätze besagen beispielsweise, vereinfacht gesagt, dass es in jedem widerspruchsfreien formalen System , das die natürlichen Zahlen enthält, Theoreme gibt, die wahr sind (d. h. in einem stärkeren System beweisbar), aber innerhalb des Systems nicht beweisbar sind. ^{[ 57 ]} Dieser Ansatz zu den Grundlagen der Mathematik wurde in der ersten Hälfte des 20. Jahrhunderts von Mathematikern um Brouwer in Frage gestellt, die die intuitionistische Logik propagierten (der der Satz vom ausgeschlossenen Dritten explizit fehlt ). ^{[ 58 ] [ 59 ]}

Diese Probleme und Debatten führten zu einer umfassenden Erweiterung der mathematischen Logik mit Teilgebieten wie der Modelltheorie (die logische Theorien innerhalb anderer Theorien modelliert), der Beweistheorie , der Typentheorie , der Berechenbarkeitstheorie und der Komplexitätstheorie . ^{[ 9 ]} Obwohl diese Aspekte der mathematischen Logik vor dem Aufkommen von Computern eingeführt wurden , trug ihre Anwendung im Compilerbau , der formalen Verifikation , der Programmanalyse , bei Beweisassistenten und anderen Bereichen der Informatik ihrerseits zur Erweiterung dieser logischen Theorien bei. ^{[ 60 ]}

Die numerische Mathematik befasst sich mit mathematischen Problemen , die typischerweise die menschlichen Rechenkapazitäten übersteigen. ^{[ 61 ] [ 62 ]} Ein Teilgebiet der numerischen Mathematik ist die numerische Analysis , die Methoden zur Lösung von Problemen der Analysis mithilfe der Funktionalanalysis und der Approximationstheorie untersucht . Die numerische Analysis umfasst im weiteren Sinne die Untersuchung von Approximation und Diskretisierung mit besonderem Fokus auf Rundungsfehler . ^{[ 63 ]} Die numerische Analysis und, allgemeiner, das wissenschaftliche Rechnen untersuchen auch nicht-analytische Themen der Mathematik, insbesondere die algorithmische Matrix- und Graphentheorie . Weitere Bereiche der numerischen Mathematik sind Computeralgebra und symbolisches Rechnen . ^{[ 9 ]}

Das Wort Mathematik stammt vom altgriechischen Wort máthēma ( μάθημα ), was so viel wie „ etwas Gelerntes, Wissen, Mathematik “ bedeutet , und dem abgeleiteten Ausdruck mathēmatikḗ tékhnē ( μαθηματικὴ τέχνη ), was „ mathematische Wissenschaft “ bedeutet. Es gelangte im Spätmittelenglischen über das Französische und Lateinische in die englische Sprache . ^{[ 64 ]}

Traditionell war eine der beiden Hauptschulen des Pythagoreismus als die Mathēmatikoi (μαθηματικοί) bekannt – was damals eher „Lernende“ als „Mathematiker“ im modernen Sinne bedeutete. Die Pythagoreer waren wahrscheinlich die Ersten, die den Gebrauch des Begriffs auf das Studium der Arithmetik und Geometrie beschränkten. Zur Zeit des Aristoteles (384–322 v. Chr.) war diese Bedeutung vollständig etabliert. ^{[ 65 ]}

Im Lateinischen und Englischen bedeutete der Begriff „ mathematics “ bis etwa 1700 häufiger „ Astrologie “ (oder manchmal „ Astronomie “) als „Mathematik“; die Bedeutung wandelte sich zwischen etwa 1500 und 1800 allmählich zu ihrer heutigen. Dieser Bedeutungswandel hat zu mehreren Fehlübersetzungen geführt: So wird beispielsweise die Warnung des heiligen Augustinus , Christen sollten sich vor „ mathematici “ (Astrologen) hüten, manchmal fälschlicherweise als Verurteilung von Mathematikern übersetzt. ^{[ 66 ]}

Die scheinbare Pluralform im Englischen geht auf das lateinische Neutrum Plural mathematica ( Cicero ) zurück , das auf dem griechischen Plural ta mathēmatiká ( τὰ μαθηματικά ) basiert und in etwa „alles Mathematische“ bedeutet. Es ist jedoch plausibel, dass das Englische lediglich das Adjektiv mathematic(al) entlehnt und das Substantiv mathematics nach dem Vorbild von physics und metaphysics , das aus dem Griechischen stammt, neu gebildet hat. ^{[ 67 ]} Im Englischen wird das Substantiv mathematics mit einem Verb im Singular verwendet. Es wird oft zu maths ^{[ 68 ]} oder, in Nordamerika, zu math verkürzt . ^{[ 69 ]}

Neben der Fähigkeit, physische Objekte zu zählen , könnten prähistorische Völker auch abstrakte Größen wie Zeit – Tage, Jahreszeiten oder Jahre – gezählt haben. ^{[ 70 ] [ 71 ]}

Archäologische Funde deuten darauf hin, dass das altägyptische Zahlensystem seinen Ursprung in Subsahara-Afrika hat. ^{[ 72 ]} Auch in der ägyptischen Architektur und in kosmologischen Symbolen finden sich fraktale Geometriemuster, die in den Kulturen Subsahara-Afrikas weit verbreitet sind. ^{[ 73 ]} Der Ishango-Knochen könnte laut dem Gelehrten Alexander Marshack die spätere Entwicklung der Mathematik in Ägypten beeinflusst haben, da die ägyptische Arithmetik – ähnlich wie einige Einträge auf dem Ishango-Knochen – die Multiplikation mit 2 verwendete; dies ist jedoch umstritten. ^{[ 74 ]} Megalithbauten in Nabta Playa (Oberägypten) wiesen astronomische Merkmale und Kalenderanordnungen auf, die sich am heliakischen Aufgang des Sirius orientierten und die Kalibrierung des Jahreskalenders für die jährliche Nilflut ermöglichten. ^{[ 75 ]} Die alten Nubier entwickelten ein System geometrischer Regeln, das als Grundlage für frühe Sonnenuhren diente . Sie nutzten zudem eine trigonometrische Methodik, die mit der ihrer ägyptischen Zeitgenossen vergleichbar war. ^{[ 76 ] [ 77 ] [ 78 ] [ 79 ]}

Hinweise auf komplexere Mathematik finden sich erst um 3000  v. Chr. , als die Babylonier und Ägypter begannen, Arithmetik, Algebra und Geometrie für Steuer- und andere Finanzberechnungen, für Bauvorhaben und die Astronomie zu nutzen. ^{[ 80 ]} Die ältesten mathematischen Texte aus Mesopotamien und Ägypten stammen aus der Zeit von 2000 bis 1800 v. Chr. ^{[ 81 ]} Viele frühe Texte erwähnen pythagoreische Tripel , woraus man schließen kann, dass der Satz des Pythagoras nach der elementaren Arithmetik und Geometrie das älteste und am weitesten verbreitete mathematische Konzept war. In der babylonischen Mathematik tauchen die Grundrechenarten ( Addition , Subtraktion , Multiplikation und Division ) erstmals im archäologischen Befund auf. Die Babylonier besaßen auch ein Stellenwertsystem und verwendeten ein Sexagesimalsystem , das noch heute zur Winkel- und Zeitmessung verwendet wird. ^{[ 82 ]}

Im 5. Jahrhundert v. Chr. begann sich die griechische Mathematik als eigenständige Disziplin zu etablieren, und einige antike Griechen , wie die Pythagoreer, scheinen sie als eigenständiges Fachgebiet betrachtet zu haben. ^{[ 83 ]} Um 300 v. Chr. ordnete Euklid das mathematische Wissen mithilfe von Postulaten und Grundprinzipien, woraus sich die heute in der Mathematik verwendete axiomatische Methode entwickelte, bestehend aus Definition, Axiom, Theorem und Beweis. ^{[ 84 ]} Sein Werk „ Elemente“ behandelt Geometrie und Zahlentheorie und gilt weithin als das erfolgreichste und einflussreichste Lehrbuch aller Zeiten. ^{[ 85 ]} Ein weiterer bedeutender Mathematiker der Antike ist Archimedes von Syrakus ( ca. 287  – ca. 212 v. Chr. ). ^{[ 86 ]} Er entwickelte Methoden zur Berechnung der Oberfläche und des Volumens von Rotationskörpern , darunter die Exhaustionsmethode zur Berechnung der Fläche unter dem Bogen einer Parabel durch die Summation einer unendlichen Reihe , in einer Weise, die an die moderne Analysis erinnert. ^{[ 87 ]} Weitere bedeutende Errungenschaften der griechischen Mathematik sind die Kegelschnitte ( Apollonios von Perga , 3. Jahrhundert v. Chr.), ^{[ 88 ]} die Trigonometrie ( Hipparch von Nicäa , 2. Jahrhundert v. Chr.), ^{[ 89 ]} und die Anfänge der vormodernen Algebra (Diophantus, 3. Jahrhundert n. Chr.). ^{[ 90 ]}

Das hindu-arabische Zahlensystem und die Regeln für seine Rechenoperationen, die heute weltweit Anwendung finden, entwickelten sich im Laufe des ersten Jahrtausends n. Chr. in Indien und wurden über die islamische Mathematik in die westliche Welt vermittelt . ^{[ 91 ]} Weitere bedeutende Entwicklungen der indischen Mathematik umfassen die moderne Definition und Approximation von Sinus und Kosinus sowie eine frühe Form unendlicher Reihen . ^{[ 92 ] [ 93 ]}

Während des Goldenen Zeitalters des Islam , insbesondere im 9. und 10. Jahrhundert, erlebte die Mathematik zahlreiche wichtige Neuerungen, die auf der griechischen Mathematik aufbauten. Die bedeutendste Errungenschaft der islamischen Mathematik war die Entwicklung der Algebra . Weitere Errungenschaften dieser Zeit sind Fortschritte in der sphärischen Trigonometrie und die Einführung des Dezimalkommas im arabischen Zahlensystem. ^{[ 94 ]} Viele bedeutende Mathematiker dieser Epoche waren Perser, darunter Al-Chwarizmi , Umar Khayyam und Sharaf ad-Din al-Tusi . ^{[ 95 ]} Die griechischen und arabischen mathematischen Texte wurden im Mittelalter ins Lateinische übersetzt und in Europa zugänglich gemacht. ^{[ 96 ]}

In der frühen Neuzeit erlebte die Mathematik in Westeuropa einen rasanten Aufschwung . Revolutionäre Innovationen führten sie in die Mathematik ein, darunter die Einführung von Variablen und symbolischer Notation durch François Viète (1540–1603), die Einführung der Logarithmen durch John Napier im Jahr 1614, welche numerische Berechnungen, insbesondere in der Astronomie und der Schifffahrt , erheblich vereinfachten, die Einführung der Koordinaten durch René Descartes (1596–1650), mit der er die Geometrie auf die Algebra reduzierte, sowie die Entwicklung der Infinitesimalrechnung durch Isaac Newton (1643–1727) und Gottfried Leibniz (1646–1716). Leonhard Euler (1707–1783), der bedeutendste Mathematiker des 18. Jahrhunderts, fasste diese Innovationen in einem einheitlichen Korpus mit standardisierter Terminologie zusammen und vervollständigte sie durch die Entdeckung und den Beweis zahlreicher Theoreme.

Der vielleicht bedeutendste Mathematiker des 19. Jahrhunderts war der deutsche Mathematiker Carl von Gauß , der zahlreiche Beiträge zu Gebieten wie Algebra, Analysis, Differentialgeometrie , Matrizentheorie , Zahlentheorie und Statistik leistete . ^{[ 97 ]} Zu Beginn des 20. Jahrhunderts revolutionierte Kurt Gödel die Mathematik mit der Veröffentlichung seiner Unvollständigkeitssätze , die unter anderem zeigen, dass jedes widerspruchsfreie axiomatische System – sofern es mächtig genug ist, die Arithmetik zu beschreiben – wahre, aber unbeweisbare Aussagen enthält. ^{[ 57 ]}

Die Mathematik wurde seither erheblich erweitert, und es gab eine fruchtbare Wechselwirkung zwischen Mathematik und Naturwissenschaften , von der beide profitierten. Bis heute werden mathematische Entdeckungen gemacht. Laut Mikhail B. Sevryuk in der Januar-2006-Ausgabe des Bulletin of the American Mathematical Society : „Die Anzahl der seit 1940 (dem Gründungsjahr der Mathematical Reviews, MR) in der Datenbank der Mathematical Reviews (MR) erfassten Artikel und Bücher beträgt mittlerweile über 1,9 Millionen, und jährlich kommen mehr als 75.000 Einträge hinzu. Die überwiegende Mehrheit der Arbeiten in dieser Fülle enthält neue mathematische Theoreme und deren Beweise.“ ^{[ 98 ]}

Die mathematische Notation ist in Wissenschaft und Technik weit verbreitet, um komplexe Konzepte und Eigenschaften prägnant, eindeutig und präzise darzustellen . Sie besteht aus Symbolen zur Darstellung von Operationen , unbestimmten Zahlen, Relationen und anderen mathematischen Objekten, die anschließend zu Ausdrücken und Formeln zusammengefasst werden. ^{[ 99 ]} Genauer gesagt werden Zahlen und andere mathematische Objekte durch sogenannte Variablen dargestellt, die in der Regel lateinische oder griechische Buchstaben sind und oft Indizes enthalten . Operationen und Relationen werden üblicherweise durch spezifische Symbole oder Glyphen [ ^{100 ]} wie + ( Plus ), × ( Multiplikation ), ^∫ ( Integral ), = ( gleich ) und < ( kleiner als ) dargestellt. ^{[ 101 ]} Diese Symbole werden üblicherweise nach bestimmten Regeln zu Ausdrücken und Formeln gruppiert. ^{[ 102 ]} Normalerweise stehen Ausdrücke und Formeln nicht isoliert, sondern sind in Sätze der jeweiligen Sprache eingebettet, wobei Ausdrücke die Rolle von Nominalphrasen und Formeln die Rolle von Satzteilen übernehmen . ${\textstyle \int }$

Die Mathematik hat eine reichhaltige Terminologie entwickelt, die ein breites Spektrum an Gebieten abdeckt, welche die Eigenschaften verschiedener abstrakter, idealisierter Objekte und deren Wechselwirkungen untersuchen. Sie basiert auf strengen Definitionen , die eine einheitliche Grundlage für die Kommunikation bilden. Ein Axiom oder Postulat ist eine mathematische Aussage, die ohne Beweis als wahr gilt. Ist eine mathematische Aussage noch nicht bewiesen (oder widerlegt), wird sie als Vermutung bezeichnet . Durch eine Reihe strenger Argumente unter Anwendung deduktiven Denkens wird eine Aussage, die sich als wahr erweist , zu einem Theorem. Ein spezielles Theorem, das hauptsächlich zum Beweis eines anderen Theorems dient, wird Lemma genannt . Ein bewiesener Fall, der Teil einer allgemeineren Erkenntnis ist, wird als Korollar bezeichnet . ^{[ 103 ]}

Zahlreiche mathematische Fachbegriffe sind Neologismen , wie beispielsweise Polynom und Homöomorphismus . ^{[ 104 ]} Andere Fachbegriffe sind Wörter der Alltagssprache, deren korrekte Bedeutung in der Mathematik leicht von ihrer allgemeinen Bedeutung abweichen kann. So bedeutet „ oder “ in der Mathematik „das eine, das andere oder beides“, während es im allgemeinen Sprachgebrauch entweder mehrdeutig ist oder „das eine oder das andere, aber nicht beides“ bedeutet (in der Mathematik spricht man von „ exklusivem Oder “). Schließlich gibt es viele mathematische Begriffe, die in der Mathematik eine völlig andere Bedeutung haben. ^{[ 105 ]} Dies kann zu Sätzen führen, die zwar korrekte und wahre mathematische Aussagen darstellen, aber für Laien unverständlich erscheinen. Beispiele hierfür sind: „Jeder freie Modul ist flach “ und „Ein Körper ist immer ein Ring “.

Die Mathematik dient in den meisten Wissenschaften der Modellierung von Phänomenen, wodurch sich aus experimentellen Gesetzmäßigkeiten Vorhersagen ableiten lassen. ^{[ 106 ]} Die Unabhängigkeit mathematischer Erkenntnisse von Experimenten impliziert, dass die Genauigkeit solcher Vorhersagen ausschließlich von der Güte des Modells abhängt. ^{[ 107 ]} Ungenaue Vorhersagen sind nicht auf ungültige mathematische Konzepte zurückzuführen, sondern implizieren die Notwendigkeit, das verwendete mathematische Modell zu ändern. ^{[ 108 ]} Beispielsweise konnte die Perihelpräzession des Merkur erst nach dem Aufkommen von Einsteins allgemeiner Relativitätstheorie erklärt werden , die Newtons Gravitationsgesetz als besseres mathematisches Modell ablöste . ^{[ 109 ]}

Es besteht weiterhin eine philosophische Debatte darüber, ob Mathematik eine Wissenschaft ist. In der Praxis werden Mathematiker jedoch üblicherweise den Naturwissenschaftlern zugeordnet, und die Mathematik hat viel mit den physikalischen Wissenschaften gemeinsam. Wie diese ist sie falsifizierbar , was in der Mathematik bedeutet, dass ein Ergebnis oder eine Theorie, falls sie falsch ist, durch ein Gegenbeispiel widerlegt werden kann . Ähnlich wie in den Naturwissenschaften werden Theorien und Ergebnisse (Theoreme) häufig durch Experimente gewonnen . ^{[ 110 ]} In der Mathematik können diese Experimente aus Berechnungen an ausgewählten Beispielen oder aus der Untersuchung von Figuren oder anderen Darstellungen mathematischer Objekte bestehen (oftmals gedankliche Vorstellungen ohne physische Grundlage). Auf die Frage, wie er zu seinen Theoremen gelangt sei, antwortete Gauß beispielsweise einmal: „durch planmäßiges Tattonieren“. ^{[ 111 ]} Einige Autoren betonen jedoch, dass sich die Mathematik vom modernen Wissenschaftsbegriff dadurch unterscheidet, dass sie nicht auf empirischen Beweisen beruht . ^{[ 112 ] [ 113 ] [ 114 ] [ 115 ]}

Isaac Newton (links) und Gottfried Wilhelm Leibniz entwickelten die Infinitesimalrechnung.

Until the 19th century, there was no clear distinction between pure and applied mathematics as understood today.^[116] The distinction between developing mathematics for its own sake or for its applications was rather fluid: natural numbers and arithmetic were introduced for the need of counting, and geometry was motivated by surveying, architecture, and astronomy, but both subjects quickly stood on their own. Later, Isaac Newton used infinitesimal calculus in part to help explain the movement of the planets and his law of gravitation. Moreover, since antiquity, most mathematicians were also scientists, and many scientists were also mathematicians.^[117] Nonetheless, the Western tradition of pure mathematics traces its roots back to Ancient Greece.^[118] The problem of integer factorization, for example, which goes back to Euclid in 300 BC, had no practical application before its use in the RSA cryptosystem, now widely used for the security of computer networks.^[119]

In the 19th century, mathematicians such as Karl Weierstrass and Richard Dedekind increasingly focused their research on internal problems, that is, pure mathematics.^[116][120] This led to split mathematics into pure mathematics and applied mathematics, the latter being often considered as having a lower value among mathematical purists. However, the lines between the two are frequently blurred.^[121]

The aftermath of World War II led to a surge in the development of applied mathematics in the US and elsewhere.^[122][123] Many of the theories developed for applications were found interesting from the point of view of pure mathematics, and many results of pure mathematics were shown to have applications outside mathematics; in turn, the study of these applications may give new insights on the "pure theory".^[124][125]

Ein Beispiel für den ersten Fall ist die Distributionentheorie , die von Laurent Schwartz zur Validierung von Berechnungen in der Quantenmechanik eingeführt wurde und sich sofort zu einem wichtigen Werkzeug der (reinen) mathematischen Analysis entwickelte. ^{[ 126 ]} Ein Beispiel für den zweiten Fall ist die Entscheidbarkeit der Prädikatenlogik erster Stufe der reellen Zahlen , ein Problem der reinen Mathematik, dessen Wahrheitsgehalt Alfred Tarski mit einem Algorithmus bewies , der aufgrund seiner viel zu hohen Rechenkomplexität nicht implementierbar ist. ^{[ 127 ]} Um einen implementierbaren Algorithmus zu erhalten, der Systeme von Polynomgleichungen und -ungleichungen lösen kann, führte George Collins die zylindrische algebraische Zerlegung ein, die zu einem fundamentalen Werkzeug der reellen algebraischen Geometrie wurde . ^{[ 128 ]}

Heutzutage ist die Unterscheidung zwischen reiner und angewandter Mathematik eher eine Frage der persönlichen Forschungsziele von Mathematikern als eine Einteilung der Mathematik in breite Bereiche. ^{[ 129 ] [ 130 ]} Die Mathematics Subject Classification (MSC) enthält zwar einen Abschnitt für „Allgemeine Angewandte Mathematik“, erwähnt aber keine „reine Mathematik“. ^{[ 9 ]} Dennoch werden diese Begriffe weiterhin in den Namen einiger Universitätsinstitute verwendet , beispielsweise an der Fakultät für Mathematik der Universität Cambridge .

Die unerwartete Wirksamkeit der Mathematik ist ein Phänomen, das der Physiker Eugene Wigner benannte und erstmals explizit beschrieb . ^{[ 5 ]} Es beschreibt die Tatsache, dass viele mathematische Theorien (selbst die „reinsten“) Anwendungen außerhalb ihres ursprünglichen Anwendungsgebiets finden. Diese Anwendungen können völlig außerhalb des ursprünglichen mathematischen Bereichs liegen und physikalische Phänomene betreffen, die zum Zeitpunkt der Einführung der mathematischen Theorie völlig unbekannt waren. ^{[ 131 ]} Beispiele für unerwartete Anwendungen mathematischer Theorien finden sich in vielen Bereichen der Mathematik.

Ein bemerkenswertes Beispiel ist die Primfaktorzerlegung natürlicher Zahlen, die mehr als 2000 Jahre vor ihrer allgemeinen Verwendung für sichere Internetkommunikation durch das RSA-Kryptosystem entdeckt wurde . [ 132 ] ^{Ein zweites historisches} Beispiel ist die Theorie der Ellipsen . Sie wurden von den antiken griechischen Mathematikern als Kegelschnitte (d. h. Schnittpunkte von Kegeln mit Ebenen) untersucht . Fast 2000 Jahre später entdeckte Johannes Kepler , dass die Bahnen der Planeten Ellipsen sind. ^{[ 133 ]}

Im 19. Jahrhundert führte die interne Entwicklung der Geometrie (der reinen Mathematik) zur Definition und Erforschung nichteuklidischer Geometrien, Räume höherer Dimension als drei und Mannigfaltigkeiten . Damals schienen diese Konzepte völlig losgelöst von der physikalischen Realität, doch zu Beginn des 20. Jahrhunderts entwickelte Albert Einstein die Relativitätstheorie , die diese Konzepte fundamental nutzt. Insbesondere ist die Raumzeit der speziellen Relativitätstheorie ein nichteuklidischer Raum vierdimensionaler Dimension, und die Raumzeit der allgemeinen Relativitätstheorie ist eine (gekrümmte) Mannigfaltigkeit vierdimensionaler Dimension. ^{[ 134 ] [ 135 ]}

Ein bemerkenswerter Aspekt der Wechselwirkung zwischen Mathematik und Physik ist, wenn die Mathematik die physikalische Forschung vorantreibt. Dies wird durch die Entdeckung des Positrons und des Baryons veranschaulicht . In beiden Fällen wiesen die Gleichungen der Theorien unerklärte Lösungen auf, was zur Vermutung der Existenz eines unbekannten Teilchens und zur Suche nach diesen Teilchen führte. In beiden Fällen wurden diese Teilchen einige Jahre später durch spezifische Experimente entdeckt. ^{[ 136 ] [ 137 ] [ 138 ]}${\displaystyle \Omega ^{-}.}$

Mathematik und Physik haben sich in ihrer modernen Geschichte gegenseitig beeinflusst. Die moderne Physik nutzt die Mathematik in großem Umfang ^{[ 139 ]} und gilt auch als Motivation für bedeutende mathematische Entwicklungen. ^{[ 140 ]}

Die Informatik ist in mehrfacher Hinsicht eng mit der Mathematik verwandt. ^{[ 141 ]} Die theoretische Informatik gilt als mathematisch geprägt. ^{[ 142 ]} Kommunikationstechnologien nutzen teils sehr alte Bereiche der Mathematik (z. B. die Arithmetik), insbesondere im Hinblick auf die Übertragungssicherheit, Kryptographie und Codierungstheorie . Die diskrete Mathematik ist in vielen Bereichen der Informatik nützlich, etwa in der Komplexitätstheorie , der Informationstheorie und der Graphentheorie . ^{[ 143 ]} Im Jahr 1998 schien die Keplersche Vermutung zur Kugelpackung teilweise auch mithilfe eines Computers bewiesen worden zu sein. ^{[ 144 ]}

Die Statistik ist ein Anwendungsgebiet der Mathematik, das zur Erhebung und Verarbeitung von Datenstichproben dient und dabei Verfahren nutzt, die auf mathematischen Methoden wie insbesondere der Wahrscheinlichkeitstheorie basieren . Statistiker generieren Daten durch Zufallsstichproben oder randomisierte Experimente . ^{[ 146 ]}

Die statistische Theorie untersucht Entscheidungsprobleme wie die Minimierung des Risikos ( erwarteter Verlust ) einer statistischen Maßnahme, beispielsweise bei der Parameterschätzung , Hypothesentests oder der Auswahl des optimalen Verfahrens . In diesen traditionellen Bereichen der mathematischen Statistik wird ein statistisches Entscheidungsproblem formuliert, indem eine Zielfunktion , wie der erwartete Verlust oder die Kosten , unter bestimmten Nebenbedingungen minimiert wird. So beinhaltet die Konzeption einer Umfrage häufig die Minimierung der Kosten für die Schätzung eines Populationsmittelwerts mit einem gegebenen Konfidenzniveau. ^{[ 147 ]} Aufgrund der Anwendung von Optimierungsmethoden überschneidet sich die mathematische Theorie der Statistik mit anderen Entscheidungswissenschaften wie Operations Research , Kontrolltheorie und mathematischer Ökonomie . ^{[ 148 ]}

Die Biologie nutzt Wahrscheinlichkeitsrechnung in großem Umfang, beispielsweise in der Ökologie oder Neurobiologie . ^{[ 149 ]} Die meisten Diskussionen über Wahrscheinlichkeit konzentrieren sich auf das Konzept der evolutionären Fitness . ^{[ 149 ]} Die Ökologie verwendet Modellierung intensiv , um Populationsdynamiken zu simulieren ^{[ 149 ] [ 150 ],} Ökosysteme wie das Räuber-Beute-Modell zu untersuchen, die Ausbreitung von Schadstoffen zu messen ^{[ 151 ]} oder den Klimawandel zu bewerten. ^{[ 152 ]} Die Dynamik einer Population kann durch gekoppelte Differentialgleichungen, wie die Lotka-Volterra-Gleichungen , modelliert werden . ^{[ 153 ]}

Statistische Hypothesentests werden anhand von Daten aus klinischen Studien durchgeführt , um festzustellen, ob eine neue Behandlungsmethode wirksam ist. ^{[ 154 ]} Seit Beginn des 20. Jahrhunderts nutzt die Chemie Computer, um Moleküle dreidimensional zu modellieren. ^{[ 155 ]}

Die Strukturgeologie und Klimatologie nutzen probabilistische Modelle zur Vorhersage des Risikos von Naturkatastrophen. ^{[ 156 ]} Auch Meteorologie , Ozeanographie und Planetologie verwenden aufgrund ihrer intensiven Modellnutzung mathematische Verfahren. ^{[ 157 ] [ 158 ] [ 159 ]}

^Zu den in den Sozialwissenschaften verwendeten Bereichen der Mathematik gehören Wahrscheinlichkeitstheorie/Statistik und Differentialgleichungen. Diese finden Anwendung in der Linguistik , der Wirtschaftswissenschaft , der Soziologie [ ^{160 ]} und der Psychologie ^{[ 161 ]} .

Das grundlegende Postulat der mathematischen Ökonomie ist oft das des rational handelnden Individuums – des Homo oeconomicus ( wörtlich : „ Homo oeconomicus “ ). ^{[ 162 ]} In diesem Modell strebt das Individuum danach, seinen Eigennutz zu maximieren [ 162 ^{] und trifft} stets optimale Entscheidungen unter Berücksichtigung perfekter Informationen . ^{[ 163 ]} Diese atomistische Sichtweise der Ökonomie ermöglicht es ihr, ihre Denkweise relativ einfach zu mathematisieren, da individuelle Berechnungen in mathematische Berechnungen übertragen werden. Solche mathematischen Modelle erlauben es, ökonomische Mechanismen zu untersuchen. Manche lehnen das Konzept des Homo oeconomicus ab oder kritisieren es . Ökonomen weisen darauf hin, dass reale Menschen nur über begrenzte Informationen verfügen, schlechte Entscheidungen treffen und neben dem persönlichen Gewinn auch Wert auf Fairness und Altruismus legen. ^{[ 164 ]}

Ohne mathematische Modellierung ist es schwierig, über statistische Beobachtungen oder nicht überprüfbare Spekulationen hinauszugehen. Mathematische Modellierung ermöglicht es Ökonomen, strukturierte Rahmen zu schaffen, um Hypothesen zu testen und komplexe Wechselwirkungen zu analysieren. Modelle bieten Klarheit und Präzision und ermöglichen die Übersetzung theoretischer Konzepte in quantifizierbare Vorhersagen, die anhand realer Daten überprüft werden können. ^{[ 165 ]}

Zu Beginn des 20. Jahrhunderts entstand der Trend, historische Entwicklungen in Formeln auszudrücken. 1922 identifizierte Nikolai Kondratjew den etwa 50 Jahre dauernden Kondratjew-Zyklus , der Phasen wirtschaftlichen Wachstums oder von Krisen erklärt. ^{[ 166 ]} Gegen Ende des 19. Jahrhunderts weiteten Mathematiker ihre Analysen auf die Geopolitik aus . ^{[ 167 ]} Peter Turchin entwickelte in den 1990er Jahren die Kliodynamik . ^{[ 168 ]}

Die Mathematisierung der Sozialwissenschaften ist nicht ohne Risiko. In ihrem kontroversen Buch „Fashionable Nonsense “ (1997) prangerten Sokal und Bricmont den unbegründeten oder missbräuchlichen Gebrauch wissenschaftlicher Terminologie, insbesondere aus Mathematik und Physik, in den Sozialwissenschaften an. ^{[ 169 ]} Die Untersuchung komplexer Systeme (z. B. die Entwicklung der Arbeitslosigkeit, des Unternehmenskapitals, die demografische Entwicklung einer Bevölkerung) nutzt mathematisches Wissen. Die Wahl der Zählkriterien, insbesondere für die Arbeitslosigkeit, oder der Modelle kann jedoch kontrovers diskutiert werden. ^{[ 170 ] [ 171 ]}

Die Verbindung zwischen Mathematik und materieller Realität hat mindestens seit Pythagoras zu philosophischen Debatten geführt . Der antike Philosoph Platon argumentierte, dass Abstraktionen, die die materielle Realität widerspiegeln, selbst eine Realität besitzen, die außerhalb von Raum und Zeit existiert. Daher wird die philosophische Auffassung, dass mathematische Objekte in gewisser Weise in ihrer Abstraktion eigenständig existieren, oft als Platonismus bezeichnet . Ungeachtet ihrer möglichen philosophischen Ansichten können moderne Mathematiker im Allgemeinen als Platoniker betrachtet werden, da sie ihre Untersuchungsgegenstände als reale Objekte begreifen und von ihnen sprechen. ^{[ 172 ]}

Armand Borel fasste diese Sichtweise der mathematischen Realität wie folgt zusammen und führte Zitate von G. H. Hardy , Charles Hermite , Henri Poincaré und Albert Einstein an , die seine Ansichten stützen. ^{[ 136 ]}

Etwas wird objektiv (im Gegensatz zu „subjektiv“), sobald wir überzeugt sind, dass es in den Köpfen anderer in derselben Form existiert wie in unseren und dass wir darüber nachdenken und es gemeinsam diskutieren können. ^{[ 173 ]} Da die Sprache der Mathematik so präzise ist, eignet sie sich ideal zur Definition von Begriffen, für die ein solcher Konsens besteht. Meiner Meinung nach genügt dies, um uns ein Gefühl von objektiver Existenz, von einer Realität der Mathematik zu vermitteln.

Dennoch erklären weder der Platonismus noch die zeitgleichen Ansichten zur Abstraktion die erstaunliche Wirksamkeit der Mathematik (da der Platonismus zwar die unabhängige Existenz der Mathematik voraussetzt, aber nicht erklärt, warum sie mit der Realität übereinstimmt). ^{[ 174 ]}

Es besteht kein allgemeiner Konsens über die Definition von Mathematik oder ihren erkenntnistheoretischen Status – also ihre Stellung innerhalb des Wissens. Viele professionelle Mathematiker interessieren sich nicht für eine Definition von Mathematik oder halten sie für undefinierbar. Es herrscht nicht einmal Einigkeit darüber, ob Mathematik eine Kunst oder eine Wissenschaft ist. Manche sagen einfach: „Mathematik ist das, was Mathematiker tun.“ ^{[ 175 ] [ 176 ]} Ein gängiger Ansatz ist die Definition von Mathematik über ihren Untersuchungsgegenstand. ^{[ 177 ] [ 178 ] [ 179 ] [ 180 ]}

Aristoteles definierte Mathematik als „die Wissenschaft der Quantität“, und diese Definition war bis ins 18. Jahrhundert gültig. Aristoteles merkte jedoch auch an, dass die alleinige Fokussierung auf die Quantität die Mathematik nicht von Wissenschaften wie der Physik abgrenzen könne; seiner Ansicht nach zeichneten Abstraktion und die Untersuchung der Quantität als einer „gedanklich trennbaren“ Eigenschaft die Mathematik aus. ^{[ 181 ]} Im 19. Jahrhundert, als Mathematiker begannen, sich mit Themen wie unendlichen Mengen zu befassen, die keinen direkten Bezug zur physikalischen Realität haben, wurden verschiedene neue Definitionen formuliert. ^{[ 182 ]} Angesichts der Vielzahl neuer Gebiete der Mathematik, die seit Beginn des 20. Jahrhunderts entstanden sind, ist es zunehmend schwieriger geworden, die Mathematik anhand ihres Untersuchungsgegenstands zu definieren. ^{[ 183 ]} ​​So fasst beispielsweise Saunders Mac Lane in „Mathematics, form and function“ anstelle einer Definition die Grundlagen verschiedener mathematischer Gebiete zusammen, betont deren Vernetzung und stellt fest: ^{[ 184 ]}

Die Entwicklung der Mathematik bildet ein engmaschiges Netzwerk formaler Regeln, Konzepte und Systeme. Die Knotenpunkte dieses Netzwerks sind eng mit Verfahren verknüpft, die im menschlichen Handeln nützlich sind, und mit Fragestellungen der Wissenschaft. Der Übergang von praktischen Tätigkeiten zu formalen mathematischen Systemen wird von einer Vielzahl allgemeiner Erkenntnisse und Ideen geleitet.

Ein anderer Ansatz zur Definition von Mathematik besteht darin, ihre Methoden zu verwenden. So wird beispielsweise ein Forschungsgebiet oft als Mathematik bezeichnet, sobald man Theoreme beweisen kann – Aussagen, deren Gültigkeit auf einem Beweis, also einer rein logischen Deduktion, beruht. ^{[ d ] [ 185 ]}

Mathematisches Denken erfordert Strenge . Das bedeutet, dass Definitionen absolut eindeutig sein und Beweise auf eine Folge von Anwendungen von Schlussregeln zurückgeführt werden können ^{[ e ]} , ohne dass empirische Belege oder Intuition herangezogen werden . ^{[ f ] [ 186 ]} Strenges Denken ist nicht auf die Mathematik beschränkt, doch ist der Standard an Strenge in der Mathematik deutlich höher als anderswo. Trotz der Kürze mathematischer Beweise können diese Hunderte von Seiten umfassen, wie beispielsweise der 255 Seiten umfassende Satz von Feit-Thompson . ^{[ g ]} Die Entwicklung computergestützter Beweise hat die Beweislängen weiter verlängert. ^{[ h ] [ 187 ]} Daraus resultiert eine Philosophie des quasi-empiristischen Beweises, der zwar nicht als unfehlbar gilt, aber dennoch eine Wahrscheinlichkeit besitzt. ^{[ 8 ]}

Das Konzept der Strenge in der Mathematik lässt sich bis ins antike Griechenland zurückverfolgen, wo logisches, deduktives Denken gefördert wurde. Dieser strenge Ansatz hemmte jedoch tendenziell die Erforschung neuer Ansätze, wie etwa irrationaler Zahlen und des Unendlichkeitsbegriffs. Die Methode des strengen Beweises wurde im 16. Jahrhundert durch die Verwendung symbolischer Notation verbessert. Im 18. Jahrhundert führte der gesellschaftliche Wandel dazu, dass Mathematiker ihren Lebensunterhalt durch Lehre verdienten, was ein tieferes Nachdenken über die zugrundeliegenden Konzepte der Mathematik zur Folge hatte. Dies führte zu strengeren Ansätzen und einem Übergang von geometrischen zu algebraischen und schließlich arithmetischen Beweismethoden. ^{[ 8 ]}

Ende des 19. Jahrhunderts zeigte sich, dass die Definitionen der mathematischen Grundbegriffe nicht präzise genug waren, um Paradoxien (nichteuklidische Geometrien und die Weierstrasssche Funktion ) und Widersprüche (Russellsches Paradoxon) zu vermeiden. Dieses Problem wurde durch die Einbeziehung von Axiomen in die apodiktischen Schlussregeln mathematischer Theorien gelöst; die Wiedereinführung der von den alten Griechen begründeten axiomatischen Methode. ^{[ 8 ]} Daraus folgt, dass „Strenge“ in der Mathematik keine relevante Bedeutung mehr hat, da ein Beweis entweder korrekt oder fehlerhaft ist und ein „rigoroser Beweis“ lediglich eine Pleonasmus darstellt . Ein spezielles Verständnis von Strenge kommt erst in den sozialen Aspekten eines Beweises zum Tragen, in denen er von anderen Mathematikern nachweislich widerlegt werden kann. Nachdem ein Beweis über viele Jahre oder gar Jahrzehnte akzeptiert wurde, kann er als zuverlässig gelten. ^{[ 188 ]}

Dennoch kann der Begriff der „Strenge“ weiterhin nützlich sein, um Anfängern zu vermitteln, was ein mathematischer Beweis ist. ^{[ 189 ]}

Die Mathematik besitzt die bemerkenswerte Fähigkeit, kulturelle Grenzen und Epochen zu überwinden. Als menschliche Tätigkeit hat die Ausübung der Mathematik eine soziale Dimension, die Bildung , Karriere , Anerkennung , Popularisierung und vieles mehr umfasst. Im Bildungsbereich ist Mathematik ein zentraler Bestandteil des Lehrplans und ein wichtiger Bestandteil der MINT- Fächer. Zu den prominenten Berufen für Mathematiker zählen Mathematiklehrer oder -professoren, Statistiker , Aktuare , Finanzanalysten , Ökonomen , Buchhalter , Rohstoffhändler und IT-Berater . ^{[ 190 ]}

Archäologische Funde belegen, dass Mathematikunterricht bereits im zweiten Jahrtausend v. Chr. im alten Babylonien stattfand. ^{[ 191 ]} Vergleichbare Belege für die mathematische Ausbildung von Schreibern wurden im Alten Nahen Osten und später in der griechisch-römischen Welt ab etwa 300 v. Chr. gefunden. ^{[ 192 ]} Das älteste bekannte Mathematikbuch ist der Papyrus Rhind aus Ägypten , der auf etwa 1650 v. Chr . datiert wird . ^{[ 193 ]} Aufgrund der Knappheit an Büchern wurden mathematische Lehren im alten Indien seit der vedischen Zeit ( ca. 1500  –ca. 500 v. Chr. ) mündlich überliefert . ^{[ 194 ]} Im Kaiserreich China wurde während der Tang-Dynastie (618–907 n. Chr.) ein Mathematikcurriculum für die Beamtenprüfung eingeführt, um in den Staatsdienst einzutreten. ^{[ 195 ]}

Nach dem Mittelalter wurde Mathematikunterricht in Europa im Rahmen des Quadriviums an religiösen Schulen erteilt. Der formale pädagogische Unterricht begann im 16. und 17. Jahrhundert an Jesuitenschulen . Die meisten Mathematiklehrpläne blieben bis ins 19. Jahrhundert auf einem grundlegenden und praxisorientierten Niveau, bevor die Mathematik in Frankreich und Deutschland an Bedeutung gewann. Die älteste Fachzeitschrift für Mathematikunterricht war „ L’Enseignement Mathématique“ , die 1899 erstmals erschien. ^{[ 196 ]} Die westlichen Fortschritte in Wissenschaft und Technik führten in vielen Nationalstaaten zur Etablierung zentralisierter Bildungssysteme, in denen Mathematik – zunächst aufgrund ihrer militärischen Anwendungen – einen Kernbestandteil bildete. ^{[ 197 ]} Obwohl die Kursinhalte variieren, wird Mathematik heutzutage in fast allen Ländern den Schülern einen erheblichen Zeitaufwand zuteil. ^{[ 198 ]}

Während der Schulzeit besteht ein starker Zusammenhang zwischen mathematischen Fähigkeiten und positiven Erwartungen und dem Interesse an einer Karriere in diesem Bereich. Äußere Faktoren wie motivierendes Feedback von Lehrkräften, Eltern und Gleichaltrigen können das Interesse an Mathematik beeinflussen. ^{[ 199 ]} Manche Schülerinnen und Schüler entwickeln im Mathematikunterricht Ängste oder Befürchtungen hinsichtlich ihrer Leistungen in diesem Fach. Dies wird als Mathematikangst bezeichnet und gilt als eine der häufigsten Störungen, die die schulischen Leistungen beeinträchtigen. Mathematikangst kann durch verschiedene Faktoren wie die Einstellung von Eltern und Lehrkräften, soziale Stereotypen und persönliche Eigenschaften entstehen. Hilfe zur Bewältigung der Angst bieten veränderte Unterrichtsmethoden, der Austausch mit Eltern und Lehrkräften sowie individuell angepasste Fördermaßnahmen. ^{[ 200 ]}

Die Gültigkeit eines mathematischen Theorems beruht allein auf der Strenge seines Beweises, der theoretisch automatisch von einem Computerprogramm erbracht werden könnte . Dies bedeutet jedoch nicht, dass Kreativität in der Mathematik keinen Platz hat. Im Gegenteil: Viele wichtige mathematische Ergebnisse (Theoreme) sind Lösungen für Probleme, an denen andere Mathematiker gescheitert sind, und die Entwicklung eines Lösungswegs kann ein grundlegender Schritt im Lösungsprozess sein. ^{[ 201 ] [ 202 ]} Ein extremes Beispiel ist der Satz von Apery : Roger Apery lieferte lediglich die Ideen für einen Beweis, der formale Beweis wurde erst Monate später von drei anderen Mathematikern erbracht. ^{[ 203 ]}

Kreativität und Strenge sind nicht die einzigen psychologischen Aspekte der Tätigkeit von Mathematikern. Manche Mathematiker betrachten ihre Arbeit als Spiel, genauer gesagt als das Lösen von Rätseln . ^{[ 204 ]} Dieser Aspekt mathematischer Tätigkeit wird in der Unterhaltungsmathematik besonders hervorgehoben .

Mathematiker können der Mathematik einen ästhetischen Wert beimessen. Ähnlich wie Schönheit ist dieser schwer zu definieren und wird häufig mit Eleganz in Verbindung gebracht , welche Eigenschaften wie Einfachheit , Symmetrie , Vollständigkeit und Allgemeingültigkeit umfasst. G. H. Hardy brachte in „A Mathematician’s Apology“ die Überzeugung zum Ausdruck, dass ästhetische Erwägungen an sich ausreichen, um das Studium der reinen Mathematik zu rechtfertigen. Er nannte zudem weitere Kriterien wie Signifikanz, Unerwartetheit und Unvermeidbarkeit, die zur mathematischen Ästhetik beitragen. ^{[ 205 ]} Paul Erdős drückte diese Ansicht ironischerweise aus, indem er von „dem Buch“ sprach, einer vermeintlich göttlichen Sammlung der schönsten Beweise. Das 1998 erschienene Buch „ Proofs from THE BOOK“ , inspiriert von Erdős, ist eine Sammlung besonders prägnanter und aufschlussreicher mathematischer Argumente. Beispiele für besonders elegante Ergebnisse sind Euklids Beweis der unendlichen Anzahl von Primzahlen und die schnelle Fourier-Transformation für die harmonische Analysis . ^{[ 206 ]}

Manche meinen, die Mathematik als Wissenschaft zu betrachten, vernachlässige ihre künstlerische Seite und ihre Geschichte innerhalb der sieben traditionellen freien Künste . ^{[ 207 ]} Dieser unterschiedliche Standpunkt zeigt sich unter anderem in der philosophischen Debatte darüber, ob mathematische Ergebnisse geschaffen (wie in der Kunst) oder entdeckt (wie in der Wissenschaft) werden. ^{[ 136 ]} Die Popularität der Unterhaltungsmathematik ist ein weiteres Zeichen dafür, wie viel Freude viele Menschen am Lösen mathematischer Aufgaben haben.

Töne, die für das westliche Ohr harmonisch klingen, sind Töne, deren Grundfrequenzen in einfachen Verhältnissen zueinander stehen. Beispielsweise verdoppelt eine Oktave die Frequenz, und eine reine Quinte multipliziert sie mit 1/2 . ^{[ 208 ] [ 209 ]}${\textstyle {\frac {3}{2}}}$

Menschen und einige andere Tiere empfinden symmetrische Muster als schöner. ^{[ 210 ]} Mathematisch bilden die Symmetrien eines Objekts eine Gruppe, die als Symmetriegruppe bezeichnet wird . ^{[ 211 ]} Die der Spiegelsymmetrie zugrunde liegende Gruppe ist beispielsweise die zyklische Gruppe zweier Elemente . Ein Rorschach-Test ist eine Figur, die unter dieser Symmetrie invariant ist, ^{[ 212 ]} ebenso wie allgemein Schmetterlings- und Tierkörper (zumindest oberflächlich). ^{[ 213 ]} Wellen auf der Meeresoberfläche besitzen Translationssymmetrie: Verändert man seinen Blickpunkt um den Abstand zwischen den Wellenkämmen, ändert sich die Sicht auf das Meer nicht. ^{[ 214 ]} Fraktale besitzen Selbstähnlichkeit . ^{[ 215 ] [ 216 ]}${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$

Popularisierte Mathematik bezeichnet die Darstellung mathematischer Sachverhalte ohne Fachbegriffe. ^{[ 217 ]} Die Vermittlung von Mathematik kann schwierig sein, da viele Menschen Angst vor Mathematik haben und mathematische Konzepte oft sehr abstrakt sind. ^{[ 218 ]} Popularisierte Mathematik kann diese Schwierigkeit jedoch durch Anwendungsbeispiele oder kulturelle Bezüge überwinden. ^{[ 219 ]} Trotzdem wird Mathematik in Print- und Fernsehmedien selten popularisiert.

Die Fields-Medaille [ ^{220 ] [ 221 ] ist} die renommierteste Auszeichnung in der Mathematik. Sie wurde 1936 vom Kanadier John Charles Fields gestiftet und wird alle vier Jahre (außer während des Zweiten Weltkriegs ) an bis zu vier Personen verliehen. ^{[ 222 ] [ 223 ]} Sie gilt als das mathematische Äquivalent des Nobelpreises . ^{[ 223 ]}

Weitere angesehene Mathematikpreise sind: ^{[ 224 ]}

• Der Abelpreis wurde 2002 ins Leben gerufen ^{[ 225 ]} und erstmals 2003 verliehen ^{[ 226 ].}
• Die Chern-Medaille für das Lebenswerk wurde 2009 eingeführt ^{[ 227 ]} und erstmals 2010 verliehen ^{[ 228 ].}
• Der AMS Leroy P. Steele Preis , der seit 1970 verliehen wird ^{[ 229 ]}
• Der Wolf-Preis für Mathematik , ebenfalls für das Lebenswerk, ^{[ 230 ]} wurde 1978 ins Leben gerufen ^{[ 231 ].}

Eine berühmte Liste von 23 ungelösten Problemen , die sogenannten „ Hilbertschen Probleme “, wurde im Jahr 1900 von dem deutschen Mathematiker David Hilbert zusammengestellt. ^{[ 232 ]} Diese Liste erlangte unter Mathematikern große Berühmtheit, ^{[ 233 ]} und mindestens dreizehn der Probleme (je nach Interpretation) wurden gelöst. ^{[ 232 ]}

Im Jahr 2000 wurde eine neue Liste mit sieben wichtigen Problemen veröffentlicht, die sogenannten „ Millennium-Probleme “. Nur eines davon, die Riemannsche Vermutung , ist ein Duplikat eines Hilbertschen Problems. Für die Lösung eines dieser Probleme ist eine Belohnung von einer Million Dollar vorgesehen. ^{[ 234 ]} Bislang wurde nur eines dieser Probleme, die Poincaré-Vermutung , vom russischen Mathematiker Grigori Perelman gelöst . ^{[ 235 ]}